Aufgaben und Kurzlösungen - IAS - Technische Universität Dresden

c○Technische Universität Dresden, 1996-2013
Professur für Systemtheorie und Sprachtechnologie
Prof. Dr.-Ing. habil. R. Hoffmann 21. und 28. Januar 2014
Systemtheorie I – 7. Übung 1
4.6. Gegeben ist das im Bild 4.6 dargestellte zeitkontinuierliche Signal x mit den Signalwerten
x(t) = cos ( π
t/ ms) . Dieses Signal wird mit der Abtastfrequenz f
4 A = 1 =
∆t
1 kHz äquidistant abgetastet, wobei für die Signalwerte x(k) = x(t)| t=k∆t
und k ∈ Z
gilt.
1
0 1 2
6 7 8
−1
x(t)
x(k)
∆t
3 4 5
Bild 4.6
t/ ms
9 10 k
a) Bestimmen Sie ein Kosinus-Signal y so, dass für alle Signalwerte y(t)| t=k∆t
= x(k)
und die Frequenz f y > f x gilt, wobei f x die Frequenz des Signals x bezeichnet.
b) Zeichnen Sie die zeitkontinuierlichen Signale x und y und veranschaulichen Sie
damit die Nichteindeutigkeit der Rekonstruktion eines zeitkontinuierlichen Signals
aus den Signalwerten x(k).
c) Bestimmen Sie anhand des Abtasttheorems die obere Grenzfrequenz f g und vergleichen
Sie diese mit den Frequenzen f x und f y .
4.7. Mit dem im Bild 4.7 dargestellten System zur Wandlung zeitkontinuierlicher in
zeitdiskrete Signale werden folgende Signalpaare generiert:
x(t) = cos ( 10π t
ms
x(t) = sin ( 10π t
ms
10π t
ms
) (
→ x(k) = cos
π k) x(t) K / D
x(k)
4
→ x(k) = sin ( 7π
k) 4
7π
k ∆t
4
)
a) Spezifizieren Sie Baugruppen des abgebildeten Systems.
Bild 4.7
b) Geben Sie ein Abtastintervall ∆t an, das beiden Signalpaaren genügt.
c) Stellen Sie fest, ob das angegebene Abtastintervall das einzige ist. Falls nicht, geben
Sie weitere Abtastintervalle an.
d) Sichert das angegebene System die Einhaltung des Abtasttheorems und wie kann
diese Sicherstellung technisch realisiert werden?
1 entnommen aus: Schreiber/Merker/Hoffmann Systemtheorie I/II, 2011
1

4.8. Bei der äquidistanten Abtastung des zeitkontinuierlichen Signals x mit den Signalwerten
x(t) = cos ( π
t/ ms) erhält man für die Abtastfrequenz f
4 A = 1 = 1 kHz eine
∆t 4
Folge von Abtastwerten x(k).
a) Bestimmen Sie diese Abtastwerte x(k) = x(t)| t=k∆t
und stellen Sie x(t) und x(k)
in ein gemeinsames Diagramm grafisch dar!
b) Bestimmen Sie für das Signal ˜x(t) = 2 cos ( π
4 t/ ms + ϕ) einen Phasenwinkel ϕ mit
0 ≤ ϕ < 2π so, dass ˜x(t)| t=k∆t
= x(k) gilt! Ist das Ergebnis eindeutig?
c) Interpretieren Sie die Schlussfolgerung aus b) im Hinblick auf das Abtasttheorem!
d) Die Änderung der Abtastfrequanz auf f A2 = 1 kHz führt zu einer neuen Folge von
2
Abtastwerten x 2 (k). Skizzieren Sie daraufhin x(t) und x 2 (k) erneut, geben Sie eine
Formel zur Rekonstruktion der Signalwerte x(t) aus x 2 (k) mit Hilfe der Abtastreihe
an und berechnen Sie speziell x(5 ms) näherungsweise für −2 ≤ k ≤ 6.
2

Kurzlösungen
4.6.
( ) 7π
a) y(t) = cos
4 t/ ms
c) f g < 1 2 , f x < f g , f y > f g : Aliasing
4.7.
b) ∆t = 7
40 ms
c) einzige Lösung
4.8.
a) x(k) = (−1) k
b) ϕ 1 = π 3 und ϕ 2 = 5π 3
d) x(t) =
∞∑
k=−∞
x(5 ms) ≈ −0,7013
( π
)
x(k · 2 ms) · si
2 (t/ ms − 2k)
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