Formelsammlung Vermessungskunde 1&2 Semester

FORMELSAMMLUNG VERMESSUNGSKUNDE I & II 

Wilfried Korth 

Stand: 25. Juni 2004 

1 Grundlagen/Koordinatenrechnungen 

Umrechnungen von Winkeln W : 

• Sexagesimal in Dezimalgrad: W ◦ [dezimal]= W ◦ + W ′ /60 + W ′′ /3600 

• Dezimalgrad in sexagesimal: W ◦ = int(W ◦ [dezimal]) 

W ′ = int(W ◦ [dezimal]−int(W ◦ [dezimal])·60) 

W ′′ =(W ◦ [dezimal]−int(W ◦ [dezimal])−W ′ · 60) · 3600 

• GoninGrad: 

W ◦ [dezimal]= W [gon]·9/10 

• Grad in Gon: W [gon]= W ◦ [dezimal]·10/9 =(W ◦ + W ′ /60 + W ′′ /3600) · 10/9 

• Bogenmaß in Gon: 

W [gon]= W [rad]·200/π = W [rad]·ρ[gon] 

• Bogenmaß in Grad: W ◦ = W [rad]·180/π = W [rad]·ρ ◦ 

• GoninBogenmaß: 

W [rad]= W [gon]·π/200 = W [gon]/ρ[gon] 

• Grad in Bogenmaß: W [rad]= W ◦ · π/180 = W ◦ /ρ ◦ 

Mit den Konstanten: 

• ρ[gon]= 63,66197723676 

• ρ ◦ = 57,29577951308 

1.1 Messbandmessung 

• Bandkorrektion 

gesucht: korrigierte Streckenlänge l 0 bzw. Bandkorrektion k E 

( 

l 0 = l 1+ dL ) 

= l · M = l + k E mit k E = l · dL L 

L 

• Temperaturkorrektion 

Für Stahl ist der Ausdehnungskoeffizient α =0,0115 10 −3 m/K 

gesucht: korrigierte Streckenlänge l 1 bzw. Temperaturkorrektion k T 

l 1 = l 0 (1 + α · (t − 20 ◦ C)) = l 0 + k T mit k T = l 0 · α · (t − 20 ◦ C) 

• Korrektion wegen Durchhang 

gesucht: korrigierte Streckenlänge l 2 bzw. Korrektion wegen Durchhang k D 

l 2 = l 1 + k D 

k D ≈− 8d2 

3l 1

1 GRUNDLAGEN/KOORDINATENRECHNUNGEN 2 

• Reduktion auf die Horizontale 

gesucht: korrigierte Streckenlänge l 3 bzw. Korrektion wegen Neigung k N 

l 3 = l 2 cos β = 

√ 

l2 2 − ∆H2 = l 2 + k N k N = l 2 (cos β − 1) = 

√ 

l2 2 − ∆H2 − l 2 

• Projektionsverzerrung 

Da die Streckenmessungen auf der Erdoberfläche durchgeführt werden, müssen die Verzerrungen 

der Strecken in der Abbildungsebene berücksichtigt werden. Als Abbildugen 

treten z.B. die Gauß-Krüger-Abbildung oder die Soldner-Abbildung auf. 

gesucht: korrigierte Streckenlänge l 5 bzw. Abbildungskorrektion k A 

l 5 = l 4 + k A 

ym 

2 k A;Gauß−Krüger = l 4 

2R 2 

Erdradius ≈ 6370km 

k A;Soldner = l 4 

y 2 m 

2R 2 cos t 

1.2 Orthogonalaufnahme; Kleinpunktberechnung 

X 

t AE 

F 

SFP 

S AF S FE 

P 

E 

gegeben: 

gemessen: 

gesucht: 

Koordinaten von A und E 

Strecken s AF , s FE und s FP 

Koordinaten des Punktes P 

A 

Y 

X P = X A + a · s AF − o · s FP 

Y P = Y A + o · s AF + a · s FP 

S AE 

S AE 

o = − sin(t AE ) 

a =+cos(t AE ) 

s AF + s FE s AF + s FE 

1.3 Koordinatentransformationen 

X 

X' 

 

B 

gegeben: 

Koordinaten von A und B in beiden Systemen 

Koordinaten von P im System (X ′ ; Y ′ ) 

dX 

dY 

A 

P 

gesucht: 

Koordinaten von P im System (X; Y ) 

Transformationsparameter α, M, dX und dY 

Grundgleichungen (vgl. Kleinpunktberechnung): 

Y' 

Y 

X i = dX + M · cos(α)X ′ i − M · sin(α)Y ′ 

i 

Y i = dY + M · sin(α)X ′ i + M · cos(α)Y ′ 

i 

Formelsammlung für das 1.&2. Semester (Stand: 25. Juni 2004)

2 FEHLERLEHRE 3 

Transformationsparameter (eindeutige Lösung über 2 Punkte): 

M = 

√ 

∆XAB 2 +∆Y AB 

2 √ 

∆X 

AB ′2 +∆Y 

′2 

AB 

= S AB 

S ′ AB 

α =arctan ∆Y AB 

∆X AB 

− arctan ∆Y ′ AB 

∆X ′ AB 

dX = X A − M · cos(α)X ′ A + M · sin(α)Y ′ A 

dY = Y A − M · sin(α)X ′ A − M · cos(α)Y ′ A 

2 Fehlerlehre 

2.1 Streuungsmaße 

• Standardabweichung: 

aus wahren Fehlern 

σ x = √ 1 n∑ 

ε 

n 

2 = 

i=1 

√ 

[εε] 

n 

und aus scheinbaren Verbesserungen 

√ 

s x = √ 1 n∑ 

v 

n − 1 

2 [vv] 

= 

n − 1 

i=1 

• Varianz 

s 2 x = E(x2 ) − E(x) 2 = E 

( 

(x − E(x)) 2) = E(ε 2 ) 

2.2 Fehlergrenzen und Vertrauensbereich 

• Der Vertrauensbereich überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit P (von z.B. 95%) den 

wahren Wert. 

Oder: ” 

Der wahre Wert liegt mit der Wahrscheinlichkeit P zwischen der unteren C u und 

oberen Grenze C o des Vertrauensbereiches“ 

• Quantilen der Normalverteilung: 

statistische Sicherheit S 50 68,3 90 95 95,45 99 99,73 

Quantil u S 0,68 1,00 1,64 1,96 2,00 2,58 3,00 

• Auswahl von Quantilen der t-Verteilung: 

statistische Sicherheit S 68,3 90 95 98 99 99,9 

n =2; f =1 1,84 6,31 12,71 31,80 63,66 636,62 

n =3; f =2 1,32 2,92 4,30 6,96 9,92 31,60 

n =4; f =3 1,20 2,35 3,18 4,54 5,84 12,94 

n =6; f =5 1,11 2,02 2,57 3,36 4,03 6,86 

n =11; f =10 1,05 1,81 2,23 2,76 3,17 4,58 

n =21; f =20 1,02 1,72 2,09 2,53 2,85 3,85 

n =31; f =30 1,02 1,70 2,04 2,46 2,75 3,65 

n = ∞; f = ∞ 1,00 1,64 1,96 2,33 2,58 3,29 

(f ist Anzahl der überschüssigen Beobachtungen =⇒ Freiheitsgrad) 



2.3 Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen 

s 2 F = f 2 1 s 2 x 1 

+ f 2 2 s 2 x 2 

+ ···+ f 2 ns 2 x n 

2.4 Gewichte 

• Das Gewicht ist eine (fingierte) Wiederholungszahl. Es ist folgendermaßen definiert: 

p i = s2 0 

s 2 i 

• s i ist die Standardabweichung der Messgröße x i 

• s 0 ist die Standardabweichung einer (fiktiven) Messgröße mit dem Gewicht p 0 =1 

(sog. Gewichtseinheit) 

2.5 Ausgleichung direkter Beobachtungen 

• Direkte Beobachtungen liegen vor, wenn die geleiche Größe mehrfach gemessen (beobachtet) 

wird. 

• Gleiche Genauigkeit =⇒ Zufallsveränderliche (Messungen) weisen gleiche Varianzen auf 

Ungleiche Genauigkeiten =⇒ Zufallsveränderliche (Messungen) weisen unterschiedliche 

Varianzen auf 

• Ausgleichung: einfaches bzw. gewogenes arithmetische Mittel x als Schätzwert für den 

Erwartungswert aus n unabhängigen Beobachtungen l i . 

einfaches arithmetisches Mittel gewogenes arithmetisches Mittel 

∑ ni=1 ∑ 

l ni=1 i 

(l i − x 0 ) 

x = = x 0 + 

n 

n 

x = 

∑ ni=1 

p i l i 

∑ ni=1 

p i 

= x 0 + 

∑ ni=1 

p i (l i − x 0 ) 

∑ ni=1 

p i 

x 0 

l i 

p i 

n 

frei wählbarer Näherungswert 

Beobachtung i 

Gewicht der Beobachtung i 

Anzahl der Beobachtungen 

• Standardabweichung einer Beobachtung: 

mit den Kontrollen: 

√ 

[vv] 

s x = 

n − 1 

mit v i = x − l i =(x − x 0 ) − (l i − x 0 ) 

[v] =0 

[vv] =[ll] − [l]2 

n 

• Standardabweichung für das arithmetische Mittel: 

s x = s 0 

√ n 



• Standardabweichung einer Beobachtung mit dem Gewicht p =1bei ungleicher Genauigkeit: 

√ 

[pvv] 

s 0 = 

mit v i = x − l i =(x − x 0 ) − (l i − x 0 ) 

n − 1 

und mit der Kontrolle: 

n∑ 

n∑ 

[pv] = p i · x − p i l i =0 

• Standardabweichung für das allgemeine arithmetische Mittel: 

i=1 

i=1 

s x = s 0 

√ 

[p] 

• Standardabweichung einer Einzelbeobachtung mit dem Gewicht p i : 

s xi = s 0 

√ 

pi 

2.6 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen; Doppelmessungen 

• Standardabweichung eines Messwertes: 

s = 

√ 

[dd] 

2n 

bzw. für ungleichgewichtige Messungen s 0 = 

√ 

[pdd] 

2n 

s i = s 0 

√ 

pi 

• Standardabweichung für den Mittelwert aus den zusammengehörigen Einzelmessungen: 

s = 

s √ 

2 

• Wenn die Messungen einen konstanten (systematischen) Fehleranteil beinhalten, können 

die Formeln für Doppelmessungen nicht verwendet werden (Erwartungswert nicht Null!). 

• Kriterium für die Möglichkeit des Vorhandenseins eines konstanten Anteils: 

a) gleichgewichtige Messungen: 

d ≥ s d 

=⇒ [d] 2 ≥ [dd] 

b) ungleichgewichtige Messungen: 

d ≥ s d 

=⇒ 

n · [pd] 2 

[p] 

≥ [pdd] 


3 ABSTECKUNG VON KREISBÖGEN (KLEINE RADIEN) 6 

3 Absteckung von Kreisbögen (kleine Radien) 

A 

s/2 

r 

F 

h 

T 

/2 

 

 

S 

h 

s/2 s/2 

H 

/2 

 

M 

r 

t 

E 

Abb.: Geometrische Elemente 

des Kreisbogens 

A = Bogenanfang 

S = Scheitel, Bogenmitte 

E = Bogenende 

M = Kreismittelpunkt 

T = Tangentenschnittpunkt 

H = Sehnenmittelpunkt 

r = Radius 

t = Tangente 

s = Sehne 

m = Scheitelabstand 

h = Pfeilhöhe, Scheitelordinate 

β = Tangentenschnittwinkel 

3.1 Grundgleichungen für die Hauptpunkte eines Kreisbogens 

Zentriwinkel α = 200 gon−β 

Tangente TA = t = r · tan α/2 

Sehne AE = s =2· r · sin α/2 

Scheitelabstand TS = 

( ) 

1 

m = TM − r = r · 

cos α/2 − 1 

Scheitelabzisse AF = AH =1/2 · AE = s/2 =r · sin α/2 

Scheitelordinate SF = Pfeilhöhe SH = h = r · (1 − cos α/2) 

Bogen ASE = b = r · π·α[gon] 

200[gon] = r · α[gon] 

ρ[gon] 

3.2 Absteckung von Zwischenpunkten auf dem Kreis 

A) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich der Tangente 

• gegeben: Hauptpunkte/-elemente des Kreisbogens 

→ Koordinatenrechnung: 


3 ABSTECKUNG VON KREISBÖGEN (KLEINE RADIEN) 7 

x 

Y K K 

Kreisgleichung für M{0, 0}: 

x 2 + y 2 = r 2 

Kreisgleichung für M{a, b}: 

X 

(x − a) 2 +(y − b) 2 = r 2 

Berechnung der Ordinaten y bei vorgegebenen 

Abzissen x (vgl. Abb.) 

A 

b 

r 

y 

( ) b 

x K = r ·sin 

r 

y = r − √ r 2 − x 2 

√ 

; y K = r − r 2 − x 2 K 

B) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich der Tangente mit fester Bogenlänge b zwischen 

den Kreispunkten 


x 

Y 

X 3 

3 

Y 

X 2 

2 

Y 1 

X 1 

26 

6 

s 

A 

s 

26 

26 

r 

r 

s 

M 

r 

6 

6 

y 

ω = b 

2r 

x 1 = s · cos ω 

x 2 = x 1 + s · cos(3ω) 

x 3 = x 2 + s · cos(5ω) 

. 

; s =2r sin ω 

y 1 = s · sin ω 

y 2 = y 1 + s · sin(3ω) 

y 3 = y 2 + s · sin(5ω) 

. 

C) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich einer Sehne 


x 

X K 

K 

x K = r · [cos(ω − α/2) − cos α/2] 

y K = r · [sin(ω − α/2) − sin α/2] 

r 

/2 

6 

r 

Y K 

y 

Der Winkel ω ergibt sich aus einer 

vorgegebenen Bogenlänge zwischen den 

abzusteckenden Kreisbogenpunkten 

r 

M 

 

∆ω = b/r 


4 FLÄCHENBERECHNUNGEN 8 

4 Flächenberechnungen 

a) Berechnung über Messungselemente 

Flächen werden auf Dreiecke oder Trapeze zurückgeführt; Anwendung der bekannten 

Flächenberechnungsformeln 

g 

h 

g 

h 

Dreieck: 

F = 1 2 g · h 

g 

h 1 

h 2 

h 2 

a 

g=a+b 

b 

h 1 

h 2 

h 1 

-h 2 

Trapez: 

Flächenformel nach Heron für Dreiecke (alle drei Seiten gemessen): 

F = 

√ 

s(s − a)(s − b)(s − c), mit s = a + b + c 

2 

F = 1 2 g · (h 1 + h 2 ) 

verschränktes Trapez: 

F = 1 2 g · (h 1 − h 2 ) 

b) Berechnung über Koordinaten (Gauß’sche Flächenformeln) 

Nummerierung der Eckpunkte einer Fläche aufeinanderfolgend und rechtsläufig (bei 

rechtsläufigem Koordinatensystem) 

Vereinbarung: Punkt (n +1)=Punkt 1 (Wiederholung) 

F = 1 n∑ 

(x i − x i+1 ) · (y i + y i+1 )= 1 n∑ 

(x i + x i+1 ) · (y i+1 − y i ) 

2 

2 

i=1 

i=1 

F = 1 n∑ 

x i · (y i+1 − y i−1 )= 1 n∑ 

y i · (x i−1 − x i+1 ) 

2 

2 

i=1 

i=1 


5 HÖHENMESSUNGEN 9 

5 Höhenmessungen 

5.1 Arten von Höhen 

P 

orthometrische Höhe: 

Höhe über dem Geoid 

in Ruhe befindlicher 

Meeresspiegel 

H orth 

Erdoberfläche 

Geoid 

normalorthometrische Höhe: 

Höhe über dem Geoid mit zusätzlichen 

Annahmen 

Das Geoid ist eine Niveaufläche des Schwerefeldes der Erde. 

P 

Meeresspiegel 

H n 


Quasigeoid 

Normalhöhe: Höhe über dem Quasigeoid 

Geoid 

(Referenz-) E lipsoid 

Das Quasigeoid ist eine hypothesenfrei bestimmbare Bezugsfläche. 

Es ist keine Niveaufläche (sondern eine exakte Rechenfläche, 

geglättetes Geoid“). 

” 

P 

Meeresspiegel 

H ell 


Quasigeoid 

ellipsoidische Höhe: 

Höhe über dem Bezugsellipsoid 

Das Ellipsoid ist keine Niveaufläche! 

(Referenz-) E lipsoid 

5.2 Geometrisches Nivellement 

∆h = R − V H B = H A +∆h = H A + R − V bzw. H B = H A +(ΣR i − ΣV i ) 

• Erdkrümmung 

• Refraktion (gekrümmter Lichtweg) 

d E = s2 i 

2R 

d R = s2 i 

2r = k · s2 1 

2R 

5.3 Prüfung von Nivellierinstrumenten 

a ∗ 1 , b∗ 1 , a∗ 2 und b∗ 2 sind die fehlerfreien ” Sollablesungen“ 

a 1 , b 1 , a 2 und b 2 sind die fehlerbehafteten Ablesungen 



I: ” 

Aus der Mitte“ (Näherungsverfahren) 

ca. 2 m 

2 

 

S 2 

a 2 

a 1 

h+b 2 

 

 

S 1 

 

 

b 1 

b 2 

B 

h 

A 

ca. 30...40 m 

∆h 1 = a 1 − b 1 ∆h 2 = a 2 − b 2 

∆h 1 =(a ∗ 1 +∆)− (b∗ 1 +∆) 

∆h 1 = a ∗ 1 − b∗ 1 ∆h 2 =(a ∗ 2 +2∆)− b∗ 2 ∆h 2 − ∆h 1 =2∆ 

Sollwert für a 2 : a ∗ 2 = b 2 +∆h 1 

II: Verfahren nach ” 

Kukkamäkie“ 

4 

2 

 

S 2 

 

 

S 1 

 

 

a 2 

a 1 

b 1 

b 2 

B 

h 

A 

ca. 10 m 

ca. 10 m 

ca. 20 m 

∆h 1 = a 1 − b 1 ∆h 2 = a 2 − b 2 

∆h 1 =(a ∗ 1 +∆)− (b∗ 1 +∆) 

∆h 1 = a ∗ 1 − b∗ 1 ∆h 2 =(a ∗ 2 +4∆)− (b∗ 2 +2∆) ∆h 2 − ∆h 1 =2∆ 

Sollwert für a 2 : 

Sollwert für b 2 : 

a ∗ 2 = a 2 − 4∆ 

b ∗ 2 = b 2 − 2∆ 

III: Verfahren nach ” 

Näbauer“ 

2 

 

 

S 2 

a 2 

S 1 

 

 

2 

b 1 

b 2 

a 1 

B 

h 

A 

ca. 15 m 

ca. 15 m 

ca. 15 m 

∆h 1 = a 1 − b 1 ∆h 2 = a 2 − b 2 

∆h 1 =(a ∗ 1 +∆)− (b∗ 1 +2∆) ∆h 2 =(a ∗ 2 +2∆)− (b∗ 2 +∆) 

∆h 1 = a ∗ 1 − b∗ 1 − ∆ ∆h 2 = a ∗ 2 − b∗ 2 +∆ ∆h 2 − ∆h 1 =2∆ 

Sollwert für a 1 : a ∗ 1 = a 1 − ∆ 

Sollwert für b 1 : b ∗ 1 = b 1 − 2∆ 

Sollwert für a 2 : a ∗ 2 = a 2 − 2∆ 

Sollwert für b 2 : b ∗ 2 = b 2 − ∆ 


1 

b 2 


IV: Verfahren nach ” 

Förstner“ 

a 2 

2 

 

S 2 

 

 

 

 

S 1 

 

2 

a 1 

h 

B 

A 

ca. 15 m 

ca. 15 m 

ca. 15 m 

∆h 1 = a 1 − b 1 ∆h 2 = a 2 − b 2 

∆h 1 =(a ∗ 1 +∆)− (b∗ 1 +2∆) ∆h 2 =(a ∗ 2 +2∆)− (b∗ 2 +∆) 

∆h 1 = a ∗ 1 − b∗ 1 − ∆ ∆h 2 = a ∗ 2 − b∗ 2 +∆ ∆h 2 − ∆h 1 =2∆ 

Sollwert für a 1 : a ∗ 1 = a 1 − ∆ 

Sollwert für b 1 : b ∗ 1 = b 1 − 2∆ 

Sollwert für a 2 : a ∗ 2 = a 2 − 2∆ 

Sollwert für b 2 : b ∗ 2 = b 2 − ∆ 

Berechnung der Neigung der Ziellinie aus den Lattenablesungen: 

tan α = 

bzw. 

α = 

∆∗ρ 

Strecke 

∆ 

Strecke 

mit ρ =63, 6620 gon 

5.4 Genauigkeit des Nivellements 

• 

• Standardabweichung für 1 km Nivellement 

√ 

s L = s Niv/1 km · L[km] 

– aus den Differenzen d i zwischen Hin- und Rückweg der n Einzelstrecken mit den 

Streckenlängen R i √ [ ] 

1 dd 

s Niv/1 km = 

2n R[km] 

– aus den Widersprüchen w i beim Anschluss an zwei (fehlerfreie) Festpunkte oder 

bei geschlossenen Nivellementsschleifen 

s Niv/1 km = 

√ 

1 

[ ww 

] 

2n L[km] 

• Standardabweichung für 1 km Doppelnivellement (Mittel aus Hin- und Rückweg): 

s DNiv/1 km = s Niv/1 km 

√ 

2 


6 FEHLERLEHRE II 12 

II. Semester 

6 Fehlerlehre II 

6.1 Linearisierung nichtlinearer Funktionen 

( ( ∂F(xi ) 

∂F(xi ) 

F (x i )=F (x i ) 0 + 

dx 1 + ··· 

dx n + Glieder höherer Ordnung 

∂x 1 

)0 

∂x n 

)0 

Anstelle der Differentialquotienten können auch Differenzenquotienten genutzt werden: 

( ) 

∂F(xi ) 

∂x j 

0 

= 

( ) 

F (xi + dx j ) − F (x i ) 

dx j 

0 

6.2 Varianzfortpflanzungsgesetz in allgemeiner Form 

Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen korrelierter Zufallsvariablen: 

s 2 F = f 1 2s2 x 1 

+ 2f 1 f 2 cov(x 1 ,x 2 ) +···+ 2f 1 f n cov(x 1 ,x n )+ 

f2 2s2 x 2 

+ ···+ 2f 2 f n cov(x 2 ,x n )+ 

. 

f 2 n s2 x n 

Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen: 

s 2 F = f 2 1 s2 x 1 

+ f 2 2 s2 x 2 

+ ···+ f 2 n s2 x n 

Nichtlineare Funktionen von Zufallsvariablen werden durch Taylorentwicklung linearisiert: 

s 2 F = 

( ) ∂F(xi ) 2 ( ) 

s 2 ∂F(xi ) 2 

x 

∂x 1 

+ 

s 2 x 

1 ∂x 2 

+ ···+ 

2 

( ) ∂F(xi ) 2 

s 2 x n 

∂x n 

6.3 Ausgleichung bei nur einer Summenbedingung 

Ist S der Sollwert und [L] die Summe der Ergebnisse der n die Summe bildenden Messungen, 

so wird der Widerspruch w =[L] − S proportional zu den reziproken Gewichten 1/p i auf die 

Einzelmessungen verteilt. Bei gleichgewichtigen Messungen ergibt dies eine Gleichverteilung. 

Die Standardabweichung der Gewichtseinheit, die einer ursprünglichen Einzelmessung L i und 

die einer ausgeglichenen Messung x i ergeben sich wie folgt: 

ŝ 0 = 

√ w 

√ 

ŝ i = √ ŝ0 ŝ xi = √ ŝ0 1 − 1/p i 

[1/p] pi pi [1/p] 

Bei gleichgewichtigen Messungen vereinfachen sich die Formeln entsprechend: 

ŝ 0 = s i = w √ n 

ŝ xi =ŝ i 

√ 

1 − 1 n 


8 THEODOLIT & WINKELMESSUNG 13 

7 Volumenbestimmungen 

7.1 Volumenbestimmungen aus Profilen 

V = F 1 + F 2 

2 

l 1 + F 2 + F 3 

2 

Querschnittsflächen aus Koordinaten und Höhen: 

(Gaußsche Flächenformel; Fläche aus Koordinaten) 

l 2 + ...+ F n−1 + F n 

l n−1 

2 

F = 1 2 [(s 1 − s 2 )(H 1 + H 2 )+(s 2 − s 3 )(H 2 + H 3 )+···+(s n − s 1 )(H n + H 1 )] 

7.2 Volumenbestimmungen aus Flächennivellements 

Volumen von Prismen (Ebenen als Deckflächen): 

Volumen eines dreieckigen Prismas 

V = F Dreieck 

h 1 + h 2 + h 3 

3 

Volumen eines viereckigen Prismas 

V = F V iereck 

h 1 + h 2 + h 3 + h 4 

4 

Grundflächenberechnung mit der Gaußschen Flächenformel: 

F = 1 2 [(X 1 − X 2 )(Y 1 + Y 2 )+(X 2 − X 3 )(Y 2 + Y 3 )+...+(X n − X 1 )(Y n + Y 1 )] 

Flächenberechnung aus Polarkoordinaten: 

F = 1 n∑ 

s i−1 s i sin(α i − α i−1 ) 

2 

i=1 

8 Theodolit & Winkelmessung 

ACHSENFEHLER 

• Zielachsenfehler k c = c 

cos β 

• Kippachsenfehler k i = i · tan β 

• Stehachsenschiefe k v = v · tan β · sin u ′ 

Reihenfolge der Untersuchung/Justierung: 

- exaktes Lotrechtstellen des Instrumentes (Justierung 

der Libellen) 

- Bestimmung und Justierung des Zielachsenfehlers 

- Bestimmung und Justierung des Kippachsenfehlers 


8 THEODOLIT & WINKELMESSUNG 14 

8.1 Richtungs- und Winkelmessung 

Fehlerrechnung für s Ziele und n Sätze: 

• Bildung der Differenz d i der Satzmittel und der endgültigen Richtung für jede Richtung 

in jedem Satz 

• Bildung der Verbesserungen mit dem Wert der satzweisen Summe [d]nachv i = d i −[d]/s 

dadurch wird erreicht, daß die Summe [v] bis auf Rundungsfehler Null ergibt (Probe!) 

• Berechnung der Standardabweichung einer in einem Satz gemessenen Richtung: 

√ 

[vv] 

s r = 

(n − 1)(s − 1) 

Standardabweichung einer aus n Sätzen gemittelten Richtung: 

ŝ r = s √ 

r 

[vv] 

√ = n n(n − 1)(s − 1) 

8.2 Vertikalwinkelmessung 

Vertikalwinkelmessung und Indexabweichung 

FRL I: 

FRL II: 

z + ζ = A I 

z − ζ = 400 gon − A II 

z = A I + (400 gon − A II ) 

2 

ζ = (A I + A II ) − 400 gon 

2 

s z = s ζ = 

√ 

s 2 A I 

+ s 2 A II 

4 

= s √ 

2 

Bei s Zenitwinkeln in n Sätzen auf einem Standpunkt ergeben sich: 

• der mittlere Höhenindexfehler aus den n · s Beobachtungen: 

• mit den Verbesserungen v i = ζ − ζ i 

n·s 

∑ 

ζ = ζ i /(n · s) 

i=1 

Standardabweichung für z bzw. ζ ŝ z =ŝ ζ = 

√ [vv] 

n·s−1 

Kontrolle für [vv] 

[vv] =[ζζ] − [ζ]2 

n·s 

Standardabweichung für ζ ŝ ζ 

= ŝζ √ n·s 

Standardabweichung für die aus n Sätzen 

gemittelten Zenitdistanzen 

ŝ z = ŝz √ n 


10 TURMHÖHENBESTIMMUNG 15 

9 Trigonometrische Höhenmessung 

Einfluss der Erdkrümmung 

∆h = s cot z 

s 2 

c E = 

2R cos γ ≈ s2 

2R 

Einfluß des gekrümmten Lichtweges (Refraktion) 

mit k = R/r r = R/k 

c R ≈− k · s2 

2R 

Höhenunterschied zwischen den beiden Punkten P 1 und P 2 : 

∆h = H 2 − H 1 = s · cot z + i P1 − z P2 + s2 

2R − k · s2 

2R 

Bei gegenseitiger zeitgleicher Messung: 

( ) z21 − z 12 

∆h = s · tan 

2 

10 Turmhöhenbestimmung 

Berechnung der Höhe nach der Formel für trigonometrische Höhenübertragung, im einfachsten 

Fall: 

H T = H A + s · cot z T H A = H F + l − d · cot z F 

z F 

z T 

h 

l 

d 

s 

H A 

H T 

H F 

10.1 Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck 

B 

A 

b 

c 

s 

T 

s = 

s = 

b · sin β 

sin(α + β) 

c · sin δ 

sin(γ + δ) 

C 


12 TRIGONOMETRISCHE HÖHENÜBERTRAGUNG ÜBER GROSSE DISTANZEN 16 

10.2 Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck 

z 2 

z 1 

H T 

d 

P 2 

P 1 

H 2 

H 1 

e 

H T = H 1 + e · cot z 1 = H 2 +(d + e) · cot z 2 

e = d · cot z 2 + H 2 − H 1 

cot z 1 − cot z 2 

H T = d + H 2 tan z 2 − H 1 tan z 1 

tanz 2 − tan z 1 

11 Trigonometrisches Nivellement 

Berechnung der Höhenunterschiede (einschließlich der Glieder zur Berücksichtigung von Erdkrümmung 

und Refraktion): 

bzw. für steile Zielungen: 

∆h = H 2 − H 1 = s · cot z +(1− k) s2 

2R + h i − h z 

∆h = H 2 − H 1 = s · cot z +(1− 

k 

sin z ) s2 

2R + h i − h z 

12 Trigonometrische Höhenübertragung über große Distanzen 

Erde als Kugel angenommen (mittlerer Erdradius 6371 km) 

12.1 Höhenunterschiede aus einseitig beobachteten Zenitdistanzen 

Horizontale Entfernung auf die mittlere Höhe H m reduziert. 

es ergibt sich: 

H m = H 1 + H 2 

2 

∆h = H 2 − H 1 = s(1 + H m 

) · cot z +(1− 

k 

R sin z ) s2 

2R + h i − h z 

Wenn s nicht gemessen sondern aus Koordinaten der Endpunkte eines Höhenunterschiedes 

gerechnet wird, ist zusätzlich die Projektionsverzerrung des Koordinatensystems zu berücksichtigen. 


14 EXZENTRISCHE ZENITDISTANZMESSUNG 17 

12.2 Höhenunterschiede aus gegenseitig beobachteten Zenitdistanzen 

Bei gegenseitig gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzen ergibt sich entsprechend: 

∆h = H 2 − H 1 = s(1 + H m 

R ) · tan(z 21 − z 12 

)+ h i1 + h z1 − h z2 − h i2 

2 

2 

und mit h i1 = h z1 und h i1 = h z1 : 

∆h = H 2 − H 1 = s(1 + H m 

R ) · tan(z 21 − z 12 

)+h i1 − h z2 

2 

13 Bestimmung der Refraktion 

Aus gegenseitigen Zenitwinkelmessungen kann auch der Refraktionskoeffizient bestimmt werden: 

k =1− (z 1 + z 2 − 200gon) R s 

14 Exzentrische Zenitdistanzmessung 

• es erfolgt daher eine Reduktion der Zenitdistanzen auf einen einheitlichen Stationsnullpunkt 

B 

+i 

z' 

z 

s 

s' 

s 

Z-Pkt. 

sin δ S = i s sin z′ sin z 

Stat.-Np. 

-i 

s 

=⇒ δ S ≈ i s sin2 z 

Zentrierung am Standpunkt 

Z 

+t 

s' 

Stat.-Np. 

-t 

sin δ Z = t s sin z′ sin z 

z' 

z 

z 

=⇒ δ S ≈ t s sin2 z 

B 

s 

Zentrierung am Zielpunkt 

Im Flachland kann näherungsweise folgendermaßen gerechnet werden: 

δ S ≈ i s 

δ Z ≈ t s

Formelsammlung Vermessungskunde 1&2 Semester

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