LÃ¶sungen zum 8. Â¨Ubungsblatt

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Die zusätzliche Behauptung versorgt noch den Fall, dass eine gegebene, abzählbare dlO (L,
Lösung. Ein Ordnungsisomorphismum überführt isolierte in isolierte und Häufungspunkte in Häufungspunkte. Die Ordnung K hat nur einen isolierten Punkt 1.5, wohingegen L zwei isolierte Punkte 200 und 300 hat. h) Es seien K = {−1} ∪ {q ∈ Q | 0 < q < 1} und L = {q ∈ Q | 0.5 ≤ q < 1} wieder durch die herkömmliche Ordnung geordnet. Ist K ∼ = L? Antwort. Ja, denn { 0.5 , falls k=-1 ϕ : K → L, k ↦→ 1 − k/2 , sonst ist ein Ordnungsisomorphismus. Der Punkt −1 ist in K das Infimum der Werte > 0, da kein größerer nicht-positiver Wert in K, existiert, wohl aber beliebig kleine positive Werte. Aufgabe 3 (die vollständige Hülle einer linearen Ordnung, 2+5+2+4 Punkte) Eine lineare Ordnung L heißt vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Teilmenge von L ein Supremum in L besitzt und jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum. a) Zeige, dass jede Wohlordnung (bzw. jede Ordinalzahl mit ∈) vollständig ist. Lösung. Jede nicht-leere, beschränkte Teilmenge X ⊂ α besitzt ein Supremum β := ⋃ {γ + 1 | γ ∈ X} ∈ α. Das Infimum ist sogar nach der Forderung, dass α durch ∈ wohlgeordnet ist, ein Element von X. b) Zeige, dass es zu jeder linearen Ordnung L eine bis auf Isomorphie eindeutige Vervollständigung gibt, also • eine vollständige lineare Ordnung L, • in die sich L monoton einbetten lässt e : L → L, • und mit der Eigenschaft, dass wann immer f : L → K eine ordnungserhaltende Abbildung von L in eine vollständig lineare Ordnung K ist, es genau eine ordnungserhaltende Abbildung f : L → K mit f = f ◦ e gibt. (Bemerkung. Die Eindeutigkeit bis auf Isomorphie folgt aus der letzten Forderung. Ist ˜L eine zweite Vervollständigung mit Einbettung ε und wird die auf ˜L erweiterte Abbildung mit ˜f beszeichnet, so ist ẽ = ε −1 ein Isomorphismus. Tipp. I.d.R. macht man das mit sog. Dedekindschen Schnitten, d.s. beschränkte Anfangsstücke von L. Diese sind durch ⊂ linear angeordnet.) Lösung. Setze L := {X ⊆ L | X ist beschränktes Anfangsstück von L} und betrachte die lO (L, ⊂). Für jede nach oben beschränkte Teilmenge Z ⊂ L ist Y := ⋃ Z ein beschränktes Anfangsstück von L, also selbst in L und es ist natürlich X ⊆ Y für alle X ∈ Z. Damit ist Y ober Schranke von Z. Ist V < Y , also V ⊂ Y , so gibt es ein X ∈ Z mit X ⊈ V . Also ist V keine obere Schranke von Z. Damit ist Y das Supremum von Z. Ist Z nach unten beschränkt, so zeigt man analog, dass Y = ⋂ Z (≠ ∅, da Z nach unten beschränkt) das Infimum von Z ist. Durch e : L → L, x ↦→ {u ∈ L | u ≤ x}
Seite 1: Institut für Mathematik Sommerseme
Seite 5 und 6: a) Zeige, dass Q die c.c.c. hat. L

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