Verfahren von Gram-Schmidt - imng

Beweis:
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u l bilden orthogonale Basis für span (b 1 , . . . , b l ).
l = 1 : u 1 = b 1 ̌
Induktionsschritt (l → l + 1):
für j ≤ l
〈u l+1 , u j 〉 = 〈b l+1 , u j 〉 − ∑ 〈b l+1 , u k 〉
〈u k , u k 〉 〈u k, u j 〉 = 0
} {{ }
k≤l
δ k,j |u k | 2
=⇒ u 1 , . . . , u l+1 orthogonal
b l+1 − u l+1 ∈ span(u 1 , . . . , u l ) = span(b 1 , . . . , b l )
⇒
Beide Basen spannen denselben Unterraum auf.
Verfahren von Gram-Schmidt 2-6