Die Methode der kleinsten absoluten Abweichungen in linearen ...

2 Statistische Motivation der LAD-Methode
mit einer positiv deniten Matrix Q ∈ R 2×2 . Dann konvergiert
2f(0) √ n( ˆβ n − β)
D
−→ Z ∼ N (0, Q −1 )
in Verteilung gegen einen 2-dimensional normalverteilten Zufallsvektor.
Bemerkung. Konvergenz in Verteilung bei Zufallsvariablen, in Formeln Z n
n → ∞, bedeutet
D −→ Z für
lim F n(x) = F (x) ∀ x : F (x) ist stetig in x (2.4)
n→∞
mit den Verteilungsfunktionen F n von Z n für alle n ∈ N und F von Z [8].
Dieser Satz wurde von Basset und Koenker in [2] in einer allgemeineren Form auch für
die multiple lineare Regression und nicht nur für die einfache bewiesen. Eine Zusammenfassung
dieser Ergebnisse und weiterer Voraussetzungen für diese Asymptotik nden sich
in Pollard [26]. Es ist noch zu bemerken, dass Satz 2.9 für Regressiongeraden durch den
Ursprung schon 1818 von Laplace bewiesen wurde [17].
Verteilungen, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen, sind zum Beispiel die Normalund
die Laplaceverteilung, da sie eine auf den ganzen reellen Zahlen stetige Dichte und
Median Null haben. Das heiÿt, obwohl der LSE bei normalverteilten Fehlern der ML-
Schätzer für die Regression ist, ist dem LAD-Schätzer bei der Anwesenheit von Ausreiÿern
der Vorzug zu geben, falls die Stichprobe groÿ genug ist. Denn dann liefert er
aufgrund der asymptotischen Normalität und der Konsistenz aus dem nächsten Korollar
gute Ergebnisse.
Korollar 2.10 (Schwache Konsistenz des LAD-Schätzers). Für ein Modell wie in Satz
2.9 ist der LAD-Schätzer schwach konsistent.
Beweis. Sei ˆβ n = ( ˆβ n 0 , ˆβ n 1 ) die Folge der LAD-Schätzer. Wir zeigen, dass die Folge ˆβ n 0
konsistent für β 0 ist. Der Beweis geht dann analog für β 1 und man hat zusammen die
Konsistenz von ˆβ n . Dazu wird Denition 2.8 geprüft, indem zu einem vorgegebenen δ > 0
und ε > 0 ein N angegeben wird, so dass
P (| ˆβ n 0 − β 0 | ≤ ε) ≥ 1 − δ ∀ n ≥ N.
Sei F n die Verteilungsfunktion von √ n| ˆβ n 0 − β 0|. Die Zufallsvariablen √ n| ˆβ 0 − β 0 | folgen
einer Marginalverteilung von ‖ ˆβ n − β‖ und sind daher nach Satz 2.9 asymptotisch
N (0, σ 2 )-normalverteilt mit geeignetem σ nach [8]. Die zugehörige Verteilungsfunktion
sei mit Φ bezeichnet. Seien nun δ und ε gegeben. Wähle dann t so, dass
Φ(t) − Φ(−t) = 2Φ(t) − 1 = 1 − δ 2 . (2.5)
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