Aufgabe 11 - Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe ...

Universität
Stuttgart
Institut für Leistungselektronik
und Elektrische Antriebe
Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow
Aufgabe 11
Zeitdiskret arbeitendes Regelsystem
(Prüfungsaufgabe SS 2003)
Für die in Bild 1 dargestellte Regelstrecke 2. Ordnung soll ein zeitdiskret
arbeitendes Regelsystem mit einer Abtastzeit von T A = 150µs aufgebaut werden.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe soll vorausgesetzt werden, dass die
Rechentotzeit des Regel-Rechen-Geräts vernachlässigbar klein ist.
Bild 1
Blockschaltbild der Übertragungsstrecke, die von einem zeitdiskret
arbeitenden Regel-Rechen-Gerät geführt werden soll
Übungen Regelungstechnik 2 Aufgabe 11
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Teilaufgaben:
Zunächst soll ein zeitdiskretes Modell der zu führenden Übertragungsstrecke
erstellt werden, welches die zeitlichen Verläufe der beiden Zustandsgrößen x 1 (t)
und x 2 (t) zu allen Abtastzeitpunkten exakt beschreibt. Das zu erstellende
zeitdiskrete Modell soll eine Übertragungsstrecke beschreiben, die insgesamt aus
den folgenden drei Komponenten besteht:
− einem Sample&Hold-Glied mit der Abtastzeit von T A = 150µs , das die
Stellgrößenzahlenfolge y(k) in eine treppenförmig verlaufende
zeitkontinuierliche Stellgröße y(t) umwandelt,
− der in Bild 1 dargestellten zeitkontinuierlichen Übertragungsstrecke 2. Ordnung
mit der Stellgröße y(t) als Eingangsgröße und den beiden Zustandsgrößen
x 1 (t) und x 2 (t) als Ausgangsgrößen der Bausteine mit Zeitverhalten und
− zwei Abtasteinheiten mit der Abtastzeit T A = 150µs, welche die beiden
Zustandsgrößen x 1 (t) und x 2 (t) in die beiden Zahlenfolgen x 1 (k) und x 2 (k)
umwandeln.
1. Geben Sie die Übertragungsfunktion
F s (p) |OR = x 1(p)
y(p)
= x(p)
y(p)
der zu führenden Übertragungsstrecke an.
2. Bestimmen Sie für y(p) ≡ 0 den Zusammenhang zwischen den beiden
Zustandsgrößen x 2 (p) und x 1 (p).
3. Geben Sie zwei Differenzengleichungen 1. Ordnung an, die zusammen das
dynamische Verhalten der Übertragungsstrecke über der Folge von
Abtastzeitpunkten beschreiben. Verwenden Sie für die Bestimmung der
Koeffizienten der beiden Differenzengleichungen neben dem in Bild 1
dargestellten Blockschaltbild auch die in Bild 2 dargestellten Simulationsergebnisse,
welche die zeitlichen Verläufe der beiden Zustandsgrößen x 1 (t)
und x 2 (t) bei einem Sprung der Stellgröße y(t) von 0 auf 1 zum Zeitpunkt
t = 0 für den Zeitbereich -100µs t 400µs zeigen. Zum Zeitpunkt t = 0
weisen die beiden Zustandsgrößen x 1 (t) und x 2 (t) den Wert null auf.
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Bild 2
Zeitliche Verläufe der beiden Zustandsgrößen x 1 (t) und x 2 (t) bei einem
Sprung im Verlauf der Stellgröße y(t) zum Zeitpunkt t = 0
4. Transformieren Sie die beiden Differenzengleichungen mit Hilfe der
Z-Transformation in den Bildbereich.
5. Erstellen Sie ein Blockschaltbild des zeitdiskreten Modells der Übertragungsstrecke.
In diesem Blockschaltbild sollen die beiden Zustandsgrößen x 1 und
x 2 als Ausgangsgrößen der Bausteine mit Zeitverhalten auftreten.
6. Geben Sie die Übertragungsfunktion
F s (z) |OR = x 1(z)
y(z)
= x(z)
y(z)
des zeitdiskreten Modells der Übertragungsstrecke an.
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7. Geben Sie den Zusammenhang zwischen den beiden Zustandsgrößen x 2 (z)
und x 1 (z) an.
8. Stellen Sie den in Teilaufgabe 6 ermittelten Zusammenhang zwischen der
Regelgröße x und der Stellgröße y in einem Blockschaltbild derart dar, dass
an den Ausgängen der Bausteine mit Zeitverhalten die Größen x c und z·x c
auftreten und dass gilt
x(z)
x c (z) | |
z=1
= 1
Diesenfalls kennzeichnet die in diesem Blockschaltbild auftretende Größe x c
die "centrale Zustandsgröße" des Regelsystems.
Der Zusammenhang zwischen der Stellgröße y(k) und den Zustandsgrößen x 1 (k)
und x 2 (k) wird bei der vorausgesetzten Abtastzeit von T A = 150µs auch durch die
Differenzengleichungen
100x 1 (k) − 101,8x 1 (k−1) + 1,8x 1 (k−2) = 80y(k−1) − 55,5y(k−2)
und
100x 2 (k) − 1,8x 2 (k−1) = 160x 1 (k) − 111x 1 (k−1)
beschrieben.
Im Folgenden soll das Regel-Rechen-Gerät dimensioniert werden.
9. Berechnen Sie die Einstellparameter des Regel-Rechen-Geräts so, dass die
Führungsübertragungsfunktion
F g (z) = x(z)
w(z)
eine einfache Polstelle bei
z 1 = 0,5
und eine einfache Polstelle bei
z 2 = 0,9
aufweist und dass gilt
|
F g (z)| = x(z)
|| w(z) | = 1 .
z=1 | z=1
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10. Geben Sie die Führungsübertragungsfunktion
F g (z) = x(z)
w(z)
des in Teilaufgabe 9 dimensionierten zeitdiskreten Regelsystems an.
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