Verfahren von Gram-Schmidt - imng

Verfahren von Gram-Schmidt
Aus einer Basis b 1 , . . . , b n kann wie folgt eine orthogonale Basis u 1 , . . . , u n
konstruiert werden. Man definiert sukzessive
u j = b j − ∑ k

Verfahren von Gram-Schmidt
Aus einer Basis b 1 , . . . , b n kann wie folgt eine orthogonale Basis u 1 , . . . , u n
konstruiert werden. Man definiert sukzessive
u j = b j − ∑ k

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
Verfahren von Gram-Schmidt 2-1

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Verfahren von Gram-Schmidt 2-2

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Induktionsschritt (l → l + 1):
Verfahren von Gram-Schmidt 2-3

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Induktionsschritt (l → l + 1):
für j ≤ l
〈u l+1 , u j 〉 = 〈b l+1 , u j 〉 − ∑ 〈b l+1 , u k 〉
〈u k , u k 〉 〈u k, u j 〉 = 0
} {{ }
k≤l
δ k,j |u k | 2
=⇒ u 1 , . . . , u l+1 orthogonal
Verfahren von Gram-Schmidt 2-4

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Induktionsschritt (l → l + 1):
für j ≤ l
〈u l+1 , u j 〉 = 〈b l+1 , u j 〉 − ∑ 〈b l+1 , u k 〉
〈u k , u k 〉 〈u k, u j 〉 = 0
} {{ }
k≤l
δ k,j |u k | 2
=⇒ u 1 , . . . , u l+1 orthogonal
b l+1 − u l+1 ∈ span(u 1 , . . . , u l ) = span(b 1 , . . . , b l )
Verfahren von Gram-Schmidt 2-5

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Induktionsschritt (l → l + 1):
für j ≤ l
〈u l+1 , u j 〉 = 〈b l+1 , u j 〉 − ∑ 〈b l+1 , u k 〉
〈u k , u k 〉 〈u k, u j 〉 = 0
} {{ }
k≤l
δ k,j |u k | 2
=⇒ u 1 , . . . , u l+1 orthogonal
b l+1 − u l+1 ∈ span(u 1 , . . . , u l ) = span(b 1 , . . . , b l )
⇒
Beide Basen spannen denselben Unterraum auf.
Verfahren von Gram-Schmidt 2-6

Beispiel:
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes
〈f , g〉 =
∫ 1
−1
f (x)g(x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen
q j (x) = x j .
Verfahren von Gram-Schmidt 3-1

Beispiel:
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes
〈f , g〉 =
∫ 1
−1
f (x)g(x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen
q j (x) = x j .
Verfahren von Gram-Schmidt:
p 0 = q 0 = 1
Verfahren von Gram-Schmidt 3-2

Beispiel:
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes
〈f , g〉 =
∫ 1
−1
f (x)g(x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen
q j (x) = x j .
Verfahren von Gram-Schmidt:
p 0 = q 0 = 1
∫ 1
−1
p 1 = q 1 −
x · 1 dx
∫ 1
−1 1 · 1 dx · 1 = x − 0 Verfahren von Gram-Schmidt 3-3

Beispiel:
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes
〈f , g〉 =
∫ 1
−1
f (x)g(x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen
q j (x) = x j .
Verfahren von Gram-Schmidt:
p 0 = q 0 = 1
∫ 1
−1
p 1 = q 1 − ∫ x · 1 dx
1
−1 1 · 1 dx · 1 = x − 0
p 2 = q 2 −
∫ 1
−1 x 2 · x dx
∫ 1
−1 x · x dx · x − ∫ 1
−1 x 2 · 1 dx
∫ 1
−1 1 · 1 dx · 1 = x 2 − 0 · x − 1 3
Verfahren von Gram-Schmidt 3-4

Beispiel:
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes
〈f , g〉 =
∫ 1
−1
f (x)g(x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen
q j (x) = x j .
Verfahren von Gram-Schmidt:
p 0 = q 0 = 1
∫ 1
−1
p 1 = q 1 − ∫ x · 1 dx
1
−1 1 · 1 dx · 1 = x − 0
p 2 = q 2 −
∫ 1
−1 x 2 · x dx
∫ 1
−1 x · x dx · x − ∫ 1
−1 x 2 · 1 dx
∫ 1
−1 1 · 1 dx · 1 = x 2 − 0 · x − 1 3
allgemeine Formel: p n+1 = q n+1 − ∑ n 〈q n+1 ,p j 〉
j=0 〈p j ,p j 〉
p j
Verfahren von Gram-Schmidt 3-5

Vereinfachung durch Verwendung von ˜q n+1 (x) = xp n (x) anstelle von
q n+1 (x) = x n+1 .
Verfahren von Gram-Schmidt 3-6

Vereinfachung durch Verwendung von ˜q n+1 (x) = xp n (x) anstelle von
q n+1 (x) = x n+1 .
Legitim, da
span{p 1 , . . . , p n , q n+1 } = span{p 1 , . . . , p n , ˜q n+1 }
Verfahren von Gram-Schmidt 3-7

Vereinfachung durch Verwendung von ˜q n+1 (x) = xp n (x) anstelle von
q n+1 (x) = x n+1 .
Legitim, da
span{p 1 , . . . , p n , q n+1 } = span{p 1 , . . . , p n , ˜q n+1 }
alle Summanden bis auf j = n − 1 Null
Verfahren von Gram-Schmidt 3-8

Vereinfachung durch Verwendung von ˜q n+1 (x) = xp n (x) anstelle von
q n+1 (x) = x n+1 .
Legitim, da
span{p 1 , . . . , p n , q n+1 } = span{p 1 , . . . , p n , ˜q n+1 }
alle Summanden bis auf j = n − 1 Null
j = n : auf Grund der Antisymmetrie des Integranden
〈˜q n+1 , q n 〉 =
∫ 1
−1
x q n (x) q n (x)dx = 0
Verfahren von Gram-Schmidt 3-9

Vereinfachung durch Verwendung von ˜q n+1 (x) = xp n (x) anstelle von
q n+1 (x) = x n+1 .
Legitim, da
span{p 1 , . . . , p n , q n+1 } = span{p 1 , . . . , p n , ˜q n+1 }
alle Summanden bis auf j = n − 1 Null
j = n : auf Grund der Antisymmetrie des Integranden
〈˜q n+1 , q n 〉 =
∫ 1
−1
x q n (x) q n (x)dx = 0
j < n − 1 : [x p j (x)] Linearkombination von p k (x), k < n =⇒
〈˜q n+1 , p j 〉 =
∫ 1
−1
p n (x) [x p j (x)] dx = 0 ,
da p n ⊥ p k
Verfahren von Gram-Schmidt 3-10

andere Normierung Legendre-Polynome
p n (x) = α n x n + . . . , α n = (2n)!
2 n (n!) 2
Verfahren von Gram-Schmidt 3-11

andere Normierung Legendre-Polynome
p n (x) = α n x n + . . . , α n = (2n)!
2 n (n!) 2
Gram-Schmidt-Prozess 3-Term-Rekursion
mit p 0 (x) = 1 und p 1 (x) = x
(n + 1)p n+1 (x) = (2n + 1)xp n (x) − np n−1 (x)
Verfahren von Gram-Schmidt 3-12