Kontextfreie Sprachen & Kellerautomaten

Kontextfreie Sprachen & Kellerautomaten
! Stand 26.6.2007
Im Verlauf der Vorlesungen zu diesem Kapitel werden Änderungen und Ergänzungen
erfolgen.
Sie sollten daher sorgfältig auf Unterschiede zwischen den Vorversionen und der
Endversion achten.
FGI-1, SoSe 2007, Habel / Eschenbach

Kontextfreie Sprachen
Die Klasse der kontextfreien Sprachen über dem Alphabet $ (bezeichnet durch kfS $ )
• bildet eine weitere Teilklasse der formalen Sprachen, die die regulären
Sprachen umfasst: REG $ % kfS $
Kontextfreie Sprachen
• werden durch kontextfreie Grammatiken erzeugt
o Die Wörter / Sätze, die von kontextfreien Grammatiken erzeugt werden,
besitzen eine syntaktische Struktur, die für die Verwendung der Sprache
wichtig ist. (! logische Formeln, arithmetische Ausdrücke)
o Parsing bezeichnet den Vorgang der Zuweisung einer syntaktischen
Struktur für eine Zeichenkette. (Parsing basiert auf Grammatiken)
• werden durch einen spezifischen Typ von Automaten, die (nichtdeterministischen)
Kellerautomaten, akzeptiert
• besitzen andere Abschlusseigenschaften als die regulären Sprachen
• Nichtzugehörigkeit zu kfS $ kann durch ein Pumpinglemma (für kontextfreie
Sprachen) getestet werden
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [1]
Kontextfreie Grammatiken
Definition 13.1 (! Def. 1.6)
Eine kontextfreie Grammatik G ist ein 4-Tupel (!, N, P, S), für das gilt:
• ! ist ein Alphabet, genannt das Alphabet der Terminalsymbole
• N ist ein Alphabet (von Nichtterminalsymbolen), das disjunkt zu ! ist
• P ist eine endliche Menge von Produktionsregeln (auch als Regeln bezeichnet),
wobei jede Regel ein Paar (A, w) ist, mit A ! N und w ! ( ! " N )*
• S ! N heißt Startsymbol
Anmerkungen
• Kontextfreie Grammatik wird auch durch kfG oder CFG abgekürzt.
• Nichtterminale werden auch als Variable bezeichnet.
• Regeln werden im Weiteren in der Form A # w geschrieben.
• A wird als linke und w als rechte Seite der Regel bezeichnet.
• Regeln, die die gleiche linke Seite haben, d.h. die Ableitungen vom gleichen
nichtterminalen Symbol betreffen, werden häufig „zusammengefasst“ (siehe
nächste Folie)
• Auch A # " ist eine zulässige Regel (für kontextfreie Grammatiken)
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [2]

Zwei Grammatiken für Arithmetische Ausdrücke
G 4 = (!, N, P, &EXPR')
! = { a, + , (, (, ) } N = {&EXPR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + & EXPR ', &EXPR' # &EXPR' ( & EXPR ',
&EXPR' # ( &EXPR' ), &EXPR' # a }
Die Regeln in zusammengefasster Form:
P = { &EXPR' # &EXPR' + & EXPR ' | &EXPR' ( & EXPR ' | ( &EXPR' ) | # a }
G 3 = (!, N, P, &EXPR')
! = { a, + , (, (, ) }
N = {&EXPR', &TERM', &FACTOR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + &TERM' | &TERM',
&TERM' # &TERM' ( &FACTOR' | &FACTOR',
&FACTOR'# ( &EXPR' ) | a }
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Regelanwendung, Ableitung
Definition 13.2 (! Def. 1.7)
Seien u, v, w Zeichenketten über ( ! " N ), und A # w eine Regel (einer Grammatik).
Durch die Anwendung der Regel kann aus dem Wort uAv das Wort uwv (direkt)
abgeleitet werden.
Man sagt auch: Die Regel A # w führt vom Wort uAv zum Wort uwv, bzw. das
Nichtterminal / die Variable A wird durch die Regel zu w expandiert.
• Die Regelanwendung wird auch als Ableitung (in einem Schritt) bezeichnet,
und als uAv ) uwv geschrieben.
Wenn u = v oder wenn eine Folge u ) u 1 )u 2 )… ) u k ) v existiert (mit k ! 0),
so ist v aus u (in gegebenenfalls mehreren Schritten) ableitbar. Dieses wird durch
u ) * v notiert. Die Sequenz u ) u 1 )u 2 )… ) u k ) v wird als Ableitung
(derivation) bezeichnet.
• Derartige Ableitungen sind stets von endlicher Länge (endliche Anzahl von
Schritten); die Ableitungssequenz kann aber beliebige Länge haben.
• Zeichenketten w über ( ! " N ), für die eine Ableitung S ) * w, existiert, werden als
Satzformen bezeichnet.
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Ableitungen für Arithmetische Ausdrücke in L(G4)
G 4 = (!, N, P, &EXPR')
! = { a, + , (, (, ) } N = {&EXPR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + & EXPR ' | &EXPR' ( & EXPR ' | ( &EXPR' ) | # a }
Ableitungen für a + a + a ! L(G 4 )
&EXPR' ) &EXPR' + & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' + & EXPR '
) a + &EXPR' + & EXPR '
) a + a + & EXPR '
) a + a + a
&EXPR' ) &EXPR' + & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' + & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' + a
) &EXPR' + a + a
) a + a + a
&EXPR'
) &EXPR' + & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' + & EXPR '
) a + &EXPR' + & EXPR '
) a + &EXPR' + a
) a + a + a
" Es gibt – im Allgemeinen – keine
Festlegung, welches Nichtterminal
durch die Regelanwendung
expandiert wird.
Satzformen betreffen (Zwischen-)resultate des Ableitungsprozesses.
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Linksableitung – Rechtsableitung
Definition 13.3
Wird in einer Ableitung (Ableitungssequenz) stets die am weitesten links (rechts)
auftretende Variable expandiert wird, so wird die Ableitung als Linksableitung /
Rechtsableitung (leftmost / rightmost derivation) bezeichnet.
Wir verwenden die Symbole ) lm bzw. ) rm für Ableitungsschritte und ) * lm bzw.
) * rm für Ableitungssequenzen, die bzgl. leftmost oder rightmost festgelegt sind.
Linksableitung
&EXPR' ) lm &EXPR' + & EXPR '
) lm &EXPR' + &EXPR' + & EXPR '
) lm a + &EXPR' + & EXPR '
) lm a + a + & EXPR '
) lm a + a + a
Rechtsableitung
&EXPR' ) rm &EXPR' + & EXPR '
) rm &EXPR' + &EXPR' + & EXPR '
) rm &EXPR' + &EXPR' + a
) rm &EXPR' + a + a
) rm a + a + a
Satz (ohne Beweis): Zu jeder Ableitung existiert eine äquivalente Linksableitung und
eine äquivalente Rechtsableitung. D.h.: Für eine Zeichenkette v gilt u ) * v genau
dann, wenn u ) * lm v und genau dann, wenn u )* rm v.
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Von einer Grammatik erzeugte Sprache
Definition 13.4 (! Def. 1.8)
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik, so ist
L(G) = { w ! !* | S ) * w }
die von G erzeugte Sprache.
Ableitungsbäume / Strukturbäume (Parse trees)
Sei A # w eine Regel, mit |w| = k,
wobei w = w 1 w 2 …w k die Darstellung von w durch Symbole des Alphabets ist.
Dann existiert ein zu A # w 1 w 2 …w k korrespondierender Baum
des Verzweigungsgrades k mit Tiefe 2,
der Wurzel A und den Blättern w 1 , w 2 , … ,w k .
Sei S ) u 1 )u 2 )… ) u w 1 w 2 w k
k ) w die Ableitung
eines Wortes w ! L(G), so kann ein Ableitungsbaum (Strukturbaum) zu dieser
Ableitung gebildet werden, indem die zu den verwendeten Regeln korrespondierenden
Bäume „konkateniert“ werden.
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A
Beispiel: Arithmetische Ausdrücke in L(G4)
Für a + a ( a ! L(G 4 ) gibt Ableitungen mit unterschiedlichen Ableitungsbäumen.
Die unterschiedlichen Strukturbäume entsprechen unterschiedlichen Bedeutungen.
&EXPR' ) &EXPR' + & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' ( & EXPR '
) a + &EXPR' ( & EXPR '
) a + a ( & EXPR '
) a + a ( a
ist keine Linksableitung
&EXPR' ) &EXPR' ( & EXPR '
) &EXPR' + &EXPR' ( & EXPR '
) a + &EXPR' ( & EXPR '
) a + a ( & EXPR '
) a + a ( a
ist eine Linksableitung
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Mehrdeutigkeit (Ambiguität)
Definition 13.5
Eine Zeichenkette w ist mehrdeutig, bzw. wird durch eine kfG G mehrdeutig
abgeleitet, falls w zwei (oder mehr) verschiedene Linksableitungen besitzt.
Eine Grammatik G ist mehrdeutig, falls es Wörter w ! L(G) gibt, die mehrdeutig sind.
a + a ( a ! L(G 4 )
&EXPR' ) lm &EXPR' + & EXPR '
) lm a + &EXPR'
) lm a + &EXPR' ( & EXPR '
) lm a + a ( & EXPR '
) lm a + a ( a
ist eine Linksableitung
# Die Grammatik G 4 ist mehrdeutig.
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Zum Selbststudium: Arithmetische Ausdrücke in L(G3)
G 3 = (!, N, P, &EXPR') ! = { a, + , (, (, ) } N = {&EXPR', &TERM', &FACTOR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + &TERM' | &TERM',
&TERM' # &TERM' ( &FACTOR' | &FACTOR',
&FACTOR'# ( &EXPR' ) | a }
&EXPR' ) lm &EXPR' + &TERM'
) lm &TERM' + &TERM'
) lm &FACTOR' + &TERM'
) lm a + &TERM'
) lm a + &TERM' ( &FACTOR'
) lm a + &FACTOR' ( &FACTOR'
) lm a + a ( &FACTOR'
) lm a + a ( a
ist eine Linksableitung
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Zum Selbststudium: Arithmetische Ausdrücke in L(G3) Forts.
• Führen Sie eine Linksableitung der Zeichenkette (a + a) ( a durch und
konstruieren Sie den korrespondierenden Strukturbaum.
• Machen Sie sich klar, inwiefern die beiden Strukturbäume
zu a + a ( a bzw. zu (a + a) ( a
zu unterschiedlichen Auswertungen, d.h. Berechnungen der Werte der
arithmetischen Ausdrücke führen.
Die Grammatik G 3 ist so entworfen, dass Zeichenketten eindeutig sind und somit eine
eindeutige Bedeutung haben.
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Parsing
Das Parsingproblem:
Gegeben eine kontextfreie Grammatik G und eine Zeichenkette w.
• Jede Ableitung S ) * w bestimmt einen Strukturbaum, d.h. eine syntaktische
Struktur, zu w.
Die Parsingaufgabe: Bestimme die syntaktische(n) Struktur(en) von w bzgl. G.
Anmerkungen
• Wenn G nicht mehrdeutig ist, dann hat jedes Wort w ! L(G) genau einen
korrespondierenden Strukturbaum.
• Der Prozess des Parsings weist nur Wörtern aus L(G) syntaktische Strukturen zu,
d.h. für Zeichenketten w * L(G) sollte der Parser die Nichtzugehörigkeit zu
L(G) ausweisen.
• Parsing ist – in gewisser Weise – eine Umkehrung der Generierung von
Zeichenketten bei gleichzeitiger Zuweisung der syntaktischen Struktur.
Wir werden in einem späteren Abschnitt detaillierter aufs Parsing eingehen.
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Parsing Beispiel: Arithmetische Ausdrücke in L(G3)
G 3 = (!, N, P, &EXPR') ! = { a, + , (, (, ) } N = {&EXPR', &TERM', &FACTOR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + &TERM' | &TERM',
&TERM' # &TERM' ( &FACTOR' | &FACTOR',
&FACTOR'# ( &EXPR' ) | a }
a + a ( a
+ &FACTOR' + a ( a
+ &TERM' + a ( a
+ & EXPR ' + a ( a
+ & EXPR ' + &FACTOR' ( a
+ & EXPR ' + & TERM ' ( a
+ & EXPR ' + & TERM ' ( &FACTOR'
+ & EXPR ' + & TERM '
+ & EXPR '
[erfolgreicher Parse,
aber erst nach Backtracking]
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [13]
Parsing Beispiel: Arithmetische Ausdrücke in L(G3) – Forts.
G 3 = (!, N, P, &EXPR') ! = { a, + , (, (, ) } N = {&EXPR', &TERM', &FACTOR'}
P = { &EXPR' # &EXPR' + &TERM' | &TERM',
&TERM' # &TERM' ( &FACTOR' | &FACTOR',
&FACTOR'# ( &EXPR' ) | a }
a + a ( a
+ &FACTOR' + a ( a
+ &TERM' + a ( a
+ & EXPR ' + a ( a
+ & EXPR ' + &FACTOR' ( a
+ & EXPR ' + & TERM ' ( a
+ & EXPR ' ( a
+ & EXPR ' ( &FACTOR'
+ & EXPR ' ( & TERM '
+ & EXPR ' ( & EXPR '
+ # [Backtracking notwendig!]
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Kontextfreie Grammatiken – Regelformen
Die Regeln A # w einer Kontextfreien Grammatik haben die Form
• A ! N und w ! ( ! " N )*, d.h.
• linke Seite ein Nichtterminal, rechte Seite eine beliebige Kette über ( ! " N )*
In der Theorie der formalen Sprachen wird u.a. untersucht
• inwieweit unterschiedliche Bedingungen an die Regelform, unterschiedliche
Sprachklassen definierten
# reguläre Sprachen können über kfG mit spezifischer Regelform spezifiziert
werden
• inwieweit Grammatiken „vereinfacht“ werden können. Dies betrifft insbesondere
die Konstruktion von Beweisen über kfG und Kellerautomaten, aber auch das
Entwerfen und Realisieren von effizienten Parsern
# " –Regeln, d.h. Regeln der Form A # ", werden nur benötigt, um das leere
Wort abzuleiten. D.h. für die Erzeugung kontextfreier Sprachen, die das
leere Wort nicht enthalten, sind " –freie Grammatiken ausreichend.
# Normalformen, insbesondere Chomsky-Normalform: Aller Regeln haben
die Form A # B C oder A # a mit A, B, C ! N und a ! !.
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Grammatiken für reguläre Sprachen
Reguläre Sprachen
• werden von endlichen Automaten verarbeitet / akzeptiert / erzeugt
• können mit regulären Ausdrücken beschrieben werden
• (s. Kapitel 12)
• sind auch durch kontextfreie Grammatiken erzeugbar (noch zu zeigen)
• bilden eine echte Teilklasse der kontextfreien Sprachen (noch zu zeigen)
Typ-3-Grammatiken
• sind kontextfreie Grammatiken,
• erfüllen strukturelle Zusatzbedingungen
• erzeugen die reguläre Sprachen
Welche Zusatzbedingungen erfüllen Typ-3-Grammatiken ?
• einseitige Linearität
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Einseitig lineare Grammatiken
Definition 13.6
Sei ! ein Alphabet und G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik über !.
• G heißt genau dann rechtslinear, wenn P , N ( ($*N " $*).
• G heißt genau dann linkslinear, wenn P , N ( (N$* " $*).
• G heißt genau dann einseitig linear, wenn G rechtslinear oder linkslinear ist.
Anmerkung
• ‚Linearität’ bezieht sich jeweils darauf, dass in jeder zwischenzeitlich erzeugten
Satzform maximal ein Nichtterminalsymbol auftritt.
• ‚Einseitig’ besagt zudem, dass das Nichtterminalsymbol randständig sein und
bleiben muss.
• Alle Regeln der einseitig linearen Grammatik haben das Nichtterminalsymbol auf
derselben Seite.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [17]
Beispiel: Lineare Grammatiken
Rechtslinear
G rl = ({0, 1}, {S}, P rl , S) mit P rl = { S # 0S, S # 1S, S # 100 }
L(G rl ) = L([0|1]*100)
Linkslinear
G ll = ({0, 1}, {S, R}, P rl , S) mit P rl = { S # R100, R # R1, R # R0, R # " }
L(G ll ) = L([0|1]*100)
Linear aber nicht einseitig linear
G 1 = ({a, b}, {S}, P 1 , S) mit P 1 = { S # aSb, S # ab }
L(G 1 ) = { a n b n | n ! 1 }
(s. Kapitel 1)
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [18]

Einseitig linear erzeugbare Sprachen
Definition 13.7
• ReL $ ist die Menge der durch rechtslineare Grammatiken erzeugbaren Sprachen
über $.
• LiL $ ist die Menge der durch linkslineare Grammatiken erzeugbaren Sprachen über
$.
• TYP3 $ ist die Menge der durch einseitig lineare Grammatiken erzeugbaren Sprachen
über $ (also TYP3 $ = ReL $ " LiL $ )
Beispiele
L(G rl ) = L([0|1]*100) ! ReL {0, 1} , TYP3 {0, 1}
L(G ll ) = L([0|1]*100) ! LiL {0, 1} , TYP3 {0, 1}
L(G 1 ) = { a n b n | n ! 1 } * TYP3 {0, 1}
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Rechtslineare Grammatiken für reguläre Sprachen
Satz 13.8
Zu jedem endlichen Automaten A über ! existiert eine rechtslineare Grammatik G A
über ! mit L(G A ) = L(A). (Also REG $ , ReL $ )
Grundidee
• Gleichsetzung von Nichtterminalsymbolen mit Zuständen.
• Zustandsübergänge -(s, a) = s' werden zu Ableitungsregeln s # as'.
• In Endzuständen kann die Ableitung beendet werden (s # ").
• Konfigurationen in der Verarbeitung durch den Automaten (s, w) korrespondieren
mit in der Ableitung erzeugten Satzformen (ws)
Konstruktion
Sei A = (!, S, -, s 0 , F) ein endlicher Automat.
Die rechtslineare Grammatik G A = (!, S, P, s 0 ) mit
• P = { s # as' | -(s, a) = s' } " { s # " | s ! F}
erfüllt: L(G A ) = L(A)
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [20]

Spiegelwörter und Spiegelsprachen
Definition 13.9
Es sei ! ein Alphabet. Für die Abbildung SP: !* # !*, die jedes Wort auf sein
Spiegelbild abbildet, gilt:
• SP(") = "; SP(a) = a , für a ! !; SP(u!v) = SP(v)!SP(u) , für u, v ! !*
• Ist L , !* eine Sprache, dann sei SP(L) = {SP(w) | w ! L} die ‚Spiegelsprache’ zu L.
• Ist M , .(!*) eine Sprachfamilie, dann sei SP(M) = {SP(L) | L ! M} die Familie
der ‚Spiegelsprachen’ zu M.
• Eine Sprachfamilie M , .(!*) heißt genau dann abgeschlossen unter Spiegelung,
wenn SP(M) , M.
Beobachtungen 13.10
1. LiL $ = SP(ReL $ ) und ReL $ = SP(LiL $ ) .
2. M , .(!*) ist genau dann abgeschlossen unter Spiegelung, wenn SP(M) = M.
3. TYP3 $ ist abgeschlossen unter Spiegelung.
4. LREXP $ ist abgeschlossen unter Spiegelung.
5. REG $ ist abgeschlossen unter Spiegelung.
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Zum Selbststudium
Beweisen Sie obige Beobachtungen zur Übung
Dazu ist jeweils eine Konstruktion anzugeben (z.B. bei 1) Bildung einer linkslinearen
Grammatik für SP(L(G)) auf Basis einer rechtslinearen Grammatik G) und zu erläutern
/ beweisen, dass die Konstruktion tatsächlich genau das leistet, was sie soll.
2. ist natürlich darauf zurückzuführen, dass für alle Wörter w gilt SP(SP(w)) = w und
damit Entsprechendes für die Sprachen und die Sprachfamilien.
Was in der Liste von Beobachtungen noch fehlt, ist, dass auch LiL $ und ReL $
abgeschlossen unter Spiegelung (und damit identisch) sind. Das zeigen wir später über
die Abschlusseigenschaften der beteiligten Sprachen (Satz 13.§§)
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [22]

Normalformen für einseitig lineare Grammatiken
Die Definition für einseitig lineare Grammatiken lässt zu:
• beliebig lange Folgen von Terminalsymbolen in den Regeln
• beliebig viele Regeln der Art A # "
• Regeln der Art A # w , mit w ! !*
• Regeln der Art A # B , mit B ! N
Satz 13.11
Zu jeder einseitig linearen Grammatik G gibt es eine einseitig linearen Grammatik G’,
die dieselbe Sprache erzeugt aber folgende Zusatzbedingungen erfüllt:
• alle rechten Seiten der Regeln, in denen Terminalsymbole vorkommen, haben die
Länge 2 (A # aB bzw. A # Ba mit A, B ! N und a ! !)
• es gibt keine Regeln der Art A # B , mit B ! N
• es gibt maximal 2 Regeln der Art A # ", wobei höchstens eine dieser Regeln ein
anderes Nichtterminalsymbol als das Startsymbol ableitet.
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Zum Selbststudium
Konstruktion zu Satz 13.11
‚Vernichtung’ der Regeln der Art A # B , mit B ! N
1. Regeln der Form A # A können gelöscht werden, da Ihre Anwesenheit keinen
Einfluss auf die generierte Sprache haben.
2. Kommt A # B , mit B ! N, in P vor, dann kann diese Regel durch die Menge der
Regeln { A # r | B # r ! P} ersetzt werden.
3. Durch systematische Anwendung von 1) und 2) können alle Regeln der Art A # B
eliminiert werden.
Reduktion der Regeln der Art A # w , mit w ! !* auf maximal 2 Regeln der Art A #
", wobei höchstens eine dieser Regeln ein anderes Nichtterminalsymbol als das
Startsymbol ableitet:
• Führe ein neues Nichterminalsymbol T und die Regel T # " ein.
• Ersetze jede Regel der Art A # w , mit w ! ! + , durch A # wT.
• Ersetze jede Regel der Art A # wB , mit w ! ! + und B # " ! P, durch A # wT.
• Lösche dann alle Regeln der Art B # " außer { T # " , S # " }.
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Zum Selbststudium: Zu Satz 13.11
Beschränkung der rechten Seiten der Regeln, in denen Terminalsymbole vorkommen,
auf Länge 2 (A # aB bzw, A # Ba mit A, B ! N und a ! !)
• Für jedes Paar a ! N, B ! !, für das mindestens eine Regel der Art A # waB ! P,
mit w ! ! + , führe ein neues Nichtterminal C und die Regel C # aB ein und ersetze
alle Regeln der Art A # waB durch A # wC.
• Für jedes Paar a ! N, B ! !, für das mindestens eine Regel der Art A # Baw ! P,
mit w ! ! + , führe ein neues Nichtterminal C und die Regel C # Ba ein und ersetze
alle Regeln der Art A # Baw durch A # Cw.
Es wäre noch zu zeigen, dass die so erzeugte Grammatik tatsächlich genau dieselbe
Sprache erzeugt, wie die ursprüngliche. Dazu zeigt man, wie die Ableitungen der alten
Grammatik durch die neue Grammatik ‚simuliert’ und umgekehrt.
Bemerkung
Die Normalformen der Grammatiken sind oft bei der Beweisführung über die
Sprachfamilien nützlich. Für den praktischen Einsatz sind aber die allgemeinen
Formen oft besser geeignet.
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Rechtslinear erzeugbare Sprachen sind regulär
Satz 13.12
Zu jeder rechtslinearen Grammatik G über ! existiert ein endlicher Automat A G über !
mit L(G) = L(A G ). (Also ReL $ , REG $ )
Konstruktion
Sei G = (!, N, P, S) eine rechtslineare Grammatik, bei der auf den rechten Seiten der
Produktionen maximal ein Terminalsymbol steht. (Notfalls müssen wir erst einen
Umformungsschritt gemäß 13.11 machen.)
Für den Automaten A G = (!, N " {ƒ}, -, S, F) mit
• ƒ * N
• F = {ƒ} " { B ! N | B # " ! P}
• - = {(B, a, C) | B # aC ! P} " {(B, a, ƒ) | B # a ! P}
gilt: L(A G ) = L(G)
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [26]

ReL $ = REG $ = LiL $ = TYP3 $
Satz 13.13
ReL $ = REG $ = LiL $ = TYP3 $
Beweis
1. REG $ , ReL $ : Satz 13: 8
2. ReL $ , REG $ : Satz 13: 12
3. ReL $ = REG $ : Konsequenz von 1 und 2
4. LiL $ = SP(ReL $ ) : Beobachtung 13.10.1
5. LiL $ = SP(REG $ ) : Konsequenz von 4 und 3
6. SP(REG $ ) = REG $ : Beobachtung 13.10.2 und 5
7. LiL $ = REG $ : Konsequenz von 5 und 6
8. ReL $ " LiL $ = TYP3 $ : Definition 13.13
9. TYP3 $ = REG $ : Konsequenz von 3, 7, 8
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [27]
Reguläre Sprachen – Kontextfreie Sprachen
Typ-2-Sprachen
• Kontextfreie Sprachen werden auch als Typ-2-Sprachen bezeichnet.
• Dementsprechend wird TYP2 $ für die Menge der Kontextfreien Sprachen
verwendet.
Reguläre Sprachen – Kontextfreie Sprachen
• reguläre Sprachen sind eine echte Teilklasse der kontextfreien Sprachen
• welche Charakteristika von Regeln, Baumstrukturen, Ableitungen sind für die
Nicht-Regularität gewisser kontextfreier Sprachen verantwortlich?
• wie unterscheiden sich die Abschlusseigenschaften von regulären und
kontextfreien Sprachen?
Kontextfreie Sprachen
• welche Modifikationen des Konzeptes endlicher Automaten werden benötigt, um
Automaten, die kontextfreie Sprachen akzeptieren, zu konstruieren?
• welche Eigenschaften charakterisieren Sprachen als nicht-kontextfrei?
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [28]

Reguläre Sprachen – Kontextfreie Sprachen (2)
Einseitig lineare Grammatik G 1
S # aS, S # aB, B # bB, B # b
L(G 1 ) = { a n b m | n, m ! 1 } = {a} + {b} +
Nicht einseitig lineare Grammatik G 2
S # aSb, S # ab
L(G 2 ) = { a n b n | n ! 1 }
.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [29]
Normalformen für kontextfreie Grammatiken
Ziel: Vereinfachung von kontextfreien Grammatiken
Die wichtigsten Vereinfachungen
1. Elimination von „nicht benötigten“ (nutzlosen) Symbolen
2. Elimination von "-Regeln
3. Elimination von Kettenregeln (Einheitsproduktionen), d.h. von Regeln der
Form A # B mit A,B ! N.
Theoreme zu vereinfachten Grammatiken (Beweise im Laufe dieser Vorlesung)
1. Für jede kontextfreie Sprache L, d.h. L ! TYP2 $ , gilt, dass L – { " } durch eine
kfG ohne "-Regeln erzeugt werden kann.
2. Zu jeder kfG G gibt es eine äquivalente kfG G' in Chomsky-Normalform, d.h.
• L(G) = L(G')
• Alle Regeln von G' haben die Form A # B C oder A # a mit A, B, C ! N
und a ! !. Falls " ! L = L(G), ist zusätzlich die Regel S # " zugelassen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [30]

Elimination von nutzlosen Symbolen
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik.
X ! ! " N ist nützlich in G, wenn es eine Ableitung
S ) * uXv ) * w mit w ! !* gibt,
d.h. X tritt in einer Satzform einer Ableitung von S zu einer terminalen Zeichenkette
auf. Wenn X nicht nützlich ist, dann bezeichnen X wir als nutzlos.
1. Die Sprache L(G) ist durch die Ableitungen von S zu terminalen Zeichenketten
gegeben (Def. 13.4). Wenn X nutzlos ist, kommt X in keiner Ableitung von S zu
einer terminalen Zeichenkette vor.
Also kann X aus der Grammatik entfernt werden, d.h. X wird aus ! " N entfernt,
und alle Regeln, in denen X auftritt, werden ebenfalls entfernt.
2. Es gibt zwei Eigenschaften, die die Nützlichkeit eines Symbols ausmachen:
a. X ist erzeugend, wenn X ) * w für ein w ! !*.
[Da a ) * a für alle a ! !, sind alle terminalen Symbole erzeugend.]
b. X ist erreichbar, wenn es eine Ableitung S ) * uXv gibt,
mit u,v ! (! " N)*.
# Wir werden zuerst alle nicht-erzeugenden und dann alle nicht-erreichbaren
Symbole eliminieren.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [31]
Elimination von nutzlosen Symbolen: Beispiel
Grammatik G ist gegeben durch die Regeln:
S # AB | a A# b
Eliminationsreihenfolge
nicht-erzeugende " nicht-erreichbare nicht-erreichbare " nicht-erzeugende "
Bestimmung der erzeugenden Symbole
• S, A wegen S ) * a bzw. A ) * b
a, b da Terminalsymbole
Elimination der nicht-erzeugenden
Symbole: B
• S # a A# b
Bestimmung der erreichbaren Symbole
• S, a wegen S ) * a
Elimination der nicht-erreichbaren
Symbole: A, b
• S # a
Bestimmung der erreichbaren Symbole
• S, a wegen S ) * a
A, B, b wegen S ) * AB ) * bB
Keine Elimination nicht-erreichbarer
Symbole notwendig
Bestimmung der erzeugenden Symbole
• S, A wegen S ) * a bzw. A ) * b
a, b da Terminalsymbole
Elimination der nicht-erzeugenden
Symbole: B
• S # a A# b
Enthält zwei nutzlose Symbole
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [32]

Elimination von nutzlosen Symbolen
Satz 3.14
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik mit L(G) " /. Sei G 1 = (! 1 , N 1 , P 1 , S)
die Grammatik, die sich aus dem folgenden Verfahren ergibt:
1. Es werden alle Symbole, die nichts erzeugen, und alle Regeln, die eines oder
mehrere dieser Symbole enthalten, eliminiert. Die hieraus entstehende
Grammatik bezeichnen wird durch G 2 = (! 2 , N 2 , P 2 , S).
2. Es werden aus G 2 alle Symbole, die nicht in G 2 erreichbar sind, eliminiert,
sowie alle Regeln, die eines oder mehrere dieser Symbole enthalten.
Dann enthält G 1 keine nutzlosen Symbole und es gilt: L(G) = L(G 1 )
Anmerkung:
• Da L(G) " /, ist S erzeugend, und kann somit nicht eliminiert werden.
Beweis zur selbständigen Nacharbeit (vgl. Vossen & Witt, Kap. 5.1.2). Zu zeigen ist:
1. G 1 enthält keine nutzlosen Symbole; hier spielt die Reihenfolge der zwei
Eliminationsstufen eine Rolle: G ! G 2 ! G 1
2. L(G) = L(G 1 ), hier ist L(G) , L(G 1 ) die nicht-triviale Richtung des Beweises.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [33]
Berechnung der erzeugenden Symbole
Definition 3.15 (Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Symbole)
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik.
Induktive Definition eines Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Symbole:
1. Alle a ! !, d.h. alle terminalen Symbole, sind erzeugend.
2. Wenn für eine Regel A # w gilt, dass jedes Symbol in w erzeugend ist, dann ist
A erzeugend.
Regeln: S # AB | a A# b Ableitungsbäume
1. a, b sind erzeugend, da Terminalsymbole
2. S ist erzeugend wg. S # a
A ist erzeugend wg. A # b
S # AB erfüllt nicht die Bedingungen
von (2).
3. Alle Regeln sind berücksichtigt; das
Verfahren ist abgeschlossen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [34]

Berechnung der erzeugenden Symbole (Forts.)
Satz 3.16 (Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Symbole)
Der in Def. 3.15 induktive definierte Algorithms bestimmt die Menge der erzeugenden
Symbole (MeS) von G = (!, N, P, S).
Zu beweisen sind zwei Richtungen: (1), dass jedes Symbol, das durch den Algorithmus
in MeS aufgenommen wird, wirklich ein erzeugendes Symbol ist, und (2), dass jedes
erzeugende Symbol durch den Algorithmus in MeS aufgenommen wird.
1. Richtung: Induktion über die Reihenfolge, in denen der Algorithmus Symbole in
MeS aufnimmt. [zum Selbststudium!!!]
2. Richtung: X ist erzeugendes Symbol, mit der terminalen Ableitung X ) * w für
ein w ! !*. Induktion über die Ableitungslänge.
• Falls die Ableitung die Länge null hat, dann ist X ist terminales Symbol.
Daher wird im Schritt 1 des Algorithmus X als erzeugend klassifiziert und in
MeS aufgenommen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [35]
Berechnung der erzeugenden Symbole (Forts.)
• Wenn die Ableitung die Länge n hat (n > 0), dann ist X eine Variable. Die
Ableitung X ) * w kann zerlegt werden in X ) v ) * w, d.h. es wird zuerst
die Regel X # v angewendet.
• Jedes Symbol von v leitet eine terminale Zeichenkette ab, die Teil von w
ist, und diese Ableitung (# Zusammenfassung der Ableitungen, die von v
zu w führen) hat eine Länge kleiner n.
• Nach Induktionshypothese ist daher jedes Symbol aus v erzeugend.
Daher ist die Voraussetzung für den Schritt (2) des Algorithmus erfüllt:
der Algorithmus X als erzeugend klassifiziert und in MeS aufgenommen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [36]

Berechnung der erreichbaren Symbole
Definition 3.17 (Algorithmus zur Berechnung der erreichbaren Symbole)
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik.
Induktive Definition eines Algorithmus zur Berechnung der erreichbaren Symbole:
1. Das Startsymbol S ist erreichbar.
2. Wenn für eine Regel A # w gilt, dass A erreichbar ist, dann ist jedes Symbol in
w erreichbar.
Regeln: S # AB | a A# b Ableitungsbäume
1. S ist erreichbar
2. wg. S # AB | a
sind ausserdem A, B und a erreichbar
wg. A# b
ist ausserdem b erreichbar
3. Alle Regeln sind berücksichtigt; das
Verfahren ist abgeschlossen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [37]
Berechnung der erreichbaren Symbole (Forts.)
Satz 3.18 (Algorithmus zur Berechnung der erreichbaren Symbole)
Der in Def. 3.16 induktive definierte Algorithms bestimmt die Menge der erreichbaren
Symbole von G = (!, N, P, S).
Beweis: Zum Selbststudium!!!
Zu beweisen sind – wie beim Beweis von Satz 3.16 – zwei Richtungen.
Verwendet wird Induktion über Ableitungen bzw. den Ablauf des Algorithmus.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [38]

Elimination von !-Regeln
Satz 3.19 (Elimination von !-Regeln)
Für jede kontextfreie Sprache L gilt, dass L – { " } durch eine kfG ohne "-Regeln
erzeugt werden kann.
[Derartige Grammatiken werden als "-freie Grammatiken bezeichnet.]
Anmerkungen:
Dieser Satz deckt zwei Fälle ab:
1. " * L. Dann ist L – { " } = L, und deswegen gibt es eine "-Regel-freie
Grammatik G, die L erzeugt, d.h. L = L(G).
2. " ! L. Dann gibt es eine "-freie Grammatik G, die L – { " }erzeugt. Für die
Erzeugung des leeren Wortes kann G um eine einzige "-Regel angereichert
werden, die nur an der Erzeugung des leeren Wortes beteiligt ist.
Im Beweis wird daher der Fall "-freier Sprachen behandelt (Fall 1). Fall 2 erfordert
dann nur den oben angesprochenen Schritt der Ergänzung um eine "-Regel zur
Erzeugung des leeren Wortes.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [39]
Elimination von !-Regeln – Beweis von Satz 3.19
Sei " * L und G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik mit L = L(G).
• Wir gehen davon aus, dass alle nutzlosen Symbole aus G eliminiert wurden (vgl.
die Sätze 3.14, 3.16 und 3.18).
• Wir erweitern die Grammatik um ein neues Nichtterminalsymbol, S 0 , das als
Startsymbol fungiert. Ausserdem führen wir die Regel S 0 # S ein.
• Die neue Grammatik G' erzeugt genau die gleiche Sprache wie die Grammatik
G, denn zu jeder G-Ableitung S ! * G w mit w ! L(G) gibt es eine
korrespondierende G'-Ableitung S 0 ! * G' w, und zwar S 0 ! * G' S !* G' w.
• Diese Erweiterung der Grammatik führt dazu, dass das Startsymbol von G' nicht
aus der rechten Seite einer Regel auftritt.
Beispiel
S # ASA | aB A# B | S B# b | "
Einführung des neuen Startsymbols S 0
S 0 # S S # ASA | aB A# B | S B# b | "
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [40]

Elimination von !-Regeln – von G'' erzeugte Sprache
Regeln in G'
S 0 # S
S # ASA | aB
A# B | S
B# b | "
Beispiel eines Strukturbaums
Ableitung:
S 0 ) S
) ASA
) SSA ) SaBA ) SaBB
) aBaBB ) aBabB ) aBab"
) a"ab" = aab
Abschluss erfolgt nur über B-Regeln.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [41]
Elimination von !-Regeln – Beweis von Satz 3.19 (Forts.)
• "-Regeln, d.h. Regeln der Form A # " werden eliminiert; dafür werden aber
eventuell neue Regeln eingeführt.
• Für jedes Vorkommen von A auf der rechten Seite einer Regel bilden wir
zusätzlich eine neue Regel ohne dieses Vorkommen von A.
Beispiel: Sei R# uAvAw eine derartige Regel in G', so führt dies zu den Regeln
R# uvAw, R# uAvw, R# uvw
Falls die zu bearbeitende Regel die Form R# A hat , so fügen wir R # " in
die Regelmenge, ausser in den Fällen, in denen R # " schon eliminiert wurde.
• Dieses Verfahren wird durchgeführt, bis alle "-Regeln beseitigt sind.
• In der Regelmenge P gibt es nur eine endliche Menge von Regeln und
insbesondere nur eine endliche Menge von "-Regeln; für jedes Nichtterminal
maximal eine "-Regel.
• Bei der Elimination von "-Regeln können zwar neue "-Regeln entstehen, aber
nur für solche nichtterminale Symbole, zu denen noch keine "-Regeln
eliminiert wurden. Daher terminiert der Prozess der Elimination von "-Regeln.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [42]

Elimination von !-Regeln – Beweis von Satz 3.19 (Forts.)
Beispiel
S 0 # S S # ASA | aB A# B | S B# b | "
Elimination der "-Regel B# "
Einführung neuer Regeln in Bezug auf S # aB S # a
Einführung neuer Regeln in Bezug auf A# B A# "
Elimination der "-Regel A# "
Einführung neuer Regeln in Bezug auf S # ASA S # SA | AS | S
Da keine "-Regel vorkommt, ist das Verfahren abgeschlossen.
Die resultierende Regelmenge:
S 0 # S
S # ASA | aB | a | SA | AS | S
A# B | S
B# b
Die Ausgangs-Regelmenge
S 0 # S
S # ASA | aB
A# B | S
B# b | "
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [43]
Elimination von !-Regeln – von G'' erzeugte Sprache
Regeln in G'
S 0 # S
S # ASA | aB | a | SA | AS | S
A# B | S
B# b
Beispiel eines Strukturbaums
Ableitung:
S 0 ) S
) AS
) SS ) SaB
) aaB ) aab
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [44]

Elimination von !-Regeln – G'-Stukturbaum vs. G''-Stukturbaum
G'-Stukturbaum
G''-Strukturbaums
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [45]
Elimination von !-Regeln – Beweis von Satz 3.19 (2. Forts.)
Die durch Elimination der "-Regeln entstandene Grammatik G'' erzeugt genau die
gleiche Sprache wie die Grammatik G'.
• Da die Grammatik G eine "-freie Sprache erzeugt [" * L = L(G)], werden "-Regeln
nur für den Abschluss von Ableitungen verwendet, die zu echten Zeichenketten
führen.
• Wenn in einer G'-Ableitung eine "-Regel angewendet wird, dann gibt es eine
korrespondierende G''-Ableitung die auf einer der in der "-Regel-Elimination
ergänzten Regeln basiert. Daher ist jedes durch G' erzeugbare Wort auch durch G''
erzeugbar. Entsprechend kann / muss gezeigt werden, dass G'' nicht zusätzliche
Wörter erzeugen kann.
Damit ist der Beweis für den Fall 1 (" * L) abgeschlossen.
Fall 2. ! ! L = L(G)
Dann existiert eine G'-Ableitung zu ". Da nur nichtterminale Symbole getilgt werden
können, und zwar durch "-Regeln, kann das in Fall 1 verwendete Verfahren
angewendet werden: Wir eliminieren "-Regeln für alle Nichtterminale (ausser dem
Startsymbol S 0 ).
# Damit ist der Beweis für den Fall 1 (" * L) abgeschlossen.von Satz 3.19
abgeschlossen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [46]

Chomsky Normalform
Definition 3.20
Eine kontextfreie Grammatik G = (!, N, P, S) liegt in Chomsky Normalform vor, falls
alle Regeln von G eine der folgenden Formen haben
• A # B C
• A # a
• S # "
mit A, B, C ! N und a ! !.
Anmerkung:
• Es gibt (echt) expandierende Regeln mit zwei nichtterminalen Symbole auf der
rechten Seite (und somit binär verzweigende Strukturbäume) und
• abschliessende Regeln mit genau einem terminalen Symbol auf der rechten Seite,
sowie gegebenenfalls als Sonderfall (für die Ableitung des leeren Wortes) für
das Startsymbol eine "-Regel (S # ").
Satz 3.21
Für jede kontextfreie Sprache L gibt es eine kfG G in Chomsky-Normalform, die L
erzeugt, d.h. mit L = L(G).
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [47]
Chomsky Normalform – Beweis Satz 3.21
Aufbauend auf den Sätzen 3.14 und 3.19 können wir davon ausgehen, dass es zur
Sprache L eine erzeugende kfG G gibt, in der alle nutzlosen Symbole und alle "-
Regeln (ausser im Fall " ! L, die Regel S # ") eliminiert sind.
Wir haben zwei Typen von Regelumformungen durch zu führen:
• Einer-Regeln, d.h. Regeln der Form A# B, mit A, B ! N, werden umgewandelt
in Regeln mit zwei oder mehr Symbolen auf der rechten Seite.
• Alle verbleibenden Regeln werden in die Normalform gebracht, d.h. in Regeln
mit der zulässigen Länge der rechten Seite
• Länge 2 für Regeln mit Nichtterminalen auf der rechten Seite
• Länge 1 für Regeln mit Terminalen auf der rechten Seite
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [48]

Chomsky Normalform – Umwandlung von Einer-Regeln
• Einer-Regeln, d.h. Regeln der Form A # B, mit A, B ! N, werden eliminiert; dafür
werden aber neue Regeln eingeführt.
• Für jede Regel B# u, mit u ! (! " N)*, bilden wir eine neue Regel A # u,
ausser in den Fällen, in denen die Einer-Regel A # u schon eliminiert wurde.
• Dieses Verfahren wird durchgeführt, bis alle Einer-Regeln beseitigt sind.
• In der Regelmenge P gibt es nur eine endliche Menge von Regeln und
insbesondere nur eine endliche Menge von Einer-Regeln.
• Bei der Elimination von Einer-Regeln können zwar neue Einer-Regeln entstehen,
aber nur für solche nichtterminale Symbole, zu denen noch keine Einer-Regeln
eliminiert wurden. Daher terminiert der Prozess der Elimination von Einer-Regeln.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [49]
Elimination von Einer-Regeln – Beweis von Satz 3.21 (Forts.)
Beispiel
Die Ausgangs-Regelmenge
S 0 # S
S # ASA | aB | a | SA | AS | S
A# B | S
B# b
Elimination von S # S
Elimination von S 0 # S
Elimination von A# B
Elimination der A# S
S # ASA | aB | a | SA | AS
S 0 # ASA | aB | a | SA | AS
A# b
A# ASA | aB | a | SA | AS
Die resultierende Regelmenge:
S 0 # ASA | aB | a | SA | AS
S # ASA | aB | a | SA | AS
A# b | ASA | aB | a | SA | AS
B# b
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [50]

Elimination von Einer-Regeln – G-Stukturbaum vs. G'-Stukturbaum
G-Stukturbaum
G'-Strukturbaums
Ableitungen, die auf Einer-Regeln basieren, können „abgekürzt“ werden.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [51]
Abschliessende Konvertierung in Chomsky Normalform
• Sei A # u 1 u 2 …u k , wobei k ! 3 und u i ! (! " N).
Wir ersetzen diese Regel durch die Regeln
A # u 1 A 1 , A 1 # u 2 A 3 , … A k-2 # u k-1 u k Die A i seine neue Variablen.
• Jeder Anwendung der Regel A # u 1 u 2 …u k entspricht die sequentielle
Anwendung der Regeln A # u 1 A 1 , A 1 # u 2 A 3 , … A k-2 # u k-1 u k .
• Anschliessend ersetzen wir in allen Regeln der Form
A # u i A j , in denen u i ! !, u i durch die neue Variable U i , d.h. modifizieren die
Regel zu A # u i A j und führen die neue Regel A # U j ein (gleiche Terminale u i
können durch gleiche neue Variable U i ersetzt werden).
• Jeder Anwendung der Regel A # u i A j in G' entspricht die sequentielle
Anwendung der Regeln A # U 1 A j und anschliessend A # U j in G''.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [52]

Erstellung von Regeln in Ch-Normalform – Beweis von Satz 3.21 (Forts.)
Beispiel
Die Ausgangs-Regelmenge
S 0 # ASA | aB | a | SA | AS
S # ASA | aB | a | SA | AS
A# b | ASA | aB | a | SA | AS
B# b
Umformung von S 0 # ASA
Umformung von S # ASA
Umformung der Regeln mit rechter Seite aB
Die resultierende Regelmenge
nach 1. Teilschritt:
S 0 # AA 1 | aB | a | SA | AS
S # AA 1 | aB | a | SA | AS
A# b | ASA | aB | a | SA | AS
A 1 # SA
B# b
S 0 # AA 1 , A 1 # SA
S # AA 1 , A 1 # SA
X # UB , U# a
Die resultierende Regelmenge
nach 2. Teilschritt:
S 0 # AA 1 | UB | a | SA | AS
S # AA 1 | UB | a | SA | AS
A# b | ASA | UB | a | SA | AS
A 1 # SA
U # a
B# b
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [53]
Chomsky Normalform – G-Stukturbaum vs. G'-Stukturbaum
G'-Stukturbaum
G''-Strukturbaums
Ableitungen, die auf Nicht-Normalform-Regeln basieren, werden durch Sequenzen
von Normalformableitungen durchgeführt.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [54]

Normalformen Zusammenfassung
Aufgabe: Vereinfachung von kontextfreien Grammatiken
Theoreme zu vereinfachten Grammatiken
• Für jede kontextfreie Sprache L, d.h. L ! TYP2 $ , gilt, dass L – { " } durch eine kfG
ohne "-Regeln erzeugt werden kann.
• Zu jeder kfG G gibt es eine äquivalente kfG G' in Chomsky-Normalform, d.h.
L(G) = L(G')
Alle Regeln von G' haben die Form A # B C oder A # a mit A, B, C ! N und a
! !. Falls " ! L = L(G), ist zusätzlich die Regel S # " zugelassen.
Chomsky Normalform ist wichtig für Beweise, z.B. Pumpinglemma für kontextfreie
Sprachen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [55]
Kellerautomaten: Grundidee
Ergänzung des endlichen Automaten mit einem einfachen Speicher
Zur Erinnerung: Der Speicher des endlichen Automaten
• besteht allein aus dem Zustandsspeicher
• entspricht einer Zelle mit endlicher Kapazität (einer von endlich viele Zuständen)
Kellerspeicher: LIFO-Prinzip (last in – first out)
• Im Prinzip unbeschränkte Kapazität (keine Beschränkung der Anzahl der
Speicherzellen)
• die einzelnen Speicherzellen des Kellers haben aber nur endliche Kapazität
( = 1 Symbol aus dem (endlichen) Keller-Alphabet)
• Es ist immer nur das 'oberste' Symbol des Speichers zugreifbar.
• In der Beschränkung der Zugriffsmöglichkeit besteht der entscheidende Unterschied
zu den Turingmaschinen.
• Das Kelleralphabet und das Eingabealphabet können übereinstimmen, müssen es
aber nicht.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [56]

Kellerautomat
$
0
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [57]
Abb: © Vossen & Witt (2006)
Definition (nichtdeterministischer) Kellerautomat
Definition 13.22
Ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat K = (!, Q, 0, -, q 0 , 1, F), besteht aus:
• ! : ein Alphabet (Eingabealphabet)
• 0 : ein Alphabet (Kelleralphabet) $
• Q : eine endliche Menge, die Menge
der Zustände
• - : Q ( (! " {2}) ( 0 # .(Q ( 0*)
ist die Zustandsüberführungsfunktion
von K.
• q 0 ! Q : der Startzustand
• 1 ! 0 : das Kellerboden-Symbol
(initialer Kellereintrag)
• F , Q : die Menge der Endzustände
Die Definition des Kellerautomaten spezifiziert die 'endliche Kontrolle'.
0
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [58]
Abb: © Vossen & Witt (2006)

Zustandsüberführungsfunktion des Kellerautomaten
(q', k 1 …k n ) ! -(q, x, k) • Ist K im Zustand q,
• liest auf dem Eingabeband das Symbol x
• und auf dem Keller das Symbol k,
• dann kann K in den Zustand q' wechseln
• und k auf dem Keller durch k 1 …k n ersetzten,
• wobei k 1 zum obersten Symbol wird.
(q', 2) ! -(q, x, k) • Ist K im Zustand q,
• liest auf dem Eingabeband das Symbol x
• und auf dem Keller das Symbol k,
• dann kann K in den Zustand q' wechseln
• und k vom Keller löschen.
(q', k 1 …k n ) ! -(q, 2, k) • Ist K im Zustand q,
• und liest auf dem Keller das Symbol k,
• dann kann K in den Zustand q' wechseln
• und k auf dem Keller durch k 1 …k n ersetzten,
• wobei k 1 zum obersten Symbol wird.
(q', 2) ! -(q, 2, k) • Ist K im Zustand q,
• und liest auf dem Keller das Symbol k,
• dann kann K in den Zustand q' wechseln
• und k vom Keller löschen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [59]
Beispiel Kellerautomat
K 1 = ({a, b}, {q 0 , q 1 , q f }, {1, 1}, - 1 , q 0 , 1, {q f }) mit
- 1 (q 0 , 2, 1) = - 1 (q 1 , 2, 1) = {(q f , 2)}
- 1 (q 0 , a, 1) = {(q 0 , 11)}
- 1 (q 0 , a, 1) = {(q 0 , 11)}
- 1 (q 0 , b, 1) = - 1 (q 1 , b, 1) = {(q 1 , 2)}
- 1 (q 0 , 2, 1) = - 1 (q 0 , b, 1) = - 1 (q 1 , 2, 1) =
- 1 (q 1 , a, 1) = - 1 (q 1 , a, 1) = - 1 (q 1 , b, 1) =
- 1 (q f , 2, 1) = - 1 (q f , 2, 1) = - 1 (q f , a, 1) =
- 1 (q f , a, 1) = - 1 (q f , b, 1) = - 1 (q f , b, 1) = /
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [60]