Kapitel 4 - Rendering und VisibilitÃ¤t - ICSY

4.1 Farbmodelle 

§4 Rendering und Visibilität 

Farbe ist ein wesentlicher Bestandteil realistischer Computergrafik. 

Dieses Unterkapitel beschreibt die quantitativen Aspekte 

von Farbe, auf denen jegliche Verarbeitung von Farbinformationen 

während des Renderings beruht. 

Fragestellungen: 

- Wie kann man eine bestimmte Farbe exakt spezifizieren? 

→ Farbräume, Farbmodelle 

- Wie viele verschiedene Farben können durch eine 

Grafikhardware spezifiziert werden? 

→ technische Realisierbarkeit 

- Wie exakt kann eine exakt spezifizierte Farbe auf einem 

Ausgabegerät angezeigt werden? 

→ geräteabhängige Farbräume 

Computergrafik, Visualisierung & CAD-Technologie - SS 2004 

AG Graphische Datenverarbeitung und Computergeometrie 

§4-1 


Hierarchien bekannter Farbmengen 

A: Menge aller vom Menschen 

wahrnehmbaren Farben 


Ebener Schnitt durch den dreidimensionalen 

Farbraum. Jeder 

Punkt entspricht einer Farbe. 

B: Menge aller von einem Ausgabegerät 

(z. B. Monitor) darstellbaren 

Farben – dies ist eine Untermenge von A 

C: Menge aller von einem Programm 

spezifizierbaren Farben – beschränkt durch die 

Grafikhardware (Bildspeicher) 24 Bit/Pixel → 16777216 Farben 

– i. a. Untermenge von A und Obermenge von B 



§4-2 

4-1



Dreidimensionaler Farbraum 

Der traditionellen Beschreibung von Farben durch Namen mangelt 

es naturgemäß an Exaktheit – Aschgrau, Steingrau, Mausgrau, ... 

Eine präzise Festlegung erhält man erst durch eine objektive 

quantitative Spezifikation. Physikalisch gesehen ist eine Farbe eine 

bestimmte Energieverteilung im elektromagnetischen Spektrum 

zwischen 400 und 700 Nanometern Wellenlänge. 

Anhand physikalischer Experimente und Untersuchungen der 

physiologischen Farbwahrnehmung durch das menschliche 

Auge gelangte man zur Erkenntnis, dass nahezu alle Farben, 

die das Auge unterscheiden kann, auf eine additive Mischung 

dreier Grundfarben zurückgeführt werden können. 



§4-3 



Dreidimensionaler Farbraum (cont.) 

Definiert man die zu mischenden Anteile z. B. der Grundfarben 

Rot, Grün und Blau durch ein Tripel (r, g, b) von Gewichtsfaktoren, 

so lässt sich eine bestimmte Farbe C mittels 

C = r R + g G + b B exakt spezifizieren. 

Dies ist jedoch bei weitem nicht die einzige Möglichkeit, einen 

dreidimensionalen Farbraum zu definieren. Je nach Anforderung 

können verschiedene standardisierte Farbräume (Farbmodelle) 

verwendet werden, z. B. 

RGB: traditioneller Farbraum für Computergrafik, Monitore, ... 

HSV: erleichtert die intuitive Farbauswahl 

CIE: internationaler Standard zur Farbspezifikation 

CMY: subtraktives Farbmodell für die Drucktechnik 



§4-4 

4-2



RGB-Farbmodell 

- verwendet die Grundfarben Rot, Grün und Blau 

zur additiven Farbmischung 

- Beschreibung einer Farbe durch ein Tripel (r, g, b) von 

Gewichtsfaktoren mit 0≤r, g, b≤1. Es gilt: 

(0, 0, 0) = Schwarz (1, 1, 1) = Weiß 

(1, 0, 0) = Rot (0, 1, 0) = Grün (0, 0, 1) = Blau 

(0, 1, 1) = Cyan (1, 0, 1) = Magenta (1, 1, 0) = Gelb 

Im Rechner: z. B. 8 Bit pro Grundfarbe, d. h. 0≤r, g, b≤255. 

- die Menge aller spezifizierbaren Farben wird im 3D-Raum durch 

einen Würfel repräsentiert („Farbkörper“) – dieser deckt jedoch 

nicht den gesamten wahrnehmbaren Farbraum ab 



§4-5 


RGB-Farbmodell (cont.) 


B 

R 

G 

RGB-Farbwürfel 



§4-6 

4-3


RGB-Farbmodell (cont.) 


- Das Modell ist bezüglich der Farbwahrnehmung nicht linear: 

Betrachtet man eine typische Farbauflösung von 8 Bit pro 

Grundfarbe (sog. True Color), so existieren im Farbwürfel 

Regionen, in denen benachbarte Punkte für das Auge 

denselben Farbeindruck hervorrufen. In anderen Regionen 

hingegen sind die Farben benachbarter Punkte für das Auge 

sehr wohl voneinander unterscheidbar. 

- Für den Anwender ist es mitunter recht schwierig, zu einer 

gewünschten Farbe (z. B. Kastanienbraun) ein entsprechendes 

(r, g, b)-Tupel zu ermitteln oder eine Farbe beispielsweise 

ein wenig abzuschwächen (erfordert ungleiche Änderungen 

von r, g und b). → HSV-Farbmodell 



§4-7 


- verwendet „Zylinderkoordinaten“ 

Hue: Farbe („Farbfamilie“) als 

„Farbwinkel“ in Grad: 

Cyan 

0° ≤ H < 360° 

Saturation: Sättigung: 0≤ S ≤1 

(Verkleinerung addiert Weiß) 

Value: Helligkeit: 0≤V 

≤1 

(Verkleinerung addiert Schwarz) 


HSV-Farbmodell 

- entwickelt zur Unterstützung einer intuitiven Farbauswahl 

(wahrnehmungsorientiertes Farbmodell) 

- der Farbkörper im 3D-Farbraum ist eine Pyramide 

mit sechseckiger Grundfläche 



§4-8 

4-4


Zusammenhang zwischen HSV- und RGB-Modell: 


- Die Grundfläche der HSV-Pyramide entsteht aus dem RGB- 

Würfel durch Projektion entlang der Raumdiagonale von Weiß 

nach Schwarz auf eine dazu senkrecht stehende Ebene. 

- Es ergeben sich folgende 

korrespondierende Punkte: 

RGB 

(1, 0, 0) 

(1, 1, 0) 

Farbe 

Rot 

Gelb 

HSV 

(0, 1, 1) 

(60, 1, 1) 

- Bemerkung: 

Im HSV-Modell besitzen 

Komplementärfarben eine 

Winkeldifferenz von 180° 

im H-Wert 

(0, 1, 0) 

(0, 1, 1) 

(0, 0, 1) 

(1, 0, 1) 

Grün 

Cyan 

Blau 

Magenta 

(120, 1, 1) 

(180, 1, 1) 

(240, 1, 1) 

(300, 1, 1) 



§4-9 



Zusammenhang HSV- und RGB-Modell: (cont.) 

- Schreitet man im RGB-Würfel entlang der Hauptdiagonale von 

Schwarz nach Weiß, so kann man in jedem Punkt P dieser 

Diagonale einen Sub-Würfel wie folgt definieren: 

- die Hauptdiagonalen der Würfel fallen zusammen 

- eine Ecke des Sub-Würfels liegt bei Schwarz = (0, 0, 0) , 

die gegenüberliegende Ecke liegt bei P 

- der Sub-Würfel liegt im Innern des RGB-Würfels 

- Somit definiert jeder Sub-Würfel bei Anwendung der oben 

beschriebenen Projektion entlang der Hauptdiagonale ein 

Sechseck, das einem Schnitt durch die HSV-Pyramide für 

V = const. entspricht. (Die Hauptdiagonale des RGB-Würfels 

entspricht also der V-Achse der HSV-Pyramide.) 



§4-10 

4-5



CIE-Farbraum 

- internationaler, geräteunabhängiger Standard zur Farbspezifikation, 

geeignet zur Beschreibung aller vom 

Menschen wahrnehmbaren Farben 

(der RGB-Farbkörper ist hierfür nicht geeignet!) 

- universeller Farbraum, verwendet die künstlichen Grundfarben 

X, Y und Z zur additiven Farbmischung (CIE XYZ- 

Farbraum), da keine Auswahl dreier Grundfarben aus dem 

sichtbaren Farbbereich durch additive Mischung mit nicht 

negativen Gewichten alle wahrnehmbaren Farben abdecken 

kann: die Mischung schon zweier Grundfarben ergibt immer 

eine weniger gesättigte Farbe 

- Repräsentation einer Farbe C durch C = X X + Y Y + Z Z 



§4-11 


CIE-Farbraum (cont.) 


CIE XYZ Farbkörper: enthält 

alle wahrnehmbaren Farben 

von einem Monitor 

darstellbare Farben 



§4-12 

4-6




Eine alternative Spezifikation des CIE XYZ-Farbtripels (X, Y, Z) 

ergibt sich durch eine Abbildung (X, Y, Z) → (x, y, Y) mit 

x = 

X + 

X 

Y + Z 

y = . 

X + 

Y 

Y + Z 

und 

(CIE xyY-Farbraum) 

Wertet man die Gleichungen für alle Farben des XYZ-Farbkörpers 

aus und trägt man die Ergebnisse in einem (x, y)-Diagramm ein, so 

erhält man das hufeisenförmige CIE-Diagramm der Chromatizität. 



§4-13 



Das (x, y)-Diagramm enthält (als 

zweidimensionale Projektion der 

Ebene X+Y+Z=1 in die XY-Ebene) 

alle sichtbaren Farben, wobei der 

Luminanz-Anteil ignoriert wird. 

Auf dem äußeren Rand der Hufeisenform 

liegen die reinen 

Spektralfarben von Blau (400 nm) 

bis Rot (700 nm). 

Auf der Geraden zwischen Blau 

und Rot befinden sich die Lila- und 

Magenta-Farben. 




§4-14 

4-7


Gamma-Korrektur 

Bei einer Fernsehübertragung 

erwartet der Zuschauer, dass er 

eine Szene zu Hause in derselben 

Farbqualität sieht, wie er sie in der 

Realität auch sehen würde. 

Um dies zu verwirklichen, wird 

in der Fernsehkamera bereits 

eine Präkompensation vorgenommen, 

die die Nichtlinearität 

der Farbwiedergabe 

einer üblichen Fernsehröhre 

korrigiert. 




§4-15 



Gamma-Korrektur (cont.) 

Bei der Darstellung von Szenen in der Computergrafik 

übernimmt ein Renderer die Rolle der Kamera, besitzt aber 

generell eine lineare Intensitätscharakteristik. 

Da jedoch ein Monitor eine ähnliche Nichtlinearität bei der Farbwiedergabe 

aufweist wie ein Fernsehgerät, muss dem Renderingprozess 

eine geeignete Gamma-Korrektur nachgeschaltet werden. 

In der Regel werden hierzu im RGB-Modell für jeden Farbkanal die 

zu ersetzenden Werte in einer look-up-Tabelle nachgeschlagen 

(bei 8 Bit/Grundfarbe: drei Arrays der Länge 256). 



§4-16 

4-8

4.2 Visibilitätsverfahren 


Motivation: 

- Die grundlegende Modellierung unserer Objekte besteht 

in letzter Konsequenz aus planaren Polygonen, meist aus 

Vier- oder Dreiecken. 

- Das Dreieck ist die favorisierte Form, denn ein Dreieck hat 

eine eindeutige Normale, die anzeigt, wo das Dreieck „hinzeigt“. 

Ein Viereck nicht? 

Vorsicht: 

- Den Prozess, der aus der mathematischen Beschreibung, 

beispielsweise einer Kugel, eine Menge von Dreiecken 

produziert, nennt man tesselation, triangulation bzw. 

„Tesselation“, „Triangulierung“ 



§4-17 



Motivation: (cont.) 

- Die einfachste Form, unsere Objekte darzustellen (zu rendern) 

ist die Wireframe-Darstellung – wir zeichnen lediglich die 

Kanten der Polygone. 

Bem.: 

- Wireframe-Darstellung mit Darstellung aller Kanten, d.h. 

auch der (teilweise) verdeckten Kanten von Objekten 

ist zwar trivial, die Darstellung einer 3D-Szene wirkt 

allerdings nicht wirklich räumlich -> visual cluttering 

- Wireframe-Darstellung mit Darstellung nur der wirklich 

sichtbaren Kanten führt zu sog. hidden-line-Algorithmen, 

die absolut nicht mehr trivial sind – man muss sich nun um 

die Sichtbarkeit / die Visibilität Gedanken machen! 



§4-18 

4-9



Ziel der Visibilitätsverfahren ist die möglichst exakte Bestimmung 

der von einem gegebenen Blickpunkt aus sichtbaren bzw. unsichtbaren 

Teile der darzustellenden Szene. 

Wünschenswert ist eine hohe Interaktionsrate, so dass Eingaben 

des Benutzers sich direkt auf die Darstellung auswirken. Im 

günstigsten Falle ist sogar eine Echtzeitausgabe der Szene 

möglich. 

Einteilung der Verfahren: 

- Objektraumverfahren 

geräteunabhängig, Genauigkeit ist Maschinengenauigkeit 

- Bildraumverfahren 

geräteabhängig, Genauigkeit ist Auflösung des Ausgabegerätes 



§4-19 



Unsichtbarkeit bzw. Verdeckungen treten auf, wenn bei der 

Projektion der dreidimensionalen Szene auf die Bildebene 

unterschiedliche Objektteile auf dieselbe Stelle abgebildet werden. 

Sichtbar sind diejenigen Objektpunkte, die dem Auge des Betrachters 

am nächsten gelegen sind. Daher ist bei der Darstellung nicht 

nur die (x, y)-Koordinate in der Bildebene zu berücksichtigen, 

sondern auch die Tiefenrelation der Szene (z-Koordinate). 

Bem.: 



§4-20 

4-10


Begriff: Kohärenz 

„Ausnutzung lokaler Ähnlichkeiten“ 


Beispiele: 

- Flächenkohärenz: 

Eigenschaften benachbarter Punkte auf einer Fläche 

ändern sich oft nur unwesentlich, 

z. B. Farbe 

- Tiefenkohärenz: 

Die Tiefe z(x,y) auf einer Fläche kann oft inkrementell 

berechnet werden 



§4-21 


Back-Face-Culling 


Die Entfernung verdeckter Flächen und Linien kann sehr 

aufwendig sein. Es erweist sich daher als günstig, mit einem 

möglichst einfachen Test das Problem möglichst stark zu 

vereinfachen, bevor kompliziertere Verfahren eingesetzt 

werden. 

Einen ebenso einfachen wie wirkungsvollen Ansatz stellt 

das Back-Face-Culling dar: 

In Abhängigkeit von der Position des Betrachters werden die 

Rückseiten undurchsichtiger Körper entfernt, da diese naturgemäß 

nicht sichtbar sind. Wir entscheiden auf Grund der 

Normalen, welche Polygone von uns „wegsehen“, diese werden 

nicht mehr dargestellt! 



§4-22 

4-11



Back-Face-Culling (cont.) 

Klassifikation der Rückseiten: 

- es werden die Normalenvektoren N i aller Flächen betrachtet 

- bei einer Vorderseite enthält der Normalenvektor N i eine 

Komponente in Blickrichtung, d. h. es gilt für das Skalarprodukt 

aus Vektor zum Augpunkt (viewing vector) v und N i : v⋅ 

N > 0 

i 

hier: Parallelprojektion N 3 N 4 

v⋅ 

N > 0 

1 

v v⋅ 

N > 0 

N 2 

N 5 2 

v⋅ 

N > 0 

3 

N 1 

N 6 

v⋅ 

N 

v⋅ 

N 

v⋅ 

N 

< 

4 

< 

5 

< 

6 

0 

0 

0 



§4-23 


Back-Face-Culling (cont.) 


Eigenschaften: 

- Die Zahl der beim Rendering zu berücksichtigenden Polygone 

wird durch Entfernen der Rückseiten durchschnittlich etwa 

um die Hälfte reduziert. 

- Der Aufwand zur Berechnung des Skalarprodukts ist minimal. 

- Besteht die Szene nur aus einem einzelnen konvexen 

Polyeder, so löst Back-Face-Culling bereits das Visibilitätsproblem. 

Bei konkaven Polyedern oder Szenen, an denen mehrere 

Objekte beteiligt sind, kann es zu Selbst- und / oder 

Fremdverdeckung kommen. Hier werden aufwendigere 

Verfahren benötigt. 



§4-24 

4-12


Bekannte Visibilitätsverfahren: 

- erste Lösung des hidden-line-Problems: Roberts, 1963 

Objektraumverfahren für konvexe Objekte 

- area subdivision (divide-and-conquer): Warnock, 1969 

Ausnutzung von Flächenkohärenz; Quadtrees! 

- sample spans: Watkins, 1970 

Ausnutzung von Rasterzeilenkohärenz 

- depth list: Newell et al., 1972 

Prioritätslistenalgorithmus im Objektraum 


Im Vergleich zum z-Buffer-Algorithmus haben diese Verfahren 

keine sonderlich große Popularität gewonnen. Teilweise blieben 

sie speziellen Verwendungszwecken vorbehalten. 



§4-25 


z-Buffer-Algorithmus (Catmull, 1975) 

- bestimmt Sichtbarkeit von Bildpunkten 

- arbeitet im Bildraum 

- geeignet für die Bildausgabe auf Rastergeräten 


Arbeitsweise: 

Funktional gesehen führt der z-Buffer-Algorithmus innerhalb des 

Bildraums für jeden Bildpunkt eine Suche nach demjenigen 

Polygon durch, in dessen Innern der Punkt liegt und dessen 

zugehöriger z-Wert am größten ist (am weitesten vorne liegt). 

Zur Realisierung wird zusätzlicher Speicher verwendet (der sog. 

z-Buffer), in dem zu jedem Bildpunkt der größte z-Wert gespeichert 

wird, der bisher aufgetreten ist. 



§4-26 

4-13


z-Buffer-Algorithmus (cont.) 


Algorithmus: 

- initialisiere Bildspeicher (frame buffer) mit Hintergrundfarbe 

- initialisiere z-Buffer mit minimalem z-Wert 

- scan-conversion aller Polygone (beliebige Reihenfolge) 

- berechne z-Wert z(x,y) für jedes Pixel (x, y) im Polygon 

- falls z(x, y) größer als der Eintrag im z-Buffer bei (x, y) ist, 

trage Polygonattribute (Farbe) in Bildspeicher bei (x, y) ein 

und setze z-Buffer bei (x, y) auf z(x, y) 

Nach Abarbeitung des Algorithmus enthält der Bildspeicher das 

gewünschte Bild, der z-Buffer dessen Tiefenverteilung. 



§4-27 




Beispiel: 

- z-Werte codiert durch Zahlen: größere Zahl => näher zum Auge 

- initialisiere Z-Buffer mit min. z-Werten 

- addiere ein Polygon mit konstantem z-Wert 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

5 5 5 5 5 5 5 

5 5 5 5 5 5 

5 5 5 5 5 

5 5 5 5 

+ = 

5 5 5 

5 5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

m 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

m 

m 

5 

5 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

5 m 

m m 

m m 

m m 

m m 

m m 

m m 

m m 



§4-28 

4-14



Beispiel: (cont.) 

- addiere ein Polygon, welches das 1. Polygon schneidet 


5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

2 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

3 

2 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

4 3 2 

+ = 

5 4 3 2 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

5 

2 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

5 

5 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

6 

5 

4 

3 

2 

6 

5 

4 

3 

2 

m 

m 

m 

5 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

7 

6 

5 

4 

3 2 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 



§4-29 



Berechnung von z bei Polygonen: 


Zur Berechnung von z(x,y) : Ax+By+Cz+D=0 

Also: z = (-D – Ax – By) / C = z(x, y) 

damit 

z(x+d x ,y) = (-D – A(x+d x ) – By) / C 

= z(x,y) – d x * A/C 

Nur eine Subtraktion notwendig da A/C konstant ist und d x =1! 



§4-30 

4-15




Vorteile: 

+ sehr einfache Implementierung des Algorithmus 

(Soft- und Hardware!) 

+ unabhängig von der Repräsentation der Objekte! 

es muss nur möglich sein, zu jedem Punkt der Oberfläche 

einen z-Wert bestimmen zu können 

+ keine Komplexitätsbeschränkung der Bildszene 

+ keine besondere Reihenfolge oder Sortierung der 

Objekte notwendig (z. B. Tiefensortierung) 



§4-31 



Nachteile: 


- Auflösung des z-Buffers bestimmt Diskretisierung der Bildtiefe, 

z. B. sind bei 20 Bit genau 2 20 Tiefenwerte unterscheidbar – 

problematisch sind weit entfernte Objekte mit kleinen Details 

Hier ist die sinnvolle Wahl der near- und far-clipping-plane 

(begrenzen view frustum!) entscheidend für die Qualität 

des Algorithmus! 

- Es wird ein großer Speicher benötigt – 

Abhilfe durch Zerlegung in Teilbilder oder Streifen möglich 

- Berücksichtigung von Transparenz und Antialiasing 

nur durch aufwendige Modifikationen möglich 



§4-32 

4-16



Scan-Line z-Buffer-Algorithmus 

- Variation des z-Buffer-Algorithmus zur Einsparung 

von Speicher 

- arbeitet auf einer Rasterzeile (z-Buffer der Pixelhöhe 1) 

Vergleich der Vorgehensweisen: 

z-Buffer: 

Initialisierung 

für alle Polygone 

für alle Rasterzeilen im Polygon 

... 

Scan-Line z-Buffer: für alle Rasterzeilen 

Initialisierung 

für alle Polygone 

... 



§4-33 



Strahlverfolgungs-Algorithmus (Ray Tracing / Ray Casting) 

- Ray Casting: Löst die Sichtbarkeit 

- Ray Tracing: Ray Casting + Weiterverfolgung reflektierter bzw. 

gebrochener Strahlen 

(siehe auch „globale Beleuchtungsmodelle“) 

- Bildraumalgorithmus 



§4-34 

4-17



Ray Casting 

- Verfolge (englisch: trace) Strahlen (englisch: ray) vom Augpunkt 

durch alle Pixel der Bildebene 

- Berechne Schnittpunkte mit allen Objekten der Szene 

- Das Objekt mit dem am nahesten gelegenen Schnittpunkt ist 

in diesem Pixel sichtbar 

Eye 

Pixel 



§4-35 



Ray Casting (cont.) 

Beispiel: Schnittpunktberechnung mit einem Polygon 

1. Berechne den Schnittpunkt mit der Ebene, in der das Polygon 

liegt 

2. Teste, ob der Schnittpunkt innerhalb des Polygons liegt 

(Punktklassifizierung). 

Im Falle eines Dreiecks: Summe der Flächeninhalte der Teildreiecke 

p3 

p3 

p1 

p2 

Punkt innerhalb! 

p1 

Punkt außerhalb! 

p2 



§4-36 

4-18




Nachteile: 

- Für jeden Strahl muss jedes Objekt der Szene daraufhin 

getestet werden, ob der Strahl das Objekt schneidet 

- Bei einer Auflösung 1024*1024 mit 100 Objekten in der 

Szene müssen 100 Millionen Schnittpunktberechnungen 

durchgeführt werden! 

- Bis zu 95% der Rechenzeit werden für Schnittpunktberechnungen 

bei typischen Szenen verbraucht! 



§4-37 




Beschleunigungsansätze: 

1. Transformation der Strahlen auf die z-Achse; werden die Objekte 

mit der gleichen Transformation verschoben, so tritt ein 

Schnittpunkt immer bei x=y=0 auf. 

2. Bounding Volumes: komplexe Objekte mit einfacher 

zu testenden Objekten umschließen 

Haben diese Bounding Volumes keinen Schnittpunkt mit einem 

Strahl, so sind auch die darin enthaltenen Objekte nicht auf einen 

Schnittpunkt zu testen. Beispiele: 

3. Vermeidung von unnötigen Schnittpunktberechnungen: 

Hierarchien und Raumteilung 



§4-38 

4-19




Hierarchien: 

- baumartige Strukturen von Bounding Volumes 

- Blätter: Objekte der Szene 

- Innere Knoten: Bounding Volume seiner Kinder 

- schneidet ein Strahl einen inneren Knoten nicht, so kann der 

Strahl auch nicht die Objekte seiner Kinder schneiden 

- Problem: Die Generierung guter Hierarchien ist schwierig. 



§4-39 




Raumteilung: 

- Top-down Ansatz 

- Zuerst wird die Bounding Box der Szene berechnet 

- Anschließend wird diese in (gleich große) Teile unterteilt 

- Jede Unterteilung enthält eine Liste mit allen Objekten, die in der 

Partition komplett oder auch nur teilweise enthalten sind 



§4-40 

4-20




Raumteilung: (cont.) 

- Nur wenn ein Strahl eine Partition schneidet, müssen 

Schnittpunktberechnungen mit den assoziierten Objekten 

durchgeführt werden 



§4-41 



Raumteilung: (cont.) 

- Notwendig: Testen, ob der Schnittpunkt innerhalb 

der Partition liegt! 


Abhilfe: Alle Partitionen solange weiterverfolgen, bis ein 

Schnittpunkt gefunden wird, der innerhalb der Partition liegt. 



§4-42 

4-21


Increasing Reality... 

Was können wir bisher? 

Was fehlt uns noch? 


Farben 

Beleuchtung 

Highlights 

Schatten 

Transparenz 

Reflektionen 

Refraktionen 



§4-43 

4.3 Beleuchtung und Schattierung 

Die Grundbestandteile des Renderprozesses 


Atmosphärische 

Streuung 

Emission 

Reflektion/ 

Transmission/ 

Emission 

Oberfläche 



§4-44 

4-22



Beleuchtung / Lichtquellen 

- Punktlicht: 

Das Licht strahlt von einem Punkt in der Szene gleichmäßig 

in alle Richtungen. 

- Richtungslicht: 

Das Licht strahlt (von einem unendlich weit entfernten 

Punkt aus) in eine bestimmte Richtung. 

- Spotlight: 

Das Licht strahlt in einem Kegel, ausgehend von der 

Kegelspitze. 

- Flächenlichtquellen: 

Weiche Ausleuchtung; technisch realisiert durch Ebenen, Kegel 

oder Zylinder mit „vielen“ Lichtquellen. 



§4-45 



Die Bestimmung der Intensität (Farbe) derjenigen Pixel, auf 

die ein Objekt (z. B. in Form eines Polygons) projiziert wird, 

wird mittels sogenannter Beleuchtungs-, Reflexions- und 

Schattierungsalgorithmen bzw. -modellen durchgeführt. 

Vorsicht vor Begriffswirrwarr in der Literatur!: 

illumination model, lighting model, reflection model, 

shading model 

- mit dem Zusatz local ~ 

Berechnung der Intensität (Farbe) eines Punktes in 

Abhängigkeit von direktem Lichteinfall einer Lichtquelle 

→ z. B. the Phong local reflection model, 

physikalisch basierte Modelle 



§4-46 

4-23


illumination model (cont.) 

- mit dem Zusatz local ~ (cont.) 


direkt 

direkt 

indirekt 

A 

B 



§4-47 


illumination model (cont.) 


mit dem Zusatz global ~ 

Berechnung der Intensität (Farbe) eines Punktes in 

Abhängigkeit von direktem Lichteinfall einer Lichtquelle 

und indirekt einfallendem Licht, d. h. nach Reflexion(en) an 

oder Transmission(en) durch die eigene oder 

andere Oberflächen 

→ z. B. Ray-Tracing-Verfahren, Radiosity-Verfahren 

Globale Beleuchtungsverfahren benutzen oft 

lokale Reflexionsmodelle oder erweitern diese geeignet. 



§4-48 

4-24


shading model 


Grundstruktur in die ein Beleuchtungsmodell „eingebettet“ ist 

Ein Schattierungsmodell bestimmt, wann ein 

Beleuchtungsmodell angewendet wird, z. B. 

Auswertung eines Beleuchtungsmodells für jedes Pixel 

→ z. B. oft bei Ray-Tracing-Verfahren angewendet 

kontra 

Auswertung eines Beleuchtungsmodells für ausgewählte Pixel, 

Farben von „Zwischenpixel“ werden per Interpolation bestimmt 

→ interpolative shading techniques, 

z. B. flat shading, Gouraud shading, Phong shading 



§4-49 


Gängige Praxis-Kombination: 

Weltkoordinaten 


Bildschirmkoordinaten 

local reflection model: 

berechnet die Lichtintensität an 

jedem Punkt P auf der Oberfläche 

eines Objektes 

interpolative shading algorithm: 

interpoliert Pixelintensitäten I 

aus berechneten Lichtintensitäten 

in den Polygonecken 



§4-50 

4-25


Gängige Praxis-Kombination: (cont.) 

Gibt es hier kein Problem? 

- Beleuchtung (und Betrachtung) 

der Szene erfolgt in Weltkoordinaten 

- Interpolation zwischen 

Intensitätswerten erfolgt in Bildschirmkoordinaten 

- Projektionstransformationen sind i. d. R. nicht affin! 



→ wir verwenden beim Interpolationsschema (z. B. linearer 

Interpolation) automatisch „falsche“ Teilverhältnisse in 

Bezug auf das Weltkoordinatensystem! 

Trotz mathematischer Inkorrektheit liefert diese Kombination 

schnelle und akzeptable visuelle Resultate! 




§4-51 

4.4 Lokale Beleuchtungsmodelle 

Geometriebetrachtung: 


„theta“ 

„phi“ 

P 

P Punkt auf Objektoberfläche 

N Flächennormalenvektor in P, normiert 

L Vektor von P zu einer Punktlichtquelle, normiert 

V Vektor von P zum Augpunkt (Viewing), normiert 

φ i , θ i (lokale) sphärische Koordinaten (von L und V) 



§4-52 

4-26



Wiederholung: Reflexionsgesetz, (perfekte) spiegelnde Reflexion 

R 

Vektor des reflektierten Strahls, normiert 

N 

L 

R θ θ R 2 

R 1 

Es gilt: 

R= R2 + R1 

L und R liegen in einer Ebene 

= R2 + R2 − L= 2⋅R2 

−L 

und θ = θ in = θ ref 

= 2( ⋅ LN i ) ⋅N−L 



§4-53 



Wir betrachten zunächst das am häufigsten verwendete 

lokale Beleuchtungsmodell von Phong (Bui-Thong), 1975 

Achtung: Es handelt sich um ein empirisches Modell ohne 

wirkliche physikalische Basis, aber guten praktischen 

Resultaten! 

Das Modell simuliert folgende physikalische Reflexionsphänomene: 

(a) perfekte/vollkommene spiegelnde Reflexion 

Ein Lichtstrahl wird ohne sich aufzustreuen, perfekt nach 

dem Reflexionsgesetz reflektiert. 

Oberfläche: idealer Spiegel, existiert in der Realität nicht 



§4-54 

4-27





§4-55 


Simulierte physikalische Reflexionsphänomene: (cont.) 


(b) unvollkommene spiegelnde Reflexion 

Der Lichtstrahl wird bei der Reflexion „aufgespalten“, 

es entsteht ein Reflexionskegel um die ausgezeichnete 

Reflexionsrichtung. 

Oberfläche: unvollkommener Spiegel, rauhe Oberfläche, 

ein Oberflächenelement ist mikroskopisch aus vielen kleinen 

perfekten Spiegeln mit leicht unterschiedlichen Ausrichtungen 

zusammengesetzt 



§4-56 

4-28


Simulierte physikalische Reflexionsphänomene: (cont.) 

(c) perfekte/vollkommene diffuse Reflexion 

Der Lichtstrahl wird bei der Reflexion perfekt gestreut, 

d. h. mit gleichmäßiger Intensität in alle Richtungen 


Oberfläche: ideale matte Oberfläche, existiert in der Realität 

nicht, annäherungsweise: feine Lage Puder 

Das Phong Beleuchtungsmodell sieht vor, dass 

das reflektierte Licht eines Oberflächenpunktes 

aus drei Anteilen besteht, die linear kombiniert werden: 

reflected light = diffuse component + specular component 

+ ambient light 



§4-57 



ambient light: eine Hilfskonstruktion! 

Der ambiente Teil wird oft konstant gewählt und simuliert 

die globale bzw. die indirekte Beleuchtung! Dies ist notwendig, 

da einige Objekte die Lichtquelle(n) nicht sehen und somit 

in dem Modell schwarz dargestellt würden. In der Realität 

werden solche Objekte aber indirekt beleuchtet. 

Hier wird durch das simple Addieren einer Konstante 

eine sehr komplexe globale Beleuchtungsberechnung ersetzt. 

Welchen Typ von Oberflächen beschreibt nun das Modell? 

Die lineare Kombination von diffuser und spiegelnder Reflexion 

entspricht zum Beispiel der Physik polierter Oberflächen, 

z. B. poliertem Holz (transparente Schicht: spiegelnd, Oberfläche: diffus) 



§4-58 

4-29


Polierte Oberflächen: 




§4-59 


Das mathematische Modell: (ohne Farbe) 

I = kd ⋅ Id + ks⋅ Is + ka⋅Ia 


Die Physik der Oberfläche wird über die Verhältnisse der 

einzelnen Komponenten modelliert. Für diese Konstanten gilt: 

kd + ks + ka 

= 1 

- Diffuse Reflexion, der Term k ⋅ I : 

I = I ⋅cosθ 

d 

i 

mit 

I i Intensität des einfallenden Lichts 

θ Winkel zwischen Punktnormale N und Lichtvektor L 

d 

d 



§4-60 

4-30


- Diffuse Reflexion: (cont.) 

also 

I = I ⋅( LiN) 

d 

i 


Die diffuse Komponente des 

Phong-Modells modelliert 

das Kosinusgesetz von Lambert: 

Bei ideal diffusen (matten) 

Oberflächen ist die Intensität des 

(in alle Richtungen gleich) reflektierten 

Lichtes eine Funktion des Kosinus 

zwischen Oberflächennormale 

und Lichtvektor. 



§4-61 



- Spiegelnde Reflexion, der Term ks 

⋅ Is 

: 

Physikalisch gesehen besteht die spiegelnde Reflexion 

aus einem Abbild der Lichtquelle, das über einen Teil 

der Oberfläche „geschmiert“ ist - üblicherweise als 

Highlight bezeichnet. 

Ein Highlight kann vom Betrachter nur gesehen werden, 

wenn seine Betrachtungsrichtung (V) nahe der 

Reflexionsrichtung (R) liegt. Dies wird simuliert durch: 

n 

Is 

= Ii⋅cos ( Ω) 

mit 

Ω Winkel zwischen V und R 

n simuliert Perfektionsgrad der Oberfläche 

(n→∞ heißt perfekter Spiegel, d. h. reflektiertes Licht 

nur in Richtung R) 



§4-62 

4-31


- Spiegelnde Reflexion: (cont.) 


n 

also I = I ⋅cos ( Ω) 

s 

i 

n=1 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

n=5 

n=10 

n=50 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 



§4-63 


- Spiegelnde Reflexion: (cont.) 

also 

I = I ⋅( RiV) 

n 

s 

i 


Bemerkung: 

Für verschiedene L entsteht 

(bis auf die Ausrichtung um R) 

immer der gleiche Reflexions- 

Intensitätskegel. 

Dies entspricht nicht der realen 

Abhängigkeit von Spiegelungen 

von der Ausrichtung des Lichtvektors! 

Gravierender Mangel des Models! 



§4-64 

4-32


Das Gesamtmodell: 

I = k ⋅ I + k ⋅ I + k ⋅I 

d d s s a a 

n 

= I ⋅( k ⋅ ( LiN) + k ⋅ ( RiV) ) + k ⋅I 

i d s a a 


im 2D-Schnitt: 



§4-65 


Beispiel: 

k a 

konstant 

zunehmendes k s 


zunehmendes n 



§4-66 

4-33


Bemerkung: 


Aus Geschwindigkeitsgründen stört im bisherigen mathematischen 

Modell die Berechnung des Reflexionsvektors R. 

Man definiert einen neuen Vektor H (halfway), 

mit der Richtung H=(L+V)/2, 

und betrachtet statt R·V jetzt N·H, 

das sich „auf die gleiche Art und Weise 

wie R·V verhält“. 

Damit ergibt sich: 

I = I ⋅( k ⋅ ( LiN) + k ⋅ ( NiH) n ) + k ⋅I 

i d s a a 



§4-67 



Das mathematische Modell: (mit Farbe) 

Für farbige Objekte (Lichtquellen) wird das Modell getrennt 

auf die Farbkomponenten I r , I g , I b angewendet: 

n 

Ir = Ii⋅( kdr ⋅ ( LiN) + ksr ⋅ ( NiH) ) + kar ⋅Ia 

n 

Ig = Ii⋅( kdg ⋅ ( LiN) + ksg ⋅ ( NiH) ) + kag ⋅Ia 

n 

I = I ⋅( k ⋅ ( LiN) + k ⋅ ( NiH) 

) + k ⋅I 

b i db sb ab a 

mit 

k dr , k dg , k db 

k sr , k sg , k sb 

k ar , k ag , k ab 

modellieren die Farbe des Objektes 

modellieren die Farbe der Lichtquelle 

(für weißes Licht ist k sr = k sg = k sb ) 

modellieren die Farbe des Umgebungslichtes 



§4-68 

4-34


Bemerkungen: 


- Das Beleuchtungsmodell nach Phong ist kein Versuch, 

optische Gesetze physikalisch exakt zu modellieren. 

Das Modell ist empirisch! 

- Die lokale Beleuchtung ist schnell zu berechnen, die Bilder 

sind gut. 

- Außer der Normaleninformation werden keine weiteren 

Geometrie-Informationen verwendet! 

- Diffuser und spiegelnder Anteil werden lokal berechnet. 

- Die Farbe des spiegelnden Anteils wird durch die Farbe 

der Lichtquelle bestimmt (bzw. über die der Lichtquelle 

zugeordneten Konstanten k sr , k sg , k sb ). 



§4-69 


Bemerkungen: (cont.) 


- Gravierende Mängel des Modells: 

Die Intensität der spiegelnden Reflexion hängt 

nicht wirklich von der Ausrichtung des Lichtvektors ab! 

Objektoberflächen wirken „plastikhaft“, 

zum Beispiel lässt sich kein blankes Metall modellieren. 

→ 

physikalisch basierte lokale Beleuchtungsmodelle, 

die versuchen die BRDF korrekt zu simulieren, 

z. B. Cook-Torrance oder Blinn (hauptsächlich für Metalle!) 

oder 

gänzlich andere Techniken, wie z. B. Mapping-Verfahren 



§4-70 

4-35



BRDF (bi-directional reflection distribution function): 

Allgemein wird das von einem Punkt einer Oberfläche 

reflektierte Licht durch eine BRDF beschrieben. 

Die Bezeichnung betont insbesondere die Abhängigkeit 

des in einer beliebigen Richtung reflektierten Lichts von 

der Richtung des einfallenden Lichts. 

Sind die Richtungen von L und V gegeben, 

so wird der Zusammenhang zwischen 

den Intensitäten also durch eine 

BRDF = f ( θ , φ , θ , φ ) = f( L, V) 

beschrieben. 

in in ref ref 



§4-71 



BRDF: (cont.) 

In der Praxis fällt natürlich an einem 

Oberflächenpunkt Licht von mehr 

als einer Richtung ein. 

Das gesamte resultierende reflektierte Licht muss dann 

mittels Integration über die Hemisphäre gewonnen werden. 

Fragestellungen: 

- Wie gewinnt man BRDFs? 

→ z. B. Messung, Modelle 

- In welcher Feinheit repräsentieren man BRDFs? 

→ Heuristiken falls keine geschlossene Form 

- Wie speichert und verarbeitet man effizient BRDFs? 

→ z. B. Matrizen 



§4-72 

4-36


BRDF: (cont.) 

Darstellung von (nach einem Modell von Blinn (1977)) 

erzeugten BRDFs für zwei verschiedene Richtungen 

des einfallenden Lichtes: 




§4-73 


Nachteile „rein“ lokaler Beleuchtungsmodelle: 


- spiegeln Idealfall eines einzelnen von einer einzigen 

Punktlichtquelle beleuchteten Objektes in der Szene wider 

- betrachten ausschließlich direkte Beleuchtung 

(bis auf Hilfskonstruktionen) 

- Interaktion mit anderen Objekten nicht modelliert 

(d. h. keine indirekte Beleuchtung, kein Schattenwurf!) 

→ globale Beleuchtungsverfahren 



§4-74 

4-37

4.5 Interpolative Schattierungstechniken 

Wie wird nun die Auswertung eines Beleuchtungsmodells 

bei einem Objekt zur Bestimmung der Lichtintensität 

auf dessen Oberfläche angewendet? 


Wir setzen im Folgenden eine polygonale 

Objektrepräsentation, also eine facettierte 

Darstellung, voraus. 



Man beachte die Unterscheidung 

zwischen (dreidimensionalem) 

Objektraum und (zweidimensionalem) 

Bildraum! 



§4-75 



Flat Shading 

Pro Polygon / Facette wird das verwendete Beleuchtungsmodell 

genau einmal in einem ausgewählten Oberflächenpunkt 

ausgewertet. Die dort ermittelte Lichtintensität wird auch allen 

weiteren Punkten der Polygonoberfläche zugewiesen. 

Grundlage der Berechnung ist die Polygonnormale oder Flächennormale 

((sur)face normal) im Objektraum. 

(hier z. B. N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , ...) 

Als ausgewählte Punkte werden z. B. die 

Polygonschwerpunkte oder der Einfachheit 

wegen Polygoneckpunkte gewählt. 



§4-76 

4-38


Flat Shading (cont.) 

- einfaches, kostengünstiges Verfahren, 

Interpolation findet nicht statt 

- Kanten in Polygonnetzen bleiben bei 

der Darstellung sichtbar, 

Objekte werden facettiert dargestellt, 

unstetiger Intensitätsverlauf 

über die Polygonkanten 

- „runde“ Objekte nur durch extrem 

hohe Polygonanzahl, geht dies auch anders? 

- Anwendung für Voransicht, 

Entwurfsansicht, aber auch 

Mobile Computing und Visualization 




§4-77 



Gouraud and Phong Shading 

Beide Verfahren versuchen mittels Interpolation die Kanten 

zwischen einzelnen Polygonfacetten in Polygonnetzen 

zu glätten bzw. ganz zum Verschwinden zu bringen. 

(Bem.: Das Polygonnetz soll die Approximation einer 

gekrümmten Oberfläche darstellen) 

Grundlage der Berechnung sind 

die Eckpunktnormalen (vertex normals) 

in den gemeinsamen Polygoneckpunkten. 

(hier z. B. N A 

, ...) 

Eine Eckpunktnormale entsteht aus (gewichteter) Mittelung der 

Polygonnormalen aller angrenzenden Polygone mit dem 

entsprechenden gemeinsamen Eckpunkt. (Normalisierung nicht vergessen!) 



§4-78 

4-39



Gouraud and Phong Shading (cont.) 

Beide Verfahren bedienen sich einer bilinearen Interpolation 

im Bildraum: 

Werte einer Größe im Innern (und auf dem Rand) eines Polygons 

werden aus den Werten der Größe in den Eckpunkten 

des Polygons (i. A. bezüglich des Objektraums ermittelt) 

mittels zweifacher linearer Interpolation 

P 1 

(x 1 

,y 1 

) 

im Bildraum bestimmt. 

Effiziente Implementierungen 

arbeiten Scanlineweise und 

inkrementell. 

P 2 

(x 2 

,y 2 

) 

P a 

(x a 

,y s 

) 

P s 

(x s 

,y s 

) 

P 3 

(x 3 

,y 3 

) 

P b 

(x b 

,y s 

) 

P 4 

(x 4 

,y 4 

) 



§4-79 



Gouraud and Phong Shading (cont.), (bilineare Interpolation) 

0. Schritt: Werte W(P 1 ), W(P 2 ), W(P 3 ), W(P 4 ) bestimmen 

1. Schritt: Schnittpunkte Scanline-Polygonkanten 

P a , P b bestimmen 

2. Schritt: Werte W(P a ), W(P b ) bestimmen 

WP ( ) = 

1 

⋅( WP ( )( ⋅ y− y) + WP ( )( ⋅ y−y)) 

y − y 

a 1 2 s 2 s 1 

2 1 

WP ( ) = 

1 

⋅( WP ( )( ⋅ y− y) ( )( )) 

b 

1 4 s + WP ⋅ y 

4 s−y 

y − y 

1 

4 1 

3. Schritt: Wert W(P s ) bestimmen 

1 

W( Ps ) = ⋅( W( Pa)( ⋅ xb 

− xs) + W( Pb)( ⋅ xs −xa)) 

x − x 

b 

a 

P 2 

(x 2 

,y 2 

) 

P a 

(x a 

,y s 

) 

P s 

(x s 

,y s 

) 

P 1 

(x 1 

,y 1 

) 

P 3 

(x 3 

,y 3 

) 

P b 

(x b 

,y s 

) 

P 4 

(x 4 

,y 4 

) 



§4-80 

4-40



Gouraud Shading 

Die Auswertung des Beleuchtungsmodells erfolgt 

ausschließlich in den Polygoneckpunkten 

unter Ausnutzung der Eckpunktnormalen. Mittels Interpolation 

folgt die Berechnung der Intensitätswerte projizierter 

innerer Polygonpunkte. 



§4-81 


Gouraud Shading (cont.) 

- Kanten in Polygonnetzen werden geglättet, 

der Intensitätsverlauf über die Polygonkanten 

ist stetig, aber nicht wirklich glatt 

→ Anfälligkeit des Verfahrens 

für Mach-Band-Effekte 

- Verfahren kann Highlights nicht angemessen 

darstellen: diese können nur entstehen, falls 

die Betrachtungsrichtung nahe der Reflexionsrichtung 

liegt; das Beleuchtungsmodell wird 

aber nur in den Eckpunkten ausgewertet 




§4-82 

4-41


Gouraud Shading (cont.) 

→ Highlights werden durch Abtastfehler 

„verschluckt“ 

→ gängig: Kombination von Gouraud Shading 

und Beleuchtungsmodell mit ausschließlich 

diffuser Reflexionskomponente 


Bemerkung: 

Gouraud Shading wird als Standard- 

Schattierungsverfahren von heutiger 

Graphikhardware effizient umgesetzt. 



§4-83 


Phong Shading 


Die Auswertung des Beleuchtungsmodells erfolgt 

für jeden projizierten Punkt der Polygonoberfläche. 

Die Oberflächennormalen in den einzelnen Polygonpunkten 

werden mittels Interpolation aus den Eckpunktnormalen 

ermittelt. (Normalisierung nicht vergessen!) 



§4-84 

4-42


Phong Shading (cont.) 

- Intensitätsverlauf über die Polygonkanten 

ist stetig und glatt; das Erscheinungsbild 

der realen, gekrümmten Oberfläche wird 

durch die Wahl der interpolierten Normalen 

gut angenähert 

- äußerst rechenaufwendiges Verfahren! 

- Highlights werden adäquat dargestellt 

Bemerkung: 

Phong Shading wird von heutiger 

high-end Graphikhardware unterstützt. 




§4-85 


Flat, Gouraud und Phong Shading im Vergleich 




§4-86 

4-43


Bemerkung: 


Was muss beachtet werden, wenn bei der Anwendung von 

Gouraud oder Phong Shading Polygonkanten explizit als Kanten 

sichtbar bleiben sollen? 

→ von der räumlichen Position gemeinsame Polygoneckpunkte 

und –kanten müssen für die beteiligten Polygone explizit 

separat gespeichert werden 

→ enge Verknüpfung und Abhängigkeit zwischen der 

Schattierungstechnik und der Polygonalisierung bzw. 

der Triangulierungsmethode für das Objekt! 

(hier treten i. d. R. in der Praxis beim Datentransfer zwischen 

Visualisierungssystemen ungeahnte Schwierigkeiten auf!) 



§4-87 


Beispiel: Wireframe-Darstellung 




§4-88 

4-44


Beispiel: ausschließlich ambiente Beleuchtung 




§4-89 


Beispiel: Flat Shading 




§4-90 

4-45


Beispiel: Gouraud Shading (ambiente, diffuse Beleuchtung) 




§4-91 



Beispiel: Gouraud Shading (ambiente, diffuse, spiegelnde Beleuchtung) 



§4-92 

4-46



Beispiel: Phong Shading (ambiente, diffuse, spiegelnde Beleuchtung) 



§4-93 

4.6 Das Auge isst mit... 


Bevor wahrgenommene visuelle Impulse vom zuständigen 

Teil im Gehirn verarbeitet werden, unterliegen die 

Intensitätsinformationen im Auge einer Art Vorverarbeitung. 

Wie reagieren nun die Lichtrezeptoren im Auge auf 

Unterschiede einfallender Lichtintensität? 

Lechners Gesetz 

Die Beziehung zwischen der ins Auge einfallenden Lichtintensität 

und der vom Auge wahrgenommenen Lichtintensität ist nicht 

linear, sondern annähernd logarithmisch. 



§4-94 

4-47


Lechners Gesetz (cont.) 


Folgerung: 

Kleine Helligkeitsunterschiede 

in dunklen Regionen sind 

besser wahrnehmbar als 

vom Betrag her identische 

Helligkeitsunterschiede 

in hellen Regionen. 



§4-95 


Lechners Gesetz (cont.) 

Anwendung: Helligkeitsverläufe / Farbverläufe 


Intensitätssteigerung in äquidistanten 

Schritten von 12,5% bezogen auf die 

einfallende Intensität (von 0% bis 100%) 

→ Helligkeitssprung in dunkler Region 

ist deutlicher als gleiche Sprünge 

in heller Region 

→ große Unterschiede zwischen wahrgenommenen 

Intensitätssprüngen 

Intensitätssteigerung in äquidistanten 

Schritten bezogen auf die 

wahrgenommene Intensität 

→ Wahrnehmung nahezu 

äquidistanter Intensitätssprünge 



§4-96 

4-48



Mach Band-Effekt 

Die Interaktion der Lichtrezeptoren im Auge betont „scharfe“ 

Intensitätsänderungen. 

Sobald das Auge bei der einfallenden Intensität solche 

Änderungen feststellt, addiert es zusätzlich Unterschwinger 

und Überschwinger zur wahrgenommenen Intensität, die 

den Übergang zusätzlich betonen. 

Dieser unbewußte Mechanismus der Kantenbetonung 

bei Intensitätsübergängen verhilft unserer visuellen Wahrnehmung 

zu einer automatischen Konturenschärfe. 



§4-97 


Mach Band-Effekt (cont.) 

Beispiel: 




§4-98 

4-49



Beim Rendering ist die automatische Kantenbetonung bei 

Intensitätsänderungen störend und kann lediglich durch 

möglichst glatte Intensitätsübergänge reduziert werden. 

Flat Shading: 

unstetige Intensitätswechsel, sehr starke Mach Band-Effekte 

Gouraud Shading: 

stetige Intensitätswechsel, trotzdem abhängig von der 

Polygonalisierung starke Mach Band-Effekte 


Phong Shading: 

glatte Intensitätswechsel reduzieren Mach Band-Effekte erheblich 



§4-99 



Entstehung von Mach Band-Effekten 

beim Gouraud Shading: 




§4-100 

4-50

4.7 Globale Beleuchtungsmodelle 


Erinnerung: 

- Ein lokales Beleuchtungsmodell berücksichtigt nur das direkt 

einfallende Licht einer Lichtquelle 

- Nur lokale Beleuchtung + konstante ambiente 

Beleuchtung, um reflektiertes und gebrochenes Licht zu 

simulieren 

Besser: Globale Beleuchtung 

- sowohl das direkt einfallende Licht als auch reflektiertes und 

gebrochenes Licht wird in dem zu schattierenden Punkt 

berücksichtigt 



§4-101 


Zwei Ansätze: 


- Ray Tracing: 

- Ray Casting + Strahlverfolgung für reflektierte und 

gebrochene Strahlen, Schattenberechnung 

- abhängig vom Augpunkt 

- Radiosity: 

- Trennung von Sichtbarkeitstests und Schattierung 

- Alle Interaktionen des Lichts mit den Objekten der Szene 

werden vorberechnet 

- unabhängig vom Augpunkt 



§4-102 

4-51



Ray-Tracing: Funktionsprinzip 

- „backward ray-tracing“ (auch „Whitted ray tracing“): 

Da die meisten Lichtstrahlen das Auge nicht treffen, verfolgt 

man die Strahlen rückwärts vom Auge zur Fläche und dann 

zu den einzelnen Lichtquellen und weiteren Flächen. 

- Die Strahlen werden von jedem Pixel ausgehend zurück 

in die Szene verfolgt und bei jedem Schnittpunkt mit 

einem Objekt werden die direkten sowie die reflektierten 

und transmittierten Lichtanteile bestimmt. 

- Die auftretende Verzweigungsstruktur impliziert 

eine Baumstruktur! 



§4-103 


Ray-Tracing: 

Rekursive Strahlverfolgung 

R 3 


pixel 

opaque object 

surface normal 

initial ray 

R 1 

L 3 

light rays / 

L 1 shadow rays 

L 4 

T 4 

R 4 

T 1 

R 2 

light 

eye 

semi-transparent object 



§4-104 

4-52



Ray-Tracing: 

Darstellung als Baum 

eye 

L 1 

L 4 

§4-106 

R 

T 1 1 

R 2 T 4 

R 4 

R 3 



§4-105 



Ray-Tracing: Rekursive Strahlverfolgung 

Abbruch der rekursiven Strahlverfolgung, wenn 

- reflektierte und gebrochene Strahlen kein Objekt mehr 

schneiden oder 

- die Strahlenergie unter ein vorgegebenes Kriterium fällt oder 

- eine vorgegebene maximale Baumtiefe (Rekursionstiefe) 

erreicht ist oder 

- nicht mehr genügend Speicher zur Verfügung steht ☺ 

Bemerkung: 

Der Rechenaufwand des Verfahrens hängt stark von der Komplexität 

und Beschaffenheit der betrachteten Szene ab! 

Erst Raumteilungsverfahren, wie die Octree-Technik, machen 

Ray-Tracing-Verfahren überhaupt praktikabel. 



4-53


Ray-Tracing: Schatten 

- Verfolge einen Strahl von einem gefundenen 

Schnittpunkt zu allen Lichtquellen. 


- Schneidet einer dieser Strahlen ein Objekt, dann liegt der 

Schnittpunkt im Schatten dieser Lichtquelle. 

- Den direkten Lichtstrahl zwischen 

einem Oberflächenpunkt und 

einer Lichtquelle nennt man 

Schattenfühler (shadow ray, 

shadow feeler, light ray). 

L 2 

L1 

P 2 

, 

P 1 

, 



§4-107 


Ray-Tracing: Historie 




§4-108 

4-54



Ray-Tracing: Distributed Ray-Tracing 

In der Realität sind Spiegelungen nie ohne Schleier, denn kein 

Spiegel ist ganz eben und spiegelt zu 100%. 

Distribution Ray-Tracing ermöglicht die Erzeugung realistisch 

unscharfer Effekte beim Ray Tracing. Es wird nämlich nicht nur ein 

Strahl mit der Szene geschnitten, sondern auch andere Richtungen 

werden berücksichtigt und anschließend die Werte gemittelt. 



§4-109 




- Von vielen Strahlen gehen die meisten in die ausgezeichnete 

Reflexionsrichtung und einige brechen aus. Die Verteilung 

sieht dann „birnenförmig“ aus. 



§4-110 

4-55




- Ein ähnliches Bild ergibt sich auch bei der Strahlbrechung. 

- Durch stochastische Verteilung über die möglichen 

Reflexions- bzw. Brechungsrichtungen und Mittelwertbildung 

erhält man eine realistische Annäherung der Situation. 



§4-111 



Ray-Tracing: Distributed Ray-Tracing - Flächige Lichtquellen 

Eine zusätzliche Erhöhung der „Realistik“ ergibt sich, wenn man 

von der Annahme punktförmiger Lichtquellen abgeht. Um dies 

darstellen zu können, werden viele Strahlen in Richtung einer 

Lichtquelle gelegt. 

Mittels einer geeigneten stochastischen Verteilung der Strahlen 

lassen sich realistische Halbschatten erzeugen. 



§4-112 

4-56



Ray-Tracing: Distributed Ray-Tracing – Blendentechnik 

Photorealistische Bilder entstehen durch Simulation der Blendenöffnung 

der Kamera. 

Ein Punkt außerhalb der Schärfeebene wird verschwommen 

erscheinen. Man erreicht dies durch korrekte Berechnung der 

Linsenbrechung und stochastischer Verteilung der Strahlen über 

der Linsenoberfläche. 



§4-113 


Ray-Tracing: Adaptives Supersampling 


adaptive supersampling begins 

at each pixel by tracing 

the four corner rays and 

the center ray 

Liegen die Werte pro Pixel zu sehr auseinander, so unterteile und 

starte das Verfahren erneut. 



§4-114 

4-57



Ray-Tracing: Stochastic Ray-Tracing 

Loslösung von der starren Unterteilung und stochastisches 

Vorgehen, z. B. beim Supersampling: 



§4-115 



Ray-Tracing – Eigenschaften 

+ Der physikalische Vorgang der Beleuchtung (Strahlengang) 

wird sehr gut simuliert 

+ hervorragend für Spiegelungen geeignet 

+ Das Sichtbarkeitsproblem wird automatisch gelöst 

+ große Wirklichkeitsnähe 

- nicht wirklich für diffuse Reflektion geeignet 

- erzeugt „harte“ Bilder 

- sehr großer Rechenaufwand 

- Schnittpunktberechnung sehr aufwendig 

- Anfälligkeit für numerische Probleme 



§4-116 

4-58



Radiosity 

- Berücksichtigt die Ausbreitung des Lichts unter Beachtung des 

Energiegleichgewichts in einem geschlossenen System 

- Für jede Fläche wird die ausgesandte oder reflektierte 

Lichtmenge bei allen anderen Flächen berücksichtigt 

- Zur Berechnung der auf eine Fläche einfallenden Lichtmenge 

werden benötigt: 

- die vollständigen geometrischen Informationen über die 

gegenseitige Lage aller strahlenden, reflektierenden und 

transparenten Objekte 

- die lichttechnischen Kenngrößen aller Körper 



§4-117 



Radiosity 

Durch diffuse Objekt-zu-Objekt-Reflexionen entsteht ein stark 

unterschiedlicher Lichteinfall des indirekten Lichts. Dies ist speziell 

für die Innenarchitekturbilder von Bedeutung. Physikalisch exakt 

werden diese Beziehungen durch eine Integralgleichung des 

folgenden Typs beschrieben: 

Radiosity 

= 

∫∫ 

( φ, φ2 ) dφ, 

φ2 

R = E + w H d 

Die Szene wird nun zunächst einmal in Patches gleicher Intensität 

diskretisiert. (d.h. Flächenstücke, auf denen R gleich ist) 



§4-118 

4-59



Radiosity 

Das Energiegleichgewicht für die Fläche A i wird beschrieben durch: 

R i = E i + w i ∑ n J=1 R J F iJ , 1


Radiosity: Darstellung einer Szene 


1. Berechnung der Strahlungswerte R i für alle Flächen A i 

2. Abbildung der Szene und Bestimmung der sichtbaren Teile 

3. Berechnung der Farbe für jedes Pixel 

Bemerkungen: 

- Für verschiedene Ansichten müssen nur der 2. und der 3. 

Schritt wiederholt werden 

- Schritt 3 kann durch lineare Interpolation entlang der Scanline 

beschleunigt werden 

- Für Schritt 1 müssen vor der Lösung des Gleichungssystems 

die Formfaktoren F ij berechnet werden! 



§4-121 


Radiosity: Berechnung der Formfaktoren 


Der Formfaktor zwischen einem differentiellen Flächenstück dA i 

und dA j der Patches A i und A j ergibt sich zu: 

dF 

cosθ 

cosθ 

= 

b dA 

π r 

i j 

didj 2 ij j 

b ij : Blockierungsfunktion 

(1: dA j sichtbar von dA i , 0 sonst) 

Der Formfaktor von A i zu A j ergibt sich aus: 

F 

1 

= ∫∫ 

cosθ 

cosθ 

bdAdA 

i j 

ij 2 ij j i 

Ai π r 

Ai 

Aj 



§4-122 

4-61


Radiosity: Berechnung der Formfaktoren 

Analytische und approximative Berechnungsmethoden: 


Hemisphere, Nusselt ´81 Hemicube, Cohen ´85 

Der Formfaktor FiJ gibt an, 

welcher Anteil der über 

dem i-ten Patch liegenden 

Hemisphäre vom j-ten 

Patch bedeckt wird. 



§4-123 


Radiosity: Substructuring 


Bemerkung: 

Je feiner die Patch-Aufteilung der Szene (n Stück) ist, desto besser 

sind die Ergebnisse. Allerdings steigen Anzahl der Formfaktoren 

mit n 2 und die Größe des Gleichungssystems mit n. 

Zusätzlich gilt der Übergang von der Integralgleichung zum 

linearen Radiosity-Gleichungssystem nur für konstante Radiosity 

pro Patch => Patch-Unterteilung notwendig falls Gradient zu hoch! 



§4-124 

4-62

4.8 Rendering-Pipelines 

Genereller Aufbau: 

front-end 

(geometry 

processing) 

back-end 

(rasterization) 


Display 

traversal 

Modeling 

transformation 

Viewing 

operation 

visible-surface determination 

scan conversion 

shading 

image 

scene model / 

scene graph 



§4-125 


Beispiel: Lokales Beleuchtungsmodell 

hier: 


db 

traversal 

modeling 


display 



§4-126 

4-63


Beispiel: Lokales Beleuchtungsmodell 

hier: 


db 

traversal 

modeling 


trivial 

accept / reject 

display 



§4-127 


Beispiel: Globales Beleuchtungsmodell 

hier: 


db 

traversal 

modeling 


trivial 

accept / reject 

viewing 


clipping 

rasterization 

display 



§4-128 

4-64


Beispiel: Globales Beleuchtungsmodell 

hier: 


db traversal 

modeling 


display 



§4-129 

4-65

Kapitel 4 - Rendering und VisibilitÃ¤t - ICSY

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