Weg im tv-Diagramm

1. Rennwagen
Lösung: (a) .
Weg im tv-Diagramm
(a) Beschreibe die Fahrt des Rennwagens.
(b) Wie weit kommmt der Rennwagen in den ersten vier Minuten, wie weit kommt
er über den gesamten Zeitraum?
(c) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über den gesamten Zeitraum
ungefähr?
(d) Wiegroßist dieDurchschnittsgeschwindigkeit zwischen derdritten undfünften
Minute ungefähr?
(e) Wann ändert sich die zurückgelegte Weglänge pro Minute am stärksten, wann
am wenigsten?
(f) Skizziere eine mögliche Strecke, die der Wagen gefahren sein kann. Erkläre
deine Strecke mit den Ergebnissen aus a)bis e).
(g) Skizzieren den dazugehörigen Zeit-Geschwindigkeits-Graphen.
(h) Inwelchen Phasen beschleunigt bzw. ,bremst dasFahrzeug? ErkläredeineVermutung
erst am Zeit-Weg-Graphen, dann am Zeit-Geschwindigkeits-Graphen.
Wo ist sie leichte zu erklären?
Quelle: Veränderungen verstehen -ausqualitativer Sicht, StefanHußmann, PMHeft
31, Februar 2010, 52.Jg, S. 4-8
(b) 15km, 30km
(c) 180km/h
(d) 8km
2min = 240km/h
(e) Größte Änderungdes zurückgelegten Weges heißtgrößte Geschwindigkeit. Diese heißt
maximale Steigung des Zeit-Orts-Graphe, also bei 0s.
Kleinste änderungnach analogen Argumenten zwischen 1,5s und 2,5s, 5s und 6s und
ab 9s.
1

2. Geschwindigkeit
Der Graph zeigt einen Geschwindigkeitsverlauf.
(a) Erkläre, warum die markierten Punkte besondere Punkte im Verlauf sind.
(b) Gib den Punkten Namen und erkläre, woran man solche Punkte im Graphen
erkennen kann.
(c) Skizziere den Beschleunigungsgraphen.
(d) ErkläredieEigenschaftenderbeidenPunktenocheinmal,nurdiesesMalalleine
mit Hilfe des Beschleunigungsgraphen.
(e) WelcherPunktlässtsicheinfachermitdemGeschwindigkeitsgraphen erläutern,
welcher mit dem Beschleunigungsgraphen?
(f) Nun gibt die Hochachse die Schneehöhe in cm und die Rechtsachse die Zeit
in Tagen. Wiederhole die Aufgabenstellung a) bis e). Was fällt auf? Denke dir
andere sinnvolle Beschriftungen für die Achsen aus.
nach: Veränderungen verstehen - aus qualitativer Sicht, Stefan Hußmann, PM Heft
31, Februar 2010, 52.Jg, S. 4-8
Lösung: (a) maximale Beschleunigung, maximale Geschwindigkeit
(b) größte Steigung, Maximum
(c) .
(d) Maximum, Nullstelle
3. Ein Schnellzug fährt die 200 km lange Strecke zwischen München und Nürnberg mit
einer als konstant angenommenen Geschwindigkeit von 108 m.
Trage die zu dieser
s
Bewegung gehörende Kurve in ein t–v–Diagramm ein. Als Einheit für die Zeitachse
soll eine Sekunde gewählt werden.
2

Lösung:
4. Nebenstehende Abbildung zeigt das tv-
Diagramm eines PKWs, dessen Fahrer
zur Zeit t0 = 0 plötzlich ein Hindernis
auf der Fahrbahn sieht.
(a) Ermittle den Anhalteweg zwischen
Erkennen des Hindernisses und
Stillstand des Autos.
(b) Wie lautet die Funktionsgleichung
für v im Intervall [1,5s,5,5s]? t
v
km h
100
50
0 1 5
Lösung: (a) ∆x = Fläche unter tv-Diagramm“ = 25
” m 1 m
·1,5s+ ·25 ·4s = 87,5m
s 2 s
(b) v(t) = 25 m 25 m m m
− ·(t−1,5s) = 34,375 −6,25 ·t
s 4 s2 s s2 5. Fahrtenschreiber
60
50
40
30
20
10
v in m
s
0 10
20
Die Abbildung zeigt das Ergebnis eines Fahrtenschreibers zwischen zwei Tankstops
eines PKW’s. Beim zweiten Halt wird der anfänglich volle Tank mit 12,3 Litern
Benzin wieder ganz aufgefüllt. Gesucht ist der möglichst genaue Benzinverbrauch
des Autos auf 100km.
3
30
40
50
s
t
min

Lösung: (a)
(a) Wähle für die Berechnung der Fahrstrecke in den ersten 50min ∆t1 = 10min
und für den Rest ∆t2 = 3min.
(b) Rechne jetzt durchgehend mit ∆t = 1min. Um wieviel Prozent weicht das
ungenauere Ergebnis vom genaueren Ergebnis ab?
(b)
60
50
40
30
20
10
v in m
s
0 10
20
∆x = (6+29+27+54+47) m m
·600s+22 ·180s = 101,76km
s s
12,3l l
Verbrauch: = 12,1
101,76km 100km
60
50
40
30
20
10
v in m
s
0 10
20
30
30
∆x = (1+2+3+5+7+9+12+16+22+28+29+29+29+28+25+23+23+22+
22+22+23+24+26+29+32+35+41+48+54+57+58+58+55+53+51+51+
50+50+50+49+48+47+47+45+43+41+38+31+22+9) m
s ·60s = 101,82km
4
40
40
50
50
t
min
t
min

Verbrauch:
12,3l l
= 12,1
101,82km 100km
Abweichung: δrel = 101,76−101,82
101,82
= −0,06%
6. Ein Auto startet zur Zeit Null und seine Geschwindigkeit ändert sich nach dem
Gesetz:
v(t) = 0,5 m
·t2
s3 Berechne mit Hilfe der Midpoint-Rule einen Näherungswert xn für den Weg, den
das Auto in der Zeit von Null bis 4,8s zurücklegt. Teile dazu das Zeitintervall in
vier gleich große Teilintervalle. Wie groß ist der relative Fehler des berechneten
Näherungswertes, wenn das exakte Ergebnis xe = 18,432m lautet?
Lösung: t1 = 0,6s, t2 = 1,8s, t3 = 3,0s, t4 = 4,2s,
∆t = 1,2s
∆x = (v(t1)+v(t2)+v(t3)+v(t4))·∆t =
= (0,18+1,62+4,5+8,82) m
·1,2s =
s
= 18,144m
δrel = 18,144−18,432
18,432
= −1,56%
10
5
1
0
t1 1 t2 2 3 4 t4
t3
7. Die Geschwindigkeit eines beschleunigten Mopeds ist gegeben durch
v
m
s
v(t) = 0,01 m
·t3
s4 (a) Zeichne den Grafen der Funktion im Intervall [0s,10s].
(b) BerechnenäherungsweisedenWeg∆x,dendasMopedimZeitintervall[2s,10s]
zurücklegt. Zerlege dazu das Intervall in vier Teilintervalle. Veranschauliche
deine Vorgehensweise im schon gezeichneten Diagramm.
(c) Wie groß ist der relative Fehler deines Ergebnisses, wenn der exakte Wert des
Weges ∆xexakt = 24,96m ist?
Lösung: (a) t in s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v in m
s 0 0,01 0,08 0,27 0,64 1,25 2,16 3,43 5,12 7,29 10
5
5
t
s

v
m s
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
(b) ∆t = 10s−2s
= 2s
4
�
∆x = ∆t[v(3s)+v(5s)+v(7s)+v(9s)] = 2s· 0,27 m m m m
�
+1,25 +3,43 +7,29
� s s �� s s �
12,24 m
=
s
24,48m
= 24,48−24,96
= −0,019 = −1,9%
24,96
(c) δrel = ∆x−∆xexakt
∆xexakt
6
5
6
7
8
9
10 t
s