Formelsammlung ”Grundlagen des Strukturentwurfs”

Formelsammlung ”Grundlagen des Strukturentwurfs”
11.10.2004
1. Allgemeines
• Normkästchen zur Bestimmung der Schnittkräfte:
• Differentialgleichungen für das Gleichgewicht am Balken:
dQ z
dx = −p(x)
dM y
dx = Q z
• Grad der statischen Unbestimmtheit:
– Balkenstrukturen:
U = A − 3 n + V
A: Anzahl der Lagerkräfte
n: Anzahl der gelenkig miteinander verbundenen Balken
V : Gelenkwertigkeit
– Fachwerke / Schubfeldträger:
U = n + A − 2k e
(eben)
U = n + A − 3k r
(räumlich)
n: Anzahl der Stäbe (Fachwerk) bzw. Anzahl der Stäbe und Bleche (Schubfeldträger)
A: Anzahl der Lagerkräfte
k e : Anzahl der ebenen Knoten
k r : Anzahl der räumlichen Knoten
1

2. Biegebalken
• Statisches Moment einer Fläche:
∫
S y =
• Flächenträgheitsmoment:
• Deviationsmoment:
∫
I y =
A
A
∫
z dA S z =
∫
z 2 dA I z =
∫
I yz =
A
yz dA
A
A
y dA
y 2 dA
• Spannungsverteilung für ein Koordinatensystem mit Ursprung im Schwerpunkt:
σ x (z,y) = N A + M yI z + M z I yz
I y I z − I 2 yz
• Spannungsverteilung für ein Hauptträgheitsachsensystem:
σ x (z,y) = N A + M y
I y
z − M z
I z
y
z − M zI y + M y I yz
I y I z − Iyz
2 y
• Koordinatentransformation bei Drehung des Koordinatensystems um ϕ:
z = −y ′ sin ϕ + z ′ cos ϕ
y = y ′ cos ϕ + z ′ sin ϕ
• Satz von Steiner:
I η = I y ′ + ζ 2 s A I ζ = I z ′ + η 2 s A I ηζ = I y ′ z ′ + η sζ s A
• Flächenträgheitsmomente und Deviationsmoment bei Drehung des Koordinatensystems:
( 1 ( )
Iy ′ + I z ′)
+ Iy ′ − I z ′ cos 2ϕ − Iy
2
′ z ′ sin 2ϕ
I y (ϕ) = 1 2
I z (ϕ) = 1 ( 1
Iy ′ + I z ′)
−
2 2
I yz (ϕ) = 1 (
Iy ′ − I z ′
2
( )
Iy ′ − I z ′ cos 2ϕ + Iy ′ z ′ sin 2ϕ
)
sin 2ϕ + Iy ′ z ′ cos 2ϕ
• Lage der Hauptträgheitsachsen:
tan 2α = − 2I y ′ z ′
I y ′ − I z ′
• Differentialgleichung der Biegelinie (nur gültig im Hauptachsensystem):
w ′′′′ I y E = p(x) ⇒ w ′′′ = − Q z
I y E
2
⇒
w ′′ = − M y
I y E

3. Plastische Biegung
• Bei reiner Biegebelastung gilt für:
– Ideal-plastisches Materialverhalten:
M plastisch = K · M elastisch
– Reales Materialverhalten, Näherung nach Cozzone:
[
M plastisch = 1 + (K − 1) σ ]
o
M elastisch
σ M
• K ist von der Querschnittsform abhängig:
– Rechteckiger Vollquerschnitt: K = 1.5
– Kreisförmiger Vollquerschnitt: K = 1.698
• Definitionen:
ν =
N µ = M
A · σ B W · σ B
• Interaktionskurven:
– Elastisches Materialverhalten:
ν + µ = 1
– Ideal-plastisches Materialverhalten (nur gültig für rechteckigen Querschnitt):
µ = 1.5 ( 1 − ν 2)
4. Querkraftschub beim offenen dünnwandigen Profil
• Schubflußformel:
t = Q zS y
I y
• Schubmittelpunkt:
∫
s
t(s)ρ(s)ds = Q z · e y
3

5. Querkraftschub beim geschlossenen dünnwandigen Profil
• Erste Bredtsche Formel:
M t = 2t 0 A
• Berechnung des Schubflusses:
– Überlagerung des Schubflusses des offenen Profils t′ und des konstanten Schubflusses t 0 :
– Bestimmung des konstanten Schubflusses über Gleichheit der Torsionsmomente:
∮
Q z a = t ′ ρds + 2At 0
• Bestimmung des Schubmittelpunkts:
– Bestimmung des konstanten Schubflusses t 0,SMP :
ϑ ′ = 0
⇒
∮ t
′
+ t 0,SMP
Gh
ds = 0 ⇒ t 0,SMP = −
– Gleichheit der Torsionsmomente liefert den Schubmittelpunkt e:
∮
Q z e = t ′ ρds + 2t 0,SMP A
∮ t
′
Gh ds ∮ ds
Gh
4

6. Saint Vénantsche Torsion
• Definitionen:
· Verdrillung / Torsionsflächenmoment:
ϑ ′ = T
GI T
(I T ≠ I p )
· Maximale Schubspannung / Torsionswiderstandsmoment:
• Geschlossene dünnwandige Profile:
τ max = T W T
– Erste Bredtsche Formel:
M t = 2t 0 A
– Zweite Bredtsche Formel:
GI T = 4A2 ∮ ds
Gh
– Widerstandsmoment (h min : minimale Wanddicke):
• Prismatische Stäbe mit Vollquerschnitt:
– Kreisförmiger Vollquerschnitt:
W T = 2Ah min
I T = π 2 R4
W T = π 2 R3
– Elliptischer Vollquerschnitt:
I T = π a3 b 3
a 2 + b 2
W T = πab2
2
– Rechteckiger Vollquerschnitt:
I T = η 1
B 3 H
3
W T = η 2
B 2 H
3
H/B η 1 η 2
1 0.4217 0.6245
1.25 0.5152 0.6636
1.5 0.5873 0.6929
2 0.6860 0.7376
3 0.7900 0.8016
4 0.8424 0.8450
5 0.8745 0.8740
6 0.8951 0.8950
8 0.9212 0.9212
10 0.9370 0.9370
∞ 1.0000 1.0000
5

• Näherungslösungen:
– Flacher Rechteckquerschnitt:
I T = 1 3 B3 H
W T = B2 H
3
τ = τ max
2 y
B
– Offene dünnwandige Profile:
I T = η 3
1
3
∑
h 3 i l i W T = I t
= η ∑
3
h 3 i l i
h max 3h max
i
Profilform L U Z T I X
η 3 0.99 1.12 1.12 1.12 1.30 1.17
i
– Dickwandige Hohlquerschnitte:
ϑ ′ = ϑ ′ B = ϑ′ i
T = T B + ∑ i
T i
⎫
⎬
⎭ ⇒ I T = I TB + ∑ i
I Ti
τ i =
3T i
η 2i h 2 i l i
τ Bi =
T B
2HBh i
6

7. Wölbkrafttorsion
• Saint Vénantsches Torsionsmoment M SV und Biegetorsionsmoment M B :
M SV = ϑ ′ GI T
M B = −ϑ ′′′ C T E
• Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion:
d 3 ϑ
dξ 3 − α2dϑ dξ = −µ
mit
ξ = x l
α 2 = GI Tl 2
EC T
µ = Tl3
EC T
• Lösung für einen Kragbalken unter konstantem Torsionsmoment:
mit
ϑ = A 1 + A 2 cosh αξ + A 3 sinhαξ + µ α 2ξ
A 1 = −A 2 = − µ α 3 tanh α A 3 = − µ α 3
8. Zweigurtiger Schubfeldträger
• Schubfluß:
t = Q a
• Schubmittelpunkt:
e = 2A a
9. Ebene Schubfeldträger
• Rechteckfeld:
t = t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = const.
• Parallelogrammfeld:
t = t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = const.
n x = 2t tan ϕ
7

• Trapezfeld:
– Definition des mittleren Schubflusses:
t =
∫ l
0 t(x)dx
l
– Bestimmung der mittleren Schubflüsse:
( )
t 2
3 a1
t 1
=
= t 4
= a 3
t 2 = t 4
t 1 a 3 t 2 t 3 a 1
– Die Schubflüsse entlang der Kanten 1 und 3 sind konstant:
t 1 = t 1 = const.
t 3 = t 3 = const.
– Schubflußverteilung entlang der Kanten 2 und 4:
( ) 2 ( )
a3 d
2
t(x) = t 3 = t 3
a(x) d + x
t(x) = t m
a 1 a 3
a(x) 2 t m = √ t 2 t 4 = √ t 1 t 3
– Längskraftverteilung in den Stäben 2 und 4:
N 2 (x) = N 20 + t 3
cos α
x
( ) N 4 (x) = N 40 − t 3
1 + x a1
l a 3
− 1
cos β
1 + x l
x
( )
a1
a 3
− 1
8