Mehrfache partielle Ableitungen - imng

Mehrfache partielle Ableitungen
Zweifache (hintereinander ausgeführte) partielle Ableitungen werden mit
∂ i ∂ j f = f xj x i
= ∂2 f
∂x i ∂x j
bezeichnet. Analog schreibt man ∂ i ∂ j ∂ k . . . f für partielle Ableitungen
höherer Ordnung.
Mehrfache partielle Ableitungen 1-1

Mehrfache partielle Ableitungen
Zweifache (hintereinander ausgeführte) partielle Ableitungen werden mit
∂ i ∂ j f = f xj x i
= ∂2 f
∂x i ∂x j
bezeichnet. Analog schreibt man ∂ i ∂ j ∂ k . . . f für partielle Ableitungen
höherer Ordnung.
Alternativ kann man die Multiindex-Notation
∂ α f = ∂ α 1
1 · · · ∂αn n f , α = (α 1 , . . . , α n ) ,
verwenden, wobei der Index α i ∈ N 0 die Anzahl der partiellen Ableitungen
nach der i-ten Variablen bezeichnet. Die Summe |α| = α 1 + · · · + α n heißt
Ordnung der partiellen Ableitung.
Mehrfache partielle Ableitungen 1-2

Beispiel:
ebene Welle, y ∈ R n fest gewählt:
f (x) = exp(ix t y) = exp(i(x 1 y 1 + ... + x n y n ))
Kettenregel
∂ k f (x) = iy k exp(ix t y)
∂ l ∂ k f (x) = (iy l )(iy k ) exp(ix t y)
und somit
∂ α f (x) = (iy) α exp(ix t y) = i |α| y α exp(ix t y)
mit α = (α 1 , ..., α n ) und y α = y α 1
1 . . . y n
αn
z.B. (n = 2):
∂ (3,4) f = }{{} i 7 y1 3 y2 4 exp(i(x 1 y 1 + x 2 y 2 ))
−i
Mehrfache partielle Ableitungen 2-1