DIPLOMARBEIT Numerische Simulation von Offshore ...

DIPLOMARBEIT 

zum Thema 

Numerische Simulation von Offshore Windkraftanlagen 

mit Berücksichtigung der Wellenabstrahlung in den Baugrund 

von: 

cand. ing. 

Marco Schauer 

Matrikelnummer 2677792 

vorgelegt bei: 

PD Dr.-Ing. Lutz Lehmann 

Prof. Dr.-Ing. Sabine Langer 

Institut für Angewandte Mechanik 

Technische Universität Carolo Wilhelmina zu Braunschweig 

September 2007

Inhaltsverzeichnis 

i 


1 Einleitung 1 

1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.3 Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2 Numerische Verfahren 5 

2.1 Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.1.1 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.1.2 Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.1.1.3 Bewegungsdifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . 7 

2.1.2 3D Balkenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.1.2.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.1.2.2 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.1.2.3 Steifigkeits- und Massenmatrix . . . . . . . . . . . . . 9 

2.1.2.4 Elementlastvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.2 Zeitschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.1 Zeitintegrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.1.1 Newmark-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.1.2 Hilber-Hughes-Taylor-α-Verfahren . . . . . . . . . . . 12 

2.2.2 Zeitschrittlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.2.3 Systemenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3 Scaled Boundary Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.3.1.1 Arbeitssatz im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.1.2 Transformation vom Frequenz- in den Zeitbereich . . . 17 

2.3.2 Kopplung mit der Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . 17 

3 Windkraftanlage 19 

3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.1.1 Gründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.1.2 Turmkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.1.3 Maschinengondel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.1.4 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.1.4.1 Lee- und Luvläufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.2 Energieumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


ii 

4 Modellbildung der Offshore-Windkraftanlage in 

Teilsystemen 27 

4.1 Baugrundmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

4.2 Gründungsmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.3 Turmmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.4 Lastannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.4.1 Windlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.4.2 Wellenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.4.3 Weitere Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

5 Kombination und Kopplung der Teilsysteme 41 

5.1 Turm als Kragarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5.1.1 Statische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.1.2 Dynamische Analyse ungedämpfter Systeme . . . . . . . . . . . 44 

5.1.2.1 Einwirkende Windlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.1.2.2 Einwirkende Wellenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.1.2.3 Kombination von Wind- und Wellenlasten . . . . . . . 46 

5.1.3 Dynamische Analyse gedämpfter Systeme . . . . . . . . . . . . . 47 

5.2 Im Boden gegründeter Turm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.2.1 Finite Elemente Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.2.1.1 Statische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.2.1.2 Dynamische Analyse ungedämpfter Systeme . . . . . . 52 

5.2.1.3 Dynamische Analyse gedämpfter Systeme . . . . . . . 55 

5.2.2 Scaled Boundary Finite Elemente Modell . . . . . . . . . . . . . 56 

6 Zusammenfassung 61


iii 

A Quellenverzeichnis 

xiii 

A.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii 

A.2 Befragte Personen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi 

B Offshore-Windparks in Nord- und Ostsee 

C Zusammenfassung der Modellgrößen 

xvii 

xix 

D Bodenkonfiguration mit FEM und SBFEM 

xxi 

D.1 FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi 

D.2 FEM/SBFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii 

E Eidesstattliche Erklärung 

xxiii

Abbildungsverzeichnis 

iv 


1.1 Entwicklung regenerativer Energien in Deutschland 1991-2030 . . . . . 2 

2.1 Boden Bauwerk Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.2 Dreidimensionale Scaled Boundary Transformation . . . . . . . . . . . 15 

3.1 a) Schwergewichtsgründung b) Monopile c) Tripod . . . . . . . . . . . 20 

3.2 Betz-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

4.1 Boden als FE Modell und gekoppelt mit der SBFEM . . . . . . . . . . 29 

4.2 Modellreduktion der Gründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.3 Modellreduktion des Turmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

4.4 Abschätzungen des Windgeschwindigkeitsprofils Onshore und Offshore 36 

4.5 Höhenabhängige Turbulenzintensität Onshore und Offshore . . . . . . . 37 

4.6 Angreifende Windlasten in x-, y- und z-Richtung . . . . . . . . . . . . 37 

4.7 Angreifende Wellenlasten in x- und y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . 39 

5.1 Systemskizze: Turm mit unterschiedlichen Lastfallkombinationen . . . . 41 

5.2 Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

5.3 Mittlere sowie maximale Kräfte aus dem Seegang . . . . . . . . . . . . 43 

5.4 Auslenkung der Turmspitze bei Windeinwirkung . . . . . . . . . . . . . 45 

5.5 Auslenkung der Turmspitze bei Welleneinwirkung . . . . . . . . . . . . 45 

5.6 Auslenkung der Turmspitze bei Wind- und Welleneinwirkung . . . . . . 46 

5.7 Vergleich der x-Auslenkung der drei Lastfälle . . . . . . . . . . . . . . . 46 



5.10 Systemskizze des gegründeten Turmes FEM . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.11 Infiniter Boden unter horizontaler Belastung . . . . . . . . . . . . . . . 50 

5.12 Statische Verschiebung des Sandbodens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

5.13 Statische Verschiebung des Mergelbodens . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

5.14 Statische Verschiebung des geschichteten Bodens . . . . . . . . . . . . . 51 

5.15 Vergleich zweier Ergebnisse mit unterschiedlichen Zeitschrittlängen . . . 52 

5.16 Auslenkung der Turmspitze im a) Sandboden, b) Mergel und c) geschichteten 

Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

5.17 Verschiebung der Gründung a) 10x10x30, b) 20x20x30 und c) 30x30x30 54 


Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

5.19 Verschiebung der Gründung a) 10x10x30, b) 20x20x30 und c) 30x30x30 57 


Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


v 

5.21 Verschiebung der Gründung a) 10x10x30 und b) 20x20x30 . . . . . . . 59 

5.22 Skizze: a) Aktuelles Netz b) verfeinertes modifiziertes Netz . . . . . . . 60 

B.1 Offshore-Windparks in der Nordsee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii 

B.2 Offshore-Windparks in der Ostsee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

Tabellenverzeichnis 

vi 

Tabellenverzeichnis 

2.1 Lineare Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2 Hermite-Polynome 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

4.1 Modellparameter des Baugrundes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.2 Modellparameter der Gründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.3 Modellparameter der in [20] beschriebenen Offshore-Windkraftanlage . 31 

4.4 Dem Turmmodell zugewiesene Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

4.5 Gewählte Parameter zur Windprofilbestimmung . . . . . . . . . . . . . 35 

5.1 Mittlere sowie maximale Kräfte aus dem Wind . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.2 Ergebnisse der statischen Untersuchung des Kragarms . . . . . . . . . . 44 

5.3 Statische Verschiebungen des Turms in x-Richtung . . . . . . . . . . . 52 

C.1 Zusammenfassung der Modellgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 

D.1 Bodenmodellierung mit FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi 

D.2 Bodenmodellierung mit FEM und SBFEM . . . . . . . . . . . . . . . . xxii

Nomenklatur 

vii 

Nomenklatur 

Römisches Alphabet 

Variable Einheit 

Benennung 

A [m 2 ] Fläche 

C 

[ kg ] s 

Dämpfungsmatrix 

C [-] Koeffizientenmatrix 

c [ m] s Wellengeschwindigkeit 

c k [-] Steifigkeitsskalierungsfaktor 

c m [-] Massenskalierungsfaktor 

c p [-] Betzfaktor 

c p [ m] s Druckwellengeschwindigkeit 

c s [ m] s Scherwellengeschwindigkeit 

D [-] Operatormatrix 

d [m] Durchmesser 

E [ N ] 

m 2 Elastizitätsmodul 

E [Nm] Energie 

E s [ N ] 

m 2 Steifemodul 

F [N] Kraft 

f [ N ] 

m 3 Volumenlastvektor 

G [ N ] 

m 2 Schubmodul 

g [ m ] 

s 2 Erdbeschleunigung 

H [-] Hilfsmatrix 

H s [m] Wellenhöhe 

h [m] Höhe 

I [m 4 ] Flächenträgheitsmoment 

I u [%] Turbulenzintensität 

K [ N ] m Steifigkeitsmatrix 

K [ N ] 

m 2 Kompressionsmodul 

k [-] Karman-Konstante 

l [m] Länge 

M [kg] Massenmatrix 

M [-] Koeffizientenmatrix 

M ∞ 

[ kg ] s 

M [Nm] Moment 

Einheitsimpulsmatrix

Nomenklatur 

viii 

m [kg] Masse 

N [-] Ansatzmatrix 

N [N] Normalkraft 

P [W] Leistung 

p [N] Knotenlastvektor 

p [N] Last 

r [m] Radius 

S ∞ 

[ kg ] 

s 3 

Dynamische Steifigkeitsmatrix 

T 0 [s] Nulldurchgangsperiode 

t [ N ] m Randlastvektor 

t [s] Zeit 

u [m] Verschiebungsvektor 

˙u [ m] s Geschwindigkeitsvektor 

ü [ m ] 

s 2 Beschleunigungsvektor 

u,v,w [m] Verschiebung in x,y,z 

˙u, ˙v, ẇ [m] Geschwindigkeit in x,y,z 

ü, ¨v, ẅ [m] Beschleunigung in x,y,z 

V [m 3 ] Volumen 

W [m 3 ] Widerstandsmoment 

x,y,z [-] Kartesische Koordinaten 

z 0 [m] Rauhigkeitslänge

Nomenklatur 

ix 

Griechisches Alphabet 

Variable Einheit 

Benennung 

α,β,γ [-] Wichtungsfaktor im Zeitschrittverfahren 

γ 

γ ′ 

[ kN ] 

m 3 

[ kN ] 

m 3 

Wichte 

Wichte unter Auftrieb 

Γ [-] Gebietsrand 

∆ [-] Zeitschritt 

δ [-] virtuell 

ǫ [-] Dehnungstensor 

ǫ [-] Dehnung 

κ [ 1 ] m Krümmung 

ν [ 1 ] m Querdehnzahl 

ξ,η,ζ [-] Koordinaten zur Beschreibung der SBFEM 

φ [-] Ansatzfunktion 

ϕ [ ◦ ] Verdrehung 

ρ 

[ kg ] 

m 3 

Dichte 

σ [ N m 2 ] Spannungstensor 

σ [ N ] 

m 2 Spannung 

Ω [-] Gebiet 

ω [Hz] Frequenz

Nomenklatur 

x 

Indizes 

Index 

Benennung 

0 Ausgangsgröße 

A, B Knoten A,B 

Boden 

B 

B 

b 

el 

f 

G 

ges 

kin 

krit 

kub 

lin 

m 

max 

min 

pot 

r 

ref 

s 

T 

W 

Bö 

Randknoten der FEM 

Element 

Fluid 

Gründung 

Gesamt 

Kinetisch 

Kritisch 

Kubisch 

Linear 

Mittel 

Maximum 

Minimum 

Potentiell 

Randknoten der SBFEM 

Referenz 

Strukturknoten der FEM 

Turm 

Wind

Nomenklatur 

xi 

Abkürzungen 

Abkürzung 

Benennung 

BEM 

FE 

FEM 

FHG 

FINO 

HHTα 

JONSWAP 

LF 

PvV 

REM 

SBFE 

SBFEM 

Boundary Element Method 

Finite Elemente 

Finite Elemente Methode 

Freiheitsgrade 

Forschungsplattformen in Nord und Ostsee 

Hilber-Hughes-Taylor-α 

Joint North Sea Wave Project 

Lastfall 

Prinzip der virtuellen Verschiebung 

Rand Elemente Methode 

Scaled Boundary Finite Elemente 

Scaled Boundary Finite Elemente Methode

Nomenklatur 

xii

Einleitung 1 

1 Einleitung 

1.1 Motivation 

Die wachsende Forderung nach alternativen Energieträgern zu den herkömmlichen 

fossilen Brennstoffen führte in den letzten Jahren zu einem vermehrten kommerziellen 

Einsatz regenerativer Energien zur Stromgewinnung. Verwendung hierfür finden zum 

einen in der Natur frei zur Verfügung stehende Energieträger wie Wasser, Solarenergie, 

Wind oder Biomasse, zum anderen neuartige Technologien wie beispielsweise die 

Geothermie. Der Vorteil bei der Verwendung regenerativer Energien liegt insbesondere 

an ihrer CO 2 -Neutralität, ihrer nahezu grenzenlosen Verfügbarkeit, einer Schadstoffreduzierung 

auf ein Minimum und zusätzlich einer Reduktion fossiler Rohstoffimporte. 

Derzeit liegt der Anteil regenerativer Energien in Deutschland bei ungefähr 12%, bis 

zum Jahr 2020 soll dieser auf rund 27% anwachsen [5]. 

Ein Großteil des regenerativ gewonnenen Stromes wird in Deutschland mit Hilfe von 

auf dem Land errichteten Windkraftanlagen - so genannten Onshore-Anlagen - erzeugt. 

2006 sind hierzulande bereits 18. 685 Windkraftanlagen mit einer Gesamtleistung von 

20. 622 Megawatt installiert worden. Der Bundesverband WindEnergie e.V. gibt für 

das gleiche Jahr eine Einspeisung von 30,5 Terawattstunden an, dies entspricht ungefähr 

7% des gesamten ins deutsche Stromnetz eingespeisten Stromes [7]. 

Zukünftig sollen neben den auf dem Land errichteten Onshore-Anlagen weitere auf 

dem Wasser installiert werden. Diese so genannten Offshore-Anlagen sollen außerhalb 

der 12-Meilen-Zone errichtet werden und aufgrund einer ungestörten und somit gleichmäßigen 

Anströmung des Windes zu einer massiven Steigerung der Effizienz führen. 

Bei diesen Windkraftanlagen handelt es sich um sehr hohe und schlanke Bauwerke, 

die wegen der starken äußeren Belastungen durch Wind und Wasser derzeit für einen 

Nutzungszeitraum von 20 bis 25 Jahren ausgelegt werden. 

Der erste deutsche Offshore-Windpark Borkum-West, der vorerst zwölf 5-Megawatt 

Anlagen umfassen soll, soll bereits 2008 ans Netz gehen. Diese Anlagen gehören zurzeit 

mit einem Rotordurchmesser von über 100m zu den leistungsstärksten der Welt 

[37]; bis zur Fertigstellung des Windparks 2012 soll dieser auf 208 Anlagen erweitert 

werden. Weitere Neubauten sind für die nächsten Jahre geplant (vgl. B.1 und B.2 im 

Anhang).

Einleitung 2 

Verschiedene Gutachten, wie zum Beispiel das des Bundesministeriums für Umwelt, 

Naturschutz und Reaktorsicherheit [5], ergaben, dass bei den regenerativen Energieträgern 

Offshore-Anlagen das größte Wachstumspotential aufweisen. Gutachten prognostizieren, 

dass diese bis 2020 einen Anteil von 19% bei den regenerativen Energien 

erreichen werden. Einen Überblick hierzu liefert Abbildung 1.1, die die Entwicklung 

regenerativer Energien in Deutschland zeigt. 

Abbildung 1.1: Entwicklung regenerativer Energien in Deutschland 1991-2030 [5] 

Allerdings musste der Einsatz von Offshore-Anlagen in der Vergangenheit schon einige 

Rückschläge erfahren. So berichtet zum Beispiel DIE ZEIT in ihrem Artikel „Abenteuer 

auf hoher See“ [13] über massive Reparaturarbeiten an den 30 Windkraftanlagen 

vor der britischen Ostküste von Scroby Sands. Dort mussten sämtliche Hauptlager der 

Getriebe aufgrund vorzeitigen Verschleißes ausgetauscht werden. Des Weiteren wird 

berichtet, dass zwei Jahre zuvor bereits bei allen 80 Anlagen des dänischen Offshore-Windparks 

Horns Rev alle Maschinenhäuser ausgetauscht werden mussten. Schuld 

seien die schweren Bedingungen auf hoher See gewesen. Diese Beispiele zeigen, dass 

die offshore-Technik derzeit noch nicht vollständig ausgereift ist und daher in weiterführenden 

Forschungsprojekten noch viel Entwicklungsarbeit zu leisten ist.

Einleitung 3 

1.2 Zielsetzung 

In dieser Diplomarbeit soll eine Offshore-Windkraftanlage samt Baugrund mit Hilfe einer 

Kopplung der Finite Elemente Methode und der Scaled Boundary Finite Elemente 

Methode modelliert und dann auf ihr dynamisches Verhalten untersucht werden. 

1.3 Gliederung 

Begonnen wird in Kapitel 2 mit einer Einführung in die hier genutzten numerischen 

Verfahren. Die Finite Elemente Methode sowie die Scaled Boundary Finite Elemente 

Methode werden kurz beschrieben, um die jeweiligen Grundlagen der Methode zu erläutern 

und die Funktion sowie Anwendungsgebiet zu erklären. 

Ein Überblick über Konstruktion sowie Funktionsweise einer modernen Windkraftanlage 

soll in Kapitel 3 vermittelt werden. Dabei wird insbesondere auf die Gründung, 

den Turm und den Rotor eingegangen. Des Weiteren wird ebenfalls in die Grundlagen 

der Umwandlung von Windenergie in die zur Stromgewinnung nutzbare Rotationsenergie 

eingeführt. 

In Kapitel 4 erfolgt eine ausführliche Beschreibung der Modellbildung. Hierzu zählt 

zum einen die Modellierung der Offshore-Windkraftanlage samt Baugrund und zum 

anderen die Modellierung der einwirkenden Lasten aus Wind und Seegang, wobei die 

Windkraftanlage in einzelnen Segmenten modelliert werden soll. 

Schritt für Schritt werden die modellierten Segmente in Kapitel 5 zusammengesetzt 

und in ihrer jeweiligen Konfiguration untersucht. Begonnen wird mit dem einfachsten 

System: dem Turm als Kragarm, dieser wird sowohl statisch als auch dynamisch untersucht. 

Im Anschluss daran wird das Modell um eine Gründung und den Baugrund 

erweitert. Es erfolgt auch für dieses Modell eine statische sowie dynamische Untersuchung. 

Im letzten Schritt wird das bis dahin auf Basis der Finite Elemente Methode 

basierende Modell mit der Scaled Boundary Finite Elemente Methode gekoppelt und 

ebenfalls untersucht. 

Den Abschluss dieser Diplomarbeit bildet Kapitel 6. In diesem werden die in der Arbeit 

gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst und diskutiert.

Einleitung 4

Numerische Verfahren 5 

2 Numerische Verfahren 

2.1 Finite Elemente Methode 

Die Finite Elemente Methode - kurz FEM - ist ein Verfahren zum Lösen partieller 

Differentialgleichungen innerhalb eines definierten Gebiets Ω. Im folgenden Abschnitt 

wird ein kurzer Überblick über diese Methode gegeben, weiterführende Informationen 

zur Herleitung und Erweiterung dieses Verfahrens sind der einschlägigen Fachliteratur 

zu entnehmen [1, 2, 42 und 43]. 

2.1.1 Grundlagen 

2.1.1.1 Arbeitssatz 

Es gibt eine Reihe verschiedener Möglichkeiten diese Methode zu realisieren: Die meist 

verwendete Formulierung zur Beschreibung der Gleichgewichtsbedingung ist die der 

virtuellen Verschiebung. Hierbei werden sowohl innere als auch äußere Arbeiten im 

Gebiet Ω und Gebietsrand Γ betrachtet und aufsummiert 

∫ ∫ 

∫ ∫ 

δA = δǫ T σdΩ − δu T (κ ˙u + ρü)dΩ − δu T fdΩ − δu T tdΓ = 0. (2.1) 

Ω 

Ω 

Ω 

Γ 

Sobald die Verschiebungen u die geometrischen Randbedingungen erfüllen, entspricht 

Gleichung (2.1) der Gleichgewichtsbedingung. Um dies zu gewährleisten, werden zwei 

weitere Gleichungen zur Bestimmung der Verschiebungen eingeführt: Hierzu zählen 

zum einen die kinematischen Beziehungen 

ǫ = Du (2.2) 

zum anderen das Materialgesetz 

σ = Eǫ . (2.3) 

Bei Einsetzen der Gleichungen (2.2) und (2.3) in Gleichung (2.1) folgt 

∫ 

∫ 

∫ ∫ 

δA = δDδu T EǫdΩ − δu T (κ ˙u + ρü) dΩ − δu T fdΩ − δu T tdΓ = 0. (2.4) 

Ω 

Ω 

Ω 

Γ 

Diese Formulierung beinhaltet das Gleichgewicht, die kinematischen Bedingungen sowie 

das Materialgesetz. Zur Bestimmung der unbekannten Verschiebungen u werden 

die Integrale von Gleichung (2.4) anschließend in eine endliche Menge Teilintegrale 

zerlegt, so dass 

n∑ 

δA ≈ δA el = 0 (2.5) 

gilt. Diese Teilintegrale werden somit von einzelnen Elementen repräsentiert. 

i=1


2.1.1.2 Ansatzfunktionen 

Zur Lösung der im vorherigen Abschnitt hergeleiteten Teilintegrale werden mit Hilfe 

einer definierten Anzahl m von Ansatzfunktionen die approximierten Verschiebungen 

ũ elementweise bestimmt. 

m∑ 

ũ(x,t) = N i (ξ)u i (t) = Nũ(t) (2.6) 

i=1 

Um eine einfachere Betrachtung der gewählten Ansatzfunktionen zu ermöglichen, werden 

die globalen Koordinaten x auf Elementebene in lokale Koordinaten ξ transformiert. 

Aufgrund der approximierten Verschiebungen ũ ergeben sich zudem Näherungen 

für die kinematischen Bedingungen und das Materialgesetz 

˜ǫ(x,t) = DNũ(t), 

˜σ(x,t) = E(DN)ũ(t), 

(2.7) 

für die virtuellen Größen wird dieser Ansatz ebenfalls gewählt 

δu(x,t) = Nδu(t), 

δǫ(x,t) = DNδu(t). 

(2.8) 

Durch Einsetzen der zuvor hergeleiteten Zusammenhänge in Gleichung (2.4) ergibt 

sich der Vorteil, dass symmetrische Matrizen entstehen, wodurch sich das Lösen des 

Gleichungssystems einfacher gestaltet [33]. 

∫ 

δA = δu T (DN) T E(DN)u(t)dΩ 

Ω 

∫ 

− δu T N T (κN ˙u + ρNü)dΩ 

Ω 

∫ 

(2.9) 

− δu T N T fdΩ 

∫Ω 

− δu T N T tdΓ = 0 

Γ


2.1.1.3 Bewegungsdifferentialgleichung 

Wird der Arbeitssatz aus Gleichung (2.9) in die Matrix-Vektor-Schreibweise überführt, 

ergibt sich mit der Massenmatrix M, der Dämpfungsmatrix C, der Steifigkeitsmatrix 

K und dem Lastvektor p 

∫ 

M = N T (ρN)dΩ , 

Ω 

∫ 

C = N T (κN)dΩ , 

Ω 

∫ 

(2.10) 

K = (DN) T E(DN)dΩ , 

Ω 

∫ ∫ 

p = N T fdΩ + N T tdΓ 

Ω 

Γ 

die Bewegungsdifferentialgleichung 

Mü(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = p(t). (2.11) 

Dabei gestaltet sich die Ermittlung des gelegentlich frequenzabhängigen Dämpfungsparameters 

κ als sehr schwierig oder ist nur mit Hilfe aufwändiger Messungen möglich, 

was dazu führt, dass die Dämpfungsmatrix C häufig als so genannte Rayleigh- 

Dämpfung umgesetzt wird: 

C = c m M + c k K (2.12) 

Zur Realisierung der Dämpfung werden Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix miteinander 

gekoppelt. Das Problem, die skalaren Wichtungsfaktoren c m und c k angemessen 

zu wählen, besteht allerdings weiterhin. 

Für den statischen Fall ist die Berechnung der Zustandsgrößen einfach, da lediglich 

ein Teil von Gleichung (2.11) berücksichtigt werden muss: Es gilt Ku = p bzw. bei 

Berücksichtigung des Eigengewichts Ku = p − Mü, wobei ü hier der Erdbeschleunigung 

g = 9,81 m entspricht. In diesem speziellen Fall hat die Zeit keinerlei Einfluss 

s 2 

auf das System, da es sich zeitlich nicht verändert. 

Soll jedoch die zeitliche Veränderung eines dynamischen Systems bestimmt werden, ist 

das Lösen der gesamten Differentialgleichung (2.11) erforderlich. Dies kann mit Hilfe 

verschiedener Zeitschrittverfahren realisiert werden (vgl. Abschnitt 2.2).


2.1.2 3D Balkenelement 

Für die Simulation des Turms und der Monopile-Gründung wird ein dreidimensionales 

Balkenelement benötigt, das mit Hilfe zweier Knoten A und B beschrieben wird. Dabei 

besteht die Forderung, dass an diesen Knoten Lasten in alle drei Raumrichtungen 

angreifen können. 

2.1.2.1 Grundgleichungen 

Zur Beschreibung des Systems werden die drei Grundgleichungen 

1. Gleichgewicht 

2. Werkstoffgesetz 

N x,x + p x = 0, 

M y,xx + p y = 0, 

M z,xx + p z = 0, 

N x − EAǫ x = 0, 

M T − GI ω · (−ϕ x ) = 0, 

M y − EI y · (−κ y ) = 0, 

M z − EI z · (−κ z ) = 0 

(2.13) 

(2.14) 

3. und Verformungsbedingungen 

u ,x − ǫ x = 0, 

v ,xx − κ y = 0, 

w ,xx − κ z = 0 

(2.15) 

aufgestellt, wobei hier x, y und z die jeweilige Richtung im kartesischen Koordinatensystem 

und u, v und w die dazugehörige Verschiebung angeben. Wie aus den Gleichungen 

(2.13) bis (2.15) hervorgeht, werden bei dieser Formulierung Dehnung, Torsion 

und Biegung des Balkens berücksichtigt. Im Folgenden werden die inneren und äußeren 

Arbeiten des Systems mit dem Arbeitssatz bilanziert, um eine übersichtlichere 

Beschreibung des Gesamtsystems zu ermöglichen. 

2.1.2.2 Arbeitssatz 

Der Arbeitssatz wird nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV) formuliert 

∫ 

δA = (δǫN + δϕM T + δκ y M y + δκ z M z + δup x + δvp y + δwp z )dx (2.16)


und anschließend nach partieller Integration in die Arbeitsgleichung überführt 

∫ 

∫ 

δA = (δu ,x EAǫ)dx − (δϕ ,x GI ω ϕ ,x )dx 

∫ 

∫ 

− (δv ,xx EI y v ,xx )dx − (δw ,xx EI z w ,xx ) dx 

∫ 

+ (δup x + δvp y + δwp z )dx 

∫ 

∫ 

−δA = − (δu ,x EAǫ)dx + (δϕ ,x GI ω ϕ ,x )dx 

∫ 

∫ 

+ (δv ,xx EI y v ,xx )dx + (δw ,xx EI z w ,xx )dx 

∫ 

− (δxp u + δvp y + δwp z )dx. 

(2.17) 

Die Randterme sind in Gleichung (2.17) allerdings nicht berücksichtigt. Um die für 

das Element benötigten Matrizen zu erhalten, wird die Arbeitsgleichung in Matrizenschreibweise 

überführt, so dass 

(∫ l 

−δA = δũ T N T D T EDN dxũ − 

0 

(∫ l 

= δũ T H T EH dxũ − 

0 

∫ l 

0 

∫ l 

0 

N T pdx 

) 

N T pdx 

) (2.18) 

gilt. Hieraus ergibt sich, dass die Normalkraft N x , das Torsionsmoment M T sowie die 

Biegemomente M y und M z als Spannungsgrößen Arbeit leisten. Aufgrund von Gleichung 

(2.3) beinhaltet die Matrix E somit die Dehnsteifigkeit EA, die Torsionssteifigkeit 

GI ω sowie die Biegesteifigkeiten EI y und EI z . 

2.1.2.3 Steifigkeits- und Massenmatrix 

Zur Ermittlung der bereits in Abschnitt 2.1.1.3 beschriebenen Steifigkeits- und Massenmatrix 

werden diese nach der Definition aus Gleichung (2.10) erstellt. Für die Bestimmung 

der Dehnung sowie Torsion des Elementes werden lineare Ansatzfunktionen 

aus Tabelle 2.1 gewählt. 

i φ lini φ lini,x 

1 

x 

l 

1 

l 

2 1 − x l 

− 1 l 

Tabelle 2.1: Lineare Ansatzfunktionen


Zur Berücksichtigung der Durchbiegung des Elements werden kubische Ansatzfunktionen 

- so genannte Hermite Polynome - aus Tabelle 2.2 angesetzt. 

i φ kubi φ kubi,xx 

1 1 − 3x2 

l 2 

2 x − 2x2 

l 

3 

3x 2 

l 2 

+ 2x3 − 6 + 12x2 

l 3 l 2 l 3 

+ x3 − 4 + 6x 

l 2 l l 2 

− 2x3 6 

− 12x2 

l 3 l 2 l 3 

4 − x2 + x3 − 2 + 6x2 

l 2 l 3 l 2 l 3 

Tabelle 2.2: Hermite-Polynome 3. Ordnung 

Gleichung (2.20) fasst die Elementsteifigkeitsmatrix sowie Elementmassenmatrix zusammen 

(vgl. [8 und 19]). Dabei ist deutlich zu erkennen, dass aufgrund der fehlenden 

Verknüpfungen zwischen Dehnungsanteil, Torsionsanteil und der beiden Biegeanteile 

keinerlei Abhängigkeiten bestehen. Dieser Umstand ermöglicht eine sehr einfache 

Validierung, da das dreidimensionale Element nun mit Hilfe von zweidimensionalen 

Ansätzen analytisch überprüft werden kann (vgl. Abschnitt 5.1). 

2.1.2.4 Elementlastvektor 

Der Lastvektor p ergibt sich für konstante Belastungen in y- und z-Richtung an den 

Knoten A und B aus p = N T ˜p zu: 

p T = l 2 

[ 

] 

l l 

l l 

q Ax q Ay q Az q Aw −q Az q 

6 Ay q 

6 Bx q By q Bz q Bw q Bz −q 

6 By 6 

(2.19)

⎡ 

K = 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

M = ρl 

⎢ 

⎣ 

EA 

l 

0 0 0 0 0 − EA 

l 

0 0 0 0 0 

12EI 

0 

z 

6EI 

0 0 0 

z 

0 − 12EIz 0 0 0 

l 3 l 2 l 3 

12EI 

0 0 

y 

0 − 6EIy 0 0 0 − 12EIy 0 − 6EIy 0 

l 3 l 2 l 3 l 2 

GI 

0 0 0 

ω 

l 

0 0 0 0 0 − GIω 

l 

0 0 

0 0 − 6EIy 4EI 

0 

y 

6EI 

l 2 l 

0 0 0 

y 

2EI 

0 

y 

l 2 l 

0 

6EI 

0 

z 

4EI 

0 0 0 

z 

l 2 l 

0 − 6EIz 0 0 0 

l 2 

− EA 

l 

0 0 0 0 0 

EA 

l 

0 0 0 0 0 

0 − 12EIz 0 0 0 − 6EIz 12EI 

0 

z 

0 0 0 − 6EIz 

l 3 l 2 l 3 l 2 

0 0 − 12EIy 6EI 

0 

y 

12EI 

0 0 0 

y 

4EI 

0 

y 

l 3 l 2 l 3 l 

0 

0 0 0 − GIω 

GI 

l 

0 0 0 0 0 

ω 

l 

0 0 

0 0 − 6EIy 2EI 

0 

y 

6EI 

l 2 l 

0 0 0 

y 

4EI 

0 

y 

l 2 l 

0 

6EI 

0 

z 

2EI 

0 0 0 

z 

l 2 l 

0 − 6EIz 

4EI 

0 0 0 

z 

l 2 l 

A 

A 

3 

0 0 0 0 0 

6 

0 0 0 0 0 

13A 

0 

65 + 6Iz 

11Al 

0 0 0 

l 2 210 + Iz 9A 

10l 

0 

70 − 6Iz 0 0 0 

5l 2 

13A 

0 0 

65 + 6Iz 0 − 11Al 

l 2 210 − Iz 

9A 

10l 

0 0 0 

70 − 6Iz 13Al 

0 

5l 2 420 − Iz 

10l 

0 

I 

0 0 0 y+I z 

I 

3 

0 0 0 0 0 y+I z 

3 

0 0 

0 0 − 11Al 

210 − Iz 

Al 

10l 

0 2 

105 + 2Iy 

I 

15 

0 0 0 

y 

10l − 13Al 

420 

0 − Al2 

140 − Iy 

30l 

0 

11Al 

0 

210 + Iz 

Al 

10l 

0 0 0 2 

105 + 2Iy 13Al 

15 

0 

420 − Iy 

10l 

0 0 0 − Al2 

A 

A 

6 

0 0 0 0 0 

3 

0 0 0 0 0 

9A 

0 

70 − 6Iz 

13Al 

0 0 0 

5l 2 420 − Iy 13A 

10l 

0 

65 + 6Iz 0 0 0 − 11Al 

5l 2 

6EI z 

l 2 

2EI z 

l 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

I z 

10l − 13Al 

420 

140 − Iy 

30l 

210 − Iz 

10l 

10l 

0 

9A 

0 0 

70 − 6Iz 

I 

0 y 

5l 2 10l − 13l 

13A 

420 

0 0 0 

65 + 6Iz 11l 

0 

5l 2 210 + Iz 

I 

0 0 0 y+I z 

I 

3 

0 0 0 0 0 y+I z 

3 

0 0 

13Al 

0 0 

420 − Iz 

10l 

0 − Al2 

140 − Iy 

11l 

30l 

0 0 0 

210 + Iz 

Al 

10l 

0 2 

105 + 2Iy 

15 

0 

I 

0 z 

10l − 13Al 

420 

0 0 0 − Al2 

140 − Iy 

30l 

0 − 11Al 

210 − Iz 

Al 

10l 

0 0 0 2 

105 + 2Iz 

15 

(2.20) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Numerische Verfahren 11


2.2 Zeitschrittverfahren 

Wie bereits in Abschnitt 2.1 erwähnt, wird für den dynamischen Fall zum Lösen der 

Bewegungsdifferentialgleichung ein Zeitschrittverfahren benötigt. Verfahren wie zum 

Beispiel Runge-Kutta, Newmark oder HHT-α ermöglichen bei Kenntnis der Anfangsbedingungen 

u 0 , ˙u 0 und ü 0 , die Bewegungsdifferentialgleichung für diskrete Zeitschritte 

t i zu lösen, wobei abhängig vom gewählten Verfahren verschiedene Ansätze verfolgt 

werden. Während explizite Verfahren zur Bestimmung der Zustandsgrößen zum Zeitpunkt 

t n+1 bereits bekannte Zustandsgrößen aus vergangenen Zeitschritten t n nutzen, 

setzen implizite Verfahren ebenfalls Zeitschritte, die in der Zukunft liegen und noch 

nicht bestimmt sind, ein. Im Allgemeinen ist daher der Einsatz impliziter Verfahren 

zur Zeitintegration gegenüber expliziter Verfahren aufgrund der höheren Genauigkeit 

vorzuziehen. 

2.2.1 Zeitintegrationsverfahren 

2.2.1.1 Newmark-Verfahren 

Das Newmark-Verfahren ist ein auf der Trapezregel basierendes lineares Beschleunigungsverfahren. 

Bei diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Beschleunigung 

zwischen zwei Zeitschritten nahezu linear verläuft. Die Verschiebung bzw. Geschwindigkeit 

des Systems kann für den Zeitschritt n + 1 mit 

u tn+1 = u tn + ∆t ˙u tn + ∆t2 ( ) 

(1 − 2β)üt + 2βü tn+1 

2 

˙u tn+1 = u tn + ∆t ( ) 

(1 − γ)ü tn + γü tn+1 

(2.21) 

(2.22) 

bestimmt werden. Dabei beeinflussen die Parameter β und γ den Beschleunigungsanteil 

zur Berechnung der Zustandsgrößen. Durch Einsetzen von Gleichung (2.21) und (2.22) 

in Gleichung (2.11) resultiert somit ein implizites Verfahren 

zur Ermittlung von u tn+1 . 

Mü tn+1 + C ˙u tn+1 + Ku tn+1 = p tn+1 

(2.23) 

2.2.1.2 Hilber-Hughes-Taylor-α-Verfahren 

Bei dem Hilber-Hughes-Taylor-α-Verfahren - kurz HHTα - handelt es sich um eine 

Weiterentwicklung des Newmark-Verfahrens. Um die Güte des Newmark-Verfahrens 

zu verbessern, wird beim HHTα-Verfahren Gleichung (2.23) um ein Parameter α erweitert, 

dieser sorgt für eine bessere Stabilität sowie für eine höhere Genauigkeit der 

Ergebnisse. 

Mü tn+1 +(1 + α) C ˙u tn+1 −αC ˙u tn+1 +(1 + α) Ku tn+1 −αKu tn+1 = p tn+1 +α∆t (2.24)


Wird α hier zu null gewählt, entspricht die Gleichung (2.24) exakt der Gleichung (2.23). 

Die Bestimmung der Verschiebungen und Geschwindigkeiten im System erfolgt über 

die folgenden Gleichungen: 

( ) 1 

u tn+1 = u tn + ∆t ˙u tn + ∆t 2 2 − β ü tn + β∆t 2 ü tn+1 (2.25) 

˙u tn+1 = ˙u tn + (1 − γ) ∆tü tn + γ∆tü tn+1 (2.26) 

Im Weiteren wird das HHTα-Verfahren mit α = − 1, β = (1−α)2 = 25 1−2α 

und γ = = 3 4 4 65 2 4 

zur Simulation eingesetzt [24]. 

2.2.2 Zeitschrittlänge 

Die Wahl der Zeitschrittlänge stellt ein wichtiges Kriterium bei den vorzunehmenden 

Simulationen dar. Eine ungeeignete Zeitschrittlänge kann zu rein auf der Numerik 

basierenden Dämpfungen führen und somit zu einer Verfälschung der Ergebnisse beitragen. 

Eine numerische Dämpfung ist aus diesem Grund in der Regel unerwünscht, 

lediglich bei instabilen Systemen kann dieser Anteil zur Dämpfung hochfrequenter 

Schwingungsanteile vorteilhaft eingesetzt werden, so dass er das System stabilisiert 

[29]. Die allgemeine Bestimmung der Zeitschrittlänge erfolgt gemäß der Beziehung 

∆t = t n+1 − t n . (2.27) 

Für einen Balken kann die benötigte Zeitschrittlänge ∆t zudem mit 

√ 

ρA 

∆t ≤ ∆t krit = 

48EI l2 el (2.28) 

abgeschätzt werden [24]. Für andere Systeme gestaltet sich die Ermittlung der benötigten 

Zeitschrittlänge meist komplizierter. Einen Anhaltspunkt vermittelt dabei die 

Longitudinal- oder Druckwellengeschwindigkeit 

√ 

4 

3 

c p = 

G + K 

ρ 

mit G = 

E und K = 

2(1+ν) 

E 

3(1−2ν) 

(2.29) 

und die Scherwellengeschwindigkeit 

√ 

G 

c s = 

ρ . (2.30) 

Der Zeitschritt ist dabei so zu wählen, dass die maßgebende Wellengeschwindigkeit c 

aufgelöst werden kann. Die benötigte Zeitschrittlänge kann nun unter Verwendung der 

Finite Elemente Methode mit 

∆t ≤ l el 

7c 

(2.31)


abgeschätzt werden, wobei l el der kürzesten aller im Modell vorkommenden Elementlängen 

entspricht. Bei einer Simulation mit der Scaled Boundary Finite Elemente Methode 

ist eine Annäherung des Zeitschrittes mit 

∆t ≤ r 0 

30c 

(2.32) 

möglich, wobei hier r 0 den kleinsten Abstand zwischen Skalierungszentrum und Rand 

angibt (vgl. Abschnitt 2.3). 

2.2.3 Systemenergien 

Die Betrachtung der Energien stellt bei Systemen, für die keine analytischen Lösungen 

vorliegen, häufig die einzige Möglichkeit dar die berechneten Ergebnisse auf ihre 

Richtigkeit zu überprüfen. Hierzu wird die Entwicklung der potentiellen Energie 

E pot = 1 2 uT Ku (2.33) 

sowie der kinematischen Energie 

E kin = 1 2 ˙uT M ˙u (2.34) 

betrachtet. Bei Systemen ohne äußere Einwirkung und Dämpfung kann die gewählte 

Zeitschrittlänge als angemessen angesehen werden, wenn die Gesamtenergie 

E ges = E pot + E kin (2.35) 

nach Auslenken des Systems konstant bleibt, andernfalls ist die Zeitschrittlänge oder 

das Verfahren ungeeignet [29, 31]. 

2.3 Scaled Boundary Finite Elemente Methode 

Die Scaled Boundary Finite Elemente Methode - kurz SBFEM - wurde von Wolf und 

Song entwickelt [40 und 41]. Verwendung findet diese Methode bei der Untersuchung 

der Wellenausbreitung in unbegrenzten Gebieten, dabei weist sie im Vergleich zur Rand 

Elemente Methode - kurz REM oder BEM -, die ebenfalls zum Berechnen unbegrenzter 

Gebiete genutzt wird, mehrere Vorteile auf: Zum einen wird keine Fundamentallösung 

mehr benötigt, zum anderen entstehen bei der Formulierung symmetrische Systemmatrizen, 

die eine Kopplung an die FEM vereinfachen. 

Einsatz findet dieses Verfahren zum Beispiel bei der Untersuchung von Boden-Bauwerk- 

Wechselwirkungen, wobei hierfür eine Unterteilung des Bodens in ein so genanntes


FEM: 

Bauwerk 

Fundament 

Boden 

SBFEM: 

Skalierungszentrum 

Grenzfläche Nah-/Fernfeld 

Fernfeld 

8 

8 

 

 

 

 

Abbildung 2.1: Boden Bauwerk Interaktion 

Nah- sowie Fernfeld vorgenommen werden muss. Während das Nahfeld mit der bereits 

beschriebenen FEM für ein diskretes Gebiet Ω modelliert werden kann, ist dies für das 

Fernfeld, den unendlichen Halbraum, nicht möglich, da es den Baugrund außerhalb des 

Nahfeldes darstellt und zudem über keinen geschlossenen Rand Γ verfügt. Die SBFEM 

übernimmt die Kopplung zwischen Nah- und Fernfeld und verhält sich dabei ähnlich 

wie eine absorbierende Randbedingung der FEM. 

2.3.1 Grundlagen 

Die SBFEM wird bei einer dreidimensionalen Geometrie in einem zusammengesetzten 

Koordinatensystem beschrieben. Zum einen gibt es für jedes finite Element auf dem 

Rand Γ ein lokales, zweidimensionales Koordinatensystem η,ζ, das so genannte Umfangskoordinatensystem, 

zum anderen eine Skalierungskoordinate ξ, die den Abstand 

zwischen dem Entwicklungspunkt und dem finiten Element auf dem Rand angibt. Dabei 

ist ξ innerhalb des berandeten Gebiets per Definition im Skalierungszentrum null 

und wird am Rand zu 1, während es im unendlichen Halbraum ξ Werte zwischen 1 

und ∞ annimmt (vgl. Abbildung 2.2). 

Abbildung 2.2: Dreidimensionale Scaled Boundary Transformation [23]


Die allgemeine Form des dynamischen Gleichgewichts lässt sich für die SBFEM im 

Zeitbereich mit 

D T σ(t) + p(t) − ρü(t) = 0 (2.36) 

und im Frequenzbereich mit 

D T ˆσ(t) + ˆp(t) − ω 2 ρû(t) = 0 (2.37) 

beschreiben. Hier beinhaltet die Operatormatrix D die Transformation vom globalen 

Koordinatensystem auf das Umfangskoordinatensystem und entspricht somit nicht der 

Operatormatrix aus Abschnitt 2.1.1. Eine ausführliche Beschreibung dieser Matrix ist 

beispielsweise in [24, 40 oder 41] nachzulesen. 

2.3.1.1 Arbeitssatz im Frequenzbereich 

Analog zur FEM wird auch bei der SBFEM die Methode der gewichteten Residuen 

eingesetzt und die virtuelle Arbeit im Frequenzbereich betrachtet. Für die Verschiebungen 

im Umfangskoordinatensystem gilt somit: 

u(ξ,η,ζ) = N(η,ζ)u(ξ) (2.38) 

Dehnung und Spannung werden mit 

ǫ(ξ,η,ζ) = H 1 u(ξ) ,ξ + 1 ξ H 2u(ξ), 

σ(ξ,η,ζ) = Eǫ(ξ,η,ζ) 

(2.39) 

ermittelt, wobei sich die Hilfsmatrizen H 1 und H 2 aus Operatormatrix und Ansatzmatrix, 

die die Ansatzfunktionen für den Rand enthält, zusammensetzen. Die virtuellen 

Größen lassen sich aus den Gleichungen (2.38) und (2.39) ableiten: 

δu(ξ,η,ζ) = N(η,ζ)δu(ξ) 

δǫ(ξ,η,ζ) = H 1 δu(ξ) ,ξ + 1 ξ H 2δu(ξ) 

(2.40) 

Bezogen auf die Scaled Boundary Koordinaten ξ,η,ζ ergibt sich die virtuelle Arbeit 

zu 

∫ 

∫ 

δA = δǫ T (ξ,η,ζ) σ (ξ,η,ζ) dΩ − δu T (ξ,η,ζ)ω 2 ρu (ξ,η,ζ) dΩ 

Ω∫ 

Ω∫ 

− δu T (ξ,η,ζ) f (ξ,η,ζ) dΩ − δu T (ξ = 1,η,ζ) t (η,ζ)dΓ = 0. 

Ω 

Γ 

(2.41) 

Mit Hilfe einer partiellen Integration der Volumenintegrale werden diese auf Randintegrale 

reduziert, so dass anschließend die Scaled Boundary Finite Elemente Gleichung,


die die dreidimensionalen Verschiebungen des Randes im Frequenzbereich wiedergibt, 

formuliert werden kann 

C 1 ξ 2 u ,ξξ + ( ) 

2C 1 − C 2 + C T 2 ξu,ξ + ( ) 

C T 2 − C 3 u + ω 2 Mξ 2 u + ξ 2 p b = 0. (2.42) 

Diese Gleichung ist sowohl für das berandete Gebiet 0 ≤ ξ ≤ 1, als auch für das 

unberandete Gebiet 1 ≤ ξ ≤ ∞ gültig. Auf eine vollständige Herleitung dieser Methode 

sowie einer Definition der von ξ unabhängigen Koeffizientenmatrizen C 1 , C 2 , C 3 und 

M wird an dieser Stelle allerdings verzichtet und auf die Fachliteratur verwiesen (vgl. 

[24, 40, 41]), in der dieser Zusammenhang bereits ausführlich diskutiert wurde. 

2.3.1.2 Transformation vom Frequenz- in den Zeitbereich 

Um eine Untersuchung der Modelle im Zeitbereich zu ermöglichen, wird die Scaled 

Boundary Finite Elemente Gleichung (2.42) aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich 

überführt, so dass SBFEM und FEM im Zeitbereich miteinander gekoppelt werden 

können. Dafür werden die dynamische Steifigkeitsmatrix S ∞ , die die Steifigkeit 

des Fernfeldes beschreibt, und die Einheitsimpulsmatrix M ∞ , die die Systemantwort 

auf den Einheitsimpuls berücksichtigt, bestimmt. Da diese Vorgehensweise bereits in 

verschiedenen Arbeiten [24, 40, 41] behandelt und ausführlich beschrieben wurde, wird 

hier ebenfalls auf eine Herleitung verzichtet und auf die angegebene Fachliteratur verwiesen. 

2.3.2 Kopplung mit der Finite Elemente Methode 

Die Kopplung zwischen FEM und SBFEM erfolgt an der gemeinsamen Schnittstelle, 

der Grenzfläche zwischen Nah- und Fernfeld (vgl. Abbildung 2.1). Auf dieser Grenzfläche 

wird eine so genannte Kraft-Beschleunigungsbeziehung 

p r (t) = 

formuliert. Das Integral kann mit 

⎧ 

⎪⎨ 

M ∞ (t) = 

. 

⎪⎩ 

∫ t 

0 

M ∞ 0 

M ∞ 1 

M ∞ n−1 

M ∞ (t − τ)ü(τ)dτ (2.43) 

t ∈ [0; ∆t] 

t ∈ [∆t; 2∆t] 

(2.44) 

t ∈ [(n − 1) ∆t;n∆t] 

für den Zeitbereich abschnittsweise konstant angenähert werden, wobei für jeden Zeitschritt 

die Matrix M ∞ t i 

bestimmt werden. Dies geschieht allerdings nur so oft, bis


die Veränderung der Matrix ein lineares Verhalten aufweist und somit skaliert werden 

kann. Gleichung (2.43) wird in 

p r (t n ) = 

n∑ 

j=1 

M ∞ n−j 

∫ j∆t 

(j−1)∆t 

ü(τ)dτ = 

n∑ 

M ∞ n−j ( ˙u j − ˙u j−1 ) (2.45) 

j=1 

überführt. Durch Einfügen von γ aus dem Hilber-Hughes-Taylor-α-Verfahren kann der 

unbekannte Beschleunigungsvektor ü tn isoliert werden [24], so dass sich 

∑n−1 

p r (t n ) = γ∆tM ∞ 0 ü n + M ∞ n−j ( ˙u j − ˙u j−1 ) (2.46) 

ergibt. Anschließend werden die Matrizen und Vektoren aus Gleichung (2.11) derart 

aufgeschlüsselt, dass sie der Struktur s bzw. dem Rand b zugeordnet werden können: 

[ ][ ] [ ] [ ] 

M ss M sb ü s (t) C ss C sb ˙u s (t) 

+ 

M sb M bb ü b (t) C sb C bb ˙u b (t) 

[ ][ ] [ ] (2.47) 

K ss K sb u s (t) p 

+ 

= s (t) 

K bs K bb u b (t) p b (t) 

Im nächsten Schritt erfolgt die Kopplung der SBFEM an die FEM. Die Terme aus 

Gleichung (2.46) werden dabei in Gleichung (2.47) eingegliedert, so dass das gekoppelte 

System schließlich durch Gleichung 

[ 

][ ] [ ][ ] 

M ss M sb 

ü s (t) C ss C sb ˙u s (t) 

+ 

M sb M bb + γ∆tM ∞ 0 ü b (t) C sb C bb ˙u b (t) 

[ ][ ] [ 

] (2.48) 

K ss K sb u s (t) p 

+ 

= s (t) 

K bs K bb u b (t) p b (t) − ∑ n−1 

j=1 M ∞ n−j ( ˙u j − ˙u j−1 ) 

vollständig beschrieben wird. 

j=1

Windkraftanlage 19 

3 Windkraftanlage 

Die Entwicklung der ersten Windkraftanlagen reicht bis ins Altertum zurück, dabei 

handelte es sich bei diesen ersten Anlagen um Vertikalachsensysteme, die überwiegend 

zum Mahlen von Getreide oder zum Bewässern bzw. Entwässern der Umgebung eingesetzt 

wurden. Auf deren Funktions- und Konstruktionsweisen sowie Weiterentwicklung 

soll hier nicht näher eingegangen werden. Eine sehr ausführliche Beschreibung der Geschichte 

der Windkraftanlagen ist in [16, 17] zu finden. Erst um 1891 wurde von dem 

Dänen Poul La Cour die erste Anlage zur Gewinnung von Strom errichtet [16]. Er 

gilt heute als Pionier der Stromerzeugung durch Windkraft. Seine erste Anlage hatte 

damals eine Leistung von 10 − 35kW und einen Rotordurchmesser von 20m. 

Die heutigen modernen Anlagen erzielen bei einem Rotordurchmesser von 70−90m eine 

Leistung von rund 2,5MW. In naher Zukunft sollen Anlagen mit bis zu 5MW gebaut 

werden. Diese Großanlagen sollen in so genannten Offshore-Windparks außerhalb der 

12-Meilen-Zone in Nord- und Ostsee errichtet werden. 

3.1 Aufbau 

Die heute kommerziell genutzten Windkraftanlagen sind Anlagen mit horizontaler 

Achse, die sich aus den drei Hauptkomponenten Tragstruktur (Turmkonstruktion und 

Gründung), Maschinengondel und Rotor zusammensetzen. Dabei sitzen der Rotor und 

die Maschinengondel auf der Spitze der Tragstruktur, die ihrerseits mit dem Baugrund 

verbunden ist. Das allgemeine Funktionsprinzip dieser Anlagen beruht auf der Umwandlung 

kinematischer Energie des Windes durch den Rotor in Rotationsenergie, die 

anschließend in der Maschinengondel zu elektrischer Energie verarbeitet wird. Aufbauend 

auf der Gründung der Anlage wird nun in den nachfolgenden Abschnitten eine 

detailliertere Beschreibung der einzelnen Komponenten vorgenommen. 

3.1.1 Gründung 

Die Gründung einer Windkraftanlage hängt maßgeblich von der Konstruktion des 

Turms, der Beschaffenheit des Baugrundes und der Wassertiefe ab. Aufgabe der Gründung 

ist es, sowohl ein Kippen der Anlage als auch das Absacken in den Baugrund 

zu verhindern. Um dies zu gewährleisten, gibt es jedoch unterschiedliche Möglichkeiten 

den Turm zu gründen, von denen die wichtigsten im Folgenden kurz beschrieben 

werden.


• Schwergewichtsgründung 

Es wird unterschieden zwischen einfachen Schwergewichtsgründungen und massiven 

Schwergewichtsgründungen, wobei die einfachen Schwergewichtsgründungen 

in der Regel aus Schwimmkästen bestehen, die zu Lande gefertigt, anschließend 

auf See zu ihrem Bestimmungsort geschleppt und dort abgelassen werden, während 

massive Schwergewichtsgründungen direkt vor Ort hergestellt werden. Beide 

Gründungstypen werden auf einem zuvor präparierten Seegrund errichtet, dieser 

wird zumeist durch Aufschütten von Kies stabilisiert und eingeebnet. Hierfür 

sind allerdings oftmals umfangreiche Unterwasserarbeiten nötig, weshalb diese 

Art der Gründung nur bei Wassertiefen bis 5m zum Einsatz kommt. 

• Monopile-Gründung 

Die Monopile-Gründung besteht aus einem einzigen Pfahl, dessen Durchmesser 

dem Rohrturm der Windkraftanlage entspricht. Während die Vertikallasten hier 

über Mantelreibung abgetragen werden, werden die Horizontallasten über Biegung 

aufgenommen. Dieses Verfahren ist das derzeit gebräuchlichste Verfahren 

zur Errichtung von Offshore-Anlagen, kann allerdings nach heutigem Wissensstand 

nur bis zu einer Wassertiefe von ungefähr 25m eingesetzt werden [16]. 

• Tripod-Gründung 

Bei Wassertiefen über 25m wird der Turm mit einem Tripod gegründet. Diese 

Gründung besteht aus einem dreibeinigen Fundament, an dem über einen 

Montageanschluss der Rohrturm befestigt ist. Das Fundament wird in der Regel 

gerammt und die Lasten über Mantelreibung sowie Spitzendruck abgetragen. 

Die zuvor beschriebenen Gründungen sind in Abbildung 3.1 veranschaulicht. 

a b c 

Abbildung 3.1: a) Schwergewichtsgründung b) Monopile c) Tripod


Weitere Gründungen wie zum Beispiel Jacket, eine Gitterkonstruktion, die auf vier 

Pfählen gegründet oder eine schwimmende Gründung, die über Seile am Boden verankert 

ist, sind denkbar und auch in der Fachliteratur zu finden [vgl. 14, 16, 26 und 

39]. 

3.1.2 Turmkonstruktion 

Die Wirtschaftlichkeit einer Windkraftanlage wird maßgeblich durch die Konstruktion 

des Turms geprägt. Dabei wächst die energetische Ausbeute mit der Höhe der 

Konstruktion (vgl. Abschnitt 4.4.1). Zudem beeinflusst die Turmhöhe die Rotorblattlänge, 

was sich wiederum auf die Wirtschaftlichkeit der Anlage auswirkt. Wobei die 

Turmhöhe ab einer Blattlänge von 12 Metern in etwa der des Rotorduchmessers entspricht, 

während bei kleineren Anlagen die Turmhöhe den Rotordurchmesser um ein 

vielfaches übertrifft. Die Verwirklichung großer Turmhöhen birgt jedoch den Nachteil 

hoher Baukosten, so dass bereits während der Entwicklung ein optimales Kosten- 

Nutzenverhältnis gefunden werden muss. 

Das Hauptproblem bei der Dimensionierung des Turms ist die Anregung des Systems 

durch Wind und Rotorbewegung, bei den Offshore-Anlagen kommen zusätzlich Anregungen 

durch Seegang, Strömung und eventuell Eisgang hinzu. Dabei werden bei 

der Konstruktion weiche und steife Türme unterschieden. Während die Torsions- und 

Biegeeigenfrequenzen bei der steifen Turmausführung oberhalb der Anregefrequenzen 

liegen, herrschen bei den weichen Ausführungen niedrigere Frequenzen. Bei den steifen 

Türmen muss daher beim Anfahren der Anlage darauf geachtet werden, dass der Bereich 

der Eigenfrequenzen kontrolliert durchfahren wird, um Resonanzschwingungen 

zu vermeiden. 

In der Vergangenheit kamen zwei unterschiedliche Turmkonstruktionen zum Einsatz, 

zum einen der Gittermastturm - Jacket -, der aufgrund seiner vielen Fügestellen über 

eine sehr gute Eigendämpfung verfügt, zum anderen der Rohrturm. Bei heutigen Windkraftanlagen 

werden fast ausschließlich freitragende Rohrtürme eingesetzt, die den Vorteil 

hoher Nick- und Torsionssteifigkeit vorweisen. Daher ist auch der wesentlich höhere 

Materialeinsatz für diese Konstruktion tolerierbar. Der Einsatz von Gittermasttürmen 

hingegen wird in vielen Fällen aus optischen Gründen abgelehnt [14]. 

Die nach oben hin konisch zulaufenden Rohrtürme werden meist aus Stahl oder Beton 

gefertigt, dabei hängt die Wahl des Werkstoffs von der zu installierenden Anlage ab 

und muss für jeden Fall individuell geprüft werden. Allgemein lässt sich allerdings fest-


halten, dass die Betontürme über eine wesentlich bessere Strukturdämpfung verfügen. 

3.1.3 Maschinengondel 

Die Maschinengondel, die die gesamte Technik der Anlage beherbergt, sitzt samt Rotor 

auf der Spitze des Turms. Hier wird mit Hilfe des Getriebes die Generatorantriebswelle, 

eine so genannte schnelle Welle, angetrieben. Das Kernstück der Maschinengondel - der 

Generator - wandelt anschließend die Rotationsenergie der Welle in Strom um. Neben 

dem Generator ist hier ebenfalls der Azimutverstellantrieb zu finden, der den Rotor 

immer optimal zum Wind ausgerichtet und somit zur maximalen Leistungsfähigkeit 

beiträgt. 

3.1.4 Rotor 

Das Getriebe der Maschinengondel ist über den Triebstrang, einer so genannten langsamen 

Welle, mit der Rotornabe verbunden. Die Rotornabe stellt ihrerseits wiederum 

die Verbindung zu den Rotorblättern dar. In der Regel sind die Rotorblätter über eine 

Blatteinstellwinkelregelung, die je nach Windgeschwindigkeit einen optimalen Winkel 

vom Rotor zum anströmenden Wind ermöglicht, mit der Rotornabe verbunden. Wird 

auf eine Blatteinstellwinkelregelung hingegen verzichtet, was lediglich bei kleineren Anlagen 

der Fall ist, sind die Rotorblätter fest mit der Nabe verbunden. Allgemein setzt 

sich der Rotor aus einem oder mehreren Rotorblättern zusammen. Dabei sind aufgrund 

der aerodynamischen Optimierung der Geometrie bei den verwendeten Rotorblättern 

lediglich Unterschiede im Detail in der Geometrie, den eingesetzten Werkstoffen sowie 

der Fertigung bei den verschiedenen Herstellern zu finden [14, 16 und 26]. Im Folgenden 

sollen die verschiedenen Rotorsysteme kurz beschrieben werden. 

Systeme mit nur einem Rotorblatt benötigen einen Gegengewichtsarm, um auftretende 

Schwingungen zu reduzieren. Da sie aufgrund ihres einen Blattes ungleichförmig 

laufen und somit auch Generator und Turm ungleichmäßig belasten, sind sie nur sehr 

selten anzutreffen und haben sich trotz der Kostenersparnis weiterer Rotorblätter nicht 

durchsetzen können. 

Im Gegensatz dazu neigen Zweiblattsysteme zu Instabilitäten sobald der Rotor parallel 

zur Turmachse steht. In diesem Fall befindet sich die Spitze des einen Blattes am 

höchsten Punkt der Konstruktion während sich das andere Blatt direkt vor dem Turm 

befindet. Daher ist der Einsatz dieses System trotz der Kostenersparnis des dritten 

Rotorblattes ebenfalls nicht angemessen.


Den heutigen Standard bilden Windkraftanlagen mit drei Rotorblättern, da sie im 

Vergleich zu den beiden zuvor beschriebenen Lösungen mit einer geringeren Drehzahl 

einen höheren Energieertrag erwirtschaften. Hinzu kommt, dass sie aufgrund der verteilten 

Masse erheblich runder laufen und somit zu einer reduzierten Beanspruchung 

der gesamten Technik und Struktur der Anlage beitragen. Diese Vorteile überwiegen 

die etwas höheren Kosten dieser Konstruktion, was auch die entsprechend hohe Verbreitung 

dieses Konstruktionstyps erklärt. 

3.1.4.1 Lee- und Luvläufer 

Das Verhalten von Windkraftanlagen differiert in Abhängigkeit von der Anordnung des 

Rotors zum Wind. Hierbei bezeichnet ein Leeläufer eine Windkraftanlage, dessen Rotor 

dem Wind abgewandt ist, also der Rotor in Hinblick auf die Windrichtung hinter der 

Maschinengondel hängt. Dies bringt die Vorteile mit sich, dass sich ein Leeläufer immer 

selbständig optimal zum Wind ausrichtet und somit keinen Azimutverstellantrieb 

benötigt. Zudem ist eine deutlich flexiblere und leichtere Gestaltung der Rotorblätter 

verwirklichbar, da der Wind diese immer vom Turm wegdrückt und somit die Gefahr 

einer Kollison zwischen Turm und Rotorblättern ausschließt. Als Nachteil ist allerdings 

das automatische Mitdrehen zum Wind zu nennen, da dies zum Verdrehen der Kabel 

im Turm führt und somit auf einen Motor zur Vermeidung des Verdrehens der Kabel 

nicht verzichtet werden kann. Einen weiterer Nachteil stellt zusätzlich die verringerte 

Leistung des Leeläufers im Vergleich zum Luvläufer durch den Turmschatten dar. 

Als Luvläufer werden Windkraftanlagen bezeichnet, bei denen der Rotor, betrachtet 

aus der Windrichtung, vor der Gondel sitzt. Ein Vorteil des Luvläufers ist, dass es 

keinen Turmschatten gibt und somit die Leistung der Anlage nicht durch den Turm 

beeinträchtigt wird. Allerdings ist bei einer derartigen Konstruktion der Einsatz eines 

Azimutverstellantriebs nicht verzichtbar, da die Windkraftanlage nicht über die Fähigkeit 

verfügt, sich selbstständig zum Wind hin auszurichten. Zudem fällt die Konstruktion 

der Rotorblätter beim Luvläufer erheblich aufwändiger aus, da die Rotorblätter zur 

Vermeidung einer Kollision mit dem Turm erheblich steifer ausgelegt werden müssen.


3.2 Energieumwandlung 

Die theoretisch maximale Leistung P, die sich mit Hilfe einer Windkraftanlage - Wandler 

- aus dem Wind gewinnen lässt, kann folgendermaßen bestimmt werden: Ein senkrecht 

zum Wind stehender Rotor mit einem Radius r wird von Luftteilchen durchströmt, 

deren Masse m sich mit der Geschwindigkeit ˙v, der Zeit t sowie der Dichte ρ 

zu 

ergibt. Es folgt für die kinetische Energie des Windes: 

Die theoretische Leistung des Windes ergibt sich zu 

ṁ = ρ ˙V = ρA˙vt = ρπr 2 ˙vt (3.1) 

E kin = 1 2 m˙v2 = 1 2 ρπr2 ˙v 3 t (3.2) 

P theoretisch = E kin 

t 

= 1 2 ρπr2 ˙v 3 . (3.3) 

Dabei kann die Luftdichte näherungsweise mit ρ = 1,22 kg 

m 3 abgeschätzt werden [26]. 

Somit ist die mit einer Windkraftanlage zu erzielende Leistung vom Radius des Rotors 

r und der Windgeschwindigkeit ˙v abhängig. Da die Windgeschwindigkeit mit der 

dritten Potenz in die Leistung einfließt, ist dies der maßgebliche Faktor der wirtschaftlichen 

Effizienz einer Anlage. Die tatsächlich erbrachte Leistung eines Wandlers liegt 

allerdings weit unter der theoretisch möglichen. 

Im Folgenden wird die zu erzielende Leistung für einen idealen, verlustfreien Strömungsvorgang 

gezeigt: Bei gleich bleibender Masse 

ṁ = ρ ˙V = ρA 1 ˙v 1 = ρA 2 ˙v 2 = konst. (3.4) 

ergibt sich aus der Energie vor der Windkraftanlage mit der Geschwindigkeit v 1 = v 

und der dahinter mit einer Geschwindigkeit v 2 eine Leistungsdifferenz von 

P Modell = 1 2 ρA 1 ˙v 3 1 − 1 2 ρA 2 ˙v 3 2 = 1 2 ρ( A 1 ˙v 3 1 − A 2 ˙v 3 2) 

. (3.5) 

Nach Einsetzen von Gleichung (3.4) ergibt sich: 

P Modell = 1 2 ρA 1 ˙v 1 

(˙v 

2 

1 − ˙v 2 2 

) 1 (˙v ) 

= 1 2 − ˙v 2 

2 2ṁ 

(3.6) 

Die maximale Leistung wird bei vollständiger Abbremsung der Luftgeschwindigkeit 

erreicht, da dies technisch allerdings nicht möglich ist, kann nur ein Teil der Energie aus 

der Luft zur Stromgewinnung genutzt werden. Die Kraft F, die die Luft während dieses 

Vorgangs auf den Wandler ausübt, lässt sich mit Hilfe des Impulssatzes bestimmen: 

F = ṁ (˙v ) 

1 2 − ˙v 2 

2 (3.7)


Zur Erfüllung des Kräftegleichgewichts ergibt sich am Rotor die Arbeit aus der Kraft 

F zu: 

P = F ˙v (3.8) 

Wird nun Gleichung (3.7) in (3.8) eingesetzt und diese anschließend mit Gleichung 

(3.6) gleichgesetzt, folgt 

ṁ (˙v 1 − ˙v 2 ) ˙v = 1 (˙v ) 

1 2 − ˙v 2 

2 (3.9) 

2ṁ 

und somit auch 

˙v = 1 2 (˙v 1 + ˙v 2 ) . (3.10) 

Mit der berechneten Geschwindigkeit ˙v kann schließlich die tatsächlich durch den Rotor 

strömende Luftmasse 

und im Anschluss daran die tatsächliche Leistung 

ṁ = 1 2 ρA (˙v 1 + ˙v 2 ) (3.11) 

P = 1 4 ρA(˙v 2 1 − ˙v 2 2) 

(˙v1 + ˙v 2 ) (3.12) 

ermittelt werden. Wird die hier bestimmte Leistung ins Verhältnis zur theoretisch 

möglichen Leistung aus Gleichung (3.3) gesetzt, ergibt sich der so genannte Betz- 

Faktor 

c P = 

P 

P theoretisch 

1 

4 

= 

ρA (˙v2 1 − ˙v 2) 2 (˙v 1 + ˙v 2 ) 

1 

2 ρA˙v3 1 

( 

= 1 ( ) ) 2 ( ˙v2 

1 − 1 + ˙v ) 

2 

. 

2 ˙v 1 ˙v 1 

Mit Hilfe des Ansatzes ξ = ˙v 2 

˙v1 

kann die Funktion 

c P = 1 2 

(3.13) 

( 

1 − ξ 

2 ) (1 + ξ) (3.14) 

aufgestellt werden. Die erste Ableitung der Funktion aus Gleichung (3.14) ergibt eine 

Nullstelle bei ξ = 1 . Dort erreicht die Funktion (3.14) ein lokales Maximum, das den 

3 

idealen Leistungswert beschreibt. Abbildung 3.2 zeigt den Zusammenhang zwischen 

dem idealen Leistungswert c P und der Abminderung ξ = ˙v 2 

˙v1 

. Hieraus wird ersichtlich, 

dass maximal c P = 16 der Windenergie in Rotationsenergie umgewandelt werden 

27 

können [16].


0,8 

idealer Leistungsbeiwert 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

Abminderung 

Abbildung 3.2: Betz-Faktor 

In der Realität wird dieser Leistungswert kleiner ausfallen, da hier zum einen lediglich 

ein idealisiertes Strömungsmodell betrachtet und zum anderen kein Modell des 

Wandlers berücksichtigt wird. Die Hersteller der Windkraftanlagen arbeiten an der 

Verwirklichung möglichst hoher Leistungswerte, wodurch bei modernen Rotoren ein 

Leistungswert von c P = 0,4 bis 0,5 erreicht werden kann, dies entspricht 70% bis 80% 

der theoretisch möglichen Leistung [16].

Modellbildung der Offshore-Windkraftanlage in Teilsystemen 27 

4 Modellbildung der Offshore-Windkraftanlage in 

Teilsystemen 

Bei einer Offshore-Windkraftanlage handelt es sich, wie bereits in Kapitel 3 gezeigt, 

um ein sehr komplexes Gebilde. Daher müssen für eine effektive numerische Simulation 

Vereinfachungen getroffen werden. Allein bei Betrachtung der äußeren Einwirkungen 

muss das System vereinfacht werden: Zum einen finden Interaktionen zwischen Wind 

und Rotor, beziehungsweise Turm, zum anderen Interaktionen zwischen Seegang und 

Turm, sowie zwischen Gründung und Boden statt. Die inneren Einwirkungen auf den 

Turm durch Anlaufen oder Abbremsen des Rotors und des Generators oder Ausrichten 

der Maschinengondel sind hierbei nicht einmal berücksichtigt. 

Im Weiteren wird sowohl die Interaktion zwischen Wind und Bauwerk als auch zwischen 

Welle und Bauwerk vernachlässigt und es wird lediglich eine einseitige Kopplung 

durchgeführt. Die Umsetzung dieses Verfahrens ist in den Abschnitten 4.4.1 und 4.4.2 

erläutert. Die Kopplung von Bauwerk und Boden hingegen wird beidseitig ausgeführt, 

es handelt sich also um eine echte Interaktion, die in Abschnitt 4.1 genauer beschrieben 

wird. 

4.1 Baugrundmodellierung 

Der Boden verhält sich aufgrund seiner Beschaffenheit unter Beanspruchung nichtlinear. 

Auf ein nichtlineares Materialverhalten muss an dieser Stelle jedoch verzichtet 

werden, da das zur Berechnung verwendete Programm derzeit nicht über ein nichtlineares 

Materialgesetz verfügt, stattdessen wird der Boden linear modelliert. Dies bietet 

den Vorteil einer einfacheren Betrachtungsweise sowie Einsparung von Rechenzeit. Zudem 

ist davon auszugehen, dass dennoch hinreichend genaue Ergebnisse erzielt werden. 

Die maximal zulässigen Druckspannungen und der damit verbundene Grundbruch wird 

aus den zuvor genannten Gründen in dieser Betrachtung ebenfalls nicht berücksichtigt. 

Für den Baugrund der Windkraftanlage werden die Materialparameter aus Tabelle 

4.1 angenommen [24]. Üblicherweise wird für den Boden nicht der Elastizitätsmodul 

sondern der Steifemodul angegeben. Diese lassen sich mit 

) 

E = 

(1 − 2ν2 E s (4.1) 

1 − ν 

ineinander überführen [36]. Es gilt somit mit 0,0 ≤ ν < 0,5 immer E ≤ E s .


Baugrund: Sand: Mergel: 

Steifemodul E s 3,263 · 10 5 kN 

m 2 

Elastizitätsmodul E B 3,715 · 10 4 kN 

m 2 

6,50 · 10 5 kN 

m 2 

7,43 · 10 4 kN 

m 2 

Querdehnungszahl ν B 0,48 0,48 

Dichte ρ B 1800 kg 

m 3 

Wichte γ B 1,800 kN 

m 3 

Wichte unter Auftrieb γ ′ B 0,800 kN 

m 3 

2200 kg 

m 3 

2,200 kN 

m 3 

1,200 kN 

m 3 

Tabelle 4.1: Modellparameter des Baugrundes 

Die Simulation des Bodens wird mit zwei unterschiedlichen Verfahren durchgeführt: 

Zuerst wird der Boden durch einen reinen FE-Ansatz beschrieben, indem der Boden 

in einem dreidimensionalen Gebiet Ω mit Hilfe von so genannten Brick8-Elementen 

(vgl. [9]) modelliert wird. Diese achteckigen Elemente basieren auf linearen Ansatzfunktionen 

und berücksichtigen an jedem Knoten drei Translationsfreiwerte für je eine 

Koordinatenrichtung. Am unteren Rand wird der Boden fest eingespannt, wodurch 

die Translationsfreiwerte zu null gesetzt werden. An den vertikalen Rändern wird lediglich 

die horizontale Verschiebung verhindert. Der obere Rand bleibt weiterhin frei 

verformbar (vgl. Abbildung 4.1). Nachteil dieser Formulierung ist, dass die in den Boden 

eingeleiteten Verschiebungen am Rand reflektiert werden und somit im Gebiet von 

einem Rand zum anderen laufen. Wie sich diese reflektierten Wellen auf das System 

auswirken, wird in Abschnitt 5.2.1 genauer erläutert. 

Um ein Reflektieren der Wellen am Rand zu verhindern, wird bei der zweiten Beschreibung 

des Bodens, basierend auf den Grundlagen aus Abschnitt 2.3, ein gekoppeltes 

Modell aus FEM und SBFEM modelliert. Hierbei wird der Boden im Gebiet 

Ω wie schon zuvor mit Kontinuumselementen modelliert. Am Gebietsrand Γ werden 

die Scaled Boundary Elemente an die finiten Elemente gekoppelt. Somit entfallen die 

Randbedingungen des reinen FE-Modells und werden gegen SBFE, die die Reflektion 

am Rand verhindern, ersetzt (vgl. Abbildung 4.1). 

Für beide Modelle (vgl. Tabelle D.1 und D.2) werden drei unterschiedlich große Gebiete 

(1, 2, 3) erstellt und jeweils mit verschiedenen Bodenkonfigurationen (a, b, c) 

initialisiert, so dass die Windkraftanlage später in einem reinen Sandboden (a), Mergelboden 

(b) oder in einem geschichteten Boden aus Sand und Mergel (c), wie er zum


FEM 

FEM/SBFEM 

8 

 

8 

8 

 

 

 

8 

 

Abbildung 4.1: Boden als FE Modell und gekoppelt mit der SBFEM 

Beispiel in der Nordsee vorkommt [39], gegründet ist. Tabelle D.1 im Anhang fasst für 

das FE-Modell die Anzahl der Elemente sowie die Knoten und Freiheitsgrade für die 

Gebiete (1, 2, 3) und Böden (a, b, c) zusammen. Beim gekoppelten System entsprechen 

die Knoten und Freiheitsgrade denen der FE-Modellierung, da durch die SBFEM 

keine weiteren Knoten dem System hinzugefügt werden (vgl. Tabelle D.2). 

4.2 Gründungsmodellierung 

Für die Gründung des Turmes wird eine Monopile-Gründung gewählt, die wie der 

Turm selbst, mit dreidimensionalen Balkenelementen modelliert wird (vgl. Abschnitt 

4.3). Die Abmessungen der Geometrie sowie die Materialparameter entsprechen dabei 

denen am Turmfuß (vgl. Tabelle 4.2), wobei der Knotenabstand von einem auf zwei 

Meter verdoppelt wird. Dies reduziert die Anzahl der umgebenden Kontinuumselemente, 

was wiederum die Rechenzeit erheblich verkürzt. 

Gründung: 

Tiefe h G 20,0m 

Fläche A G 0,935m 2 

Trägheitsmoment I G 4,136m 4 

Elastizitätsmodul E G 2,1 · 10 8 kN 

m 2 

Querdehnzahl ν G 0,3 

Dichte ρ G 7850 kg 

m 3 

Tabelle 4.2: Modellparameter der Gründung


Die Lagerung der Gründung übernimmt der Boden, wobei dieser im ungedämpften 

Fall wie eine Bettung aus einzelnen Federn wirkt (vgl. Abbildung 4.2a/b). Am Kopf 

der Gründung greifen sowohl horizontale und vertikale Lasten als auch Biegemomente 

aus dem Turm an (vgl. Abbildung 4.2). Damit der Lastabtrag dieser Kräfte in den 

umgebenden Boden gewährleistet ist, dürfen diese äußeren Einwirkungen lediglich zu 

einer Verformung des oberen Teils der Gründung führen. 

Turm 

a) b) 

Monopile 

Boden 

h G 

Abbildung 4.2: Modellreduktion der Gründung 

4.3 Turmmodellierung 

Der Turm wird mit Hilfe finiter Elemente modelliert. Dabei wird davon ausgegangen, 

dass es sich bei dem Turm um ein homogenes Gebilde handelt, da Öffnungen und 

Fügestellen im Rahmen dieser Arbeit nicht berücksichtigt werden können. Mit Hilfe 

dieser Vereinfachungen lässt sich der Turm auf ein sehr einfaches System wie zum 

Beispiel einen Balken reduzieren (vgl. Abbildung 4.3). 

An der Turmspitze greifen sowohl die Last aus Rotor und Maschinengondel als auch 

die Kräfte des anströmenden Windes an. Die einwirkenden Kräfte infolge des Seegangs 

werden auf mehrere Knotenpunkte am unteren Ende des Turms verteilt (vgl. Abbildung 

4.3). Um sicherzustellen, dass die im nachfolgenden Abschnitt berechneten Windund 

Wellenlasten dem hier gewählten Modell entsprechen, werden die von Janßen [20] 

vorgegebenen Systemabmessungen übernommen (vgl. Tabelle 4.3). In [20] wurde der 

Turm mit Hilfe von Kontinuumselementen modelliert. Diese ermöglichen bei ausreichend 

hoher Auflösung die reale Form der Struktur beliebig genau anzunähern. Da 

die Geometrie des Turms auf einen Balken reduziert werden soll, müssen Querschnitt


Windlast 

Rotor, 

Gondel 

Wellen- 

Abbildung 4.3: Modellreduktion des Turmes 

und Flächenträgheitsmoment entsprechend umgerechnet werden. Dieser Ansatz wird 

verfolgt, um die Anzahl der benötigten Knoten und somit die Komplexität des Modells 

zu reduzieren. 

Rotor und Maschinengondel: 

Rotordurchmesser d R 70,0m 

Gesamtgewicht 

80000,0kg 

Turm: 

Nabenhöhe h T 80,0m 

Wasserstand h W 20,0m 

Radius r Tz=0 3,0m 

r Tz=80 2,0m 

Wanddicke t T 0,05m 

Elastizitätsmodul E T 2,1 · 10 8 kN 

m 2 

Querdehnzahl ν T 0,3 

Dichte ρ T 7850,0 kg 

m 3 

Tabelle 4.3: Modellparameter der in [20] beschriebenen Offshore-Windkraftanlage 

Eine Umsetzung des Balkens mit Kontinuumselementen aus dem Brick8 oder dem 

Brick27-Element (vgl. [9]) ist für diese einfache Betrachtung des Systems allerdings 

nicht möglich. Für eine bessere Verständlichkeit sollen daher die dabei auftretenden 

Schwierigkeiten anhand des nachstehenden Beispiels eingehend erläutert werden.


Zur Anwendung von Kontinuumselementen zur Modellierung eines Balkens müssen die 

Eigenschaften des Rohrquerschnitts auf einen quadratischen Querschnitt übertragen 

werden. Um sicherzustellen, dass sich beide Modelle identisch verhalten, wird zunächst 

die Kantenlänge des quadratischen Modells angepasst. Anschließend wird das Widerstandsmoment 

und Flächenträgheitsmoment des Rohrquerschnitts in der Turmmitte 

bestimmt: 

W yRohr = π (2r Tz=40 ) 4 − (2r Tz=40 − 2t T ) 4 

= π 5 4 − 4,9 4 

32 2r Tz=40 32 5 

= 0,953m 3 (4.2) 

I yRohr = π ( 

r 

4 

4 

Tz=40 

− (r Tz=40 − t T ) 4) = π ( 

2,5 4 − 2,4 4) = 2,382m 4 (4.3) 

4 

Aufgrund des symmetrischen Profils sind sowohl Widerstands- als auch Flächenträgheitsmoment 

in y- und z-Richtung identisch. Beim quadratischen Querschnitt des 

Turms gilt wie schon zuvor beim Rohrquerschnitt, dass die Momente in beide Richtungen 

gleich groß sind, zur Bestimmung der Kantenlänge werden Widerstandsmoment 

beziehungsweise Flächenträgheitsmoment von Rohr- und Quadratquerschnitt gleichgesetzt. 

W yQuad = a3 

6 

. 

= W yRohr = 0,953m 3 (4.4) 

I yQuad = a4 . 

= I yRohr = 2,382m 3 (4.5) 

12 

Daraus ergeben sich unterschiedliche Kantenlängen a Wy und a Iy aus dem Widerstandsmoment 

und dem Flächenträgheitsmoment: 

a Wy = 3√ 0,953 · 6 = 1,788m (4.6) 

a Iy = 4√ 2,382 · 12 = 2,312m (4.7) 

Da es nicht möglich ist, die beiden Flächenmomente aus dem Rohrquerschnitt mit der 

selben Kantenlänge a zu beschreiben, wird an dieser Stelle die Kantenlänge a T40 zu 

2,0m gewählt, woraus sich für den quadratischen Querschnitt ein Widerstandsmoment 

von 1,33m 3 und ein Flächenträgheitsmoment von 1,33m 4 in Turmmitte ergeben. Aus 

dem Verhältnis der Turmradien an Turmspitze r T80 und Turmfuß r T0 zur Turmhöhe 

h T lassen sich die resultierenden Kantenlängen an Turmspitze a T80 und Turmfuß a T0 

bestimmen. Die Turmhöhe h T bleibt unverändert. 

Werden nun die Biegesteifigkeit EI sowie die Dehnsteifigkeit EA an Turmspitze und 

Turmfuß des Rohrquerschnitts und des Quadratquerschnitts miteinander verglichen, 

fällt auf, dass diese Größen sehr stark voneinander abweichen und nicht in Übereinstimmung 

gebracht werden können. Eine derartige Modellierung ist daher ungeeignet 

und wird somit nicht weiter verfolgt.


Das Modell wird viel mehr mit den bereits in Abschnitt 2.1.2 entwickelten dreidimensionalen 

Balkenelementen modelliert, da bei diesem Element das Elastizitätsmodul, 

die Querschnittsfläche und die Flächenträgheitsmomente vorgegeben werden können. 

Die Berücksichtigung der veränderlichen Fläche sowie der Trägheitsmomente ist ebenfalls 

möglich. Hierzu wird der Balken in separate Abschnitte unterteilt, denen jeweils 

konstante Werte zugewiesen werden. Dies ermöglicht beim Balken Veränderungen der 

Fläche und des Trägheitsmoments mit zunehmender Höhe. Es sei jedoch darauf hingewiesen, 

dass dies stufenweise und nicht kontinuierlich erfolgt, und somit nur eine 

geometrische Näherung darstellt. 

Modelliert wird der Turm der Offshore-Windkraftanlage mit 8 aneinander gekoppelten 

Balken, die jeweils aus zehn Elementen bestehen. Bei konstantem Knotenabstand 

ergibt sich somit eine Elementlänge l el von einem Meter. Jedem Balken wird abhängig 

von seinen Koordinaten der Querschnitt A i sowie das Trägheitsmoment I yi zugewiesen 

(vgl. Tabelle 4.4). Bestimmt werden diese Größen über die Turmradien am Anfang r a 

und Ende r e jedes einzelnen Balkens. Dabei gilt: 

r i = r a + r e 

2 

(4.8) 

A i = π ( ri 2 − (r i − t T ) 2) (4.9) 

I yi = π ( 

r 

4 

4 i − (r i − t T ) 4) (4.10) 

Balken Höhe [m] Querschnitt A i [m 2 ] Trägheitsmoment I yi [m 4 ] 

1 0,0-10,0 0,914988860 3,881053922 

2 10,0-20,0 0,875718952 3,402510207 

3 20,0-30,0 0,836449044 2,965015818 

4 30,0-40,0 0,797179136 2,566729979 

5 40,0-50,0 0,757909228 2,205811911 

6 50,0-60,0 0,718639320 1,880420838 

7 60,0-70,0 0,679369411 1,588715984 

8 70,0-80,0 0,640099503 1,328856570 

Tabelle 4.4: Dem Turmmodell zugewiesene Größen


Die Wichte der Elemente ergibt sich aufgrund des Auftriebs im Wasser für die Balken 

eins und zwei zu 

γ ′ = (ρ T − ρ W )g = 6,85 kN 

m , (4.11) 

3 

für die Elemente oberhalb des Meeresspiegels lässt sich die Wichte zu 

γ = ρ T g = 7,85 kN 

m 3 (4.12) 

bestimmen. Eine mögliche Lagerung dieses Systems wäre, wie in Abschnitt 5.1 beschrieben, 

den Biegebalken fest einzuspannen und somit die Lasten auf einen Kragarm 

wirken zu lassen (vgl. [20]). Da hier zusätzlich zum Turm auch Gründung und 

Boden simuliert werden, wird die Lagerung des Biegebalkens in diesem Abschnitt vorerst 

vernachlässigt; eine genaue Beschreibung der jeweiligen Lagerung erfolgt dann in 

den nachfolgenden Abschnitten. 

4.4 Lastannahmen 

4.4.1 Windlast 

Zur Modellierung von Windlasten müssen die am Aufstellungsort vorherrschenden 

Windverhältnisse bekannt sein. Von großem Interesse ist hierbei die mittlere Windgeschwindigkeit 

˙v m , da sie zum einen die Wirtschaftlichkeit einer Anlage bestimmt, 

zum anderen aber auch ein maßgebender Faktor für die zu erwartende Belastung ist. 

Die mittlere Windgeschwindigkeit ist abhängig von der Höhe, der Umgebung und der 

ungestörten Windgeschwindigkeit ˙v ∞ . Je nach Wetterlage wird eine ungestörte Windgeschwindigkeit 

in etwa 600m bis 2000m über dem Boden erreicht. Oberhalb dieser 

Höhe bleibt die Windgeschwindigkeit nahezu konstant, unterhalb fällt sie aufgrund 

der Reibung der Luftmassen an der Erdoberfläche stark ab, bis sie schließlich an der 

Erdoberfläche zu Null wird. 

Für eine Höhe bis maximal 100m kann die mittlere Windgeschwindigkeit ˙v m für eine 

bestimmte Höhe h mit einem logarithmischen Windprofil nach Prandtl ermittelt 

werden 

˙v m = ˙v ∗ 

k ln ( h 

z 0 

) 

. (4.13) 

Hierbei stellt ˙v ∗ = 

√ 

τ 

ρ die Reibungsgeschwindigkeit, k die Karman-Konstante und z 0 

die Rauhigkeitslänge, eine Konstante zur Beschreibung der Oberflächenbeschaffenheit, 

dar.


Alternativ kann die Windgeschwindigkeit auch mit der logarithmischen Höhenformel 

( ) 

h 

ln 

z 0 

˙v m = ˙v ref ( ) (4.14) 

href 

ln 

z 0 

oder dem Potenzansatz nach Hellmann 

( ) 1 

h ln( z 

˙v m = ˙v h 0 

) 

ref 

h ref 

(4.15) 

bestimmt werden. Die Ansätze aus Gleichung (4.14) und (4.15) vernachlässigen die 

Reibungsgeschwindigkeit bzw. die Karman-Konstante und beziehen sich stattdessen 

auf eine Referenzhöhe h ref , sowie eine dort ermittelte Referenzgeschwindigkeit ˙v ref . 

Das Diagramm in Abbildung 4.4 zeigt die Geschwindigkeitsprofile der verschiedenen 

Ansätze am Beispiel einer Onshore- sowie Offshore-Windkraftanlage. Die Parameter 

für die Ansätze sind Tabelle 4.5 zu entnehmen, wobei die Referenzgeschwindigkeiten 

für eine Referenzhöhe von 10m aus dem Verlauf des Windprofils nach Prandtl stammen. 

Die Reibungsgeschwindigkeit sowie die Karman-Konstante wurden nach Dimai 

[11] abgeschätzt. Auf See wird die Rauhigkeitslänge zur Bestimmung der mittleren 

Windgeschwindigkeit in einem Bereich von 2 · 10 −4 m < z 0 < 3 · 10 −3 m vorgegeben, an 

Land hingegen wird ein Wert zwischen 0,03m und 0,5m für eine ländliche Umgebung 

und 0,8m für bewaldetes Gebiet angesetzt [16]. 

Offshore 

Onshore 

κ 0,41 0,41 

˙v ∗ 0,27 m s 

0,38 m s 

h ref 10m 10m 

˙v ref 8,11 m s 

3,97 m s 

z 0 2 · 10 −4 m 3 · 10 −2 m 

Tabelle 4.5: Gewählte Parameter zur Windprofilbestimmung 

Aufgrund der niedrigen Referenzhöhe weicht das Verfahren nach Hellmann von den 

beiden anderen Verfahren stark ab. Bei der Wahl einer höheren Referenzhöhe sind die 

Abweichungen hingegen vernachlässigbar. Aus dem Diagramm wird zudem deutlich, 

wie unterschiedlich die Windgeschwindigkeitsprofile an Land und auf See sind. Auf dem 

Meer erreicht der Wind durch die geringere Umgebungsrauhigkeit, wie Abbildung 4.4 

zeigt, erheblich höhere Geschwindigkeiten, wodurch eine höhere Energieausbeute bei 

geringerer Bauhöhe der Windkraftanlage ermöglicht wird.


140 

120 

100 

Höhe [m] 

80 

60 

40 

20 

0 

5 6 7 8 9 10 

Windgeschwindigkeit [m/s] 

Prandtl Offshore Höhen Offshore Hellmann Offshore 

Prandtl Onshore Höhen Onshore Hellmann Onshore 

Abbildung 4.4: Abschätzungen des Windgeschwindigkeitsprofils Onshore und Offshore 

Ein weiterer wichtiger Faktor zur Modellierung der Windlasten stellen neben den mittleren 

Windgeschwindigkeiten Böen dar, wobei es sich hier um Geschwindigkeitsspitzen 

˙v B (t) handelt, die von der mittleren Windgeschwindigkeit abweichen. Die zeitabhängige 

Windgeschwindigkeit ˙v W (t) setzt sich aus der mittleren Windgeschwindigkeit und 

den Geschwindigkeitsspitzen zusammen. Es gilt: 

˙v W (t) = ˙v m + ˙v B (t) (4.16) 

Der zusätzliche Anteil ˙v B (t) entsteht durch die Turbulenz in der Luft, wobei die Intensität 

der Verwirbelung stark von den örtlichen Gegebenheiten abhängig ist. Die 

Turbulenz lässt sich für unterschiedliche Höhen mit 

I u (h) = 0,867 + 0,556 log 10(h) − 0,246 (log 10 (h)) 

( ) (4.17) 

h 

ln 

z 0 

bestimmen [24]. Abbildung 4.5 zeigt die Turbulenzintensität in Abhängigkeit von der 

Höhe, wobei auch hier z 0 wie schon zuvor zu 2·10 −4 m beziehungsweise 2·10 −2 m gewählt 

wird. Bei der Dimensionierung von Windkraftanlagen fließt ein Turbulenzanteil von 

13% bis 20% zur Berücksichtigung der Böen mit ein [16], dies entspricht in etwa der 

Onshore-Turbulenzintensität in 15m bis 100m Höhe. 

Die auf das hier gewählte System einwirkenden Windlasten werden aus den von Janßen 

[20] erzeugten Daten berechnet und beinhalten bereits die aus der Rotordynamik entstehenden 

Kräfte. Sämtliche auf das System einwirkende Windlasten werden auf einen 

Punkt reduziert und greifen somit direkt an der Rotornabe - Turmspitze - an. Abbildung 

4.6 zeigt die Windlasten, die im Weiteren auf das Modell aufgebracht werden,


140 

120 

Offshore 

Onshore 

100 

Höhe [m] 

80 

60 

40 

20 

0 

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 

Turbulenzintensität [-] 

Abbildung 4.5: Höhenabhängige Turbulenzintensität Onshore und Offshore 

für alle drei Raumrichtungen. Diese wurden für eine Zeitschrittlänge von △t = 0,05 

Sekunden erstellt und müssen für abweichende Zeitschrittlängen entsprechend interpoliert 

werden. 

600 

500 

Fx Fy Fz 

Kraft [kN] 

400 

300 

200 

100 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

-100 

-200 

Zeit [s] 

Abbildung 4.6: Angreifende Windlasten in x-, y- und z-Richtung 

Durch direkte Aufgabe der zuvor bestimmten Lasten auf das System wird nur eine 

einseitige Kopplung von Fluid und Struktur berücksichtigt, so dass die Geometrie 

in Bezug auf das umströmende Fluid vernachlässigt werden kann. Diese Vorgehensweise 

ist vertretbar, da davon ausgegangen werden kann, dass die Veränderung, die 

die Struktur auf das Fluid ausübt, in vernachlässigbarer Größenordnung die Struktur 

selbst beeinflusst. Bei Betrachtung ganzer Windparks hingegen ist je nach Abstand 

der Anlagen zueinander diese Vereinfachung nicht mehr gültig. 

4.4.2 Wellenlast 

Zusätzlich zu den Windlasten wirken durch den Seegang auch Wellenlasten auf die 

Offshore-Windkraftanlage. Um allerdings die zusätzlich auftretende Belastung durch 

den Seegang abschätzen zu können, sind aufwändige Untersuchungen des Wellengangs 

vor Ort nötig. Zu diesem Zweck steht seit Ende 2003 die Forschungsplattform FINO1 

in der Nordsee 45km nördlich von Borkum. Eine weitere Anlage - FINO2 - untersucht


seit 2007 Seegang und Wind 40km nord-westlich vor Rügen in der Ostsee. Ab 2008 

soll eine weitere Plattform - FINO3 - 80km südlich von Sylt ihre Arbeit aufnehmen [6]. 

Die Beschreibung des Seegangs ist mit Hilfe des Pierson-Moskowitz-Spektrums möglich 

( ) 

S PM (ω) = 4π3 Hs 

2 

T0 4 ω 5 g exp − 4ω4 max 

, (4.18) 

5ω 4 

dieses wurde auf Grundlage des Seegangs im Nordatlantik entwickelt und berücksichtigt 

die charakteristische Wellenhöhe H s , die Nulldurchgangsperiode T 0 , die Wellenfrequenz 

ω sowie die maximale Wellenfrequenz ω max . Für die Nordsee wurde das so 

genannte JONSWAP-Spektrum 

( ) 

S JONSWAP (ω) = 4π3 Hs 

2 ( ) 

T0 4 ω 5 g exp − 4ω4 max 

γ exp − ω2 −ωmax 

2 

2σ 2 ω 2 

5ω 4 max 

(4.19) 

entwickelt. Es entspricht dem Pierson-Moskowitz-Spektrum, wird aber um einen Peak- 

Faktor γ erweitert [24, 25]. Mit diesen Spektren ist es möglich Seegangszeitreihen durch 

Überlagerung verschiedener Wellen mit unterschiedlichen Wellenfrequenzen zu generieren 

[25]. 

Mit zunehmender Windgeschwindigkeit nimmt die Wellenhöhe und somit auch deren 

Kraft zu, dabei ist die Wellenhöhe maßgeblich von der Oberflächenwindgeschwindigkeit 

abhängig. Allerdings korrelieren Wind- und Wellenlast nicht, es ist somit also 

nicht möglich, aufgrund einer gegebenen Windgeschwindigkeit exakte Aussagen über 

die Wellenhöhe zu treffen, da zum einen die Wellenhöhe sehr stark von der Geometrie 

der Küstenlinie und der Wassertiefe beeinflusst wird und zum anderen weit entfernte 

Ereignisse ebenfalls einen Einfluss ausüben. So können selbst bei fast völliger Windstille 

große Wellen entstehen, andererseits kann starker ablandiger Wind zu einer nur 

sehr geringen Dünung führen. Aufgrund dieser Effekte besteht zumindest örtlich kein 

direkter Zusammenhang zwischen Wind und Wellen. Es kommt also je nach geographischen 

Gegebenheiten zu unabhängigen Wind- und Wellenereignissen. 

Mit der Morison-Formel kann die auf einen umströmten Zylinder wirkende Kraft 

dF = C d ρ f r ˙u f ˙u f + C m ρ f πr 2 ü f (4.20) 

bestimmt werden. Der Koeffizient C d beschreibt den Widerstand des Zylinders, C m 

die Massenträgheit. Beide Koeffizienten wurden in unterschiedlichen Versuchsreihen 

ermittelt und sind bei Offshore-Windkraftanlagen näherungsweise konstant [10].


Die hier einwirkenden Wellenlasten werden ebenfalls, wie schon die Windlasten, aus 

den von Janßen bestimmten Lastdaten errechnet [20]. In diesem Fall sind die Lasten 

allerdings nicht auf einen Knoten reduziert, sondern auf 20 vertikal zueinander 

liegenden Knoten verteilt. Die Wellenlasten aus Abbildung 4.7 werden in x- und y- 

Richtung angesetzt. Diese Wellenlasten sind ebenfalls, wie schon die Windlasten, auf 

eine Zeitschrittlänge von 0,05 Sekunden ausgelegt und werden für abweichende Zeitschrittlängen 

gegebenenfalls interpoliert. 

3000 

2500 

2000 

Knoten 1 Knoten 2 Knoten 3 Knoten 4 





0,00004 

0,00002 






Kraft [kN] 

1500 

1000 

500 

0 

-0,00004 

0 10 20 30 40 50 60 

-500 

-0,00006 

-1000 

-0,00008 

-1500 

Kraft [kN] 

0,00000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,00002 

-2000 

Zeit [s] 

-0,00010 

Zeit [s] 

Abbildung 4.7: Angreifende Wellenlasten in x- und y-Richtung 

4.4.3 Weitere Lasten 

Neben den schon beschriebenen Wind- und Wellenlasten können auch Eislasten oder 

Lasten infolge eines Anpralls auf die Windkraftanlage einwirken. Die Untersuchung des 

Einflusses dieser Lasten ist allerdings im Rahmen dieser Arbeit nicht durchführbar und 

wird daher im Folgenden nicht weiter betrachtet.

Modellbildung der Offshore-Windkraftanlage in Teilsystemen 40

Kombination und Kopplung der Teilsysteme 41 

5 Kombination und Kopplung der Teilsysteme 

Die bisher beschriebenen Teilsysteme aus Kapitel 4 werden nun in den nachfolgenden 

Abschnitten Schritt für Schritt zu einem Gesamtsystem zusammengesetzt. Hierbei 

wird vor der Erweiterung des Systems die jeweils aktuelle Konfiguration simuliert. 

Diese Vorgehensweise soll dafür sorgen, dass die Ergebnisse übersichtlich, nachvollziehbar 

und reproduzierbar sind. Die Systemgrößen für das hier erstellte Modell sind 

im Anhang in Tabelle C.1 noch einmal zusammengefasst. 

5.1 Turm als Kragarm 

Begonnen wird mit dem einfachsten System, dem Turm als Kragarm (vgl. Abbildung 

5.1). Dazu wird der in Abschnitt 4.3 beschriebene Turm am Fuß fest eingespannt. 

LF a LF b LF c 

Wind 

Rotor, 

Gondel 

Rotor, 

Gondel 

Wind 

Rotor, 

Gondel 

h T 

z 

Wellen 

Wellen 

x 

Abbildung 5.1: Systemskizze: Turm mit unterschiedlichen Lastfallkombinationen 

Anschließend wird das Modell unter statischer und dynamischer Beanspruchung untersucht: 

Zunächst erfolgt in Abschnitt 5.1.1 eine statische Analyse der drei Lastfallkombinationen 

a bis c aus Abbildung 5.1, um einen Anhaltspunkt über die zu erwartenden 

Verschiebungen des Systems zu erhalten. In den drei nachfolgenden Abschnitten 5.1.2.1 

bis 5.1.2.3 werden dynamische Lastfallkombinationen simuliert. 

Zuvor muss jedoch das dreidimensionale Balkenelement validiert werden. Dazu wird ein 

Balken einseitig eingespannt und am freien Ende in alle drei Raumrichtungen belastet 

(vgl. Abbildung 5.2). Da bei dem dreidimensionalen Balkenelement die Zustandsgrößen 

je Koordinatenrichtung unabhängig voneinander sind, geschieht die Validierung mit


Hilfe von Vergleichsrechnungen am zweidimensionalen Element, dem so genannten 

BeamBernoulli-Element [9]. Es wird ein zehn Meter langes Stahlrohr (E = 2,1 ·10 8 kN 

m 2 

und ρ = 7850 kg 

m 3 ) mit einem Querschnitt von einem Meter und einer Wanddicke von 

0,1 Metern modelliert. Daraus resultieren eine Querschnittsfläche von 0,28274m 2 und 

ein Flächenträgheitsmoment von 0. 02898m 4 , das in y- und z-Richtung aufgrund des 

symmetrischen Profils identisch ist. Bei diesem System werden am freien Ende in 

x−Richtung F x = 10000kN, y−Richtung F y = 100kN und in z−Richtung F z = 

200kN angesetzt. 

F z 

0,012 

0,010 

2D u 3D u Analytisch u 

2D v 3D v Analytisch v 

2D w 3D w Analytisch w 

z 

y 

x 

F x 

Verschiebung [m] 

0,008 

0,006 

F y 0,004 

0,002 

0,000 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Länge [m] 

Abbildung 5.2: Validierung 

Diskretisiert werden die zwei- und dreidimensionalen Balkenmodelle mit jeweils zehn 

Elementen. Dabei zeigt sich, dass die berechneten Verschiebungen mit den dreidimensionalen 

Elementen den Verschiebungen mit den zweidimensionalen Elementen und 

ebenfalls der analytisch bestimmten Lösung entsprechen. Wobei die Verschiebungen 

analytisch mit 

bestimmt werden. 

u = F xl 

EA = 0,00168m , 

v = F yl 3 

3EI y 

= 0,00548m , 

w = F zl 3 

3EI z 

= 0,01095m 

(5.1)


5.1.1 Statische Analyse 

Zur statischen Analyse der Systeme aus Abbildung 5.1 werden aus den in Abschnitt 

4.4.1 und 4.4.2 bestimmten Wind- sowie Wellenlasten die mittleren und maximalen 

Kräfte je Knoten ermittelt. Diese sind für den Wind in Tabelle 5.1 zusammengefasst. 

Windlasten: 

Richtung x y z 

Durchschnittliche Kraft [kN] 101,90 −21,24 40,42 

Maximale Kraft [kN] 540,80 105,29 −46,19 

Tabelle 5.1: Mittlere sowie maximale Kräfte aus dem Wind 

Die ermittelten Kräfte je Knoten aus dem anlaufenden Seegang in x-Richtung sind in 

Abbildung 5.3 dargestellt. Da die Lasten in y-Richtung sehr klein sind und somit nur 

einen verschwindend geringen Anteil an der Gesamtverformung des Systems haben, 

wurden diese bei der statischen Betrachtung nicht berücksichtigt. 

3000 

30 

maximale Kraft [kN] 

2500 

2000 

1500 

1000 

25 

20 

15 

10 

mittlere Kraft [kN] 

500 

5 

0 

0 5 10 15 20 

Knoten 

max 

mittel 

0 

Abbildung 5.3: Mittlere sowie maximale Kräfte aus dem Seegang 

Tabelle 5.2 fasst die berechneten, statischen Verschiebungen in x-Richtung für die 

untersuchten Lastfälle zusammen. Wie zu erwarten, fallen die Verformungen mit gemittelten 

Belastungen wesentlich kleiner aus als die Verformungen mit den maximalen 

Belastungen. Es ergeben sich je nach Lastfall Verschiebungen zwischen 0,0025 und 

0,3551 Metern. Auffällig ist jedoch, dass bei dieser Konfiguration der Hauptanteil der 

Verschiebungen der Turmspitze nicht aus dem Wind, sondern aus dem Seegang resultieren 

(vgl. Tabelle 5.2). Wodurch auch hier gezeigt ist, dass die Beanspruchungen 

einer Offshore-Anlage wesentlich größer ausfallen als die einer vergleichbaren Anlage


auf dem Land. 

Auslenkung der Turmspitze [m] infolge 

Lastfall Durchschnittslast Maximallast 

LF a 0,0258 0,1437 

LF b 0,0025 0,2114 

LF c 0,0293 0,3551 

Tabelle 5.2: Ergebnisse der statischen Untersuchung des Kragarms 

5.1.2 Dynamische Analyse ungedämpfter Systeme 

Bei der Untersuchung der Modelle in den drei nachfolgenden Abschnitten 5.1.2.1 bis 

5.1.2.3 wird die Dämpfung des Systems weder durch seine Struktur noch durch seine 

Masse berücksichtigt. Die Wichtungsfaktoren c m und c k zur Bestimmung der Dämpfungsmatrix 

werden zu null gewählt, wodurch auch die Dämpfungsmatrix zu null wird 

und somit keinerlei Einfluss auf den Bewegungsablauf hat. Bei den dynamischen Simulationen 

werden Auslenkungen erwartet, die in etwa ein bis zweieinhalb mal so groß 

sind wie die statischen Auslenkungen der Turmspitze unter maximaler Beanspruchung. 

Es werden somit auf Grundlage der Ergebnisse aus Abschnitt 5.1.1 Verschiebungen von 

0,15 bis maximal einen Meter erwartet. 

Um die kritische Zeitschrittlänge für diese System ∆t krit ≈ 0,08s (vgl. Gleichung 

(2.28)) einzuhalten, werden die nachfolgenden Berechnungen mit einer Zeitschrittlänge 

∆t von 0,05s durchgeführt. Vergleichsrechnungen mit einer Zeitschrittlänge von 0,01s 

liefern für alle drei Verschiebungen exakt die gleichen Ergebnisse. 

5.1.2.1 Einwirkende Windlasten 

Im ersten dynamischen Fall werden die Windlasten in x-, y- und z-Richtung aus Abbildung 

4.6 aufgebracht. Hinzu kommt eine weitere Last von 800kN aus Rotor und 

Maschinengondel, die zu der einwirkende Windlast in z-Richtung addiert wird (vgl. 

Abbildung 5.1,LF a). 

Abbildung 5.4 zeigt die sich, unter der hier gewählten Belastung, ergeben den Auslenkungen 

in x- und y-Richtung zum einen über die Zeit und zum anderen in Abhängigkeit 

voneinander. Es ergeben sich Auslenkungen in x-Richtung von rund −0,10m bis 

+0,15m und ±0,06m in y-Richtung. Die Frequenz liegt bei ungefähr 0,3Hz.


0,60 

x y z 

0,60 

0,40 

0,40 

Auslenkung [m] 

0,20 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

y-Auslenkung [m] 

0,20 

0,00 

-0,20 

-0,20 

-0,40 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 

-0,60 

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 

x-Auslenkung [m] 

Abbildung 5.4: Auslenkung der Turmspitze bei Windeinwirkung 

5.1.2.2 Einwirkende Wellenlasten 

Im zweiten Fall wird das Verhalten des Turmes auf einwirkende Wellenlasten untersucht. 

Es werden die beschriebenen Wellenlasten aus Abbildung 4.7 auf das System 

aufgebracht. Zusätzlich wird wieder die Last aus den Aufbauten an der Turmspitze mit 

berücksichtigt (vgl. Abblidung 5.1,LF b). Die Windlasten aus dem vorherigen Beispiel 

werden allerdings nicht angesetzt. 

0,60 

x y z 

0,60 

0,40 

0,40 


0,20 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 


0,20 

0,00 

-0,20 

-0,20 

-0,40 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 

-0,60 

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 


Abbildung 5.5: Auslenkung der Turmspitze bei Welleneinwirkung 

Im Vergleich zur vorangegangenen Simulation ergeben sich bei dieser Konfiguration 

wesentlich größere Verschiebungen der Turmspitze von ±0,5m in x-Richtung. Aufgrund 

der sehr geringen Kräfte in y-Richtung fallen die Verschiebungen in diese Richtung 

ebenfalls sehr gering aus und liegen bei Werten zwischen ±8 · 10 −9 m. Abbildung 5.5 

zeigt deutlich, dass die Turmspitze nahezu ausschließlich in x-Richtung schwingt. Auch 

hier wird eine Frequenz von circa 0,3Hz erreicht.


5.1.2.3 Kombination von Wind- und Wellenlasten 

Die beiden bisher getrennt voneinander betrachteten Lastfälle werden in diesem Abschnitt 

kombiniert. Es wirken somit Wind- und Wellenlasten zur selben Zeit auf den 

Turm ein (vgl. Abbildung 5.1,LF c). 

0,60 

x y z 

0,60 

0,40 

0,40 


0,20 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 


0,20 

0,00 

-0,20 

-0,20 

-0,40 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 

-0,60 

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 


Abbildung 5.6: Auslenkung der Turmspitze bei Wind- und Welleneinwirkung 

Zu erwarten wäre, dass die Auslenkungen in dieser Simulation größer ausfällt als die 

Auslenkung in den beiden vorangegangenen Berechnungen. Es zeigt sich jedoch, dass 

die Verschiebungen in x-Richtung mit lediglich ±0,4m um ca. ±0,1m kleiner sind als 

die bei der reinen Wellenbelastung, wohingegen die Auslenkungen in y-Richtung mit 

±0,06m denen aus Abschnitt 5.1.2.1 entsprechen. 

Bei einem direkten Vergleich der Auslenkungen in x-Richtung wird deutlich, was bei 

Einwirken beider Lasten passiert (vgl. Abbildung 5.7). Die Verschiebungen aus Wind 

und Seegang wirken gegeneinander und mindern somit die Größe der Verschiebung. 

0,60 

Wind Seegang Wind & Seegang 

0,40 


0,20 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,20 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 

Abbildung 5.7: Vergleich der x-Auslenkung der drei Lastfälle 

Um ausschließen zu können, dass dieses Verhalten nur innerhalb der ersten 60 Sekun-


den auftritt, wird eine Vergleichssimulation für 300 Sekunden vorgenommen. Da die 

Lasten nur für 60 Sekunden bestimmt worden sind, werden diese ergänzt, sodass auch 

in den zusätzlichen 240 Sekunden weiterhin Kräfte auf das System einwirken. Abbildung 

5.8 zeigt die Auslenkung der Turmspitze. Es ist deutlich zu erkennen, dass sich 

das Verhalten des Systems auch bei längerer Simulation nicht wesentlich ändert und 

somit eine Simulationszeit von 60 Sekunden zulässig ist. 

0,60 

x y z 

0,40 


0,20 

0,00 

0 50 100 150 200 250 300 

-0,20 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 


Bei der Entwicklung des Modells wurde deutlich, dass das Verformungsverhalten sehr 

stark von der Masse des Systems abhängt. Wird die Masse reduziert, wachsen die 

Verschiebungen an und der erwartete Effekt, dass Wind- und Wellenlast zusammen 

größere Verformungen erreichen, tritt ein. 

5.1.3 Dynamische Analyse gedämpfter Systeme 

Zur Untersuchung des gedämpften Kragarms wird eine Rayleigh-Dämpfung (vgl. Abschnitt 

2.1.1.3) mit unterschiedlichen Wichtungsfaktoren c m und c k realisiert (vgl. 

Gleichung (2.12)). Die Zeitschrittlänge entspricht mit △t = 0,05 Sekunden der aus 

Abschnitt 5.1.2. Abbildung 5.9 stellt noch einmal die Ergebnisse des ungedämpften, 

durch Wind und Seegang belasteten Systems (c m = 0,0; c k = 0,0) sowie die Ergebnisse 

der gedämpften Simulationen dar. Es zeigt sich, dass die Strukturdämpfung 

(c k ≠ 0,0) einen größeren Einfluss als die Massendämpfung (c m ≠ 0,0) auf das Verhalten 

des Modells hat. Besonders deutlich wird dies, wenn Massen- und Strukturdämpfung 

(c m = 0,5; c k = 0,5) gemeinsam wirken, da kaum eine Abweichung zur reinen 

Strukturdämpfung (c m = 0,0; c k = 0,5) auszumachen ist.


0,60 

0,40 

c m=0,00; c k =0,00 

c m=0,00; c k =0,05 

c m=0,05; c k =0,00 

c m=0,05; c k =0,05 


0,20 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,20 

-0,40 

-0,60 

Zeit [s] 


5.2 Im Boden gegründeter Turm 

Der bisher untersuchte Kragarm wird um die Gründung erweitert und im Boden gebettet. 

Untersucht wird dieses System mit Hilfe zweier unterschiedlicher Modellierungen. 

Begonnen wird mit einem rein auf der FEM basierenden Modell, das im nächsten 

Schritt durch eine Kopplung mit der SBFEM erweitert wird. 

5.2.1 Finite Elemente Modell 

Abbildung 5.10 zeigt die drei Bodenkonfigurationen, die im folgenden untersucht werden. 

Dabei handelt es sich im einzelnen um 

a einen Sandboden, 

b einen Mergelboden und 

c einem geschichteten Boden aus Sand und Mergel, wobei die obere Schicht bis in 

6m Tiefe reicht. 

Für jeden Boden werden jeweils drei unterschiedlich große Gebiete mit einer Ausdehnung 

von 10 × 10 × 30, 20 × 20 × 30 und 30 × 30 × 30 Metern modelliert, eine 

Zusammenfassung dieser dreidimensionalen Modelle einschließlich der Elementanzahl 

ist in Tabelle D.1 zu finden. 

Die Lasten aus Wind und Seegang sowie den Aufbauten am Turm werden bei allen drei 

Systemen angesetzt. Somit wird bei den Modellen ausschließlich der Boden variiert.


a 

Wind 

Rotor, 

Gondel 

b 

Wind 

Rotor, 

Gondel 

c 

Wind 

Rotor, 

Gondel 

Wellen 

Wellen 

Wellen 

z 

x 

Abbildung 5.10: Systemskizze des gegründeten Turmes FEM 

5.2.1.1 Statische Analyse 

Wie schon bei dem Modell zuvor wird die statische Auslenkung bestimmt, um die bei 

der dynamischen Simulation berechneten Auslenkungen einschätzen zu können. Dafür 

werden die in Abschnitt 5.1.1 berechneten Maximallasten infolge Wind und Seegang 

auf die Systeme aufgegeben. 

Im ersten Schritt beinhaltet das Modell lediglich den Boden. Dieser wird an der Oberfläche 

mittig, horizontal in x-Richtung mit einer Kraft von 20000kN belastet, dies entspricht 

in etwa der Summe aller in x-Richtung angreifenden Maximallasten. Analytisch 

lassen sich die Verformungen eines infiniten, homogenen Bodens an einem beliebigen 

Punkt P mit 

△u = 

△v = 

△w = 

F (1 + ν) 

2πE B r 

F (1 + ν) 

2πE B r 

F (1 + ν) 

2πE B r 

( )) 

(1 + x2 

r 

r + (1 − 2ν) 2 r + z − 

x2 

(r + z) 2 , 

( ) 

xy (1 − 2ν)xy 

− 

r2 (r + z) 2 , 

( ) 

xz (1 − 2ν)x 

+ 

r2 r + z 

(5.2) 

bestimmen [27]. Wobei r = √ x 2 + y 2 + z 2 den Abstand zwischen Kraftangriffspunkt 

und dem zu untersuchenden Punkt P angibt (vgl. Abbildung 5.11). Somit kann abgeschätzt 

werden, inwieweit der modellierte Boden einem infiniten Kontinuum entspricht.


F 

z 

R 

P(x,y,z) 

x 

y 

Abbildung 5.11: Infiniter Boden unter horizontaler Belastung 

Hier werden die Verschiebungen direkt unterhalb des Kraftangriffspunktes für 16 vertikal 

zueinander stehende Punkte analytisch bestimmt, so dass der Abstand zwischen 

den Punkten zwei Meter beträgt. Diese Soll-Verschiebungen werden mit den Verschiebungen 

des FE-Gitters verglichen. Abbildung 5.12 bis 5.14 zeigen die sich einstellenden 

Verformungen des Bodens unter der gegebenen statischen Belastung. Für die homogenen 

Böden ist ebenfalls die berechnete Soll-Verschiebung angegeben. Für den geschichteten 

Boden ist dies mit den Gleichungen (5.2) allerdings nicht möglich. 

x-Verschiebung [m] 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0 5 10 15 

-0,05 

Punkt 

y-Verschiebung [m] 

2,5E-10 

2,0E-10 

1,5E-10 

1,0E-10 

5,0E-11 

0,0E+00 

0 5 10 15 

-5,0E-11 

-1,0E-10 

Punkt 

z-Verschiebung [m] 

2,5E-06 

2,0E-06 

1,5E-06 

1,0E-06 

5,0E-07 

0,0E+00 

10x10x30 

20x20x30 

30x30x30 

soll 

0 5 Punkt 10 15 

Abbildung 5.12: Statische Verschiebung des Sandbodens 


0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

-0,02 

0 5 10 15 

Punkt 


1,4E-10 

1,2E-10 

1,0E-10 

8,0E-11 

6,0E-11 

4,0E-11 

2,0E-11 

0,0E+00 

0 

-2,0E-11 

5 10 15 

-4,0E-11 

Punkt 


2,5E-06 

2,0E-06 

1,5E-06 

1,0E-06 

5,0E-07 

0,0E+00 

10x10x30 

20x20x30 

30x30x30 

soll 

0 5 Punkt 10 15 

Abbildung 5.13: Statische Verschiebung des Mergelbodens



0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0 5 10 15 

-0,05 

Punkt 


2,5E-10 

2,0E-10 

1,5E-10 

1,0E-10 

5,0E-11 

0,0E+00 

0 5 10 15 

-5,0E-11 

-1,0E-10 

Punkt 


2,5E-06 

2,0E-06 

1,5E-06 

1,0E-06 

5,0E-07 

0,0E+00 

10x10x30 

20x20x30 

30x30x30 

0 5 Punkt 10 15 

Abbildung 5.14: Statische Verschiebung des geschichteten Bodens 

Die Grafiken zeigen, dass sich der Boden unterhalb der einwirkenden Last ausschließlich 

in x-Richtung nennenswert verformt. Die größten Verformungen treten dabei mit 

0,2m beim Sandboden auf, da dieser mit 3,263 · 10 5 kN 

m 2 den geringsten Steifemodul 

aufweist. Beim Mergel, mit einem Steifemodul von 6,5 · 10 5 kN 

m 2 , sind die Verformungen 

hingegen nur noch etwa halb so groß. Allerdings sind sämtliche Verformungen, 

die sich unter der statischen Beanspruchung ergeben, kleiner als die der berechneten 

Soll-Verschiebung. Es zeigt sich, dass sich die Ergebnisse der FEM mit Vergrößerung 

des Gebietes der Soll-Verformung immer weiter annähern. Allerdings erreicht auch das 

Gebiet mit der größten Ausdehnung nur etwa 50% der Soll-Verschiebung. 

Im zweiten Schritt wird das Modell um den Turm sowie eine Gründung erweitert. 

Dabei werden die Translationsfreiwerte der Kontinuumselemente und die der Balkenelemente 

gekoppelt. Eine Kopplung der Rotationsfreiwerte erfolgt nicht, da das hier 

gewählte Kontinuumselement auf linearen Ansätzen basiert und somit über keine entsprechenden 

Freiwerte verfügt. 

Belastet wird das System durch die am Turm angreifenden statischen und maximalen 

Wind- sowie Wellenlasten (vgl. Abschnitt 5.1.1). Tabelle 5.3 fasst die Verschiebungen 

der Turmspitze und des Turmfußes für die unterschiedlichen Gebietsgrößen und Bodenkonfigurationen 

zusammen. 

Der Turmfuß entspricht hier exakt den Koordinaten des Kraftangriffspunktes. Die 

durch die Gründung zusätzlich eingebrachte Steifigkeit im System wirkt sich allerdings 

deutlich aus. So reduzieren sich die Verschiebungen am Turmfuß im Vergleich 

zu Abbildung 5.12 bis 5.14 um etwa die Hälfte. Wie zu erwarten fällt die Verschiebung 

des Turmfußes im Sandboden (a) mit 0,0937 bis 0,1374m am größten aus. Im 

Mergel ist sie mit 0,0520 bis 0,0731m am geringsten. An der Turmspitze in 80 Metern


10 × 10 × 30 20 × 20 × 30 30 × 30 × 30 

Fuß [m] Spitze [m] Fuß [m] Spitze [m] Fuß [m] Spitze [m] 

a 0,0937 1,2903 0,1176 1,4586 0,1374 1,5967 

b 0,0520 0,9646 0,0639 1,0496 0,0731 1,1156 

c 0,0767 1,1370 0,0947 1,2577 0,1035 1,3239 

Tabelle 5.3: Statische Verschiebungen des Turms in x-Richtung 

Höhe fallen die Verformungen erheblich größer aus, dort liegen sie je nach Boden und 

Gebietsdiskretisierung zwischen 0,9646 und 1,5967 Metern und übertreffen damit die 

berechneten statischen Verschiebungen des fest eingespannten Kragarms aus Abschnitt 

5.1.1 bei weitem. 

5.2.1.2 Dynamische Analyse ungedämpfter Systeme 

Die dynamische Analyse erfolgt mit einwirkenden Wind- und Wellenlasten. Auch hier 

wird vorerst die bereits zuvor gewählte Schrittweite von △t = 0,05 Sekunden angesetzt. 

Es zeigt sich jedoch, dass es bei einer Verringerung der Zeitschrittlänge auf 

△t = 2,5 · 10 −3 Sekunden zu deutlichen Abweichungen der berechneten Ergebnisse 

kommt. Die maximale Abweichung zwischen den berechneten Lösungen liegt, wie Abbildung 

5.15 zeigt, bei 0,255m. Bei einer weiteren Reduktion der Schrittweite um eine 

Zehnerpotenz auf 2,5 · 10 −4 liefert die Berechnung hingegen keine sinnvollen Ergebnisse. 

Die Verschiebungen wachsen dabei bis an die numerischen Grenzen, wodurch die 

Simulation letztendlich abstürzt. Grund dafür ist vermutlich ein Fehler im Balkenelement, 

die genaue Fehlerquelle konnte jedoch nicht eindeutig ermittelt werden. 

4,0 

0.05 0.0025 

0,30 

diff 

max 

3,0 

0,25 


2,0 

1,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-1,0 

-2,0 

Abweichung [m] 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

-3,0 

-4,0 

Zeit [s] 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

Zeit [s] 

Abbildung 5.15: Vergleich zweier Ergebnisse mit unterschiedlichen Zeitschrittlängen


Abbildung 5.16 stellt die Ergebnisse der ungedämpften Systeme zusammen. Es ist 

deutlich zu sehen, dass die Auslenkung der Turmspitze zum einen vom Boden und zum 

anderen von der Gebietsgröße abhängig ist. Die größten Auslenkungen der Turmspitze 

treten im Sandboden auf und die kleinsten im Mergel. Dies entspricht den Erwartungen 

aus der statischen Untersuchung, allerdings werden die erwarteten Verschiebungen 

von rund drei Meter deutlich überschritten. Innerhalb der ersten zehn bis 20 Sekunden 

unterscheiden sich die Ergebnisse der Simulationen nur geringfügig voneinander, 

lediglich die Amplitude der Schwingung fällt je nach Gebietsgröße unterschiedlich groß 

aus. Wobei die Differenz innerhalb der zu erwartenden Grenzen liegt (vgl. Abschnitt 

5.2.1.1). Nach 20 Sekunden unterscheiden sich die Ergebnisse jedoch sehr stark voneinander, 

um dieses Verhalten erklären zu können, ist es notwendig das Verhalten der 

Gründung genauer zu betrachten. 

a 

6,0 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

0,10 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

4,0 

0,08 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 

b 

6,0 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

0,10 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

0,08 

4,0 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 

c 

6,0 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

0,10 

10x10x30 20x20x30 30x30x30 

4,0 

0,08 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 

Abbildung 5.16: Auslenkung der Turmspitze im a) Sandboden, b) Mergel und c) geschichteten 

Boden


Abbildung 5.17 zeigt das Verformungsverhalten der Gründung an drei ausgewählten 

Punkten. Dargestellt ist die Verschiebung der Gründung im geschichteten Boden in 

x− und y−Richtung an Turmfuß (h(z) = 0,0m) in der Mitte (h(z) = −10,0m) und 

am Fuß der Gründung (h(z) = −20,0m). Aufgrund der statischen Berechnungen ist zu 

erwarten, dass die Verschiebungen mit zunehmender Tiefe abnehmen (vgl. Abbildung 

5.12 bis 5.14). Es zeit sich jedoch, dass die Verschiebungen im 20 Meter Tiefe größer 

ausfallen als in zehn Meter Tiefe. Grund dafür sind die sich im Boden ausbreitenden 

Wellen. Diese werden am Gebietsrand reflektiert und regen das System zusätzlich an, 

wodurch sie die Verschiebungen der Gründung und somit ebenfalls die der Turmspitze 

je nach Laufzeit und Überlagerung verstärken oder auch reduzieren. Um diesen unerwünschten 

Effekt zu reduzieren, werden die Systeme im nachfolgenden Abschnitt mit 

Berücksichtigung einer Dämpfung untersucht. 

a 

0,25 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,006 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,20 

0,15 

0,004 


0,10 

0,05 

0,00 

0 

-0,05 

10 20 30 40 50 60 

-0,10 


0,002 

0,000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,002 

-0,15 

-0,20 

-0,004 

-0,25 

Zeit [s] 

-0,006 

Zeit [s] 

b 

0,25 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,006 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,20 

0,15 

0,004 


0,10 

0,05 

0,00 

0 

-0,05 

10 20 30 40 50 60 

-0,10 


0,002 

0,000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,002 

-0,15 

-0,20 

-0,004 

-0,25 

Zeit [s] 

-0,006 

Zeit [s] 

c 

0,25 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,006 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 


0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0 

-0,05 

10 20 30 40 50 60 


0,004 

0,002 

0,000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,002 

-0,10 

-0,004 

-0,15 

-0,20 

-0,006 

-0,25 

Zeit [s] 

-0,008 

Zeit [s] 

Abbildung 5.17: Verschiebung der Gründung a) 10x10x30, b) 20x20x30 und c) 

30x30x30


5.2.1.3 Dynamische Analyse gedämpfter Systeme 

Um bei den Systemen eine möglichst realistische Dämpfung zu realisieren, wird hier 

eine Rayleigh-Dämpfung, die sowohl die Struktur als auch die Masse berücksichtigt, 

umgesetzt. Da aufgrund fehlender Messdaten weder Informationen über den Steifigkeitsskalierungsfaktor 

c k noch über den Massenskalierungsfaktor c m für ein derartiges 

System vorliegen, wird mit c k = c m = 0,05 eine Rayleight-Dämpfung von fünf Prozent 

für das gesamte System aus Turm, Gründung und Boden angenommen. Abbildung 

5.18 zeigt die sich bei den gedämpften Systemen einstellende Auslenkung der Turmspitze. 

Im Gegensatz zu den Berechnungen im vorangegangenen Abschnitt erfüllen die 

hier berechneten Auslenkungen die Erwartungen. 

a 

6,0 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,10 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,08 

4,0 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 

b 

6,0 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,10 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,08 

4,0 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 

c 

6,0 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,10 

10x10x30c 20x20x30c 30x30x30c 

0,08 

4,0 

0,06 


2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 


0,04 

0,02 

0,00 

0 

-0,02 

10 20 30 40 50 60 

-0,04 

-4,0 

-0,06 

-0,08 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,10 

Zeit [s] 


Boden


Wie schon Abbildung 5.17 zuvor zeigt Abbildung 5.19 die sich einstellende Verschiebung 

am Turmfuß, in der Mitte der Gründung und am Fuß der Gründung, jedoch in 

diesem Fall für die untersuchten gedämpften Systeme. Es wird deutlich, dass durch 

die eingeführte Dämpfung die Verschiebungen der Gründung im Gegensatz zu dem 

ungedämpften Systemen erheblich kleiner ausfallen. Allerdings sind auch hier die Verschiebungen 

am Fuß der Gründung größer als die in der Mitte der Gründung, woraus 

ersichtlich wird, dass auch beim gedämpften Fall die am Gebietsrand reflektierten Verschiebungen 

einen wesentlichen Einfluss auf das zu untersuchende System haben. Um 

diesen Effekt vollkommen ausschließen zu können, muss das Gebiet entweder so groß 

sein, dass bis zum Ende der Simulation keine Verschiebungen am Rand reflektiert werden 

oder die Verschiebungen auf dem Weg zum Gebietsrand vollkommen abgeklungen 

sind, so dass sie nicht reflektiert werden können. Diese beiden Überlegungen sind allerdings 

nur sehr eingeschränkt zu gebrauchen, da die modellierten Gebiete aufgrund 

der beschränkten Rechenleistung heutiger Computer nicht beliebig groß gewählt werden 

können und sich somit das Fenster der benötigten Simulationszeit nicht für jedes 

System realisieren lässt. Abhilfe schafft allerdings ein anderer Ansatz der Modellierung 

des Systems, auf den im nachfolgenden Abschnitt näher eingegangen wird. 

5.2.2 Scaled Boundary Finite Elemente Modell 

Wie die vorangegangenen Abschnitte gezeigten, ist eine Umsetzung des Systems mit 

einer ausschließlich auf der FEM basierenden Modellierung nur bedingt sinnvoll. Aus 

diesem Grund wird in den nachfolgenden Abschnitten das bisherige Modell mit der 

SBFEM gekoppelt. Somit entfallen die Randbedingungen der FE und werden durch 

SBFE ersetzt, die die Lagerung des Systems übernehmen, jedoch die Verschiebungen 

nicht reflektieren. Es erfolgt auch hier eine Untersuchung des ungedämpften und des 

gedämpften Systems. Die benötigte Zeitschrittlänge für das mit der SBFEM gekoppelte, 

dynamische System lässt sich mit Gleichung (2.32) abschätzen und wird hier zu 

△t = 2,5 · 10 −3 Sekunden gewählt. Im ersten Schritt müssen die Einheitsimpulsmatrizen 

M ∞ t i 

für das zu betrachtende System erstellt werden. Dafür werden Geometrie und 

die Materialparameter für jedes einzelne System aus Tabelle D.2 vorgegeben. Die Mindestanzahl 

n der zu berechnenden Matrizen wird über die Wellengeschwindigkeit und 

den maximalen Abstand r zwischen Gebietsrand und Skalierungszentrum bestimmt. 

Es gilt: 

n ≥ 2r △t (5.3) 

c 

Für die Gebiete 3a bis 3b ist es nicht möglich mit dem hier verwendeten Programm 

die benötigten Matrizen zu erstellen, da sie mehr als den zur Verfügung stehenden


a 

0,15 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,0020 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 


0,10 

0,05 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,05 

-0,10 


0,0015 

0,0010 

0,0005 

0,0000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,0005 

-0,0010 

-0,0015 

-0,15 

Zeit [m] 

-0,0020 

Zeit [s] 

b 

0,15 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,0020 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 


0,10 

0,05 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,05 

-0,10 


0,0015 

0,0010 

0,0005 

0,0000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,0005 

-0,0010 

-0,0015 

-0,15 

Zeit [s] 

-0,0020 

Zeit [s] 

c 

0,15 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 

0,0020 

h(z)=0,0 h(z)=-10,0 h(z)=-20,0 


0,10 

0,05 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,05 

-0,10 


0,0015 

0,0010 

0,0005 

0,0000 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,0005 

-0,0010 

-0,0015 

-0,15 

Zeit [s] 

-0,0020 

Zeit [s] 

Abbildung 5.19: Verschiebung der Gründung a) 10x10x30, b) 20x20x30 und c) 

30x30x30 

Speicherplatz benötigen. Somit muss die Betrachtung dieser Modelle hier entfallen. 

Im zweiten Schritt werden die Systeme wie schon zuvor berechnet, wobei jetzt anstelle 

der Randbedingungen die Einheitsimpulsmatrix in das Gleichungssystem mit einfließt 

(vgl. Gleichung 2.48). 

Abbildung 5.20 stellt die mit dem gekoppelten System berechneten Auslenkungen der 

Turmspitze in x− und y−Richtung für die ungedämpften sowie die gedämpften Systeme 

dar, wobei die Auslenkungen der gedämpften Systeme mit einem c gekennzeichnet 

sind. Aus den Diagrammen geht hervor, dass die Verschiebungen zwischen den verschiedenen 

ungedämpften Systemen wesentlich besser übereinstimmen als die bei den 

ungedämpften FE-Modellen in den Abschnitten zuvor. Des Weiteren ist zu erkennen, 

dass die Differenz zwischen den gedämpften und ungedämpften Systemen hier wesentlich 

geringer ist als bei den auf der FEM basierenden Modellen. Grund dafür ist


a 


6,0 

10x10x30 10x10x30c 

20x20x30 20x20x30c 

4,0 

2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 

-4,0 


0,08 

10x10x30 

20x20x30 

10x10x30c 

20x20x30c 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,02 

-0,04 

-0,06 

b 


-6,0 

Zeit [s] 

-0,08 

Zeit [s] 

6,0 

10x10x30 

20x20x30 

10x10x30c 

20x20x30c 

0,08 

10x10x30 

20x20x30 

10x10x30c 

20x20x30c 

0,06 

4,0 

0,04 

2,0 

0,02 

0,0 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,02 

-2,0 

-0,04 

-4,0 

-0,06 


-6,0 

Zeit [s] 

-0,08 

Zeti [s] 

c 

6,0 

10x10x30 

10x10x30c 

0,08 

10x10x30 

10x10x30c 


4,0 

2,0 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-2,0 

-4,0 


0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,02 

-0,04 

-0,06 

-6,0 

Zeit [s] 

-0,08 

Zeti [s] 


Boden 

die fehlende Reflektion der Verschiebungen am Rand, was eindeutig zeigt, dass die 

Kopplung beider Systeme den gewünschten Effekt erreicht. Hinzu kommt, dass sich 

die Ergebnisse der Berechnungen mit zunehmender Gebietsgröße verbessern (vgl. [40 

und 41]). 

Die Verschiebungen fallen je nach Baugrund bei den gekoppelten Systemen mit −0,40m 

bis 0,80m erheblich größer aus. Dieser Zuwachs ist auf die Lagerung des Systems zurückzuführen, 

da der Boden hier eine infinite Ausdehnung besitzt und somit nicht 

durch die zuvor gesetzten Randbedingungen in seiner Verformung behindert wird. Besonders 

deutlich wird dies bei der Betrachtung der Verschiebungen im Baugrund (vgl. 

Abbildung 5.21). Wie schon zuvor ist die Verschiebung der Gründung am Turmfuß, 

in Mitte der Gründung sowie am Fuß der Gründung dargestellt. Bei Betrachtung der 

Auslenkung der Turmspitze liegen die sich einstellenden Verschiebungen in Abbildung


5.21,a innerhalb der zu erwartenden Grenzen. Mit den Ergebnissen der hier erstellten 

Berechnungen kann allerdings keine Aussage über den weiteren Verlauf der Verschiebung 

in Abbildung 5.21,b getroffen werden. 

a 

0,6 

0,4 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

0,005 

0,004 

0,003 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 


0,2 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,2 


0,002 

0,001 

0,000 

0 

-0,001 

10 20 30 40 50 60 

-0,002 

-0,4 

-0,003 

-0,004 

-0,6 

Zeit [s] 

-0,005 

Zeit [s] 


b 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 


0,0 

0,005 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,2 

0,000 

-0,4 

0 10 20 30 40 50 60 

-0,005 

-0,6 

Zeit [s] 

Zeit [s] 

0,025 

0,020 

0,015 

0,010 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

h(z)=0.0 h(z)=-10.0 h(z)=-20.0 

Abbildung 5.21: Verschiebung der Gründung a) 10x10x30 und b) 20x20x30 

Der Grund für diese großen Verschiebungen kann in dieser Arbeit im Weiteren nicht 

genauer untersucht werden. Es ist anzunehmen, dass einer der folgenden drei Gründe 

ausschlaggebend ist: Zum einen ist es möglich, dass der Baugrund aufgrund der Wahl 

seiner Kenngrößen nicht in der Lage ist, die auftretenden Kräfte aufzunehmen. Vergleichsrechnungen 

mit anderen Bodenkennwerten könnten darüber Aufschluss geben. 

Eine weitere Möglichkeit ist, dass die Gründung zu klein ausgewählt wurde und somit 

zu große Verformungen an den Boden weitergegeben werden. Auch hier können weitere 

Simulationen Antworten liefern. Am wahrscheinlichsten ist allerdings, dass der Fehler 

in der Modellierung zu finden ist. Durch die Kopplung der Translationsfreiwerte von 

Balken- und Kontinuumselementen werden die am Turm angreifenden Kräfte sehr konzentriert 

in den Boden eingeleitet. Abbildung 5.22,a zeigt einen Schnitt in xy−Ebene 

durch das hier umgesetzte Modell. Diese lokalen Kräfte bzw. Einzellasten führen lokal 

zu sehr großen Spannungen und Spannungsdifferenzen innerhalb der Elemente, was 

im Zusammenspiel mit der SBFEM zu Problemen führen kann, und die stetig zunehmenden 

Verschiebungen in Abbildung 5.21,b erklärt. Eine mögliche Lösung kann eine 

Veränderung des Modells liefern, dabei wird der Boden um die Gründung herum höher 

aufgelöst als im restlichen Gebiet (vgl. Abbildung 5.22,b). Den Kontinuumselementen,


die direkt an die Balken gekoppelt sind und somit den Kontakt zwischen den Strukturen 

herstellen, werden die selben Materialparameter wie der Gründung zugeteilt. Dies 

würde eine bessere Verteilung der einwirkenden Lasten auf die umgebenden Kontinuumselemente 

gewährleisten und sicherlich die Ergebnisse der Simulationen erheblich 

verbessern. 

a 

b 

y 

x 

Abbildung 5.22: Skizze: a) Aktuelles Netz b) verfeinertes modifiziertes Netz

Zusammenfassung 61 

6 Zusammenfassung 

Im Folgenden werden die in dieser Arbeit gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst. 

Zusätzlich werden Problemstellungen, die sich während der Arbeit ergaben, angesprochen 

sowie Aussagen über vorgenommene Vereinfachungen am Modell und die daraus 

resultierenden Verbesserungsmöglichkeiten getroffen. Abschließend wird ein Ausblick 

auf weiterführende Themen bezüglich der Modellierung von Windkraftanlagen gegeben. 

Gegenstand der vorliegenden Diplomarbeit ist, eine Offshore-Windkraftanlage samt 

Baugrund mit Hilfe einer Kopplung von Finite Elemente Methode und Scaled Boundary 

Finite Elemente Methode zu modellieren. Nachdem in Kapitel 1 die Motivation 

dieses Themas ausführlich erörtert wurde, wurde in Kapitel 2 ein Überblick über die in 

dieser Arbeit eingesetzten numerischen Verfahren vermittelt, wobei das Hauptaugenmerk 

hier auf der Beschreibung der Finite Elemente Methode und der Scaled Boundary 

Finite Elemente Methode lag. 

Aufbauend auf Kapitel 3, das detailliert die Konstruktion und Funktionsweise heutiger 

Windkraftanlagen darlegt, erfolgte schließlich in Kapitel 4 die Modellierung der Offshore-Windkraftanlage 

samt Baugrund. Um eine bessere Übersichtlichkeit zu erzielen, 

wurde die Modellierung für die einzelnen Komponenten der Windkraftanlage getrennt 

durchgeführt, wobei die Komplexität des Gesamtsystems so weit wie möglich reduziert 

wurde. So konnte beispielsweise die exakte Geometrie des Turms aufgrund der 

nur einseitigen Kopplung von Wind bzw. Seegang vernachlässigt und der Turm somit 

mit Hilfe eines Balkens als Ersatzsystem modelliert werden. Eine weitere Vereinfachung 

erfolgte bei der Modellierung des Baugrundes, für den trotz seines eigentlich nichtlinearen 

Materialverhaltens ein lineares Materialgesetz gewählt wurde. Diese Vereinfachung 

war notwendig, da im verwendeten Programm derzeit kein nichtlineares Materialgesetz 

implementiert ist und im Rahmen dieser Diplomarbeit auch nicht verwirklicht werden 

konnte. 

Im Anschluss an die Modellbildung der einzelnen Teilsysteme wurden diese in Kapitel 

5 auf ihr statisches und dynamisches Verhalten hin untersucht und dieses eingehend 

beschrieben. Die Berechnung der Modelle erfolgte auf dem vom Institut für Rechnergestützte 

Modellierung im Bauingenieurwesen der Technischen Universität Braunschweig 

und dem Institut für Angewandte Mechanik gemeinsam genutzten Cluster. Nach der 

Analyse der Teilsysteme wurden diese anschließend schrittweise zusammengesetzt, wo-


bei mit der statischen und dynamischen Betrachtung des Turms als Kragarm begonnen 

wurde. Dieser wurde im Anschluss um eine Monopile-Gründung und den umgebenden 

Baugrund erweitert, wobei hier unterschiedlich große Gebiete zum Einsatz kamen. Es 

zeigte sich, dass die berechneten Verschiebungen des Bodens nicht denen eines infiniten 

Kontinuums entsprachen. Des Weiteren zeigte einen Vergleich zwischen ungedämpften 

und gedämpften Modellen, dass sich die am Gebietsrand reflektierten Wellen erheblich 

auf das Verhalten des Systems auswirken. Um die Reflektion am Gebietsrand 

vollständig zu unterbinden, wurden die einzelnen Modelle mit der Scaled Boundary 

Finite Elemente Methode erweitert. Diese Erweiterung erhöhte den benötigten Speicher 

derart, dass die Untersuchung einiger Modelle nicht mehr möglich war. Andere 

Simulationen waren aufgrund der stark ansteigenden Rechenzeit trotz einer Walltime 

von 48 Stunden ebenfalls nicht möglich. 

Insgesamt konnte festgestellt werden, dass eine Modellierung von Windkraftanlagen 

rein auf der FEM basierend nicht sinnvoll ist, da die Ergebnisse durch die Reflektion 

der Wellen am Gebietsrand stark beeinflusst werden. Zum Erzielen realitätsnaher Ergebnisse 

war somit eine Erweiterung der Modelle durch die Kopplung mit der SBFEM 

trotz des höheren Arbeitsaufwands und des zusätzlich steigenden Rechenaufwands 

unumgänglich. Hierbei auftretende Probleme bezüglich der Modellierung konnten im 

Rahen dieser Arbeit allerdings nicht näher untersucht werden. 

Um bei weiterführenden Untersuchungen zukünftig realitätsnähere Ergebnisse zu erzielen, 

müssen einige Modifikationen am Modell vollzogen werden: So würde insbesondere 

die Implementierung eines nichtlinearen Werkstoffgesetzes für die Modellierung 

des Baugrundes zu einer erheblich besseren Beschreibung des Bodens und somit seines 

Verformungsverhaltens beitragen. Zudem würde eine genauere Abbildung der Geometrie 

und eine Modellierung des Rotors eine Verbesserung der Ergebnisse erzielen. 

Eine Berücksichtigung der bisher vernachlässigten Fluid-Struktur-Interaktion würde 

ebenfalls zu eine Aufwertung des Modells führen. Realisierbar wäre dies durch eine 

Kopplung des Strukturlösers mit einem Programm zur Strömungsanalyse. Da aus den 

hier aufgeführten Erweiterungen eine Zunahme des benötigten Speicherbedarfs und der 

Rechenzeit resultieren würde, wäre allerdings bei einer Verwirklichung dieser Modifikationen 

eine vollständige Parallelisierung des derzeit nur teilweise parallel laufenden 

Programms zwingend notwendig, um weiterhin eine effiziente Berechnung des Modells 

zu ermöglichen.


Auch bei der Entwicklung der Anlagen besteht noch weiteres Forschungspotential. 

So berichtete am 18. September diesen Jahres SPIEGEL ONLINE [38] über eine neue 

Technologie, die zu einer kontinuierlichen Stromgewinnung durch Windkraft beitragen 

könnte und somit einer der Hauptkritikpunkte an der Windkraft entfällt. Bei dieser 

neuartigen Entwicklung generiert die Windkraftanlage keinen Strom sondern erzeugt 

mit Hilfe eines Kompressors Druckluft. Diese kann dann nahezu verlustfrei gespeichert 

und je nach Bedarf in Strom umgewandelt werden. Da diese Umwandlung allerdings 

separat abläuft, ist es zukünftig sogar möglich mehrere Anlagen über Druckluftleitungen 

mit einem Stromerzeuger zu verbinden. Durch diese Technik könnten in naher 

Zukunft sogar Offshore-Windparks weit vor der Küste realisiert werden, dessen Umsetzung 

bisher aufgrund der hohen Kosten für die Infrastruktur nicht möglich war. Nach 

entsprechenden Lösungen für die Gründungen dieser Anlagen wird ebenfalls gesucht.

Zusammenfassung 64

Quellenverzeichnis 

xiii 

A 


A.1 Literatur 

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unter Erdbebeneinwirkung - Institut für Angewandte Mechanik 

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2005 

A.2 Befragte Personen 

Dipl.-Ing. Robert Borsutzky 

Dipl.-Ing. Dirk Clasen 

PD Dr.-Ing. Lutz Lehmann 

Dipl.-Ing. Meike Wulkau 




Institut für Angewandte Mechanik

Offshore-Windparks in Nord- und Ostsee 

xvii 

B 


Abbildung B.1: Offshore-Windparks in der Nordsee


xviii 

Abbildung B.2: Offshore-Windparks in der Ostsee

Zusammenfassung der Modellgrößen 

xix 

C 


Offshore-Windkraftanlage 

Rotor und Maschinengondel: 

Rotordurchmesser d R 70,0m 

Gesamtgewicht 

Turm: 

80000,0kg 

Nabenhöhe h T 80,0m 

Wasserstand h W 20,0m 

Radius r Tz=0 3,0m 

r Tz=80 2,0m 

Wanddicke t T 0,05m 

Elastizitätsmodul E T 2,1 · 10 8 kN 

m 2 

Querdehnzahl ν T 0,3 

Dichte ρ T 7850,0 kg 

m 3 

Gründung: 

Tiefe h G 20,0m 

Radius r G 3,0m 

Wanddicke t G 0,05m 

Elastizitätsmodul E G 2,1 · 10 8 kN 

m 2 

Querdehnzahl ν G 0,3 

Dichte ρ G 7850 kg 

m 3 

Baugrund: 

Sand: 


m 2 

Querdehnungszahl ν B 0,48 


m 3 

Mergel: 


m 2 

Querdehnzahl ν B 0,48 


m 3 

Tabelle C.1: Zusammenfassung der Modellgrößen


xx

Bodenkonfiguration mit FEM und SBFEM 

xxi 

D 


D.1 FEM 

Schicht Ausdehnung [m] FE Anz. Ele. Knoten FHG 

1a Sand 10 × 10 × 30 4 × 4 × 15 240 

Mergel - - - 

1b Sand - - - 

Mergel 10 × 10 × 30 4 × 4 × 15 240 

1c Sand 10 × 10 × 6 4 × 4 × 3 48 

Mergel 10 × 10 × 24 4 × 4 × 12 192 

2a Sand 20 × 20 × 30 6 × 6 × 15 540 

Mergel - - - 

2b Sand - - - 

Mergel 20 × 20 × 30 6 × 6 × 15 540 

2c Sand 20 × 20 × 6 6 × 6 × 3 108 

Mergel 20 × 20 × 24 6 × 6 × 12 432 

3a Sand 30 × 30 × 30 10 × 10 × 15 1500 

Mergel - - - 

3b Sand - - - 

Mergel 30 × 30 × 30 10 × 10 × 15 1500 

3c Sand 30 × 30 × 6 10 × 10 × 3 300 

Mergel 30 × 30 × 24 10 × 10 × 12 1200 

∑ = 320 

∑ = 960 

∑ = 320 

∑ = 960 

∑ = 320 

∑ = 960 

∑ = 1302 

∑ = 3906 

∑ = 1302 

∑ = 3906 

∑ = 1302 

∑ = 3906 

∑ = 1760 

∑ = 5280 

∑ = 1760 

∑ = 5280 

∑ = 1760 

∑ = 5280 

Tabelle D.1: Bodenmodellierung mit FEM


xxii 

D.2 FEM/SBFEM 

Schicht Ausdehnung [m] FE SBFE Anz. Ele. 

1a Sand 10 × 10 × 30 4 × 4 × 15 4 × 4 × 15 + 4 × 4 496 

Mergel - - - - 

1b Sand - - - - 

Mergel 10 × 10 × 30 4 × 4 × 15 4 × 4 × 15 + 4 × 4 496 

1c Sand 10 × 10 × 6 4 × 4 × 3 4 × 4 × 3 96 

Mergel 10 × 10 × 24 4 × 4 × 12 4 × 4 × 12 + 4 × 4 400 

2a Sand 20 × 20 × 30 6 × 6 × 15 4 × 6 × 15 + 6 × 6 936 


2b Sand - - - - 

Mergel 20 × 20 × 30 6 × 6 × 15 4 × 6 × 15 + 6 × 6 936 

2c Sand 20 × 20 × 6 6 × 6 × 3 4 × 6 × 3 180 

Mergel 20 × 20 × 24 6 × 6 × 12 4 × 6 × 12 + 6 × 6 756 

3a Sand 30 × 30 × 30 10 × 10 × 15 4 × 10 × 15 + 10 × 10 2200 


3b Sand - - - - 

Mergel 30 × 30 × 30 10 × 10 × 15 4 × 10 × 15 + 10 × 10 2200 

3c Sand 30 × 30 × 6 10 × 10 × 3 4 × 10 × 3 420 

Mergel 30 × 30 × 24 10 × 10 × 12 4 × 10 × 12 + 10 × 10 1780 

Tabelle D.2: Bodenmodellierung mit FEM und SBFEM

Eidesstattliche Erklärung 

xxiii 

E 

Eidesstattliche Erklärung 

Ich erkläre hiermit an Eides statt, dass ich die vorstehende Diplomarbeit selbstständig 

angefertigt und die benutzten Hilfsmittel sowie die befragten Personen und Institutionen 

vollständig angegeben habe. 

Braunschweig, den 28.09.2007

DIPLOMARBEIT Numerische Simulation von Offshore ...

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