Aufgabe 1
Aufgabe 1
Aufgabe 1
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TM II SS 11<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
<strong>Aufgabe</strong> 1<br />
a) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für Stab 1, 2 und Stab 3 und berechnen Sie<br />
die Winkelgeschwindigkeit ω 3 des dritten Stabes für die gezeichnete Lage.<br />
l<br />
2<br />
l<br />
1<br />
ω 1<br />
3<br />
30°<br />
Gegeben: l, ω 1 .<br />
b) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für Stab 1 und Stab 2 und berechnen Sie<br />
die Geschwindigkeit vom Mittelpunkt des zweiten Stabes für die gezeichnete<br />
Lage.<br />
e x<br />
A<br />
v<br />
2<br />
e z<br />
l<br />
1<br />
l<br />
l<br />
l<br />
c) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für die Scheibe 1 und den Stab 2 und berechnen<br />
Sie die Geschwindigkeit des Eckpunktes der Scheibe für die gezeichnete<br />
Lage.<br />
l<br />
l<br />
A<br />
2<br />
l<br />
1<br />
ω<br />
Gegeben: l, ω.<br />
45°
TM II SS 11<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
<strong>Aufgabe</strong> 2<br />
Das skizzierte Rollensystem befördert die Masse<br />
nach oben und bleibt dann stehen. Dazu wird<br />
ein Seil von der Kabelrolle mit der Geschwindigkeit<br />
– , . <br />
gezogen. (reines Rollen). Zum Zeitpunkt 0<br />
befindet sich die Masse auf dem Boden.<br />
a) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeiten<br />
ω und ω sowie die Geschwindigkeit<br />
der Masse in Abhängigkeit von<br />
und .<br />
b) Wie müssen die Radien und in Abhängigkeit<br />
von r 1 gewählt werden, damit<br />
gilt: ?<br />
c) Bestimmen sie so, dass die Masse nach Anheben<br />
um die Höhe h zum Stillstand kommt.<br />
d) Bestimmen Sie die Seilkraft zwischen m 3 und der freien Rolle für 0.<br />
Gegeben: a 0 , g , h , r 1 , r 2 , R 1 , v 0 .<br />
V(t)<br />
reines<br />
Rollen<br />
r 1<br />
ω 1<br />
g<br />
R 1<br />
x 3<br />
ω 2<br />
r 2<br />
m 3<br />
h<br />
<strong>Aufgabe</strong> 3<br />
Ein Motorrad fährt eine den Winkel α geneigte<br />
Fahrbahn hinauf. Am Hinterrad wirkt ein<br />
konstantes Moment . Die Räder bewegen sich<br />
rein rollend. Das Fahrzeug befindet sich zu Beginn<br />
in Ruhe.<br />
g<br />
M 0<br />
θ 1 , r 1<br />
Berechnen Sie<br />
a) Die Geschwindigkeit als Funktion des Weges<br />
v ( x)<br />
= x&<br />
( x)<br />
,<br />
b) Die Beschleunigung als Funktion der Zeit & x&(t ) und<br />
c) Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit x& (t)<br />
.<br />
θ 2 , r 2<br />
Verwenden Sie zur Lösung dieser <strong>Aufgabe</strong> den Arbeitssatz.<br />
α<br />
Gegeben: , , , α, Θ , Θ , .<br />
(Gesamtmasse aus der Masse des Motorrades, des Fahrers und der Räder)
TM II SS 11<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
<strong>Aufgabe</strong> 4<br />
Ein Quader gleitet reibungsfrei auf einer<br />
schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel<br />
α. Eine abgesetzte Rolle rollt ohne zu<br />
gleiten auf dem Quader. Ein masseloses,<br />
undehnbares Seil ist um die innere Stufe<br />
der Rolle gewickelt. Das freie Ende des<br />
Seils ist über eine masselose reibungsfrei<br />
gelagerte Umlenkrolle geführt und an dem<br />
Quader befestigt.<br />
θ<br />
reines<br />
Rollen<br />
a) Wo liegt der Momentanpol der Rolle?<br />
b) Bestimmen Sie die Beschleunigung (Verwenden Sie das Prinzip von<br />
d´Alembert).<br />
c) Wie groß darf der Neigungswinkel α höchstens sein, damit zwischen dem Quader und<br />
der Rolle kein Gleiten auftritt?<br />
Gegeben: , , , α, Θ, .<br />
<strong>Aufgabe</strong> 5<br />
Für das skizzierte Planetenradgetriebe berechnen Sie:<br />
ω 2<br />
a) die Bahngeschwindigkeit für den Mittelpunkt<br />
des Planetenrades<br />
b) die Winkelgeschwindigkeit ω des Planetenrades<br />
c) die Winkelgeschwindigkeit ω des Planetenradträgers<br />
ω 1<br />
R<br />
r<br />
Gegeben: , , ω , ω .
TM II SS 11<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
<strong>Aufgabe</strong> 6<br />
Skizziert ist eine in der Ebene arbeitende Übersetzungsvorrichtung.<br />
Zwei Bänder treiben mit<br />
unterschiedlichen Geschwindigkeiten zwei Rollen<br />
an, die an einer Führungsstange befestigt sind.<br />
Die Führungsstange kann sich horizontal bewegen.<br />
Das obere Band hat die Geschwindigkeit ,<br />
das untere Band die Geschwindigkeit . Man<br />
bestimme unter der Annahme reinen Rollens:<br />
y<br />
x<br />
R<br />
r<br />
r<br />
ω 2<br />
v 3<br />
ω 1<br />
v 1<br />
v 2<br />
a) die Winkelgeschwindigkeiten und der beiden Rollen,<br />
b) die translatorische Geschwindigkeit der Führungsstange und<br />
c) das Verhältnis <br />
<br />
, damit die Führungsstange in Ruhe bleibt.<br />
Gegeben: , , , .<br />
<strong>Aufgabe</strong> 7<br />
Für das skizzierte System, bestehend aus zwei<br />
Rollen (Radius: , Masse: , Massenträgheitsmoment:<br />
Θ ), einer Masse m<br />
und einem masselosen Stab der Länge 2l bestimme<br />
man mit dem Arbeitssatz<br />
a) die Geschwindigkeit , mit der die Masse<br />
auf den Boden auftritt, wenn das System<br />
aus der Ruhelage losgelassen wird,<br />
b) die Bewegungsgleichung für die Masse m und<br />
c) die Zeit , die die Masse m für das Zurücklegen<br />
der Strecke benötigt.<br />
l l<br />
F<br />
µ<br />
r/3 r<br />
ϕ 2<br />
ΘS =1/2Mr²<br />
g<br />
r<br />
ϕ 1<br />
x<br />
m<br />
M, Θ =1/2Mr²<br />
S<br />
H<br />
Gegeben: , , , l, , , , .
TM II SS 11<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
<strong>Aufgabe</strong> 8<br />
Ein System aus zwei Punktmassen , und<br />
zwei Rollen (Innenradien: , Außenradien:<br />
2, Massen: , Massenträgheitsmomente:<br />
Θ ) steht unter dem Einfluss der Erdschwere<br />
. Die Masse und die untere Rolle<br />
befinden sich auf einer rauen, schiefen Ebene α<br />
mit dem Gleitreibungskoeffizienten . Die Masse<br />
µ<br />
gleitet, die untere Rolle führt reines Rollen<br />
aus. Die Systemteile sind wie skizziert mit undehnbaren<br />
Seilen miteinander verbunden. Das<br />
System wird aus der Ruhelage losgelassen.<br />
Prof. Ostermeyer<br />
ϕ 3<br />
x Θ<br />
2<br />
S<br />
r<br />
m, Θ S R=2r<br />
ϕ<br />
r 2<br />
α<br />
M<br />
R=2r<br />
x 1<br />
reines Rollen<br />
m<br />
x 3<br />
g<br />
Bestimmen Sie mit dem Arbeitssatz<br />
a) die Bewegungsgleichung des Systems bzgl. der Koordinate für 0 und<br />
b) wie groß die Masse M höchstens sein darf, so dass sie sich aufwärts bewegt. Es gelte:<br />
Haftkraft = Gleitkraft !<br />
Gegeben: α, , , 2, , , Θ , .<br />
<strong>Aufgabe</strong> 9<br />
Dargestellt ist ein Teil eines Hebewerks. Drei Räder sind<br />
über abrollende, vertikale Seile, die immer straff gespannt<br />
sind, miteinander verbunden. Die Seile können nicht rutschen.<br />
Wie groß sind die Geschwindigkeiten und die Winkelgeschwindigkeiten<br />
der Rollen 2 und 3, wenn sich die Rolle<br />
1 mit der Winkelgeschindigkeit dreht?<br />
ω 1<br />
2<br />
R<br />
1<br />
r 2<br />
r 3<br />
3<br />
r<br />
Gegeben: , , , , <br />
3.
TM II SS 11<br />
Kurzlösungen:<br />
<strong>Aufgabe</strong> 2:<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
a)<br />
1<br />
r1<br />
+ R1<br />
ω<br />
1<br />
= ( v0<br />
− a0t)<br />
,<br />
2<br />
= ( v0<br />
− a0t)<br />
2r1<br />
4r1<br />
r2<br />
b) R<br />
1<br />
= 3r1<br />
, r<br />
2<br />
beliebig<br />
c)<br />
r1<br />
+ R1<br />
2<br />
a0<br />
= v0<br />
8rh<br />
1<br />
⎛ r<br />
d) ⎟ ⎞<br />
1<br />
+ R1<br />
S ( t)<br />
= m<br />
⎜<br />
3<br />
g − a0<br />
⎝ 4r1<br />
⎠<br />
r + R<br />
4r<br />
1 1<br />
ω , = ω r = ( v − a t)<br />
v3<br />
2 2<br />
0 0<br />
1<br />
<strong>Aufgabe</strong> 3:<br />
a)<br />
b)<br />
v(<br />
x)<br />
= x&<br />
( x)<br />
=<br />
a(<br />
t)<br />
= & x<br />
( t)<br />
=<br />
⎛ M<br />
⎞<br />
0<br />
x<br />
⎜ − mg sin( α)<br />
r<br />
⎟<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
m Θ Θ<br />
+ +<br />
2 2r<br />
2r<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
M<br />
0<br />
− mg sin( α)<br />
r2<br />
Θ Θ<br />
m + +<br />
r r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎡ M<br />
0<br />
⎤<br />
⎢ − mg sin( α)<br />
r<br />
⎥<br />
c) x t ⎢<br />
2<br />
&(<br />
) =<br />
⎥ ⋅t<br />
⎢ Θ1<br />
Θ<br />
2<br />
m<br />
⎥<br />
⎢<br />
+ +<br />
2 2<br />
r r ⎥<br />
⎣ 1 2 ⎦<br />
<strong>Aufgabe</strong> 4:<br />
a)<br />
b)<br />
x&<br />
1<br />
x& 1<br />
• M<br />
x&<br />
2mg<br />
sin( α)<br />
& x<br />
1<br />
= , c)<br />
Θ<br />
10m<br />
+ 4<br />
2<br />
r<br />
x&<br />
1<br />
⎛ Θ ⎞<br />
⎜ 10m<br />
+ 4 ⎟<br />
α ≤ arctan⎜<br />
µ r²<br />
⎟<br />
0<br />
⎜ 4m<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠
TM II SS 11<br />
<strong>Aufgabe</strong> 5<br />
1<br />
a) v = ( a1ω 1<br />
+ a2ω2<br />
)<br />
2<br />
a2ω2<br />
− a1ω<br />
1<br />
b) ω =<br />
a − a<br />
* a1ω<br />
1<br />
+ a2ω2<br />
c) ω =<br />
a + a<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
Übungsblatt 7. Woche<br />
Prof. Ostermeyer<br />
______________________________________________________________________<br />
<strong>Aufgabe</strong> 6<br />
v1 − v2<br />
R ⎛ v1 − v2<br />
⎞<br />
a) ω1<br />
=<br />
ω2<br />
= ⎜ ⎟ b)<br />
r − R<br />
r ⎝ r − R ⎠<br />
v<br />
3<br />
=<br />
rv − Rv<br />
r − R<br />
2 1<br />
c)<br />
v<br />
v<br />
1<br />
2<br />
=<br />
r<br />
R<br />
<strong>Aufgabe</strong> 7<br />
a)<br />
[( m + M ) g −12µ<br />
F ]<br />
H<br />
x& E<br />
=<br />
b) &&x =<br />
1 ⎛ 39 ⎞<br />
⎜m<br />
+ M ⎟<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
( )<br />
m + M g −12µ<br />
F<br />
= k<br />
39<br />
m + M<br />
2<br />
c)<br />
2H<br />
t E<br />
=<br />
k<br />
<strong>Aufgabe</strong> 8<br />
⎛<br />
⎝<br />
102<br />
9<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ 3<br />
a) & x& M + m g m[ sinα<br />
− 4] + M [ µ cosα<br />
+ sinα<br />
] 0<br />
1 ⎜ ⎟ +<br />
⎟ =<br />
⎞<br />
⎠<br />
b)<br />
M<br />
2 4 − sinα<br />
< m<br />
3 µ cosα<br />
+ sinα<br />
<strong>Aufgabe</strong> 9<br />
ω1<br />
ω1<br />
ω1 = ω2 = ω3 v2<br />
= − ( R + r) ey<br />
v3<br />
= − ( R − r)<br />
e<br />
2 4<br />
y