2.5. Fermi – Dirac Verteilung 2.6. Zustandsdichte

2.5. Fermi – Dirac Verteilung
Elektronen und Löcher sind Fermionen (Spin ½)
=> Pauli Prinzip: Nur ein Teilchen pro Zustand, Fermi-Dirac Verteilungsfunktion (Abb. 2.5.1)
1
f ( E)
=
⎛ E − E
1+
exp⎜
⎝ kT
F
⎞
⎟
⎠
Abbildung 2.5.1: Fermi-Dirac Verteilung
Liegt die Fermienergie E F innerhalb eines Bandes (bei Metallen), so sind bei T=0K alle Zustände
bis E F bestzt und alle energetisch höherliegenen Zustände leer. Die Fermiverteilung weicht nur
innerhalb einer Breite von 2kT um E F nennenswert von 0 bzw. 1 ab. Daher sind nur Elektronen in
der Nähe der Fermienergie sind für die Physik von Metallen relevant (Wärmekapazität,
Stromtransport, Supraleitung, …). Bei Halbleitern liegt E F normalerweise in der Bandlücke. In
diesem Fall kann man für E-E F > 3kT folgende Näherung machen:
⎛ E − EF
⎞
f ( E)
≈ exp⎜−
⎟ Boltzmannstatistik
⎝ kT ⎠
Warum?
Zustände sind nur mit geringer Wahrscheinlichkeit bestzt, daher ist Pauli-Prinzip nicht mehr
relevant. Analoge Näherung für Bose-Einstein Verteilung
Verdünnte Systeme verlieren ihren Quantencharakter
Für den aktiven Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da
dort die Fermienergie nicht in der Bandlücke, sondern in den Bändern liegt.
2.6. Zustandsdichte
Wir betrachten einen würfelförmigen Kasten aus
Halbleitermaterial mit Kantenlänge L und Volumen V=L 3 , der
mit Ladungsträgen gefüllt ist. Die Wellenfunktionen der Teilchen
müssen periodische Randbedingungen erfüllen, d.h. Ψ (x+L, y, z)
= Ψ (x, y, z) und analog für die anderen Koordinaten.
Die Wellenfunktionen der Teilchen im Kasten sind Blochfunktionen:
r r rr
ψ r ( ) = u r (
)exp( ikr
)
(2.6.1)
n, k
n,
k
r
Die u n
(
)
, r sind periodisch: r r r
)
k
u r ( + b)
= u r (
(b r ist Gittervektor des Kristalls) und erfüllen
n, k
n,
k
daher automatisch die periodischen Randbedingungen, da die Ausdehnung des Kristalls ein
- 45 -

ganzzahliges Vielfaches der Gitterkonstanten ist. Für die Komponenten des Wellenvektors
ergeben sich folgende Bedingungen: k x = 2πm/L, m = 1, 2, 3, … und analog für k y und k z .
Wie in Abb. 2.6.1 dargestellt liegen die Zustände im k-Raum daher äquidistant, jeder Zustand
beansprucht ein Volumen von V k = (2π/L) 3 .
Abbildung 2.6.1: Verteilung der Zustände im reziproken Raum (k-Raum)
Für die Dispersion der Blochzustände gilt die quadratische Beziehung:
r k
r 2 2
h
E(
k ) = (2.6.2)
2m eff
Zur Berechnung vieler Eigenschaften des Halbleiters (Stromdichte, Wärmekapazität, ..) muss
man über alle vorhandenen Zustände integrieren. Man möchte aber kein mehrdimensionales
Integral im k-Raum lösen, sondern nur über die Energie integrieren.
Wir müssen daher die konstante Zustandsdichte im k-Raum (D(k) = (L/2π) 3 ) in eine von der
Energie abhängige Zustandsdichte D(E) umrechnen.
Dazu betrachten wir eine Kugel im k-Raum mit Radius k max . Jeder Zustand kann doppelt besetzt
sein (Spin up und Spin down), die Anzahl der Zustände in der Kugel ist daher:
∑
N = 2
(2.6.3)
k < kmax
Da die Zustände im k-Raum sehr dicht liegen, kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden:
1 3
N = ∫ 2d
k
(2.6.4)
Vk
k < kmax
Mit den folgenden Beziehungen kann man substituieren:
2m
3 2 2 eff
2 1/ 2
dk = 4πk
dk , k = E und dk = 1 2m
/ E
−
2
eff
h (2.6.5)
h
2
- 46 -

und erhält
N =
⎛ L ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2π
⎠
∫
E<
Emax
2m
4π
2
h
1
E
2
2m
3
eff
eff
2
2
h
E
dE = V
∫
E<
Emax
D(
E)
dE
(2.6.6)
Für die Zustandsdiche ergibt sich daher:
m
D ( 1 ⎛ 2
eff
E)
2 2
2 ⎟ ⎞
=
⎜
π ⎝ h ⎠
3/ 2
E
(2.6.7)
Existieren erst ab einer bestimmten Energie Zustände (z.B. ab E C im Leitungsband), so gilt für die
Zustandsdichte:
1 ⎛ 2m
D(
E)
=
⎜
2 2
2π
⎝ h
eff
⎞
⎟
⎠
3/ 2
E − E
C
(2.6.8)
2.7. Ladungsträgerdichten
Nun können wir die Ladungsträgerdichen im Halbleiter berechnen:
Für Elektronen gilt:
∞
∫
E C
n = D( E)
f ( E)
dE
(2.7.1)
Einsetzen von D(E) und f(E) liefert:
n =
∞
∫
EC
1
2
2π
⎛
⎜
⎝
2m
h
e
2
⎞
⎟
⎠
3 / 2
E − E
c
1
⎛ E − E
1+
exp⎜
⎝ kT
F
⎞
⎟
⎠
dE
(2.7.2)
Man bekommt als Lösung:
n = N
2
F
π
C 1/ 2
⎛ E
⎜
⎝
F
− E
kT
C
⎟
⎠
⎞
n = N
2
F
π
C 1/ 2
⎛ E
⎜
⎝
F
− E
kT
C
⎞
⎟
⎠
mit
N
C
⎛ 2πm ekT
⎞
= 2⎜
2
⎟
⎝ h ⎠
3/ 2
(2.7.3)
1/ 2
t dt
mit dem Fermi-Dirac Integral (siehe Abb. 2.7.1) F
1/ 2(
x)
=
(2.7.4)
1+
exp( t − x)
∞
∫
0
- 47 -

Abbildung 2.7.1: Fermi-Dirac Integral aus Funktion von η F
Für x < -3 kann man folgende Näherung des Integrals verwenden:
π
F1 / 2( x)
≈ exp( x)
(2.7.5)
2
Für die Elektronendichte ergibt sich damit:
und analog für Löcher:
mit
⎛ EC
− EF
⎞
n = NC exp ⎜−
⎟
(2.7.6)
⎝ kT ⎠
p = N
N
V
V
⎛ EF
− EV
⎞
exp ⎜−
⎟
(2.7.7)
⎝ kT ⎠
⎛ 2πmh
kT ⎞
= 2⎜
2
⎟
⎝ h ⎠
3/ 2
(2.7.8)
EF
− EC
In Abb. 2.7.1 entspricht dies dem linearen Bereich für η
F
= < −3. Für den aktiven
kT
Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da dort die
Fermienergie nicht in der Bandlücke, sondern in den Bändern liegt. η F ist damit positiv und der
Wert des Fermiintegrals weicht deutlich von der Näherungsformel 2.7.5. ab.
- 48 -

2.8. Ladungsträgerdichten im Halbleiterlaser
In der aktiven Zone eines Halbleiterlasers sind die Ladungsträgerdichten nicht im thermischen
Gleichgewicht (durch den Pumpstrom werden laufend Ladungsträger zugeführt). Die Verteilung
von Elektronen und Löchern auf die vorhandenen Energiezustände ist damit keine
Fermiverteilung mehr (die gilt ja nur im thermischen Gleichgewicht). Man kann jedoch in guter
Näherung separate Verteilungsfunktionen für Elektronen und Löcher mit verschiedenen (Quasi-)
Fermienergien einführen. Die Ladungsträger eines jeden Bandes sind untereinander im
thermischen Gleichgewicht, dies liegt an den kurzen Relaxationszeiten für Intrabandrelaxation.
Ladungsträger in den Bändern können durch Emission von LO-Phononen schnell (τ=100 fs)
Energie abgeben und energetisch tieferliegende Zustände erreichen. Die Relaxationszeiten
zwischen den Bändern (z.B. durch strahlende Rekombination) sind viel grösser (τ=1 ns).
a) Volumenhalbleiter
Abb. 2.8.1 stellt die oben beschriebene Situation für einen Volumenhalbleiter dar. Bei T=0K (a)
sind alle Zustände bis zu den jeweiligen Quasi-Fermienergien besetzt. Bei T>0K (b) bekommt
man eine thermische Verbreiterung der Besetzung.
Abbildung 2.8.1: Produkt aus Zustandsdichte und Fermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand
eines Volumenhalbleiters für (a) T=0K und (b) T>0K
b) Quantenfilm
Abb. 2.8.2 zeigt den entsprechenden Verlauf der Zustandsdichte in einem Quantenfilm. .
Bei parabolischer Dispersion der Energie:
2 2 2
h ( k
x
+ k
y
)
E ( k)
=
+ E
2m
eff
n
(2.8.1)
hat die Zustandsdichte hier einen stufenförmigen Verlauf
1 meff
D ( E)
= ∑ H ( E − En
)
2
d πh
n
(2.8.2)
- 49 -

E n sind die Energien der quantisierten Zustände im Quantenfilm. Für unendlich hohes
2 2 2
π h n
Einschlusspotential berechnen sich diese zu: En
= (2.8.3)
2
2m
d
eff
Abbildung 2.8.2: Zustandsdichte für Volumenmaterial und Quantenfilm (mit unendlich hohem
Einschlusspotential).
Quasi-Fermiverteilung und Zustandsdichte eines Quantenfilms sind in Abb. 2.8.3 aufgetragen. In
diesem Fall ist das Integral zu Berechnung der Ladungsträgerdichte
analytisch lösbar, man erhält für die Elektronenkonzentration:
∞
∫
E C
n = D(
E)
f ( E)
dE
kTme
n = ∑log( 1+
exp( E
F C−En
) / kT)
2
,
πdh
n
und analog für die Löcher:
kTmh
n = ∑log( 1+
exp( En
−E
F V
) / kT)
2
,
πdh
n
(2.8.4)
(2.8.5)
Abbildung 2.8.3: Produkt aus Zustandsdichte und Fermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand
eines Quantenfilms für (a) T=0K und (b) T>0K
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