Kapitel 6

Kapitel 6
HASHING
Algorithmen & Datenstrukturen
Prof. Dr. Wolfgang Schramm

Übersicht
1
1. Einführung
2. Algorithmen
3. Eigenscha?en von
Programmiersprachen
4. Algorithmenparadigmen
5. Suchen & SorGeren
6. Hashing
7. Komplexität von Algorithmen
8. Abstrakte Datentypen (ADT)
9. Listen
10. Bäume
11. Graphen

Lernziele des Kapitels
2
2
¨ Kennenlernen von Hashing bzw.
was die MoGvaGon für Hashing
ist?
¨ Verstehen wie Hashing
funkGoniert.
¨ Verstehen, was eine
HashfunkGon ist.
¨ Behandlung von Kollisionen
beim Hashing verstehen.
¨ Einsatzmöglichkeiten für
Hashing kennenlernen.

Inhalt
3
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Hashing
NotaGonen
HashfunkGon bzw. Streuwer_unkGon
Hashtabelle
Beispiele
Kollisionen und Kollisionsstrategien
Offenes bzw. Geschlossenes Hashing
Komplexität
Anwendungsgebiete von Hashing
Java Hashtable-­‐Klasse
Programmierbeispiel

Hashing
4
o
o
o
Speichermethode
¤
¤
bei großen Datenbanken
beschleunigt das Finden von Daten
Die Grundidee des Hashing-­‐Verfahrens
¤
Hash-­‐FunkGon: Schlüsselwert à Speicheradresse
GrundoperaBonen
¤
¤
¤
Einfügen
Löschen
Suchen
0
1
2
3
4
5
6
7

Anwendungsgebiete
5
o
o
o
o
Datenbanken
¤
Index für Tabellen
à unter günsGgen Bedingungen
„ideale“ Zugriffszeiten
Compiler
¤
InterpretaGon von Symboltabellen
Betriebssysteme
¤
ImplemenGerung von Seitentabellen
SonsGge ApplikaGonen
¤
¤
ImplemenGerung von Caches
ImplemenGerung von Mengen

Hashing: DefiniGonen 1/6
6
o
o
o
o
U sei die Menge der möglichen Schlüssel.
S ⊆ U sei die Menge der zu speichernden Schlüssel mit |S| = n.
Ein Behälter (Bucket) kann ein mit einem Schlüssel zu idenGfizierendes
Element aufnehmen.
Eine Hashtabelle H ist eine Menge von nummerierten Behältern
B 0 ,B 1 ,B 2 ,….B m-­‐1 mit |H| = m.
¤
Anmerkung:
häufig ist eine Hashtabelle ein Array und
der Bucket ein Arrayplatz

7
¨
Eine HashfunkBon ist eine ganzzahlige FunkGon
Hashing: DefiniGonen 2/6
h : U →{0,...,
h( u ) = a
m −1}
die einem Schlüssel u den Hashwert a zuordnet, der den Behälter B a
bezeichnet.
Anmerkung: bei Hasharray: statt Hashwert auch oft Hashindex

Beispiel Namen
8
Schlüssel: mögliche Schlüssel U = [A-­‐Z][a-­‐z]*
zu speichernde Schlüssel S =
Hashtabelle: Array 0..7 of Integer Array 0..7 of List of Integer
HashfunkGon: h(u) =
Gelöst (1):
h(u) = mod 8
Zu lösen (1): Länge der Hash-Tabelle müsste unendlich sein.
mod
Zu lösen (2): „Eva“ und „Ann“
haben gleich viele Buchstaben
à „Kollision“
Gelöst (2):
Liste
alternativ zu (2):
falls a[i] besetzt,
wähle a[i+1], usw.

Hashing: DefiniGonen 3/6
11
¨
Anmerkung:
¤ Eine HashfunkBon wird o? noGert als
mit
h : f ( u)
mod m
f (u)∈ Ν
m = |H|
H Hashtabelle
|H| Länge der
Hashtabelle
u ganzzahliger
Schlüssel
d.h.
f liefert eine „gut verteilte“ Abbildung auf N.
Die modulo-­‐OperaGon reduziert die Zahlen auf die Länge der Hash-­‐
Tabelle

Hashing: DefiniGonen 4/6
12
¨
Die Schlüsseldichte ist das Verhältnis zu speichernde zu mögliche Schlüssel,
d.h.
S / U
¨
Der Belegungsfaktor ist das Verhältnis zu speichernde Schlüssel zu Anzahl
der Behälter
S /
B
U: mögliche Schlüssel
S: zu speichernde Schlüssel
B: Behälter

Hashing: DefiniGonen 5/6
14
o Der Füllgrad α ist das Verhältnis
¤
¤
aktuell gespeicherte Schlüssel zu
Länge der Hashtabelle, d.h.
α = a / m
mit
m = |H| bzw. m = |B|
a = Anzahl gespeicherter Schlüssel
Anmerkung
Offensichtlich gilt:
je höher der Füllgrad, um so größer die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Schlüssel
auf den gleichen Hash-­‐Wert abgebildet werden („Kollision“).

Beispiel 1/4
15
Aufgabe
o
Verteilung von Monatsnamen auf 17
Behälter 0..16
Lösung
o
Namen werden als Strings dargestellt
→ Umwandlung in Zahlen notwendig
¤
¤
nur Großbuchstaben
f("A") = 1, f("B") = 2, usw.
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
F 6
G 7
H 8
I 9
J 10
K 11
L 12
M 13
N 14
O 15
P 16
Q 17
R 18
S 19
T 20
U 21
V 22
W 23
X 24
Y 25
Z 26

Beispiel 2/4
16
¨
Als HashfunkGon nehmen wir
¤
¤
f
=∑
( x) ( x)
3
= 〈〈 Summe der Ordinalzahl der ersten 3 Buchstaben von
h(x) = f x
( ) mod 17 = ( x ) 3
! mod 17
Beispiel:
h(Februar) = (6+5+2) mod 17 = 13 mod 17 = 13
h(August) = (1+21+7) mod 17 = 29 mod 17 = 12
x〉〉

Beispiel 3/4
17
0 NOV 9 JUL
1 APR , DEZ
10
2 MAE 11 JUN
3 12 AUG
4 13 FEB , OKT
5 14
6 MAI , SEP
15
7 16
8 JAN
• Etliche Buckets bleiben leer
– Füllgrad α = Anteil der belegten Plätze in %, d.h.
α = m / n mit m := Anzahl der Elemente
• Es kann zu Kollisionen kommen!
Es fehlen noch:
SEP, OKT, DEZ
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
F 6
G 7
H 8
I 9
J 10
K 11
L 12
M 13
N 14
O 15
P 16
Q 17
R 18
S 19
T 20
U 21
V 22
W 23
X 24
Y 25
Z 26

Beispiel 4/4
18
APR, DEZ à 1
MAI, SEP à 6
FEB, OKT à 13
… mehrere Schlüssel werden auf denselben Behälter abgebildet.
à Kollision
è Auflösung
l dem Behälter hinzufügen à Verketten (lineare Liste)
l neuen Behälter suchen à Sondieren
l vermeiden à perfektes Hashing

Wahrscheinlichkeit für Kollision
19
P
k
= 1−
mit 1 ≤ m ≤ n
n⋅(
n −1)
⋅(
n − 2) ⋅...
⋅(
n − m + 1)
m
n
n ⋅ (n-­‐1) ⋅ … ⋅ (n-­‐m+1): Anzahl der Möglichkeiten, kollisionsfrei m Elemente
zu verteilen
n m : Anzahl m Elemente
zu verteilen
=
n!
( n − m)!
n
m
¨
Beispiele
¤ Monatsnamen
¤ „Geburtstage in Schulklassen“
n m P k
17 12 0,99
365 22 0,48
365 23 0,51
365 50 0,97

Hashing: DefiniGonen 6/6
20
¨
Eine Kollision tri auf, wenn zwei Schlüssel auf den gleichen Hashwert
abgebildet werden:
h( a ) = h( b)
mit
a ≠ b
.

Eigenscha?en einer HashfunkGon
21
o
o
o
surjekBv
¤
d.h. alle Behälter sollten erfasst werden.
gleichverteilend
¤
d.h. jeder Behälter sollte mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen
werden.
einfach
¤
d.h. sie sollte mit minimalen Aufwand berechenbar sein.

Kollisionsstrategien
22
o
VerkeSen
o
Sondieren
¤
¤
Lineares Sondieren
QuadraGsches Sondieren

Offenes bzw. geschlossenes Hashing
23
Problem : Was passiert wenn Anzahl Schlüssel > Anzahl Speicherplätze
Lösung :
1. Offenes Hashing:
manchmal auch als
geschlossen bzgl. der
Indexpositionen bezeichnet
!
Jeder Behälter kann beliebig viele Elemente aufnehmen. Für jeden Behälter wird
eine verkeete Liste angelegt, in die alle Schlüssel eingefügt werden, die auf
diesen Behälter abgebildet werden.
2. Geschlossenes Hashing:
manchmal auch als
offen bzgl. der
Indexpositionen bezeichnet
Hier darf jeder Behälter nur eine Konstante Anzahl b ≥ 1 von Schlüsseln
aufnehmen.
!

Offenes Hashing: Verkeen
24
…
…
3
4
5
…
…
Maerz
Januar
April
Dezember
o
o
o
Ein Behälter kann mehr als ein Element fassen
Alle Schlüssel s mit h(s) = a werden in B a abgelegt
als lineare Liste
Gefahr: Entartung zur linearen Liste à Zugriffszeit wächst rapide

Geschlossenes Hashing: Lineares Sondieren 1/3
25
o
o
Pro Behälter ein Schlüssel
Bei Kollision
¤
Linear in einer Richtung nächsten freien Behälter suchen
o
o
Formal
h i
( h(
x)
i) mod m
( x)
= +
i=0;
while (occupied(h i (x)) do
i++;
od;
// hash-key is h i (x)
Gefahr: Folge von besetzten Feldern vergrößert sich (Verklumpung)
à Kollisionswahrscheinlichkeit steigt.

26
Geschlossenes Hashing: Lineares Sondieren 2/3

Geschlossenes Hashing: Lineares Sondieren 3/3
27
o
Varianten
1. Linear in einer Richtung
den nächsten freien Behälter suchen,
mit Sprüngen der Länge c
Beispiel
c = 7; h(a) = 27
falls 27 besetzt, … 27 + 7 = 34 mod m
falls 34 besetzt, … 34 + 7 = 41 mod m etc.
2. Linear in beiden Richtungen (alternierend)
Beispiel
h(a) = 27
falls 27 besetzt, … 27 – 1*7 = 20 mod m
falls 20 besetzt, … 20 + 2*7 = 34 mod m
falls 34 besetzt, … 34 – 3*7 = 13 mod m etc.

28
¨
Geschlossenes Hashing: QuadraGsches Sondieren
Wie lineares Sondieren, jedoch
¤ Schriweite quadraGsch (nicht linear) / alternierend
Beispiel
h(a) = 27
falls besetzt, … 27 + 1 2 = 28 mod m
27 – 1 2 = 26 mod m
27 + 2 2 = 31 mod m
27 – 2 2 = 23 mod m
27 + 3 2 = 36 mod m etc.
¨
Formal:
h ( x)
i
=
⎛⎛
⎜⎜h(
x)
+
⎜⎜
⎝⎝
( −1)
i+
1
⎡⎡ i ⎤⎤
.
⎢⎢2⎥⎥
2
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
mod m

29
Liste: kein Problem
Sondieren
¤
¤
Element kann nicht
einfach gelöscht
werden, da sonst die
Kee unterbrochen
wäre.
Bsp.: FEB verursacht
Lücke, OKT wird nicht
gefunden.
Mögliche Lösungen
¤
Element wird nicht
gelöscht, sondern nur
zum Überschreiben
markiert.
Löschen von Elementen
0 NOV 9 JUL
1 APR 10
2 MAE Lineares 11 Sondieren JUN
3 DEZ 12 AUG
4 13 FEB
5 14 OKT
6 MAI 15
7 SEP 16
8 JAN !
Prof. Dr. M. Gumbel • WS09 • ADS: Hashing
Folie 29

Komplexität 1/2
30
Größe der Hashtabelle: N
o
o
Aufwand im besten Fall
¤
Berechnung des Hashwertes unabhängig von n:
O(1)
Aufwand im schlechtesten Fall
¤
Ganze Hashtabelle muss durchsucht werden
O(N)
(Hashtabelle wg. Kollision zu lin. Liste entartet)

Komplexität 2/2
31
Größe der Hashtabelle: N
o Aufwand im mileren Fall (bei sondieren)
¤ Wahrscheinlichkeit für Behälter j: 1/N
¤ Wahrscheinlichkeit einer Kollision:
n abhängig vom Füllgrad α
n Wahrscheinlichkeit für „Behälter belegt“: α
n …nächster Behälter belegt: α 2
n … übernächstes Bucket belegt: α 3 etc
¤ erfolgloses Suchen: 1 + α + α 2 + α 3 + ... =
1 ⎛⎛ 1 ⎞⎞
¤ erfolgreiches Einfügen: ln⎜⎜
⎟⎟
α ⎝⎝1−α
⎠⎠
1
1−α

32
Prof. Dr. M. Gumbel • WS09 • ADS: Hashing
Komplexität: Übersicht
Operation Fall Liste oder Sondieren
add bester O(1)
durchschnittlich
⎛⎛ 1 ⎞⎞
O⎜⎜
⎟⎟
⎝⎝1−α
⎠⎠
schlechtester
O(m)
contains bester O(1)
durchschnittlich
⎛⎛ 1 1 ⎞⎞
O⎜⎜
ln ⎟⎟ /
erfolgreich/-los ⎝⎝α 1−α ⎠⎠
schlechtester
O(m)
remove bester O(1)
durchschnittlich
⎛⎛ 1 1 ⎞⎞
O⎜⎜
ln ⎟⎟
⎝⎝α 1−α ⎠⎠
schlechtester
O(m)
⎛⎛ 1 ⎞⎞
O⎜⎜
⎟⎟
⎝⎝1−α
⎠⎠
Folie 32

Optimaler Füllgrad α
33
¨ Ab Füllgrad von ca. 80 % ist das Verhalten schlecht.
Erfolgreiche Suche
Erfolglose Suche,
Einfügen, Löschen
1 1
ln
α 1−α
1
1−α
Prof. Dr. M. Gumbel • WS09 • ADS: Hashing
Folie 33

Rehashing
34
¨ Füllgrad zu groß oder das Array voll: à Rehashing
¤ Array wird vergrößert und
¤ alle Elemente werden neu eingefügt.
¨ Vorteil: Zum Löschen markierte Elemente können ebenfalls
freigegeben werden.
¨ Sog. dynamisches Hashen passt Arraygröße automaGsch an.
Prof. Dr. M. Gumbel • WS09 • ADS: Hashing
Folie 34

Java Hashtable-­‐Klasse
35
Für die ImplementaGon von Hashtabellen steht uns in Java unmielbar die
Klasse Hashtable zur Verfügung. Sie hat die folgenden Methoden:
Hashtable(): der Konstruktor für die DefiniGon einer leeren Hashtabelle
elements(): Rückgabe aller Daten aus der Hashtabelle
isEmpty(): Abfrage, ob die Hashtabelle leer ist
get(): liefert Element gemäß Schlüsselwertangabe

Java Hashtable-­‐Klasse
36
keys(): gibt alle (belegten) Schlüsselwerte der Hashtabelle zurück
put(): speichert Element gemäß Schlüsselwert in Hashtabelle
remove(): en_ernt referenziertes Hashtabellenelement
size(): gibt Anzahl gespeicherter Elemente in der Hashtabelle zurück
clear(): en_ernt alle Schlüssel und die Elemente aus der Hashtabelle

Java Hashtable-­‐Klasse
37
contains(): prü?, ob sich ein Element in der Hashtabelle befindet
containsKey(): prü?, ob sich ein Schlüsselwert in der Hashtabelle befindet
clone(): erzeugt einen Klone einer Hashtabelle
toString(): generiert eine String-­‐RepräsentaGon einer Hashtabelle
rehash(): führt das Rehashing für eine Hashtabelle durch.

38
Programmierbeispiel

39
Programmierbeispiel