Blatt 2 - Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
ZÜ 2.1
Aufgabe 2.1
a
⃗F 4 a
O
a
⃗F 1
⃗F 3
z
y
x
⃗ F2
In den Kanten einer gleichseitigen Pyramide wirken
4 Kräfte gemäß nebenstehender Skizze. Für
die Beträge der Kräfte gilt:
F 1 = F 3 = F 4 = F , F 2 = 2F
a) Geben Sie die Komponenten der Kräfte im
x,y,z-Koordinatensystem an.
b) Berechnen Sie die resultierende Kraft und
das Moment bezüglich des Punktes O.
Aufgabe 2.2
z
C
⃗F A
In den Punkten A(0, 3a, a) und B(2a, a, −a)
greifen die Kräfte
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⃗F A = ⎝ 2 ⎠F und FB ⃗ = ⎝ 3 ⎠F an.
3
k
x
a
a
B
O
a
⃗F B
A
y
a) Berechnen Sie die resultierende Kraft als
Funktion des Parameters k.
b) Bestimmen Sie den resultierenden Momentenvektor
⃗ M
(O)
bezüglich des Ursprungs O
als Funktion der Parameter a, k.
c) Bestimmen Sie den resultierenden Momentenvektor
M ⃗ (C)
bezüglich des Punktes
C(0,0,3a) alsFunktionderParameter a, k.
Aufgabe 2.3
⃗F
Eine ebene Scheibe in Form eines gleichseitigen Dreiecks
wird durch eine Kraft ⃗ F beansprucht, die an der
Mitte einer Seite angreift.
Zerlegen Sie die Kraft in drei Teilkräfte, die an den
Kanten des Dreiecks angreifen und deren Wirkungslinien
in Richtung der Kanten zeigen. Die Beträge der
Teilkräfte sind so zu bestimmen, dass deren Wirkung
äquivalent zur Kraft ⃗ F ist.
Führen Sie dazu ein Koordinatensystem ein.

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
ZÜ 2.2
Lösung zur Aufgabe 2.1
⃗F 4
B
C
⎡ ⃗F 1
⎢
⃗r A = ⎣
E
⃗F 3 A
z
y
x
⃗ F2
− a 2
a
2
0
⎤
⎥
⎦ ⃗r B =
⎡
⎢
⎣
D
− a 2
− a 2
0
⎤
a) Zur Bestimmung der Kräftevektoren werden
zunächst die Eckpunkte der Pyramide
im Koordinatensystem O angegeben. Dabei
werden die Eckpunkte wie in nebenstehender
Skizze bezeichnet. Die Höhe der Pyramide
kann durch zweifache Anwendung des
SatzesvonPythagoraszuh = √ 1
2
aberechnet
werden. Die Punktkoordinaten ergeben sich
damit zu:
⎥
⎦ ⃗r C =
⎡
⎢
⎣
a
2
− a 2
0
⎤
⎥
⎦ ⃗r D =
⎡
⎢
⎣
a
2
a
2
0
⎤
⎥
⎦ ⃗r E =
⎡
⎢
⎣
0
0
√1
2
a
⎤
⎥
⎦
Die Kraft F ⃗ 1 zeigt nun in Richtung der Pyramidenkante EC. Vektoriell kann diese Kante
durch⃗r C −⃗r E beschriebenwerden.DaderKraftvektordenBetragF besitzt,dieKantejedoch
dieLängeaergibtsichfürdenKraftvektor F ⃗ 1 = F(⃗r a C−⃗r E ).DieübrigenKraftvektorenlassen
sich ebenso berechnen und ergeben sich durch Einsetzen der Punktkoordinaten zu:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
F
F
2
0
2
−F
⎢ ⃗F 1 = ⎣ − F ⎥
2 ⎦ , F2 ⃗ ⎢ ⎥
= ⎣ 2F ⎦ , F3 ⃗ ⎢
= ⎣ − F ⎥
2 ⎦ , ⃗ ⎢ ⎥
F4 = ⎣ 0 ⎦
−√ F 2
0
F√
2
0
b) Die resultierende Kraft ist gegeben durch
⎡
0
4∑
⃗F = ⃗F i = F ⃗ 1 + F ⃗ 2 + F ⃗ 3 + F ⃗ ⎢
4 = ⎣ F
i=1
0
und das Moment bezüglich O durch
⃗M (O) =
Anmerkung
4∑
⃗r i × F ⃗ i =⃗r C × F ⃗ 1 +⃗r C × F ⃗ 2 +⃗r A × F ⃗ 3 +⃗r B × F ⃗ 4
i=1
⎤
⎥
⎦
⎡
(
=⃗r C × ⃗F1 + F ⃗ )
2 +⃗r A × F ⃗ 3 +⃗r B × F ⃗ ⎢
4 = aF ⎣
In dieser Aufgabe wird nur in einem Koordinatensystem gerechnet. Aus diesem Grund wird
bei der Berechnung der Vektoren die verkürzte Schreibweise verwendet, bei der die Basisvektoren
bzw. das Koordinatensystem nicht explizit angegeben werden.
√
2
2
√
2
2
1
2
⎤
⎥
⎦

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
ZÜ 2.3
Lösung zur Aufgabe 2.2
a) resultierende Kraft:
⃗F res = ∑ i
⃗F i =
⎛
⎜
⎝
1
2
3
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠F + ⎝
1
3
k
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠F = ⎝
2
5
k +3
⎞
⎟
⎠F
b) resultierendes Moment bzgl. O:
⃗M (O) = ∑ i
⎛
=
=
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⃗r i ×⃗a i =⃗r A × ⃗ F A +⃗r B × ⃗ F B
0
3a
a
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠× ⎝
10+k
−2k
2
⎞
1
2
3
⎟
⎠aF
⎞
c) resultierendes Moment bzgl. C:
⎛
⎟ ⎜
⎠F + ⎝
allgemein:
⃗M (P) = ⃗r PO ×⃗a+ ⃗ M (O)
⃗M (C) = ⃗r CO × F ⃗ res + M
⎛ ⎞ ⎛
⃗ (O)
0 2
⎜ ⎟ ⎜
= ⎝ 0 ⎠× ⎝ 5
−3a k +3
⎛ ⎞
=
⎜
⎝
25+k
−6−2k
alternativer Lösungsweg:
⃗M (C) = ∑ i
⎛
=
=
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2
⎟
⎠aF
2a
a
−a
⎞
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠× ⎝
⎟
⎠F +
⃗r i ×⃗a i =⃗r CA × ⃗ F A +⃗r CB × ⃗ F B
0
3a
−2a
⎞
25+k
−6−2k
2
⎛
⎟ ⎜
⎠× ⎝
⎞
1
2
3
⎟
⎠aF
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠F + ⎝
2a
a
−4a
⎞
⎛
⎜
⎝
1
3
k
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠F = ⎝
10+k
−2k
⎛
⎟ ⎜
⎠× ⎝
2
1
3
k
⎞
⎞
7
1
−3
⎞
⎟ ⎜
⎠aF = ⎝
⎛
⎟ ⎜
⎠F = ⎝
⎛
⎟ ⎜
⎠aF + ⎝
⎛
13
−2
−3
15
−6
0
⎞
⎞
k +3
−1−2k
5
⎛
⎟ ⎜
⎠aF + ⎝
⎛
⎟ ⎜
⎠aF + ⎝
⎞
⎟
⎠aF
10+k
−2k
2
k +12
−4−2k
5
⎞
⎟
⎠aF
⎞
⎟
⎠aF

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
ZÜ 2.4
Lösung zur Aufgabe 2.3
Die Kraft ⃗ F soll durch drei Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 , ⃗ F 3 ersetzt
werden, die in den Seiten des Dreiecks liegen. Die
Richtung der Kräfte ist also vorgegeben, gesucht sind
Betrag und Orientierung. Die Wirkung der 3 Kräfte
soll äquivalent zu der von ⃗ F sein, d.h. die resultierenden
Kräfte und Momente müssen gleich sein.
Diese müssen berechnet und gleichgesetzt werden.
Dazu werden die Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 und ⃗ F 3 im eingezeichneten
xyz-Koordinatensystem dargestellt (Es kann
auch jedes andere Koordinatensystem zur Lösung der
Aufgabe verwendet werden).
Die Kräfte lauten dann:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
F F 1
⃗F = ⎣0⎦ , F1 ⃗ = ⎣ 0 ⎦ ,
0 0
⎡ ⎤ ⎡
−F 2 cos60 ◦ − 1F ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⃗F 2 = ⎣ F 2 sin60 ◦ √2 2 −F 3 cos60 ◦ − 1F ⎤
⎦ = ⎣ 3
F ⎦
2 2 , F3 ⃗ = ⎣−F 3 sin60 ◦
2 3
⎦ = ⎣− √ 3
F ⎦
2 3 ,
0 0 0 0
wobei F 1 , F 2 , F 3 noch unbekannt sind.
Nun wird ⃗ F mit der Summe der Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 , ⃗ F 3 gleichgesetzt:
y
z
60 ◦
x
⃗F 3
⃗F 2
60 ◦
⃗F 1
⃗F
F = F 1 − 1 2 F 2 − 1 2 F 3 , (1)
√ √
3 3
0 = 0+
2 F 2 −
2 F 3 . (2)
Das Gleichgewicht der resultierenden Momente kann bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes
aufgestellt werden. Hier wird der Koordinatenursprung O als Bezugspunkt gewählt. Die Wirkungslinien
von F ⃗ 1 und F ⃗ 3 gehen durch O, d.h. diese Kräfte üben kein Moment auf O aus. Die
Ortsvektoren der Kraftangriffspunkte von F ⃗ und F ⃗ 2 zu dem Bezugspunkt O sind identisch und
sind aus folgender Skizze ersichtlich:
a
h
⃗F 2
Wird dieSeitenlängedesDreiecks als aangenommen,
so lautet die Höhe des gleichseitigen Dreiecks
√
) 2
√
1 3
⃗F h = a −( 2 2 a =
2 a.
60 ◦

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Technische Mechanik I
ZÜ 2.5
Die Momente der Kräfte bezüglich O lassen sich nun vektoriell bestimmen. Werden die resultierenden
Momente gleichgesetzt, erhält man
⃗r 2 × ⃗ F =⃗r 1 × ⃗ F 1 +⃗r 2 × ⃗ F 2 +⃗r 3 × ⃗ F 3 .
Die Vektoren vom Bezugspunkt O zu den Wirkungslinien der Kräfte lauten
⎡ ⎤
⃗r 1 =⃗r 3 =⃗0, ⃗r 2 = ⎣
3a
4
h
2
0
3a
4
h
2
0
⎦ ,
und somit ergibt sich
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
F 0
⎣ ⎦× ⎣0⎦ = ⎣0⎦×
⎣
0 0
was sich vereinfacht zu
⎡ ⎡
0
⎣ 0 ⎦ = ⎣
− √ 3
4 aF ⎤
0
0
√
3
2 aF 2
⎤
F 1
0
0
⎤
⎡
⎦+ ⎣
⎤
3a
4
h ⎦×
2
0
⎡
− 1F ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
√2 2 0 − 1F ⎤
2 3
⎣ 3
F 2 2
⎦+ ⎣0⎦×
⎣− √ 3
F ⎦
2 3 ,
0 0 0
⎦ , bzw. − √ 3
4 aF = √ 3
2 aF 2 . (3)
Mit den 3 Gleichungen (1) – (3) lassen sich nun die 3 Unbekannten F 1 , F 2 , F 3 bestimmen. Aus
(3) folgt:
F 2 = − 1 2 F (4)
Gleichung (4) in (2) eingesetzt:
√
3
0 =
(− 1 ) √
3
2 2 F −
2 F 3 =⇒ F 3 = − 1 2 F . (5)
Setzt man nun (4) und (5) in (1) ein, erhält man
F = F 1 − 1 (− 1 )
2 2 F − 1 (− 1 )
2 2 F =⇒ F 1 = 1 2 F . (6)
Die gesuchten Kräfte lauten also
F 1 = 1 2 F F 2 = − 1 2 F F 3 = − 1 2 F .
Anmerkung
Die Momente der Kräfte bezüglich O lassen sich bei ebenen Systemen auch über skalare Größen
bestimmen. Die Formel hierfür lautet M = l·F, wobei der Hebelarm l den senkrechten Abstand
zwischen der Wirkungslinie der Kraft F und dem Bezugspunkt O darstellt.

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Technische Mechanik I
ZÜ 2.6
r
a
h
F 2
Wird wiederum die Seitenlänge des Dreiecks als a angenommen,
ergibt sich für den Abstand r
F r = h √
3
2 = 4 a.
60 ◦
Nun wird das aus F resultierende Moment bezüglich O mit dem aus F 1 , F 2 , F 3 resultierenden
gleichgesetzt, Momente werden in z-Richtung positiv angenommen:
−r ·F = 0·F 1 +h·F 2 +0·F 3 .
Dies entspricht Gleichung (3).