Basis aus Eigenvektoren - imng

Basis aus Eigenvektoren
Existiert zu einer Matrix A eine Basis aus Eigenvektoren v j mit
Eigenwerten λ j , so ist
V −1 AV = diag(λ 1 , . . . , λ n ), V = (v 1 , . . . , v n ) ,
d.h. bzgl. der Basis {v 1 , . . . , v n } hat A Diagonalform.
Basis aus Eigenvektoren 1-1

Beweis:
V −1 AV = diag(λ 1 , . . . , λ n )
⇔
AV = V diag(λ 1 , . . . , λ n ) = (λ 1 v 1 , . . . , λ n v n )
Basis aus Eigenvektoren 2-1

Beweis:
V −1 AV = diag(λ 1 , . . . , λ n )
⇔
AV = V diag(λ 1 , . . . , λ n ) = (λ 1 v 1 , . . . , λ n v n )
denn die Spalten v j von V sind Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ j
Basis aus Eigenvektoren 2-2

Beispiel:
Eigenwerte: −2, −2 und 3
⎛
A = 1 ⎝
2
2 −6 6
1 −5 1
5 −5 1
⎞
⎠
Basis aus Eigenvektoren 3-1

Beispiel:
Eigenwerte: −2, −2 und 3
zugehörige Eigenvektoren:
⎛ ⎞
1
v 1 = ⎝ 1 ⎠ ,
0
⎛
A = 1 ⎝
2
2 −6 6
1 −5 1
5 −5 1
⎞
⎠
Basis aus Eigenvektoren 3-2

Beispiel:
Eigenwerte: −2, −2 und 3
⎛
A = 1 ⎝
2
zugehörige Eigenvektoren:
⎛ ⎞ ⎛
1
v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝
0
2 −6 6
1 −5 1
5 −5 1
−1
0
1
⎞
⎠ ,
⎞
⎠
Basis aus Eigenvektoren 3-3

Beispiel:
Eigenwerte: −2, −2 und 3
⎛
A = 1 ⎝
2
zugehörige Eigenvektoren:
⎛ ⎞ ⎛
1
v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝
0
2 −6 6
1 −5 1
5 −5 1
−1
0
1
⎞
⎞
⎠
⎛
⎠ , v 3 = ⎝
6
1
5
⎞
⎠
Basis aus Eigenvektoren 3-4

Beispiel:
Eigenwerte: −2, −2 und 3
⎛
A = 1 ⎝
2
zugehörige Eigenvektoren:
⎛ ⎞ ⎛
1
v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝
0
V = (v 1 , v 2 , v 3 ) Diagonalisierung
⎛
V −1 AV = ⎝
2 −6 6
1 −5 1
5 −5 1
−1
0
1
⎞
⎞
⎠
⎛
⎠ , v 3 = ⎝
−2 0 0
0 −2 0
0 0 3
⎞
⎠
6
1
5
⎞
⎠
Basis aus Eigenvektoren 3-5