Die Methode der kleinsten absoluten Abweichungen in linearen ...

1 Einleitung
[6], [18]. Dabei werden ˆβ 0 und ˆβ 1 so gewählt, dass die sogenannte Summe der quadratischen
Residuen
n∑
(y i − β 0 − β 1 x i ) 2
i=1
in β 0 und β 1 minimiert wird. Den so erhaltenen Schätzer für die Regressionsgerade nennt
man Kleinste-Quadrate-Schätzer (least squares estimator, LSE). Dieser Schätzer hat viele
angenehme Eigenschaften (siehe Kapitel 2), was auch der Grund für seine Beliebtheit ist.
Allerdings hat er auch einen entscheidenden Nachteil: Er ist extrem anfällig gegen Punkte,
die nicht der Modellgleichung folgen, sogenannte Ausreiÿer. Daher ist für bestimmte
Anwendungen, bei denen das Auftreten solcher Ausreiÿer absehbar ist, ein robusterer
Schätzer nötig. Ein robusterer Schätzer ist der Kleinste-Absolute-Abweichungen-Schätzer
(least absolute deviations estimator, LAD). Er minimiert
n∑
|y i − β 0 − β 1 x i |
i=1
in β 0 und β 1 . Aber auch dieser reicht häug nicht aus, um den Einuss der Ausreiÿer
genügend zu kontrollieren. Er fängt zwar den Einuss einer Fehlannahme in der
Fehlerverteilung gut ab, besonders bei heavy-tail Verteilungen, die viel Wahrscheinlichkeitsmasse
weit entfernt vom Mittelwert aufweisen [28]. Das bedeutet eine Robustheit in
der y-Koordinate der Messpunkte. Starke Abweichungen in der x-Koordinate, sogenannte
Hebelpunkte (leverage points), können jedoch mit dem LAD-Schätzer nicht eektiv
behandelt werden [28]. Um hier eine höhere Robustheit zu erzielen, werden die Daten
getrimmt, das heiÿt, man nimmt an, dass eine gewisse Anzahl n − m mit 0 < m ≤ n der
Daten Ausreiÿer sind. Welche das genau sind, muss während der Schätzung bestimmt
werden. In Kombination mit dem LAD-Schätzer wird dann die Funktion
m∑
|y (i) − β 0 − β 1 x (i) | (1.3)
i=1
in β 0 und β 1 minimiert, wobei die Permutation (·) von β 0 und β 1 abhängt und die Beträge
aufsteigend sortiert. Diesen Schätzer nennt man TLAD-Schätzer (trimmed least absolute
deviations). So wird auch eine Robustheit gegen Hebelpunkte erzielt, da sie als Auÿreiÿer
identiziert werden können. Man spricht hier auch von Ausreiÿer-resistenter Statistik,
während der Begri der Robustheit in der Literatur ursprünglich für Unempndlichkeit
gegen Fehlerverteilungen mit heavy-tails, also im Sinne einer Verteilungs-Robustheit,
verwendet wurde [12, S. 4]. In dieser Arbeit wird der Einfachheit halber nur der Begri
robust ganz allgemein für die Unempndlichkeit gegen Abweichungen von den Modellannahmen
verwendet, seien es heavy-tailed Verteilungen oder Ausreiÿer. Ohnehin sind
viele statistische Verfahren entweder robust und resistent oder keines von beidem [12, S.
4].
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