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Manfred Hoffmann<br />
Mathematik für die<br />
Wirtschaftsschule<br />
Band 1<br />
1. Auflage<br />
Bestellnummer 40072
Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt?<br />
Dann senden Sie eine E-Mail an 40072 001@bv-1.de<br />
Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung.<br />
www.bildungsverlag1.de<br />
<strong>Bildungsverlag</strong> <strong>EINS</strong> GmbH<br />
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf<br />
ISBN 978-3-427-40072-1<br />
© Copyright 2009*: <strong>Bildungsverlag</strong> <strong>EINS</strong> GmbH, Troisdorf<br />
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als<br />
den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des<br />
Verlages.<br />
Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung<br />
eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von<br />
Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.
Vorwort<br />
Das Lehrbuch „Mathematik für die Wirtschaftsschule Band 1“ berücksichtigt den<br />
neuen Lehrplan für die Wirtschaftsschulen in Bayern.<br />
Die im Lehrplan empfohlenen Anwendungsbezüge, vor allem aus dem Fachgebiet<br />
Wirtschaft, wurden weitgehend berücksichtigt. Allerdings nur so weit, dass das methodische<br />
Grundkonzept der Mathematik sich noch erkennbar zeigt.<br />
Das Lehrbuch enthält eine große Anzahl von Aufgaben in einem ausgewogenen<br />
Verhältnis zwischen Routineaufgaben und angewandten problemlösenden Aufgaben,<br />
wobei bei letzteren darauf geachtet wurde, dass die Probleme vom Schüler<br />
leicht erkannt werden können und damit für ihn auch lösbar sind. Für keine der<br />
Aufgaben werden Kenntnisse vorausgesetzt, die erst in nachfolgenden Kapiteln behandelt<br />
werden. An einigen Stellen sind vollständig vorgerechnete Musteraufgaben<br />
aufgeführt.<br />
Den Lehrkräften wird es freigestellt zu entscheiden, welche Aufgaben auf dem Papier<br />
und welche mit dem Taschenrechner gelöst werden sollen. Man könnte beispielsweise<br />
in der Klasse zwei Gruppen bilden: eine „Rechengruppe“, welche die<br />
Aufgaben schriftlich zu lösen hat und eine „Kontrollgruppe“, welche die Ergebnisse<br />
der „Rechengruppe“ mit dem Taschenrechner überprüft.<br />
Bei der Bezeichnung von mathematischen Elementen sollte auf die Unterscheidung<br />
zwischen geometrischen Elementen (Punkten, Geraden, Flächen usw.) und Variablen<br />
bzw. Größen (sie enthalten Zahlenwerte) großer Wert gelegt werden. Erstere wurden<br />
mit Buchstaben in gerader Schrift ausgezeichnet, letztere mit Buchstaben in<br />
kursiver Schrift.<br />
Die farbige Gestaltung der einzelnen Elemente erleichtert das Lernen mit dem Buch:<br />
Definitionen (gelb), Beispiele (blau), Begriffe (grün), Regeln und Merksätze (ocker)<br />
sind sofort erkennbar und unterscheidbar.<br />
Die Fotos zu Beginn eines jeden Kapitels und im Text sollen das Gelesene bildhaft<br />
untermalen und hierdurch den Zugang zum Inhalt der Kapitel erleichtern.<br />
Autor und Verlag<br />
3
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Mengen<br />
1.1 Mengen von Dingen, die wir sehen ............................................ 9<br />
1.2 Mengen von Dingen innerhalb unseres Denkens ............................. 10<br />
1.3 Was ist eine Menge und was nicht? ............................................ 10<br />
1.4 Angaben von Mengen ............................................................ 12<br />
1.4.1 Aufzählende Form ................................................................. 12<br />
1.4.2 Kennzeichnende Form ............................................................ 13<br />
1.4.3 Venn-Diagramm ................................................................... 13<br />
1.5 Wichtige Zahlenmengen .......................................................... 13<br />
1.6 Teilmengen ......................................................................... 14<br />
1.6.1 Einführende Beispiele ............................................................. 14<br />
1.6.2 Definition der Teilmenge ......................................................... 15<br />
1.6.3 Anzahl von Teilmengen einer Menge ........................................... 16<br />
1.7 Gleiche Mengen ................................................................... 16<br />
1.8 Schnittmenge, Vereinigungsmenge ............................................. 18<br />
1.8.1 Einführende Beispiele ............................................................. 18<br />
1.8.2 Definitionen ........................................................................ 19<br />
1.9 Differenz- oder Restmenge ...................................................... 22<br />
1.9.1 Einführende Beispiele ............................................................. 22<br />
1.9.2 Definition ........................................................................... 23<br />
1.9.3 Grundmenge, Ergänzungsmenge ................................................ 24<br />
2 Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />
2.1 Definition der natürlichen Zahlen ............................................... 26<br />
2.2 Beispiele ............................................................................ 27<br />
2.3 Zahlenstrahl ........................................................................ 28<br />
2.4 Addition von natürlichen Zahlen ................................................ 28<br />
2.5 Subtraktion von natürlichen Zahlen ............................................ 29<br />
2.6 Multiplikation von natürlichen Zahlen ......................................... 30<br />
2.7 Potenzen ............................................................................ 34<br />
2.8 Division von natürlichen Zahlen ................................................. 36<br />
2.9 Variable (Platzhalter) .............................................................. 39<br />
4
Inhaltsverzeichnis<br />
3 Rechnen mit ganzen Zahlen<br />
3.1 Einführendes Beispiel ............................................................. 44<br />
3.2 Definition von ganzen Zahlen ................................................... 45<br />
3.3 Addition von ganzen Zahlen ..................................................... 46<br />
3.4 Subtraktion von ganzen Zahlen ................................................. 46<br />
3.5 Zusammenfassende Regel bei der Addition und Subtraktion ............... 47<br />
3.6 Multiplikation von ganzen Zahlen .............................................. 49<br />
3.7 Division von ganzen Zahlen ..................................................... 50<br />
3.8 Rechenregeln für ganze Zahlen ................................................. 51<br />
3.9 Klammer mal Klammer ........................................................... 53<br />
3.10 Faktorisieren ....................................................................... 54<br />
3.11 Binomische Formeln ............................................................... 59<br />
4 Rechnen mit rationalen Zahlen<br />
4.1 Einführende Beispiele ............................................................. 63<br />
4.2 Bruchzahlen (Brüche) ............................................................. 63<br />
4.3 Die Menge der rationalen Zahlen ............................................... 65<br />
4.4 Erweitern und Kürzen von Brüchen ............................................ 66<br />
4.5 Dezimalbrüche ..................................................................... 68<br />
4.5.1 Einführende Beispiele ............................................................. 68<br />
4.5.2 Definition des Dezimalbruchs .................................................... 68<br />
4.5.3 Formen von Dezimalbrüchen .................................................... 69<br />
4.6 Runden ............................................................................. 70<br />
4.7 Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen ...................... 76<br />
4.8 Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen ................... 77<br />
4.9 Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl ........................... 79<br />
4.10 Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch .................................. 80<br />
4.11 Division von Brüchen ............................................................. 82<br />
4.12 Verwandlung eines gemischt periodischen Dezimalbruchs<br />
in eine Bruchzahl .................................................................. 87<br />
4.13 Größen .............................................................................. 88<br />
4.13.1 Begriffe ............................................................................. 88<br />
4.13.2 Wichtige Einheiten ................................................................ 88<br />
4.13.3 Rechnen mit Größen .............................................................. 88<br />
5 Lineare Gleichungen und Ungleichungen<br />
5.1 Aussagen und Aussageformen .................................................. 93<br />
5.1.1 Einführende Beispiele ............................................................. 93<br />
5.1.2 Definitionen ........................................................................ 94<br />
5.1.3 Verknüpfungen mit „und“ bzw. „oder“ ........................................ 96<br />
5
Inhaltsverzeichnis<br />
5.2 Bestimmungsgleichungen ........................................................ 99<br />
5.2.1 Gleichungen und Ungleichungen ................................................ 99<br />
5.2.2 Bestimmungsgleichungen, Bestimmungsungleichungen ..................... 99<br />
5.2.3 Äquivalente Umformungen von Bestimmungsgleichungen .................. 102<br />
5.2.4 Äquivalente Umformungen von Bestimmungsungleichungen ............... 104<br />
5.3 Bestimmung der Lösungsmenge ................................................ 106<br />
5.4 Direkte Proportionen ............................................................. 116<br />
5.4.1 Einführende Beispiele ............................................................. 116<br />
5.4.2 Definitionen ........................................................................ 117<br />
5.4.3 Verhältnisgleichungen ............................................................ 118<br />
5.5 Indirekte Proportionen ............................................................ 120<br />
5.5.1 Einführende Beispiele ............................................................. 120<br />
5.5.2 Definitionen ........................................................................ 121<br />
6 Grundelemente der Geometrie<br />
6.1 Punkt ................................................................................ 125<br />
6.2 Linien ............................................................................... 126<br />
6.3 Lagebeziehungen .................................................................. 127<br />
6.3.1 Beziehungen zwischen Punkt und Gerade ..................................... 127<br />
6.3.2 Beziehungen zwischen zwei Geraden .......................................... 127<br />
6.3.3 Beziehungen zwischen drei Geraden in der Zeichenebene .................. 129<br />
6.4 Geradlinig begrenzte Flächenstücke ............................................ 131<br />
6.5 Kreislinie, Kreisfläche ............................................................. 134<br />
6.5.1 Definitionen ........................................................................ 134<br />
6.5.2 Begriffe und ihre Definitionen ................................................... 136<br />
6.6 Beziehungen zwischen zwei Kreisen ........................................... 137<br />
6.6.1 Konzentrische Kreise .............................................................. 137<br />
6.6.2 Zwei Kreislinien schneiden sich in einem Punkt, k 1 k 2 {P} .............. 137<br />
6.6.3 Zwei Kreislinien schneiden sich nicht, k 1 k 2 ........................... 137<br />
6.6.4 Zwei Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten P und Q .................... 138<br />
6.7 Koordinatensystem ............................................................... 138<br />
6.7.1 Einführende Beispiele ............................................................. 138<br />
6.7.2 Das kartesische Koordinatensystem ............................................. 139<br />
6.8 Winkel .............................................................................. 141<br />
6.8.1 Einführende Beispiele ............................................................. 141<br />
6.8.2 Definition ........................................................................... 142<br />
6.8.3 Winkelmaße ........................................................................ 143<br />
6.8.4 Mittelpunktswinkel eines Kreissektors .......................................... 145<br />
6.8.5 Scheitel- und Nebenwinkel ....................................................... 146<br />
6.8.6 Stufenwinkel und Wechselwinkel ............................................... 147<br />
7 Achsenspiegelung<br />
7.1 Einführende Beispiele ............................................................. 151<br />
7.2 Definition ........................................................................... 152<br />
6
Inhaltsverzeichnis<br />
7.3 Spiegelung von Punkten und Figuren .......................................... 152<br />
7.4 Achsenspiegelung als Abbildung ................................................ 154<br />
7.5 Fundamentalkonstruktionen ..................................................... 154<br />
7.5.1 Halbieren einer Strecke [AB], Konstruktion der Mittelsenkrechten<br />
von [AB] ............................................................................ 155<br />
7.5.2 Lot errichten ....................................................................... 155<br />
7.5.3 Lot fällen ........................................................................... 155<br />
7.5.4 Winkel halbieren .................................................................. 156<br />
8 Punktspiegelung<br />
8.1 Einführende Beispiele ............................................................. 159<br />
8.2 Definition ........................................................................... 160<br />
8.3 Eigenschaften der Punktspiegelung ............................................ 160<br />
9 Dreiecke<br />
9.1 Bezeichnungen am Dreieck, Innen- und Außenwinkel ....................... 163<br />
9.2 Dreiecksformen .................................................................... 165<br />
9.2.1 Spitz- und stumpfwinklige Dreiecke ............................................ 165<br />
9.2.2 Rechtwinkliges Dreieck ........................................................... 166<br />
9.2.3 Gleichschenkliges Dreieck ........................................................ 166<br />
9.2.4 Gleichseitiges Dreieck ............................................................. 167<br />
9.3 Konstruktionen von Dreiecken .................................................. 168<br />
9.3.1 Geometrische Ortslinien (GO) .................................................... 168<br />
9.3.2 Konstruktion eines Dreiecks aus den drei Seiten .............................. 170<br />
9.3.3 Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und einem<br />
eingeschlossenen Winkel ......................................................... 171<br />
9.3.4 Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei anliegenden<br />
Winkeln ............................................................................. 172<br />
9.3.5 Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel<br />
der größeren Seite ................................................................ 173<br />
9.3.6 Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel<br />
der kleineren Seite ................................................................ 174<br />
9.4 Dreieckstransversalen ............................................................. 176<br />
9.4.1 Mittelsenkrechten im Dreieck .................................................... 176<br />
9.4.2 Höhen eines Dreiecks ............................................................. 177<br />
9.4.3 Winkelhalbierende eines Dreiecks ............................................... 177<br />
9.4.4 Seitenhalbierende eines Dreiecks ................................................ 178<br />
9.5 Konstruktionen mithilfe von Teildreiecken .................................... 179<br />
9.6 Flächenberechnung bei Rechteck, Quadrat und Dreieck ..................... 182<br />
Sachwortverzeichnis .............................................................. 187<br />
Bildquellenverzeichnis ............................................................ 191<br />
7
Mengen 1<br />
2. Gegeben sind folgende Mengen in der kennzeichnenden Form. Wandle sie<br />
in die aufzählende Form um.<br />
a) A ={x s sind die Ziffern unseres Dezimalsystems}<br />
b) B ={y y sind die ersten zehn Quadratzahlen}<br />
c) C ={z z sind die Reste, wenn man eine Zahl durch 4 teilt}<br />
d) D ={x x sind die Regierungsbezirke von Bayern}<br />
e) E ={y y sind die Namen der Lehrer deiner Schule}<br />
f) F ={u u ist die Menge aller ungeraden Zahlen}<br />
3. Zeichne von den folgenden Mengen ein Venn-Diagramm.<br />
a) U ={u, v, w, x , y, z}<br />
b) B ={x x ist die Menge aller Primzahlen unter 15}<br />
c) C ={y y ist die Menge von fünf verschiedenen Brotsorten}<br />
d) D ={z z ist die Menge der Spektralfarben des weißen Lichts}<br />
e) E ={x x ist die Menge aller durch 3 und durch 6 teilbaren Zahlen}<br />
4. Schreibe folgende Zahlenmengen in der aufzählenden Form. Die ersten<br />
6 Elemente genügen: n 0 , z , z , q , q <br />
5. Schreibe alle Teilmengen von folgenden Mengen auf.<br />
a) A = {0, 1, 2}<br />
b) B = {Zahl, Wappen}<br />
6. Zeichne alle Mengen in ein einziges Diagramm.<br />
A ={a, b, c, d, e, f }, B ={a, b, c, d}, C ={c, d, e, f }<br />
7. Wie viele Teilmengen haben folgenden Mengen?<br />
a) A = {Rom, Mailand, Florenz, Neapel, Bozen, Bologna}<br />
b) B ={p p ist Primzahl kleiner als 10}<br />
8. Welche Mengen sind gleich, welche sind gleichmächtig?<br />
A ={2 2 ,2 3 }, B = {4, 8}, C = {1, 2, 3, 4}, D ={ Ω, }, E = {10, 100, 1 000},<br />
F ={x x ist eine natürliche Zahl ohne 0 und kleiner als 5},<br />
G = {Rechteck, Kreis}.<br />
9. Übertrage die Aufgabe in dein Heft und schreibe die Symbole oder in<br />
die freien Plätze.<br />
a) 4 n b) 0 z c) 3 Z <br />
d) 0 e) 40 q f) 0,5 q <br />
g) 6 {p p ist Primzahl kleiner als 10}<br />
h) 81 {y y sind die ersten zehn Quadratzahlen}<br />
17
1 Mengen<br />
1.8 Schnittmenge, Vereinigungsmenge<br />
1.8.1 Einführende Beispiele<br />
Einführende Beispiele<br />
a) Im Kindergarten spielt ein Kind mit vielen roten und grünen Bauklötzen. Die<br />
Bauklötze sind verschieden geformt, einige von ihnen sind kleine Würfel. Das<br />
Kind erhält den Auftrag die Bauklötze nach ihrer Farbe zu trennen und alle<br />
Würfel unabhängig von ihrer Farbe in die Mitte zu legen. Dabei löst das Kind,<br />
ohne es zu wissen, folgende mathematische Aufgabe: Bilden der Menge P<br />
der roten Steine, Bilden der Menge<br />
Q der grünen Steine, Bilden der<br />
„Schnittmenge“ von P und Q.<br />
Ein Kind bildet spielerisch<br />
eine Schnittmenge<br />
Veranschaulichung im Venn-Diagramm<br />
b) Eine größere Firma beschäftigt zwölf Fremdsprachenkorrespondentinnen.<br />
Acht davon beherrschen nur die englische Sprache, zwei nur die französische<br />
Sprache und zwei beherrschen beide Sprachen. Im Sinne der Mengenlehre<br />
kann man dabei folgende Aufteilung machen:<br />
Die Menge A bilden die Sekretärinnen, welche die Briefe in englischer Sprache<br />
bearbeiten können, die Menge B alle Sekretärinnen, die die Briefe<br />
in französischer Sprache erledigen. Sowohl in A als auch in B ist die Menge<br />
A B derjenigen Sekretärinnen, die beide Sprachen beherrschen. A B<br />
nennt man die „Schnittmenge“ der Mengen A und B.<br />
(8)<br />
(2)<br />
(2)<br />
A (englisch)<br />
B (französisch)<br />
Veranschaulichung der Schnittmenge<br />
zweier Mengen<br />
18
Mengen 1<br />
c) Bei einer Umfrage in Haushalten ergab sich, dass 47 Familien die Illustrierte<br />
X, 83 Familien die Illustrierte Y und 20 Familien beide Illustrierten abonniert<br />
haben. Wie viele der befragten Familien haben mindestens eine der Illustrierten<br />
abonniert?<br />
Um diese Frage zu beantworten, führen wir folgende Mengen und ihre<br />
Mächtigkeiten ein:<br />
A ={x x bezieht die Illustrierte X} mit A =47<br />
B ={y y bezieht die Illustrierte Y} mit B =83<br />
A B ={u u bezieht die Illustrierten X und Y}<br />
A B ={v v bezieht mindestens eine der Illustrierten X, Y}<br />
47<br />
20<br />
83<br />
A<br />
B<br />
Veranschaulichung im Venn-Diagramm:<br />
Anstelle der Elemente werden die<br />
Mächtigkeiten angezeigt<br />
Aus der Zeichnung entnehmen wir die Berechnung der Mächtigkeit von A B:<br />
A B =47+83 20 = 110<br />
110 Hausalte beziehen mindestens eine der Illustrierten.<br />
1.8.2 Definitionen<br />
Definition<br />
Die Menge aller Elemente, die sowohl zu P als auch zu Q gehören, heißt Schnittmenge<br />
der Mengen P und Q, symbolisch P Q (lies: P geschnitten Q).<br />
Die Menge aller Objekte, die mindestens zu einer Menge P und Q gehören,<br />
heißt Vereinigungsmenge der Mengen P und Q, symbolisch P Q (lies: P vereinigt<br />
mit Q).<br />
P Q<br />
P<br />
P Q<br />
Q<br />
Venn-Diagramm zur Schnittmenge und zur<br />
Vereinigungsmenge<br />
Sind die beiden Mengen P und Q elementfremd, so ist die Schnittmenge die leere Menge.<br />
Die Schnittmenge zwischen einer Menge P und der leeren Menge ist die leere Menge, die<br />
Vereinigungsmenge von einer Menge P und der leeren Menge ist die Menge P.<br />
19
1 Mengen<br />
Ist P eine Teilmenge von Q, dann gilt<br />
P Q = P und P Q = Q.<br />
Q<br />
P<br />
P ist eine Teilmenge von Q<br />
In der beschreibenden Form drückt das Bindewort „und“ (Zeichen: ∧) eine Schnittmenge<br />
und das Bindewort „oder“ (Zeichen: ∨) eine Vereinigungsmenge aus.<br />
Definition<br />
P ={p p ist Element der Menge P}, Q ={q q ist Element der Menge Q}<br />
P Q ={r r ist Element der Menge P und der Menge Q},<br />
symbolisch P Q ={r r P ∧ r Q}<br />
P Q ={s s ist Element der Menge P oder der Menge Q},<br />
symbolisch P Q ={s s P ∨ s Q}<br />
Beispiele<br />
a) Gegeben sind die Mengen P ={a, b, c, d} und Q ={b, c, x , y, z}.<br />
Die Schnittmenge ist: P Q ={b, c}, die Vereinigungsmenge ist:<br />
P Q ={a, b, c, d, x , y, z}<br />
b) Die Menge der gemeinsamen Teiler von 12 und 15 ist die Schnittmenge der<br />
Menge der Teiler von 12 und der Menge der Teiler von 15.<br />
T 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} und T 15 = {1, 3, 5, 15}, T 12 T 15 = {1, 3}<br />
c) P ={a 1 , a 2 , a 3 , a 4 }, Q ={a 1 , a 3 , a 5 }, P Q ={a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 }<br />
P Q ={a 1 , a 3 }<br />
d) n = {0, 1, 2, 3, …}, z ={1, 2, 3, …}, n z = z, n z = <br />
e) A ={P PM = 3 cm} (Die Menge A besteht aus allen Punkten, die von einem<br />
Punkt M 3 cm entfernt sind, also auf einem Kreis um M liegen.)<br />
B ={Q QD = QC} (Die Menge B enthält alle Punkte, die von zwei gegebenen<br />
Punkten C und D gleichweit entfernt sind, also auf der Mittelsenkrechten der<br />
Strecke [CD] liegen.)<br />
Q<br />
M<br />
C<br />
D<br />
P<br />
Veranschaulichung zum Beispiel e)<br />
20
Mengen 1<br />
Aufgaben<br />
1. Gegeben sind die Mengen A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und B = {4, 5, 6}.<br />
Gib folgende Mengen in der aufzählenden Form an:<br />
A B, A B, A , B .<br />
2. Gib A B und A B in der aufzählenden Form an und zeichne jeweils das<br />
Venn-Diagramm dazu.<br />
a) A = {3, 6, 8}, B = {4, 5, 6, 7}<br />
b) A = {10, 15, 20}, B = {5, 10, 15, 20}<br />
c) A ={a, c, e, g}, B ={b, d, f }<br />
d) A ={u, v, w, x , y}, B ={u, w, z}<br />
e) A = z , B = z <br />
3. Gegeben sind die Mengen A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {1, 3, 5, 7}.<br />
Gib in der aufzählenden Form folgende Verknüpfungen an:<br />
A B C, A B C, (A B) C, A (B C), (A B) C.<br />
4. Gegeben sind die Mengen P ={x 8 x 15 und x ist natürliche Zahl},<br />
Q ={x 2 x 10 und x ist natürliche Zahl}. Gib P Q und P Q in der<br />
aufzählenden Form an.<br />
5. A ={x x 3 und x ist natürliche Zahl},<br />
B ={x 2 x 6 und x ist natürliche Zahl},<br />
C ={x x 4 und x ist natürliche Zahl}<br />
Gib in der aufzählenden Form an:<br />
A B, A B, A C, A B C, A C, A B C<br />
6. Gegeben sind die Mengen P = {1, 2, 4, 8, 16, 32} und Q = {1, 3, 9, 27, 81}.<br />
Gib P Q und P Q in der aufzählenden Form an.<br />
7. Gib die folgenden Gleichungen in Worten wieder:<br />
a) A = A<br />
b) B = <br />
c) = <br />
d) A B = <br />
8. a) A ={x x ist Teiler von 18}, B ={x x ist Teiler von 24}. Gib die Menge der<br />
gemeinsamen Teiler von 18 und 24 an.<br />
b) A ={x x ist Teiler von 36}, B ={x x ist Teiler von 54}. Gib die Menge der<br />
gemeinsamen Teiler von 36 und 54 an.<br />
c) A ={x x ist Teiler von 60}, B ={x x ist Teiler von 90}. Gib die Menge der<br />
gemeinsamen Teiler von 60 und 90 an.<br />
21
1 Mengen<br />
9. Bei einer Untersuchung von Schulkindern durch das Gesundheitsamt stellte<br />
sich heraus, dass 25 Kinder Haltungsschäden, 18 Kinder Karies und 9 Kinder<br />
Karies und Haltungsschäden hatten. Ermittle durch ein Venn-Diagramm wie<br />
viele Kinder mindestens einen der Mängel hatten.<br />
10. In einem Warenlager befinden sich 120 Elektronikgeräte. Darunter sind 26 DVD-<br />
Player mit Netzanschluss, von denen 10 auch mit Batterie betrieben werden<br />
können, 28 DVD-Player können nur mit Batterie betrieben werden.<br />
a) Wie viele Elektronikgeräte sind keine DVD-Player?<br />
b) Zeichne ein Venn-Diagramm und gib die Mächtigkeiten aller Mengen an.<br />
c) Wie viele DVD-Player können mit Batterie betrieben werden?<br />
11. Von den Schülern einer Klasse wählen 15 das Wahlfach Französisch und 6<br />
das Wahlfach Italienisch. Unter diesen Schülern sind jedoch 4, die an beiden<br />
Wahlfächern teilnehmen. 8 Schüler der Klasse nehmen an keinem dieser<br />
Wahlfächer teil. Aus wie vielen Schülern besteht die Klasse? Zeichne ein<br />
Venn-Diagramm.<br />
1.9 Differenz- oder Restmenge<br />
1.9.1 Einführende Beispiele<br />
Einführende Beispiele<br />
a) In einer Lostrommel befinden sich 20 Lose. Jedes Los ist mit einer Nummer von<br />
1 bis 20 versehen. Aus der Menge von den 20 Losen wurden bereits die Lose mit<br />
den Nummern 2, 5, 6, 8, 11, 13, 19 entnommen. Die Frage, welche Losnummern<br />
noch in der Trommel sind, klären wir durch eine Mengenoperation:<br />
P ={x x ist Losnummer von 1 bis 20}<br />
Q = {2, 5, 6, 8, 11, 13, 19}<br />
PaQ = {1, 3, 4, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20}<br />
PaQ nennt man Restmenge.<br />
7 14<br />
15 17<br />
1<br />
3<br />
4<br />
9<br />
10<br />
16<br />
12<br />
18<br />
20<br />
P/Q<br />
5<br />
2<br />
6<br />
8 19<br />
13<br />
11 Q<br />
P<br />
Venn-Diagramm zur Bildung einer Restmenge<br />
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