7 Logik erster Ordnung - BIOTEC

7 Logik erster Ordnung 1 

7 Logik erster Ordnung 

7.1 Syntax und Semantik 

7.1.1 Symbole 

7.1.2 Terme 

7.1.3 Atomare Sätze 

7.1.4 Zusammengesetzte Sätze 

7.1.5 Quantoren 

7.2 Erweiterungen und notationelle Varianten 

7.2.1 Logik höherer Ordnung 

7.2.2 Der λ-Operator 

7.2.3 Eindeutigkeitsoperatoren 

7.2.4 Notationelle Varianten 

7.3 Zwei Anwendungsbereiche für die Logik erster Ordung 

7.4 Ein prädikaten-logischer Agent in der WUMPUS-Welt 

7.4.1 Eine Schnittstelle zwischen Umgebung und Agent 

7.4.2 Einfacher Reflex-Agent 

7.5 Repräsentation der Veränderungen in der Welt 

7.5.1 Der Situtationskalkül 

7.5.2 Wegverfolgung 

7.6 Entdeckung verborgener Eigenschaften in der Welt 

7.7 Rangfolge von Aktionen 

7.7.1 Präferenz zwischen Aktionen 

7.7.2 Ziele und gesteuerte Agenten 

Grundlagen der KI WS 2007/2008

7.1 Syntax und Semantik 2 

7.1 Syntax und Semantik 

Syntax der Logik erster Ordnung 

Satz → atomarer Satz 

| Satz Junktor Satz 

| Quantor V ariable, ...Satz 

| ¬Satz 

| (Satz) 

atomarer Satz → Prädikat(Term, ...) | Term = Term 

Term → Funktion(Term, ...) 

| Konstante 

| V ariable 

Junktor → ∧ | ∨ |⇔|⇒| ¬ 

Quantor → ∀ | ∃ 

Konstante → A | X 1 | Hans | ... 

V ariable → a | x | s | ... 

Prädikat → V or | HatFarbe | V erwandtMit | ... 

Funktion → Mutter | LinkesBeinV on | ... 



7.1.1 Symbole 

Konstantensymbole 

Bezeichner 

Variablensymble 

Bezeichner 

(repräsentieren Individuenkonstanten) 

KingJohn, 2, UCB 

(repräsentieren Individuenvariablen) 

x,y,... 

Funktionssymbole (repräsentieren funktionale Abhängigkeiten) 

Bezeichner Sqrt, F, ... 

Prädikatensymbole (Prädikate repräsentieren Eigenschaften 

über Objekte) 

Bezeichner Brother, p, q, ... 



7.1.2 Terme 

• Jede Variable ist ein Term. 

• Jede Konstante ist ein Term. 

• Wenn f ein n-stelliges Funktionssymbol ist und 

t 1 , ...,t n Terme sind, dann ist f(t 1 , ...,t n ) Term. 

Terme sind insbesondere Ausdrücke zur Symbolverarbeitung 

durch den Computer und beschreiben Objekte, über 

die Aussagen formuliert werden soll. 



7.1.3 Atomare Sätze 

Atomic sentence = predecate(term 1 , ...,term n ) 

or term 1 = term 2 

Term = function(term 1 ,...,term n ) 

or constant or variable 

E.g., Brother(KingJohn, RichardTheLionheart) 

> (Length(LeftLegOf(Richard)), 

Length(LeftLegOf(KingJohn))) 



7.1.4 Zusammengesetzte Sätze 

Complex sentences are made from atomic sentences 

using connectives 

¬S, S 1 ∧ S 2 , S 1 ∨ S 2 , S 1 ⇒ S 2 , S 1 ⇔ S 2 



7.1.5 Quantoren (1) 

Universelle Quantifizierung ∀ x p(x) 

Zur Repräsentation von natürlichsprachlichen Sätzen, die 

allgemeine regelartige Aussagen machen, kann der Allquantor 

benutzt werden. 

Schreibkonvention: Variable beginnen mit kleinen Buchstaben, 

Konstanten-, Prädikat- und Funktionssymbole 

mit Buchstaben. 

Eine Variable ist selbst ein Term und kann deshalb als Argument 

einer Funktion oder eines Prädikats benutzt werden. 

Ein Term, der keine Variable enthält, heißt Grundterm. 

Existentielle Quantifizierung ∃ x p(x) 

Existentiell quantifizierte Sätze können zur Repräsentation 

natürlichsprachlicher Sätze, die Aussagen über einige 

Objekte aus einer Menge machen, benutzt werden. Der 

logische Satz ∃xP ist wahr, wenn P wahr ist für irgendein 

Objekt aus einem Universum von Objekten. 



Quantoren (2) 

Geschachtelte Quantoren 

Komplexere Sätze werden oft mit mehreren Quantoren 

formuliert. Im einfachsten Fall hat man eine Folge gleichartiger 

Quantoren, also Sätze der Form ∀x 1 ∀x 2 ...∀x n P 

oder ∃x 1 ∃x 2 ...∃x n P. Solche Sätze werden abgekürzend 

geschrieben ∀x 1 , x 2 ,...,x n P bzw. ∃x 1 , x 2 , ...,x n P. 

Kommen Allquantoren und Existenzquantoren gemischt 

vor, dann ist die Reihenfolge wichtig. Eine Vertauschung 

der Reihenfolge verändert die Bedeutung eines Satzes. 



Quantoren und Negation 

Die beiden Quantoren lassen sich mittels Negation ineinander überführen. 

Den De Morganschen Regeln für die Konjunktion und Disjunktion 

entsprechen Regeln für den All- und Existenzquantor: 

∀x¬P ≡ ¬∃xP ¬P ∧ ¬Q ≡ ¬(P ∨ Q) 

¬∀xP ≡ ∃x¬P ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q 

∀xP ≡ ¬∃x¬P P ∧ Q ≡ ¬(¬P ∨ ¬Q) 

∃xP ≡ ¬∀x¬P P ∨ Q ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q) 

Gleichheit 

Zur Bildung von Sätzen in der Logik erster Ordung kann auch das 

Gleichheitszeichen als eine Art spezielles Prädikat verwendet werden. 

Sind t 1 und t 2 Terme, dann ist t 1 = t 2 ein Satz. Er ist wahr, wenn 

t 1 und t 2 unter einer Interpretation auf das gleiche Objekt referieren. 

Die Gleichheit wird also als Identitätsrelation interpretiert. Diese ist 

die zweistellige Relation, in der alle Paare in der ersten und zweiten 

Komponente dasselbe Objekt enthalten. 

Mit Hilfe der Gleichheit und der Negation kann ausgedrückt werden, 

dass zwei Objekt nicht identisch sind. 

Einsetzungsaxiom: 

p(t) ⇒ ∃x p(x) 

Gleichheitsaxiom: 

((t 1 = t ′ 1 ) ∧ (t 2 = t ′ 2 ) ∧ . . . ∧ (t n = t ′ n )) 

⇒ f(t 1 , . . . .t n ) = f(t ′ 1 , . . . , t′ n ) 


7.2 Erweiterungen und notationelle Varianten 10 

7.2 Erweiterungen und notationelle 

Varianten 

7.2.1 Logik höherer Ordnung 

Der Name ” 

Logik erster Ordnung“ kommt daher, dass 

man in dieser Logik nur über Objekte, d.h. über Entitäten 

erster Ordnung in de Welt, quantifizieren kann. In der 

Logik höherer Ordnung wird die Möglichkeit des Quantifizierens 

auf Relationen und Funktionen ausgedehnt. Damit 

lässt sich z.B. ausdrücken, dass zwei Objekte gleich 

sind, wenn sie in aller ihren Eigenschaften übereinstimmen, 

oder dass zwei Funktionen gleich sind, wenn sie für 

alle Argumente denselben Wert haben: 

∀x, y(x = y) ⇔ (∀p p(x) ⇔ p(y)) 

∀f,g(f = g) ⇔ (∀x f(x) = g(x)) 



7.2.2 Der λ-Operator 

Mit Hilfe des λ-Operators ist es möglich, Funktionen und 

Prädikate durch komplexe Ausdrücke statt nur durch 

einfache Symbole zu repräsentieren. Ist exp ein Ausdruck 

der die Variablen x 1 , x 2 ,...,x n enthält und eine 

Funktion auf diesen Variablen darstellt, dann ist 

λx 1 ,x 2 , ...,x n exp, genannt λ-Ausdruck, eine Repräsentation 

der Funktion, die in der gleichen Weise verwendet 

werden kann wie ein Funktionssymbol. 



7.2.3 Eindeutigkeitsoperatoren 

Um auszudrücken, dass es genau ein Objekt mit einer 

bestimmten Eigenschaft gibt, kann man den modifizierten 

Existenzquantor ∃! verwenden. Der Satz ∃!x P(x) 

besagt, dass es genau ein Objekt x mit der Eigenschaft 

P gibt. Er kann durch den Satz 

∃x P(x) ∧ ∀y P(y) ⇒ x = y 

umgeschrieben werden, d.h. der Eideutigkeitsoperator 

vergrößert nicht die Ausdrucksstärke der Logik. 

Mit Hilfe des Jota-Operators kann man ein als eindeutig 

existierend angenommenes und durch eine Eigenschft 

beschriebenes Objekt direkt bezeichnen. Mit dem Jota- 

Operator kann man also aus einem Satz einen Term bilden. 

Ist der Satz ∃!x P(x) gegeben, dann bezeichnet 

ι x P(x) genau das eine Objekt mit der Eigenschaft P. 



7.2.4 Notationelle Varianten 

Als Varianten der hier verwendeten Notationen werden 

in anderen Büchern, insbesondere in anderen Gebieten 

wie Mathematik oder Philosophie, manchmal 

die in der folgenden Tabelle aufgeführt verwendet. 

Operation Hier wen- Alternative Notationen 

wendete 

Notation 

Negation ¬P ∼ P P 

(nicht) 

Konjunktion P ∧ Q P&Q P · Q PQ P, Q 

(und) 

Disjunktion P ∨ Q P | Q P; Q P + Q 

(oder) 

Implikation P ⇒ Q P → Q P ⊃ Q 

(wenn-dann) 

Äquivalenz P ⇔ Q P ≡ Q P ↔ Q 

(genau wenn dann) 

Universelle 

Quantifizierung ∀x P(x) (∀x)P(x) ΛxP(x) P(x) 

(für alle) 

Existenzielle 

Quantifizierung ∃x P(x) (∃x)P(x) V xP(x) 

(es gibt ein) P(Skolem i ) 

Relation R(x, y) (Rxy) Rxy xRy 


7.3 Zwei Anwendungsbereiche für die Logik erster Ordung 14 

7.3 Zwei Anwendungsbereiche für die 

Logik erster Ordung 


7.4 Ein prädikaten-logischer Agent in der WUMPUS-Welt 15 

7.4 Ein prädikaten-logischer Agent in 

der WUMPUS-Welt 

7.4.1 Eine Schnittstelle zwischen Umgebung 

und Agent 

• Wissensrepräsentationssprache: 

Prädikatenlogik (1. Ordnung) 

• Allgemeines Programm: (s.o. Fig. 6.1) 

A generic knowledge-based agent: [Fig. 7.2] 

function KB-AGENT(percept) returns an action 

static: KB, a knowledge base 

t, a counter, initially 0, indicating time 

TELL(KB,MAKE-PERCEPT-SENTENCE(percept,t)) 

action ASK(KB,MAKE-ACTION-QUERY(t)) 

TELL(KB,MAKE-ACTION-SENTENCE(t,action)) 

t ←− t + 1 

return action 

• Typischer Wahrnehmungs-Satz: 

Percept([Stench,Breeze,Glitter,None,None],5) 

5 = Zeitindex 

• Typischer Aktions-Frage-Satz: 

∃a Action(a,5) 

ASK gibt Liste zurück für (beste) Aktion(en): 

z.B. a/Grab 



Architekturen von Agenten 

(1) Reflex-Agenten 

Aktionen werden nur aus Wahrnehmungen abgeleitet. 

(2) Modell-gesteuerte Agenten 

Agent konstruiert und aktualisiert ein internes Modell 

der Welt und leitet daraus (kausal) Aktionen ab. 

(3) Ziel-gesteuerte Agenten 

Agent formuliert ein Ziel und sucht es zu finden. 



Beispiel: 

7.4.2 Einfacher Reflex-Agent (1) 

∀ s,b,u, c,t Percept([s,b,Glitter, u, c],t) 

⇒ Action(Grab, t) 

o d e r 

. 

∀ s,b,u, c,t Percept([s,b,Glitter, u, c],t) 

⇒ AtGold(t) 

. 

∀ t AtGold(t) ⇒ Action(Grab, t) 

Die direkte Verknüpfung von Wahrnehmung und Aktion 

sollte aufgelöst werden in: 

– Wahrnehmung führt zu inneren Zuständen 

– von inneren Zuständen werden Aktionen abgeleitet 

Zerlegung notwendig bei sehr komplexen Wahrnehmungen, 

z.B. über Bilder (Computer Vision) 



Einfacher Reflex-Agent (2) 

Probleme des Reflex-Agenten: 

• Nicht vollständig (logisch) entscheidbar: 

z.B. Wann ’climb’? 

Er weiß nicht, ob er Gold hat 

und ob er im Startkästchen ist. 

−→ nur darstellbar im Weltmodell, da keine 

Perzeption dafür existiert! 

• Gefahr von unendlichen Zyklen, da ein erreichter Perzeptionszustand 

bereits einmal vorkam und dann auch 

gleiche Aktion folgt. 

−→ nur durch Randonisierung vermeidbar, 

aber auf Kosten der Effizienz 


7.5 Repräsentation der Veränderungen in der Welt 19 

7.5 Repräsentation der Veränderungen 

in der Welt 

(1) Speichern der Wahrnehmungsfolge 

(Vergangenheit) 

−→ mühevolles Schließen 

(2) Konstruktion eines Modells der Welt und aktualisieren 

des Modells (diachronische Regeln) 

−→ Vergangenheit vergessen 

(1) in (2) überführbar 

(3) Situationen (zeitabhängige Modelle) 

• Speicherung einer Folge von Modellen 

−→ Vergangenheit (in Grenzen) aufbewahren. 

−→ Umschaltung, nicht gleichzeitig 

• Situationskalkül 

ein zeitabhängiges Modell 



7.5.1 Der Situtationskalkül 

In situation calculus, the world is a sequence of situations linked by actions: [Fig. 7.3] 

PIT 

Gold 

PIT 

PIT 

PIT 

PIT 

S 3 

Gold 

Forward 

PIT 

PIT 

PIT 

S 

2 

Gold 

PIT 

PIT 

Turn (Right) 

Gold 

PIT 

S 

1 

Forward 

PIT 

S 

0 



Situations-Kalkül 

• Statt Prädikat At(Agent, location): 

At(Agent, [1,1],S 0 ) 

nur bei veränderlichen Prädikaten notwendig! 

• Verfolgung der Situation mit einer Funktion: 

Result(Forward,S 0 ) = S 1 

Result(Turn(Right),S 1 ) = S 2 

Result(Forward,S 2 ) = S 3 

allgemein: 

Result(action, S i ) = S j 



Effect-Axiome 

beschreiben Veränderungen der Welt 

∀ x, s Holding (x, Result(Grab, s)) 

∀ x, s ¬Holding (x, Result(Release, s)) 

allgemein: 

∀ x, s Pred(x, Result(action, s)) 

Frame-Axiome 

beschreiben das Erhaltenbleiben der Welt 

∀ a, x, s Holding (x, s) ∧ (a ≠ Release) ⇒ 

Holding (x, Result(a, s)) 

Successor-State-Axiome 

Kombination von Effekt- und Frame-Axiomen 

∀ a, x, s Holding (x, Result(a, s)) ⇔ [(a = Grab ∧ 

Present(x, s) ∧ Portable(x)) 

∨ (Holding (x, s) ∧ a ≠ Release)] 

allgemein: 

true afterwards ⇔ [an action made it true ∨ 

true already and no action 

made it false] 



7.5.2 Wegverfolgung (z.B. WUMPUS-Welt) 

Der Agent benötigt folgendes Wissen (1): 

• Die Richtung, in die er blickt. Sie wird durch einen 

Winkel in Graden angegeben, die x-Achse hat den 

Winkel 0, die y-Achse den Winkel 90 usw. Blickt der 

Agent am Anfang am Anfang nach Osten, d.h. in 

Richtung der x-Achse, dann heißt die anfangssituation 

Orientation(Agent, S 0 ) = 0 

• Die Anordnung von Orten, d.h. eine einfache 

Landkarte. Diese Landkarte besteht aus den Werden 

der Funktion OrtInRichtung, die aus einer Ortsangabe 

und einer Richtung die Ortsangabe für einen 

Ort erzeugt, der einen Schritt vorwärts in der angegebenen 

Richtung liegt. Für einen Ort (Quadrat) mit 

den Koordinaten x und y liefert die Funktion für die 

vier Himmelsrichtungen folgende Werte: 

∀ x, y LocationToward ([x,y], 90) = [x, y + 1] 




• Damit lässt sich formulieren, welcher Ort vor einem 

Agnten p liegt, der sich in Situation s am Ort l befindet: 

∀p,l, sAt(p,l, s) ⇒ LocationsAhead(p, s) = 

LocationToward(l, Orientation(p, s)) 

• Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Orten kann 

man ebenfalls mit der Funktion definieren: 

∀ l 1 , l 2 Adjacent(l 1 , l 2 ) ⇔ ∃ d l 1 = 

LocationToward(l 2 ,d) 

• Informationen über den Inhalt von Orten. Es 

wird angenommen, dass auf den Quadraten des 4×4- 

Gitters sich keine Wände befinden, aber auf allen diese 

umgebenden Quadraten. 

∀x, yWall([x, y]) ⇔ (x = 0 ∨ x = 5 ∨ y = 

5 ∨ y = 0) 




• Wissen über Ortsveränderungen des Agenten. 

Die Ortsbefindlichkeit ist also zeitabhängig, deshalb 

wird für das Prädikat An ein Folgezustandsaxiom benötigt. 

∀a,d,p,sAt(p,l, Result(a, s)) ⇔ [(a = 

Forward ∧ l = LocationsAhead(p, s) ∧ 

¬Wall(l)) ∨ (At(p,l, s) ∧ a ≠ Forward)] 

• Wissen über Richtungsveränderungen des 

Agenten. Die Orientierung ist also zeitabhängig, 

deshalb wird für die Funktion Orientierung ein Folgezustandsaxiom 

benötigt. 

∀a,d,p,sOrientation(p, Result(a, s)) = d ⇔ 

[(a = Turn(Right) ∧ d = 

Mod(Orientation(p, s) − 90,360))∨ 

(a = Turn(Left) ∧ d = 

Mod(Orientation(p, s) + 90,360)) ∨ 

(Orientation(p, s) = d∧ 

¬(a = Turn(Left) ∨ (a = Turn(Right)))] 


7.6 Entdeckung verborgener Eigenschaften in der Welt 26 

7.6 Entdeckung verborgener 

Eigenschaften in der Welt 

Orten können Eigenschaften zugeordnet werden, die z.B. 

aus Wahrnehmungen abgeleite werden. 

• z.B. Feststellung, daß ein Feld ’windig’ ist: 

∀l,sAt(Agent, l, s) ∧ Breeze(s) ⇒ Breezy(l) 

s ... Situation 

l ... Ort 

−→ Wahrnehmung des Agenten → Eigenschaften eines 

Teiles der Welt 

• Gleichzeitig, 

daraus ableitbar, daß Nachbarfelder nicht OK sind 

Sichere Orte, d.h. solche, an denen sich weder das Wumpus 

noch Fallgruben befinden, werden durch Prädikat 

OK gekennzeichnet. Zur Ableitung von Wissen über sichere 

Orte aus den Wahrnehmungen bzw. Eigenschaften 

von Orten und dem Wissen ober das Wumpus, die Fallgruben 

und lokale Beziehungen werden Axiome formuliert, 

die ” 

synchrone Regeln “ heißen, weil sie verschiedene 

Eigenschaften desselben Weltzustandes zueinander 

in Beziehung setzen. 


7.6 Entdeckung verborgener Eigenschaften in der Welt 27 

Arten von Synchron-Regeln: 

• Kausale Regeln: 

Kausale Regeln geben die Richtung einer angenommenen 

Kausalität in der Welt wieder. Es wird angenommen, 

dass irgendwelche verborgenen Eigenschaften 

die wahrgenommenen Erscheinungen verursachen. 

∀l 1 ,l 2 ,sAt(Wumpus,l 1 ,s) 

∧Adjacent(l 1 ,l 2 ) ⇒ Smelly(l 2 ) 

Ursache ⇒ Wirkung 

−→ model-based-reasoning! 

• Diagnostische Regeln: 

Diagnostische Regeln leiten das Vorhandensein verborgener 

Eigensachften direkt aus den Wahrnehmungen 

ab. Beispiele sind die bereits oben aufgeführtenbeiden 

Regeln. 

∀ l, s At(Agent, l, s) ∧ Breeze (s) ⇒ Breezy (l) 

Wahrnehmung ⇒ Weltzustand 


7.7 Rangfolge von Aktionen 28 

7.7 Rangfolge von Aktionen 

ZIEL: 

7.7.1 Präferenz zwischen Aktionen 

Beste Handlung (Optimierung) 

ACTION-VALUE-SYSTEM: 

Bewertungen: Great, Good, Medium, Risky, Deadly 

AUSWAHLAXIOM: 

∀a, s Great(a, s) ⇒ Action(a, s) 

∀a, s Good(a, s) ∧ (¬ ∃bGreat(b, s)) ⇒ Action(a, s) 

∀a, s Medium(a, s) ∧ (¬ ∃bGreat(b, s) ∨ Good(b, s)) 

⇒ Action(a, s) 

∀a, s Risky (a, s) ∧ (¬ ∃bGreat(b, s) ∨ Good(b, s) 

∨ Medium(b, s)) ⇒ Action(a, s) 

IN WUMPUS-WORLD: 

Great: 

Good: 

Gold nehmen und aussteigen 

Gehen nach OK und noch nicht untersucht 

(z.B. (1, 1) → (1, 2)) 

Medium: Gehen nach OK und bereits untersucht 

(z.B. (2, 1) → (1, 1)) 

Risky: 

Gehen nach Kästchen, wo keine Gefahr bekannt 

(z.B. (3, 2) → (4, 2)) 



7.7.2 Ziele und Aktionsfolgen 

In WUMPUS-Welt 2 Politiken (nacheinander ausführen) 

(1) Finden des Goldes, 

realisierbar durch action-value-System 

(2) Aussteigen mit dem Gold, 

so schnell wie möglich: 

∀s Holding (Gold, s) ⇒ GoalLocation([1, 1],s) 

(Explizites Ziel! → Ermittlung einer Handlungsfolge) 



Zur Bestimmung einer Aktionsfolge gibt es mindestens 

drei verschiedene Möglichkeiten: 

• SCHLIESSEN: (ASK nach sicherem Rückweg) 

mühevoll bei großen Welten, schwierig für Optimierung 

(Rückweg ist ein komplexer Satz) 

• SUCHE: 

Transformation in Zustandsraum 

(KB → Handlungsfolge 

→ Zustandsraum) 

• PLANUNG: 

spezielles Schlußfolgerungssystem (Kapitel 11)

7 Logik erster Ordnung - BIOTEC

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