1. Teil: Formale Sprachen und Automatentheorie - Faculty of ...

wobei
δ(〈q 1 ,q 2 〉,a) = { def
〈p 1 ,p 2 〉 : p 1 ∈ δ 1 (q 1 ,a), p 2 ∈ δ 2 (q 2 ,a) } .
Für den Nachweis der Korrektheit ist zu zeigen, dass
L(M 1 ⊗ M 2 )=L(M 1 ) ∩ L(M 2 ).
Diese Aussage folgt aus der Beobachtung, dass die akzeptierenden Läufe im Produktautomaten
M 1 ⊗ M 2 die Form
〈q 0,1 ,q 0,2 〉〈q 1,1 ,q 1,2 〉 ...〈q n,1 ,q n,2 〉
haben, wobei q 0,1 q 1,1 ...q n,1 ein akzeptierender Lauf in M 1 und q 0,2 q 1,2 ...q n,2 ein akzeptierender
Lauf in M 2 sind. Daher wird jedes Wort in L(M 1 ⊗ M 2 ) auch von M 1 und M 2 akzeptiert.
Liegen umgekehrt akzeptierende Läufe q 0,1 q 1,1 ...q n,1 und q 0,2 q 1,2 ...q n,2 für ein Wort
w in M 1 bzw. M 2 vor, so können diese zu einem akzeptierenden Lauf 〈q 0,1 ,q 0,2 〉〈q 1,1 ,q 1,2 〉 ...
〈q n,1 ,q n,2 〉 im Produktautomaten zusammengesetzt werden. Also ist der Schnitt von L(M 1 )
und L(M 2 ) in der akzeptierten Sprache von M 1 ⊗ M 2 enthalten.
Wird die Produktkonstruktion für zwei DFA M 1 , M 2 durchgeführt, dann entsteht ein DFA,
dessen Übergangsfunktion durch die Formel
{
δ(〈q 1 ,q 2 〉,a) =
def 〈δ1 (q 1 ,a),δ 2 (q 2 ,a)〉 : falls δ 1 (q 1 ,a) ≠ ⊥ und δ 2 (q 2 ,a) ≠ ⊥
⊥ : sonst.
gegeben ist. Der Produktautomat von DFA ist also wieder ein DFA.
Beispiel 2.20 (Durchschnitt, Produkt-DFA). Als Beispiel betrachten wir die zwei DFA M 1
und M 2 links in Abbildung 14, welche die Sprachen
L(M 1 ) = { 1 n 00 m : m,n 0 }
L(M 2 ) = { 0x 1 0x 2 0...0x k 0 : k 0,x 1 ,...,x k ∈ {0,1} }
akzeptieren. Der Produkt-DFA besteht aus vier Zuständen. Diese sind Paare bestehend aus je
einem Zustand von M 1 und M 2 . Der Anfangszustand ist 〈q 0 ,p 0 〉. Der Endzustand ist 〈q 1 ,p 1 〉.
Man überzeugt sich leicht davon, dass die akzeptierte Sprache des Produkt-DFA genau aus den
Wörtern 0 2k+1 , k ∈ IN, besteht. Tatsächlich setzt sich die Durchschnittssprache L(M 1 )∩L(M 2 )
aus genau denjenigen Wörtern w zusammen, die zugleich die Gestalt 1 n 00 m und 0x 1 0...0x k 0,
x i ∈ {0,1}, haben. Also n = 0, x 1 = ...= x k = 0 und m = 2k, und somit 1 n 00 m = 0 2k+1 .
Komplement. Für den Komplementoperator gehen wir von einem DFA M =(Q,Σ,δ,q 0 ,F)
mit einer totalen Übergangsfunktion aus. Einen DFA M für die Komplementsprache L(M) =
Σ ∗ \L(M) erhält man durch Komplementierung der Endzustandsmenge von M:
M
= def
(Q,Σ,δ,q 0 ,Q \ F)
Da M total ist, besitzt jedes Wort w = a 1 a 2 ...a n ∈ Σ ∗ einen “vollständigen” Lauf q 0 q 1 ...q n
in M. Dies ist zugleich der Lauf für w in M. Da die Endzustandsmengen in M und M komplementär
sind, ist q 0 q 1 ...q n genau dann in M akzeptierend, wenn q 0 q 1 ...q n in M verwerfend
ist:
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