1. Teil: Formale Sprachen und Automatentheorie - Faculty of ...

Soweit zur Konstruktion regulärer Grammatiken für gegebenen endlichen Automaten. Umgekehrt
können reguläre Grammatiken in NFA (und mit der Potenzmengenkonstruktion in DFA)
überführt werden. Die Grundidee ist auch hier wieder eine Korrespondenz zwischen Übergängen
q−→p a im NFA und den Regeln q → ap der Grammatik herzustellen.
Lemma 2.17 (Reguläre Grammatik NFA). Zu jeder regulären Grammatik G gibt es einen
NFA M mit L(G)=L(M).
Beweis. Sei G =(V,Σ,P,S) eine reguläre Grammatik. Wir definieren nun einen NFA
M =(Q,Σ,δ,Q def
0 ,F),
der genau die Wörter der von G erzeugten Sprache akzeptiert. Die Zustandsmenge von M ist
Q = def
V ∪ {q F }, wobei q F /∈ V.
def
Die Anfangszustandsmenge besteht aus dem Startsymbol von G, also Q 0 = {S}. Die Endzustandsmenge
enthält den Spezialzustand q F sowie alle Variablen A, aus denen das leere Wort
herleitbar ist:
F = { } { }
def
q F ∪ A ∈ V : A → ε
Die Übergangsfunktion δ ist durch folgende beiden “Axiome” gegeben:
B ∈ δ(A,a) gdw A → aB
q F ∈ δ(A,a) gdw A → a
Dabei sind A, B ∈ V und a ∈ Σ. Weiter ist δ(q F ,a) = def
∅ für alle a ∈ Σ.
Wir zeigen nun die Korrektheit der angegebenen Konstruktion. Hierzu ist L(M)=L(G) nachzuweisen.
Zunächst stellen wir fest, dass das leere Wort entweder zu beiden Sprachen L(M)
und L(G) oder zu keiner der beiden Sprachen gehört:
ε ∈ L(G) gdw S → ε gdw S ∈ F gdw ε ∈ L(M).
Sei nun w = a 1 a 2 ...a n ∈ Σ + . Zu zeigen ist, dass w genau dann in L(M) liegt, wenn w eine
Herleitung in G besitzt.
Wir nehmen zunächst an, dass w ∈ L(G). Das Startsymbol ist per Definition der einzige Anfangszustand,
also Q 0 = {S}. Da G eine reguläre Grammatik ist, gibt es zwei Arten von Ableitungen
für das Wort w.
1. Fall: Sei
S ⇒ a 1 B 1 ⇒ a 1 a 2 B 2 ⇒ ∗ a 1 a 2 ...a n−1 B n−1 ⇒ a 1 a 2 ...a n−1 a n
die Ableitung des Wortes win G. Während die Regeln B i−1 → a i B i bzw. S → a 1 B 1 in G
a
Transitionen B i i−1 −→ Bi bzw. S a 1
−−→B 1 in M für i = 2,...,n − 1 entsprechen, korrespondiert
a
die Regel B n−1 → a n mit der Transition B n n−1 −−→q F . Da q F ein Endzustand ist, bildet die
Zustandsfolge SB 1 B 2 ...B n−1 q F einen akzeptierenden Lauf in M. Damit ist w ∈ L(M).
2. Fall: Nun sei
S ⇒ a 1 B 1 ⇒ a 1 a 2 B 2 ⇒ ∗ a 1 a 2 ...a n−1 B n−1 ⇒ a 1 a 2 ...a n−1 a n B n ⇒ a 1 a 2 ...a n−1 a n
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