1. Teil: Formale Sprachen und Automatentheorie - Faculty of ...

Tatsächlich gibt es solche Zustände q i , da P n ∩ F ≠ ∅ und für i = n−1,...,0:
P i+1 = δ det (P i ,a i+1 )=
⋃
δ(q,a i+1 ).
q∈P i
Daher gibt es zu jedem Zustand q i+1 ∈ P i+1 einen Zustand q i ∈ P i mit q i+1 ∈ δ(q i ,a i+1 ).
Wegen P 0 = Q 0 ist q 0 ein Anfangszustand und q 0 q 1 ...q n ein Lauf von M für w. Wegen
q n ∈ F ist der Lauf q 0 q 1 ...q n akzeptierend. Also ist w ∈ L(M).
In Abbildung 12 betrachten wir ein einfaches Beispiel für die im Beweis von Satz 2.15 angegebene
Potenzmengenkonstruktion. Links ist der NFA M skizziert, rechts dessen Potenzmengenkonstruktion.
Beispielsweise kann der akzeptierende Lauf q 0 q 1 q 0 q 1 q 0 für das Wort 1010 in
M durch den akzeptierenden Lauf {q 0 }{q 0 ,q 1 }{q 0 }{q 0 ,q 1 }{q 0 } im DFA M det (Potenzmengenkonstruktion)
simuliert werden. Zustand {q 1 } in der Potenzmengenkonstruktion ist unerreichbar.
Er kann daher weggelassen werden, ohne die akzeptierte Sprache zu ändern. Auch auf den
Zustand ∅ kann verzichtet werden, da von ihm kein Endzustand erreichbar ist.
1
q 0 q 1
1
0
0,1
∅
1
{q 1 }
0
1
0
1
{q 0 } {q 0 ,q 1 }
Abbildung 12: Beispiel zur Potenzmengenkonstruktion
0
Beispiel 2.16 (Das Teilsummenproblem). Das Teilsummenproblem bezeichnet folgende kombinatorische
Fragestellung:
• Gegeben ist eine ganze Zahl K 2 und eine nichtleere Folge a 1 a 2 ...a n ∈ {1,...,K} ∗ .
• Gefragt ist, ob es eine Teilmenge I von {1,...,n} gibt, so dass ∑ i∈I
a i = K.
Ein einfacher nichtdeterministischer Algorithmus, der das Teilsummenproblem löst, rät nichtdeterministisch
eine Teilmenge I von {1,...,n} und prüft dann, ob die Teilsumme der geratenen
Indexmenge gleich K ist. Für festes K können wir diese Idee durch einen NFA realisieren. Intuitiv
bearbeitet der Automat die Eingabewerte a 1 ,a 2 ,...,a n der Reihe nach und entscheidet
nichtdeterministisch, die i-te Zahl a i an der Teilsumme zu beteiligen oder nicht. Wir betrachten
folgenden NFA M (K) , dessen Zustände die Zahlen q ∈ {0,1,...,K} sind, welche jeweils für
den Wert der bereits erzielten Teilsummen stehen. Der Automat verfügt über einen eindeutigen
Anfangs- und Endzustand. Der Anfangszustand ist 0; dies entspricht der initialen Teilsumme 0.
Der Endzustand ist K (der gewünschte Wert der Teilsumme). Wir definieren den NFA M (K) wie
folgt:
=({0,1,...,K}, def
{1,2,...,K}, δ, {0}, {K}),
M (K)
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