Zellularautomaten Ãberblick Geschichte The Game of Life The ...
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Einführung in die Medizinische<br />
Informatik und Bioinformatik<br />
<strong>Zellularautomaten</strong><br />
Frank Meineke<br />
SS 2005<br />
Überblick<br />
• <strong>Geschichte</strong><br />
• <strong>The</strong> <strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong><br />
• Definition <strong>Zellularautomaten</strong><br />
• Epidemiemodelle<br />
• Einordung<br />
2<br />
<strong>Geschichte</strong><br />
<strong>The</strong> <strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong><br />
• Stanislaw Ulam (1909 – 1984)<br />
Idee 1940<br />
• John von Neumann (1903 – 1957)<br />
Ist eine selbst reproduzierende Maschine<br />
möglich?<br />
• John Horton Conway (1937)<br />
<strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong> (1968)<br />
Zellularautomat<br />
= Zellularer Automat<br />
= Cellular Automaton (CA)<br />
• unbegrenztes Spielfeld (Schachbrett)<br />
• jede Zelle hat 8 Nachbarn<br />
• jede Zelle ist entweder besetzt (lebt)<br />
oder unbesetzt (tot)<br />
• durch parallele Anwendung von Regeln<br />
wird für jede Zelle ein Folgezustand<br />
berechnet<br />
3<br />
4<br />
<strong>The</strong> <strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong><br />
Regeln<br />
LIFE32.EXE<br />
• eine besetzte Zelle mit 0,1,4,5,6,7,8 besetzten<br />
Nachbarn wird unbesetzt (Tod durch<br />
Vereinsamung oder Überbevölkerung)<br />
• eine besetzte Zelle mit 2 oder 3 besetzten<br />
Nachbarn bleibt besetzt (Überleben)<br />
• eine unbesetzte Zelle mit 3 besetzten<br />
Nachbarn wird besetzt (Geburt)<br />
2 3 2 1<br />
1 3 2 1<br />
2 4 2 1<br />
2 2 3 1<br />
2 3 3 2<br />
1 3 2 2<br />
2 3 3 2<br />
3 5 5 3<br />
2 3 3 2<br />
5<br />
6<br />
1
<strong>The</strong> <strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong><br />
Strukturen<br />
Stabile Figuren<br />
Oszillierende Figuren<br />
Glider<br />
<strong>The</strong> <strong>Game</strong> <strong>of</strong> <strong>Life</strong><br />
Beobachtungen<br />
• für eine gegebene Anfangskonfiguration kann<br />
im Allgemeinen das zukünftige Verhalten<br />
nicht ohne Simulation vorhergesagt werden.<br />
• einige Startzustände können nicht im Laufe<br />
der Simulation entstehen. Diese Zustände<br />
heißen Garten-Eden Konfigurationen.<br />
• das Spiel ist (berechnungs-)universell. Der<br />
Beweis wird über die Konstruktion und<br />
Interaktion logischer Gatter geführt.<br />
7<br />
8<br />
Zellularautomat<br />
Definition<br />
Ein Zellularautomat ist ein 4-er Tupel (G,E,U,f) :<br />
• regulärem Gitter G<br />
• endliche Menge von Elementarzuständen E<br />
• endliche Menge von Umgebungsindizes U<br />
für die gilt: c ∈ U, r ∈ G : r + c ∈ G<br />
• lokale Übergangsfunktion f : E n →E für n :=<br />
|U|<br />
Gitter<br />
Topologie<br />
• 1 dimensional als lineare Kette<br />
• 2 dimensional mit den möglichen<br />
regulären Formen Dreieck, Quadrat,<br />
oder Hexagon<br />
• 3 dimensional, z.B. Würfelanordnung<br />
• > 3 dimensional<br />
9<br />
10<br />
Gitter<br />
Topologie 2D<br />
Gitter<br />
Randbedingungen<br />
• keine (unendliches Gitter)<br />
• periodisch, z.B. Torus-Topologie in 2<br />
Dimensionen oder ein Ring in 1<br />
Dimension;<br />
• reflektiv, d.h. die Randzelle hat den<br />
Zustand des inneren Nachbarn<br />
• fester Zustand<br />
11<br />
12<br />
2
Zustände<br />
Umgebung<br />
• jede Zelle in G befindet sich in einem<br />
definierten Zustand, der Element der<br />
endlichen Menge von<br />
Elementarzuständen ist, z.B.<br />
E={ein,aus}<br />
Typisch für 2 Dimensionen<br />
• von Neumann-<br />
Umgebung<br />
• Moore-Umgebung<br />
13<br />
Aber auch möglich:<br />
• asymmetrisch<br />
• langreichweitig<br />
14<br />
Lokale Funktion / Regeln<br />
Regelanwendung<br />
• definiert für jede Zelle und alle möglichen<br />
Umgebungen den nächsten Zustand, z.B. als Regel<br />
• Regeln heißen totalistisch, falls sie nur summarisch<br />
von den Nachbarzuständen abhängen<br />
• Regeln sind im Allgemeinen nicht reversibel - eine<br />
Konfiguration kann z.B. verschiedene Vorgänger<br />
haben<br />
• probabilistische Regeln erlauben, im Gegensatz zu<br />
deterministischen Regeln eine stochastische<br />
Auswahl mehrerer Folgezustände für die gleiche<br />
Umgebung<br />
• synchrone Automaten wenden f zu jedem<br />
Zeitschritt auf alle Zellen gleichzeitig an<br />
• asynchrone Automaten wenden f sequentiell<br />
auf alle Zellen an:<br />
– in fester, deterministischer Folge<br />
– in stochastischer Folge<br />
– in dynamisch gesteuerter, deterministischer Folge<br />
– ...<br />
15<br />
16<br />
Implementation<br />
Grenzfälle<br />
• Wie realisiert man einen synchronen<br />
Automaten?<br />
• Wie bildet man ein hexagonales Gitter<br />
auf eine rechteckige Matrix ab?<br />
(Mapping)<br />
• Wie realisiert man ein unbegrenztes,<br />
unendliches Gitter?<br />
17<br />
• die Zustandsmenge ist sehr groß, z.B.<br />
eine Fließkommazahl in 32 bit<br />
Darstellung<br />
• die lokale Funktion ist eher global<br />
• das Gitter ist nicht regulär<br />
• ...<br />
<strong>Zellularautomaten</strong> ⊂ gitterbasierte<br />
Modelle<br />
18<br />
3
Epidemie Terminologie<br />
Epidemiemodelle<br />
Epidemie: stark gehäuftes, örtlich und zeitlich<br />
begrenztes Vorkommen einer Erkrankung<br />
– Explosivepidemie: schnelles Ansteigen und<br />
Abfallen der Zahl der Erkrankten<br />
– Tardivepidemien: langsames Ansteigen und<br />
Abfallen der Zahl der Erkrankten<br />
Endemie: regelmäßiges, ständiges Vorkommen<br />
einer Erkrankung in einem begrenzten Gebiet<br />
Pandemie: Ausbreitung einer<br />
Infektionskrankheit über Länder und<br />
Kontinente<br />
19<br />
• Kermack und McKendrick 1927:<br />
kontinuierliches Modell auf Basis von<br />
Differentialgleichungssystemen (DGL)<br />
• Birgit Schönfisch 1993:<br />
Diskretes Modell auf Basis von<br />
<strong>Zellularautomaten</strong> (CA)<br />
20<br />
Epidemiemodell<br />
Epidemiemodell (DGL)<br />
Population wird auf drei Gruppen aufgeteilt:<br />
• S (suceptible) = suszeptibel/empfänglich<br />
• I (infected) = infiziert/krank<br />
• R (revovered) = erholt/immun/unempfänglich<br />
S I R<br />
21<br />
• drei Kompartimente<br />
• drei Differentialgleichungen, die die<br />
Übergänge in Abhängigkeit der Größe der<br />
Gruppen und bestimmten<br />
Rahmenparametern mit entsprechenden<br />
Raten regulieren<br />
– Immunisierung-/Gesundungsrate: I → R<br />
– Infektions-/Kontaktrate S → I<br />
– Immunitätsverlust-/ Resensibilisierungsrate R → S<br />
22<br />
Epidemiemodell (CA)<br />
• drei Zustände<br />
• drei parametrisierte Regeln<br />
1. ein suszeptibles Individuum wird infiziert, wenn<br />
eine gewisse Infektionsbedingung erfüllt ist<br />
2. ein infiziertes Individuum bleibt a Zeitschritte<br />
infektiös (ansteckend) und wird dann immun<br />
3. ein immunes Individuum bleibt g Zeitschritte<br />
immun und wird dann wieder suszeptibel<br />
23<br />
Epidemiemodell (CA)<br />
Infektionsbedingungen<br />
• deterministische Infektion: infiziert wird<br />
gdw. eine Mindestanzahl von s Nachbarn<br />
infiziert ist<br />
• stochastische Infektion: infiziert wird mit<br />
einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, falls<br />
eine Mindestanzahl von Nachbarn infiziert ist<br />
• Kontaktdistribution: infiziert wird mit einer<br />
zur Anzahl von infizierten Nachbarn<br />
proportionalen Wahrscheinlichkeit<br />
24<br />
4
SIRLIFE.EXE<br />
Epidemiemodell (CA)<br />
Beobachtungen<br />
Aussterben: nach endlichen Zeitschritten sind<br />
nur noch suszeptible Zellen vorhanden<br />
Persistenz: nach beliebig langer Zeit sind noch<br />
infektiöse Zellen zu finden<br />
Ausbreitung: werden zu Beginn Infektiöse nur<br />
in einem Teilgebiet des Gitters gesetzt, so<br />
breiten sie sich über das gesamte Gebiet aus<br />
25<br />
26<br />
Epidemiemodell (CA)<br />
Verhaltensklassen<br />
CCA (Cyclic CA)<br />
hier: Greenberg-Hastings Modell<br />
Aussterben: nur noch suszeptible, Hauptgründe liegen<br />
in der Parameterwahl oder der (zu dünnen)<br />
Startbesetzung mit Infektiösen<br />
Ausbreitung mit Persistenz: wellenförmige, zum Teil<br />
spiralige oder kreisförmige Ausbreitungsfronten,<br />
quasistationäre Trajektorien<br />
Ausbreitung ohne Persistenz: Hexenring, Aussterben<br />
der Infizierten<br />
Persistenz ohne Ausbreitung: periodisch<br />
wiederholende, ortsfeste Strukturen und, auf<br />
Torustopologien, auch Glider-ähnliche Strukturen<br />
27<br />
(Herz-)Muskel<br />
Waldbrand<br />
Phase 1<br />
Ruhe<br />
gesund<br />
Phase 2<br />
Erregung<br />
brennt<br />
Phase 3<br />
Erholung<br />
wächst<br />
Epidemie susceptibl<br />
e<br />
infected recovered<br />
• auf letzte Phase folgt jeweils erste Phase<br />
• modellspezifische Phasenwechsel (CCA:<br />
Umgebungsabhängig, GH: automatisch) und<br />
Phasendauer<br />
28<br />
System-Einordnung<br />
Disziplin-Einordnung<br />
• spezielles diskretes dynamisches System<br />
– Abbildungsfunktion auf lokale Umgebung<br />
beschränkt<br />
• spezieller Parallelrechner<br />
– Zellen als Recheneinheiten<br />
– Eingabe sind die Zustände der Nachbarn<br />
– berechnet wird jeweils der Folgezustand<br />
• spezielle formale Sprache<br />
– Zustände als Alphabet<br />
– lokale Funktion als spezielle Ableitungsregeln<br />
Biologie<br />
– Domäne: „Kohlenst<strong>of</strong>f“ Leben<br />
Artificial Intelligence (AI bzw. KI)<br />
– Fokus: Ursache<br />
Artificial <strong>Life</strong> (AL bzw. KL)<br />
– Domäne: Leben allgemein, auch<br />
„synthetisches“ Leben<br />
– Fokus: Auswirkung / Verhalten<br />
– Zustand ist das Gitter, statt des Strings 29<br />
30<br />
5
<strong>Zellularautomaten</strong><br />
Eigenschaften<br />
Abgrenzung<br />
• gute mathematische Formalisierbarkeit<br />
• gute technische Simulierbarkeit<br />
• gute Visualisierbarkeit<br />
• Anschaulichkeit der Regeln<br />
aber<br />
• Artefakte durch Diskretisierung<br />
• schlecht für quantitative Analyse<br />
Raum-Zeit<br />
Lösungstyp<br />
Domäne<br />
Zellularautomat<br />
Diskret<br />
Qualitativ<br />
Strukturbildung in<br />
Raum und Zeit<br />
DGL-<br />
System<br />
Kontinuierlic<br />
h<br />
Quantitativ<br />
Analyse<br />
31<br />
32<br />
6
Change language