VERMESSUNGSKUNDE IV

VERMESSUNGSKUNDE IV 

Vorlesung für das 4. Semester 

Wilfried Korth 

Stand: 2. April 2005 

HINWEIS: 

Das nachfolgende Skript soll die Vorlesung unterstützen. Es 

ist nicht auszuschließen, dass sich noch Fehler eingeschlichen 

haben. Ich bin für Hinweise zu solchen Fehlern aber auch für 

andere Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge dankbar. 

Ausschlaggebend für die Klausur am Semesterende ist nicht 

dieses Skript, sondern der in der Vorlesung vermittelte Stoff!

INHALTSVERZEICHNIS 2 

Inhaltsverzeichnis 

1 Grundlagen der Tachymetrie 3 

1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Instrumente zur tachymetrischen Geländeaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.1 Messtischtachymetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.2 Zahlentachymetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.3 Höhenlinien und Geländedarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.4 Genauigkeit der Geländeaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2 Klassische Tachymeteraufnahme 10 

2.1 Tachymeterzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.2 Geländeaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.4 Messtischaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.5 Bussolentachymetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

3 Moderne Tachymeteraufnahme 18 

3.1 Planung, Vorbereitung und Punktverdichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.2 Aufnahme und Registrierung mit elektronischen Messsystemen . . . . . . . . . . . . . 20 

3.3 Automatischer Datenfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.4 Graphisch-interaktive Bearbeitung im Innendienst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.5 Graphisch-interaktive Bearbeitung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.6 Einsatz RTK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

4 Digitale Geländemodelle (DGM) 29 

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.2 Digitales Höhenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.3 Digitales Landschaftsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

5 Trigonometrische Höhenmessung 31 

5.1 Grundlagen/Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

5.2 Trigonometrisches Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

5.3 Trigonometrische Höhenübertragung über große Distanzen . . . . . . . . . . . . . . . 34 

5.3.1 Höhenunterschiede aus einseitig beobachteten Zenitdistanzen . . . . . . . . . . 35 

5.3.2 Höhenunterschiede aus gegenseitig beobachteten Zenitdistanzen . . . . . . . . 35 

5.3.3 Fehlerbetrachtung zur Höhenübertragung über große Distanzen . . . . . . . . 35 

5.4 Bestimmung der Refraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

Vermessungskunde für das 4. Semester (Stand: 2. April 2005)

1 GRUNDLAGEN DER TACHYMETRIE 3 

1 Grundlagen der Tachymetrie 

1.1 Allgemeines 

In der Tachymetrie werden 

- Winkel, 

- Strecken und 

-Höhen 

gleichzeitig für eine dreidimensionale Geländeaufnahme gemessen. 

Je nach Art der örtlichen Erfassung und Aufbereitung der Daten unterscheidet man 

zwischen 

a) Messtisch- und 

b) Zahlentachymetrie. 

Bei der Messtischtachymetrie kommen 

- Messtisch und Kippregel sowie 

- Kartiertische 

zum Einsatz. 

Bei der Zahlentachymetrie wird die ganze Instrumentenvielfalt im Vermessungswesen wie 

- Messroboter, 

- elektronische Tachymeter, 

- Tachymetertheodolite, 

- Nivelliertachymeter, 

- Reduktionstachymeter, 

- Tachymeterbussolen und 

- Basis-Tachymeter 

genutzt. 

Hierbei unterscheiden sich die eingesetzten Instrumente und Verfahren hauptsächlich in 

der zu erreichenden Genauigkeit und den Rationalisierungsmöglichkeiten wie automatischen 

Datenfluss und automatisierte Messtätigkeit. 



1.2 Instrumente zur tachymetrischen Geländeaufnahme 

1.2.1 Messtischtachymetrie 

• Der Messtisch ist das älteste der noch heute gebräuchlichen Aufnahmeinstrumente 

=⇒ Es erfolgt die Kartierung vor Ort 

• Messtischplatte, die mit dem Zeichnungsträger bespannt ist, muss im Koordinatensystem 

orientiert sein 

• Standpunkt koordinatenmäßig bestimmen 

• Messtischplatte mit Hilfe einer Orientierbussole nach Norden ausgerichten 

• Messtischplatte durch Libellen zu horizontieren 

Damit sind die Grundlagen vorhanden, um durch Messung der Richtungen und der 

Strecke Punkte auf der Messtischplatte kartieren zu können. 

Zum Messen und Kartieren dient die Kippregel. Sie 

- dient zum Einstellen und Anreißen der Horizontalrichtungen 

-trägt Gerät einen Distanzmesser und eine Einrichtung zum Ablesen der Vertikalwinkel 

Bei den Kippregeln unterscheidet man nach Instrumenten mit analoger und digitaler 

Messwertausgabe. 

• Kippregeln mit analoger Messwertausgabe verfügen über einen optischen Distanzmesser 

mit Distanzfäden oder Diagrammkurven. Das Fernrohr erlaubt Ablesungen 

in beiden Lagen, weist einen optisch ablesbaren Vertikalkreis auf und ist mit einer 

Nivellierlibelle versehen. 

• Bei den Kippregeln mit digitaler Messwertausgabe werden die Werte für die Distanzen 

und die Vertikalwinkel auf elektronischem Wege gewonnen. Hierbei werden 

häufig automatische Lotsensoren eingesetzt, so dass die horizontale Strecke und 

der Höhenunterschied im eingebauten Rechner direkt ermittelt werden können. 

1.2.2 Zahlentachymetrie 

• Bei der Zahlentachymetrie werden von einem bekannten Aufnahmestandpunkt die 

Horizontal-, die Vertikalrichtung und die schräge Entfernung bestimmt. 

• Lässt sich der Horizontalteilkreis orientieren, können aus dem Beobachtungsmaterial 

die Koordinatendifferenzen und der Höhenunterschied bestimmt werden. 



Elektronische Tachymeter mit der Bestimmung der Horizontal-, der Vertikalwinkel und 

der Schrägstrecke werden hier als bekannt vorausgesetzt. 

• Messroboter weisen zusätzlich eine automatische Zielverfolgung auf. Dies wird 

durch einen motorischen Antrieb für die Bewegung des Fernrohrs und eine Mustererkennung 

für das Prisma erreicht. 

• Der klassische Tachymetertheodolit besteht aus einem Theodolit mittlerer oder 

niederer Genauigkeit und einem Reichenbachschen Distanzmesser. Die Formel zur 

Bestimmung der Entfernung aus den Reichenbachschen Distanzfäden ist vom geometrischen 

Nivellement bekannt zu 

E = c + k(o − u) (1) 

wobei c und k geräteabhängige Konstanten und o die obere und u die untere 

Ablesung an den Distanzfäden bedeutet. 

• Für einfache Genauigkeiten ist es ausreichend die Größen c und k über den gesamten 

Fokussierbereich als konstant anzunehmen. Meistens wird das Gerät so 

eingestellt, dass c sich in der Nähe von Null und k bei 100 bzw. 200 befindet. 

• Bei höheren Genauigkeiten ist zu berücksichtigen, dass die Größe k von der Fokussierung 

also von der Entfernung abhängig ist. In diesem Fall kann der entfernungsabhängige 

Anteil in k zusätzlich nach folgender Formel berücksichtigt werden. 

E = c +(k + dk)(o − u) (2) 

• Die Bestimmung von dk kann über bekannte Strecken mit unterschiedlichen 

Streckenlängen erfolgen und kann somit für weitere Messungen genutzt werden. 

Die bisherigen Ausführungen beziehen sich auf die Horizontale, also auf den Spezialfall 

eines Nivelliertachymeters. 

Beim Einsatz eines Theodoliten müssen die Berechnungen der Entfernungen auf schräge 

Sichten umgesetzt werden. 

Ansätze : 

E ′ = c + 

E ′′ 

o − u 

= sin(z − α 

2 ) 

sin α 

E ′ 

E 

α 

α 

(o − u) · sin(z + ) · sin(z − 2 2 ) 

′′ = sin(z + α 

2 ) 

mit α =2· arctan( 

sin z 

1 

2k ) 

� 

(o − u) · cos2 ( α 

2 ) − cos2 z � 

(3) 

sin α · sin z 

sin α · sin z 

= c + 

E ′ ≈ c + k(o − u) · sin z (4) 

E = E ′ · sin z ≈ c · sin z + k(o − u) · sin 2 z (5) 

h = E ′ · cos z ≈ c · cos z + k(o − u) · cos z sin z (6) 

• Die Berechnung der horizontalen Strecke und des Höhenunterschieds kann mit 

einfachen Rechenhilfsmitteln erfolgen. Eine direkte optisch-mechanische Berücksichtigung 

der Schräge erfolgt bei den sog. Reduktionstachymetern. 



z 

� 

Abbildung 1: Tachymetrische Messung mit Distanzstrichen 

Zusätzlich können zur Orientierung Bussolen eingesetzt werden: 

E 

• Eine Bussole ist ein mit einer Visiereinrichtung versehener Kompass. 

Die Visiereinrichtung weist gewöhnlich in die Richtung des Durchmessers, der den 

Nullpunkt der Teilung enthält. 

• Der Kreis ist meistens linksläufig geteilt. In diesem Fall lässt sich für ein anvisiertes 

Ziel der magnetische Richtungswinkel an der Kompassnadel ablesen. 

• Die einfachste für geodätische Zwecke eingesetzte Bussole ist die Diopterbussole, 

die sowohl mit Kompassnadel als auch mit elektronischen Sensoren angeboten 

wird. 

Hat die Bussole als Visiereinrichtung ein Fernrohr mit Distanzfäden, dazu einen 

Höhen- und Horizontalkreis, Klemm- und Feinbewegungseinrichtungen, so heißt 

die Bussole Tachymeterbussole. 

Beim Arbeiten mit den Bussolen ist die Ausrichtung in Richtung Norden zu definieren. 

• Es ist zwischen der Ausrichtung in der Abbildungsebene (Gitter Nord), zum geographischen 

Nordpol (Geographisch Nord) und zum magnetischen Nordpol (Magnetisch 

Nord) zu unterscheiden. 

• Die Abweichung zwischen dem geographischen und dem magnetischen Nordpol 

wird als magnetische Deklination δ bezeichnet und die Abweichung zwischen 

Gitter- und Geographisch-Nord heißt Meridiankonvergenz γ (siehe Landesvermessung). 

Die für das praktische Arbeiten erforderliche Abweichung zwischen Gitter- und 

Magnetisch-Nord wird als Nadelabweichung α bezeichnet. 

• Die Kurven, die Orte mit gleicher magnetischer Deklination verbinden, heißen Isogonen. 

Sie verlaufen nicht geradlinig zum magnetischen Nordpol, sondern sind durch 

regionale und lokale Einflüsse vielfach gestört. Der magnetische Nordpol unterliegt 

außerdem fortschreitenden säkulären Änderungen und periodischen täglichen 

Schwankungen. 

Vermessungskunde für das 4. Semester (Stand: 2. April 2005) 

E' 

E'' 

o 

u 

h


Die säkuläre Änderung vermindert die Deklination in Deutschland um jährlich rund 

0, 15 ◦ und die tägliche Periode nimmt einen Wert von bis zu 10 ′ an. 

Gitternord 

Magnetisch 

Nord 

Geographisch 

Nord 

Magnetisch 

Nord 

Gitternord = 

Geographisch 

Nord 

Geographisch 

Nord 

Magnetisch 

Nord 

Gitternord 

Meridian Meridian 

Hauptmeridian 

Abbildung 2: Nordrichtungen in der Abbildungsebene 

1.3 Höhenlinien und Geländedarstellung 

Ziel tachymetrischer oder topographischer Vermessung: 

Herstellung und Fortführung topographischer Karten in den Maßstäben 1:5 000, 1:25 

000, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1:500 000 und 1:1 000 000 (als Beispiel für die 

Bundesrepublik Deutschland). 

NebendiesenanalogenKartenwerkenwurde in den letzten Jahren auch verstärkt das 

digitale Kartenwerk im bundeseinheitlichen Verfahren des Amtlichen Topographisch 

Kartograpisch Informationssystems (ATKIS) aufgebaut. Diese Daten können auch zum 

Aufbau eines digitalen Geländemodells genutzt werden. 

In Karten werden dargestellt: 

- Situation (Verkehrswege, Gewässer, Ortschften,...) 

-Namen 

• Gelände 

– wird durch Höhenpunkte und/oder Höhenlinien dargestellt 

Höhenpunkten sind hier Punkte im Gelände, deren Lage und Höhe in einem 

örtlichen oder dem Landeskoordinatensystem gegeben sind. 

Digitale Geländemodelle bestehen aus solchen Höhenpunkten. 

Auch in den Karten werden einzelne Höhenpunkte mit ihren Höhen für herausragende 

Geländepunkte wie Bergspitzen, Mulden, Sattel, Straßenkreuzungen 

usw. dargestellt. 



• Die durchgehende Darstellung der dritten Dimension erfolgt in zweidimensionalen 

Karten über Höhenlinien, die auch als Schichtlinien, Niveaukurven oder Isohypsen 

bezeichnet werden. 

– Höhenlinien sind Kurven, die Punkte gleicher Höhe miteinander verbinden. 

– In Gebieten unter der Bezugsfläche werden die Linien gleicher Höhe als Tiefenlinien 

oder Isobathen bezeichnet. (Vermessung des Meeresbodens: Bathymetrie) 

– Beim Aufbau des Höhenlinienbildes ist die passende Äquidistanz (Höhenunterschied 

benachbarter Höhenlinien) in erster Linie von der Geländeneigung 

und dem Maßstab abhängig. 

In zweiter Linie ist die geforderte Genauigkeit der Höhenaufnahme zu beachten 

und die Darstellung von Kleinformen zu berücksichtigen. 

– Sind bemerkenswerte Bodenformen durch die Wahl der Äquidistanz nicht darstellbar, 

so können auch Hilfshöhenlinien mit geringeren Schichthöhen eingeführt 

werden. 

– Die Wahl der Schichthöhen ist stark vom Verwendungszweck des Ergebnisses 

abhängig. 

” Regel“: In bewegtem Gelände ab dem Maßstabsbereich 1:5 000 wählt man 

Schichthöhen, die sich in m als Maßstabszahl dividiert durch 1000 berechnen. 

Für den Maßstab 1:5 000 würde man also eine Schichthöhe von 5m einführen. 

– Der Verlauf der Höhenlinien wird in den meisten Fällen rechnerisch interpoliert 

(Computerprogramme). 

Gängige Wege sind Dreiecksvermaschung zur Interpolation der Punkte gleicher 

Höhe oder funktionale Ansätze. 

Hierbei werden allerdings die Grundsätze einer Handbearbeitung wie 

∗ Interpolation nur zwischen den größten Höhenunterschieden und 

∗ Abhängigkeiten benachbarter Höhenlinien 

nur unzureichend eingehalten. 

• Das Ergebnis ist bei beiden Verfahren sehr stark von einer guten Aufnahme des 

Geländes abhängig, wobei markante Geländeformen durch eigene Punkte aufzunehmensindundkünstliche 

Oberflächenformen wie Böschungen, Einschnitte, Gräben 

und dergleichen eigenständig aufzunehmen und darzustellen sind. 

1.4 Genauigkeit der Geländeaufnahme 

• Bei analog hergestellten Karten ist die Kartiergenauigkeit immer geringer als die 

Aufnahmegenauigkeit. 

Man geht in diesem Fall von einer Kartiergenauigkeit von (0,2mm aus, was bei 

einem Maßstab von 1:1000 (0,2m und beim Maßstab 1:5000 (1,0m in der Natur 

entspricht. 

• In die Genauigkeit der Höhenlinien geht neben diesem Kartierfehler die Unsicherheit 

beim Entwerfen der Höhenlinien ein. 



• Zur Abschätzung des Höhenfehlers einer Höhenlinie nutzt man die Koppesche 

Formel. 

Nach Koppe berechnet sich die Standardabweichung der Höhe eines Punktes auf 

der Höhenlinie über die beiden vom Maßstab abhängenden Konstanten a und b 

sowie den Neigungswinkel α wie folgt. 

sH = ±(a + b tan α) (7) 

Der Höhenfehler wächst also proportional zum Tangens der Geländeneigung. 

Multipliziert man den Höhenfehler mit cot α erhält man für ein gleichmäßig geneigtes 

Gelände die Standardabweichung der Lage eines Punktes auf der Höhenlinie. 

sL = ±(b + a cot α) (8) 

• Für die Deutsche Grundkarte 1:5 000 hat der ehemalige Beirat für das Deutsche 

Vermessungswesen im Jahre 1924 die beiden Konstanten zu a =0, 4 und b =5 

für die Berechnung der Grenzwerte nach der Koppeschen Formel festgelegt. 

Damit ergeben sich in Abhängigkeit vom Neigungswinkel α folgende Werte für die 

beiden Standardabweichungen: 

α sH sL 

[gon] [m] [m] 

0 0,4 

1 0,5 30 

2 0,6 18 

3 0,6 14 

α sH sL 

[gon] [m] [m] 

5 0,8 10 

10 1,2 7,5 

20 2,0 6,2 

30 2,9 5,8 

• Die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Bundesrepublik 

Deutschland (AdV) hat in einem Beschluss vom 12.11.1970 die Genauigkeitsanforderungen 

an die Deutsche Grundkarte 1:5 000 weiter verfeinert. 

Nach diesem Beschluss wird in ” plansichere“ Punkte und Punkte auf Höhenlinien 

sowienachKartenmitÄquidistanzen unter einem Meter und allen anderen Karten 

unterschieden. 

Für ” plansichere“ Punkte soll dabei die Standardabweichung in der Lage ±3m 

und in der Höhe beim ersten Kartentyp ±0,2m sowie beim zweiten Kartentyp 

±0,3m nicht überschreiten. 

Für die Punkte auf Höhenlinien gelten die in der nachfolgenden Tabelle dargestellten 

Grenzwerte für Höhenabweichungen, die in Ausnahmefällen um 100% 

überschritten werden dürfen. 

Geländeneigung Höhenlinienabstand [m] zulässige Abweichung 

α[ ◦ ] α % vertikal horizontal [m] 

von bis von bis von bis 

3 5 1 ∞ 20 0,6 

3 8 5 12 2,5 50 20 1,3 

8 15 12 25 5 40 20 2,0 

15 30 25 50 10 40 20 3,0 

30 50 4,0 


2 KLASSISCHE TACHYMETERAUFNAHME 10 

2 Klassische Tachymeteraufnahme 

Bei der klassischen Tachymeteraufnahme werden relativ zu einem Aufnahmestandpunkt 

durch Messung der Horizontal-, der Vertikalwinkel und der Strecken die Koordinatenund 

Höhenunterschiede ermittelt. 

Hierzu sind Lagekoordinaten und Höhe des Standpunktes durch Anschlussmessungen 

an das Festpunktfeld zu bestimmen. 

Bei größeren Aufnahmegebieten wird man die notwendige Anzahl von Aufnahmepunkten 

durch Tachymeterzüge miteinander verbinden. 

2.1 Tachymeterzüge 

• Der Tachymeterzug dient der Einbindung der Aufnahmepunkte in das übergeordnete 

Lage- und Höhenfestpunktfeld. 

• Für die lagemäßige Bestimmung sollte möglichst an zwei Lagefestpunkte angeschlossen 

werden und auch die Höhenübertragung sollte über zwei Höhenfestpunkte 

erfolgen. 

• Der Tachymeterzug stellt in der Lage einen Polygonzug und in der Höhe ein trigonometrisches 

Nivellement dar. 

-Damitmüssen für den Polygonzug die Brechungswinkel sinnvollerweise in zwei 

Lagen gemessen werden. 

Die Schrägstrecken werden direkt mit den elektronischen Tachymetern oder über 

die Distanzfäden bei den Tachymetertheodoliten nach (Gleichung 3) ermittelt. 

Zur Reduktion auf die Horizontale sind zusätzlich die Zenitdistanzen bei diesen 

beiden Instrumententypen zu bestimmen oder es erfolgt eine direkte Bestimmung 

beim Reduktionstachymeter. 

Die Bestimmung der Lagekoordinaten erfolgt als Polygonzug in Abhängigkeit von den 

gegebenen Anschlüssen, wobei jedoch auf eine Kontrollmöglichkeit (Freiheitsgrad > 0) 

zu achten ist. 

• beidseitig angeschlossener Zug 

F1 

�1 

F2 

s1 

�2 

P1 

s2 

�3 

P2 

�4 

s3 s4 

P3 


�5 

F3 

F4 

gegeben: 

x und y in den Punkten F1 bis F4 

gemessen: 

Brechungswinkel β1 bis β5 

Strecken s1 bis s4 

gesucht: 

Koordinaten der Punkte P1 bis P3


Freiheitsgrad: 3 ((n +2)Winkel +(n +1)Strecken− (2n)Koord.) 

Berechnung: Verteilen des Winkelwiderspruchs, fortgesetztes polares 

Anhängen mit Verteilen des Koordinatenwiderspruchs bzw. 

fortgesetztes polares Anhängen mit anderen 

Verteilungsverfahren für die Widersprüche 

• nur einseitig angeschlossener (toter) Zug 

F1 

�1 

F2 

s1 

�2 

P1 

s2 

�3 

P2 

s3 

Freiheitsgrad: 0 (n·[Winkel]+n·[Strecken] − 2n·[Koordinaten]) 

Berechnung: durch fortgesetztes polares Anhängen 

• beidseitig koordinatenmäßig angeschlossener Zug (Einrechnungszug) 

F2 

s1 

�1 

P1 

s2 

�2 

P2 

�3 

P3 

P3 

s3 s4 

F3 

gegeben: 

x und y in den Punkten F1 und F2 

gemessen: 

Brechungswinkel β1 bis βn 

Strecken s1 bis sn 

gesucht: 

Koordinaten der Punkte P1 bis Pn 

gegeben: 

x und y in den Punkten F2 und F3 

gemessen: 



gesucht: 

Koordinaten der Punkte P1 bis P3 

Freiheitsgrad: 1 (n·[Winkel]+n+1 · [Strecken] − 2n·[Koordinaten]) 

Berechnung: durch fortgesetztes polares Anhängen und nachträgliche 

Koordinatentransformation (4 Parameter) 

• freier Zug 

P1 

s1 

�1 

P2 

s2 

�2 

P3 

�3 

s3 s4 

P4 

P5 

gemessen: 



gesucht: 


Freiheitsgrad: −3 (n−2 · [Winkel]+n−1 · [Strecken] − 2n·[Koordinaten]) 

Berechnung: durch fortgesetztes polares Anhängen (nach Festlegung eines 

Punktes und einer Richtung zur Beseitigung des Rangdefektes) 

• freies Ringpolygon (Anfangs- und Endpunkt gleich) 



�1 

s5 

P1 

s1 

�5 

P5 

�2 

P2 

s4 

s2 

P4 

P3 

�3 

s3 

�4 

gemessen: 



gesucht: 


Freiheitsgrad: 0 (n·[Winkel]+n·[Strecken] − 2n·[Koordinaten]) 

Berechnung: durch fortgesetztes polares Anhängen (nach Festlegung eines 

Punktes und einer Richtung); Behandlung wie beidseitig 

angeschlossen 

Die höhenmässige Bestimmung des Tachymeterzuges erfolgt im trigonometrischen Nivellement. 

• Dazu sind mit den elektronischen Tachymetern oder den Tachmetertheodoliten 

die Höhenunterschiede zwischen der Kippachse und dem Punkt auf der Latte, der 

mit dem Mittelfaden angezielt ist, zu bestimmen. 

– Es wird die Zenitdistanz ermittelt und 

– die Strecke entweder direkt oder durch Ablesung an den Reichenbachschen 

Distanzfäden bestimmt. 

• Bei Reduktionstachymetern kann der gesuchte Höhenunterschied direkt abgelesen 

werden. 

• Zur Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen dem Instrumenten- und dem 

Lattenstandpunkt sind außerdem die Instrumentenhöhe und die Ablesung am Mittelfaden 

zur Berechnung nach der folgenden Formel zu ermitteln. 

2.2 Geländeaufnahme 

HZ − HS = E ′ cos(z)+i − m = h + i − m (9) 

• Eine gute Geländeaufnahme sollte sich am Gelände orientieren. 

Dabei sollten die Objektpunkte so gelegt werden, dass sie an markanten Punkten 

des Geländes liegen, an denen sich die Neigung des Geländes signifikant verändert. 

Damit wäre es sinnvoll diese Objektpunkte auf die Rücken- bzw. Muldenlinien zu 

legen. 

(Bereits aus der Rasteraufnahme der Erdoberfläche (2. Semester) bekannt.) 



z 

Hs 

i 

E 

Abbildung 3: Trigonometrische Höhenübertragung 

E' 

h 

Hz 

Abbildung 4: Geländeaufnahme (Höhenlinien) 

Für das durch Höhenlinien skizzierte Gelände ist es sinnvoll, die Objektpunkte entlang der 

gestrichelten Linien zu plazieren. Solange der Geländeverlauf gleichmäßig wie auf der linken 

Seite ist, brauchen eigentlich nur zwei Objektpunkte am Anfang und am Ende aufgenommen 

werden. 

Ändert sich die Linie in der Richtung oder der Neigung sind zusätzliche Zwischenpunkte 

aufzunehmen wie es in dem Beispiel für die mittlere Linie der Fall ist. 

• Im Handriss werden die eingemessenen Punkte ungefähr maßstäblich eingetragen. 

Man zeichnet außerdem die Rückenlinien gestrichelt, die Muldenlinien geschlängelt 

und die Richtung des stärksten Gefälles mit ein. 

Man deutet an charakteristischen Stellen die Geländeformen durch Leitkurven an 

und vermerkt schließlich Böschungen, Gräben und dergleichen. 

• Die Bestimmung der Lage und der Höhe der Objektpunkte erfolgt relativ zu den 

Aufnahmepunkten über dreidimensionale Polarkoordinaten. 

2.3 Auswertung 

• Gegeben: dreidimensionale Polarkoordinaten (der Richtungs-, der Vertikalwinkel 

und die Schrägstrecke im Aufnahmestandpunkt zu den Objektpunkten) 

• Gesucht: Lagekoordinaten und Höhe des Objektpunktes relativ zu dem in Lage 

und Höhe bekannten Aufnahmestandpunkt 


m


Kantenlinie 

Rückenlinie 

Muldenlinie 

Formlinie 

Fallinie 

Abbildung 5: Erfassung von Geländeformen und Auswahl von Geländepunkten 

• Lösung: Die Lagekoordinaten können durch polares Anhängen über den Richtungswinkel 

(der aus der Orientierung des Horizontalkreises zum Nachbarpunkt 

und der Richtung gewonnen wird) und die Horizontalstrecke (die aus der 

Schrägstrecke und dem Vertikalwinkel ermittelt wird) berechnet werden. 

Die Höhenübertragung kann über die Instrumentenhöhe im Standpunkt, der 

Lattenablesung, den Zenitwinkel und die Schrägstrecke erfolgen. 

⇒ Zur Erzeugung des Höhenlinienbildes aus den gewonnenen Stützpunktkoordinaten 

und Höhen ist ein Vermessungsriss wichtig, der die Mulden- und Rückenlinienverbindungen 

sowie Sonderformen wiedergibt (vgl. Abbildung 5). 

⇒ Dann erfolgt eine Interpolation auf die runden Höhenwerten aus den Stützpunkten 

entweder manuell oder über Computerprogramme. 

(Häufig erfolgt in DV-Programmen jedoch eine Dreiecksvermaschung für diese Interpolation, 

was wie das obige Beispiel zeigt nicht unbedingt sinnvoll ist.) 

⇒ Nach der Ermittlung dieser Stützpunkte können die Höhenlinien als Freihandkurven 

gezeichnet werden. In DV-Programmen werden diese Linien häufig als Splines 

konstruiert. 

2.4 Messtischaufnahme 

Die Messtischaufnahme gliedert sich in die Schritte 

• Vorbereitung der Aufnahme, 

• Zentrieren und Orientieren des Messtisches, 



• eventuelle Bestimmung von Aufnahmepunkten und 

• das Bestimmen von Geländepunkten. 

○ Vorbereitung der Aufnahme: 

– Messtisch mit einem Zeichnungsträger bespannen 

– auf dem Zeichnungsträger sind (mindestens) zwei im Gelände sichtbare Festpunkte 

im Aufnahmemaßstab einzutragen 

– Kartennetz auf dem Zeichnungsträger einzuzeichnen 

– Liegt bei Fortführungen bereits ein Grundriss des Aufnahmegeländes vor, so 

wird eine Kopie im Aufnahmemaßstab auf dem Messtisch befestigt 

○ Zentrieren und Orientieren des Messtisches anhand der beiden Festpunkte: 

A 

a 

x 

x 

y 

c 

C 

y 

Abbildung 6: Messtischaufnahme (nach Kahmen) 

b 

– Der Messtisch wird über dem Festpunkt F1 zentriert, indem die in der Zeichnung 

gewonnenen Abstände x und y in die Örtlichkeit (auf den Boden) übertragen 

werden und der Mittelpunkt des Messtisches auf diesen Punkt zentriert 

wird. 

– Dann wird mit der Kippregelkante an die gezeichnete Linie F1, F2 gelegt und 

über den Punkt F2 orientiert. 

Dieser Vorgang sollte für mehrere Festpunkte in der Orientierung vorgenommen 

werden, um eine Kontrolle und eine Genauigkeitssteigerung zu erreichen. 

Voraussetzung für eine fehlerfreie Zentrierung und Orientierung ist dabei ein 

horizontierter Messtisch, was sich durch den Einsatz der beiliegenden Libelle 

erreichen lässt. 

– Die Höhe des Messtisches ist zu ermitteln. 

Alternativ kann die Bestimmung eines freien Aufnahmepunktes erforderlich sein. 

Die Bestimmung der Lage des freien Punktes in der Kartierung geschieht durch: 

– Vorwärtseinschneiden, 


B


– Seitwärtseinschneiden, 

– Rückwärtseinschneiden zu zwei bzw. drei bekannten Punkten, 

– oder durch polares Anhängen an einen Festpunkt, wenn die Orientierung 

durch eine Bussole gewonnen wird. 

• Vorwärtseinschneiden 

Beim Vorwärtseinschneiden werden durch Zentrierung und Orientierung auf den 

beiden Festpunkten F1 und F2 nach der obigen Vorgehensweise mit der Kippregel 

in beiden Punkten der Aufnahmepunkt P angezielt und auf der Zeichenunterlage 

angerissen. Damit erhält man im Schnittpunkt das Abbild des Punktes P und kann 

über die obige Vorgehensweise sich auf P zentrieren und orientieren. 

F1 

(1) 

P 

(3) 

F2 

(2) 

Abbildung 7: Links: Vorwärtseinschneiden, Rechts: Seitwärtseinschneiden 

• Seitwärtseinschneiden 

Beim Seitwärtseinschneiden wird in F1 nach Orientieren auf F2 die Richtung nach 

P angerissen. Dann stellt man den Messtisch auf der Verbindung von F1 nach P 

auf und orientiert sich nach F1. Mit dem Einspielen der Kippregel im Abbild von 

F2 in Richtung auf F2 erhält man die Richtung zum Neupunkt P und im Schnitt 

das Abbild in der Zeichnung. 

• Rückwärtseinschneiden 

Beim Rückwärtseinschneiden sind drei Punkte in der Örtlichkeit und mit ihrem 

Abbild in der Kartierung erforderlich. Es ist darauf zu achten, dass diese drei 

Festpunkte nicht in der Nähe des gefährlichen Kreises liegen. 

Dann zeichnet man auf Pauspapier die Richtungen von einem beliebigen Punkt 

P zu den drei Festpunkten. Durch Verschieben und Verdrehen des Pauspapiers in 

den drei Strahlen durch die entsprechenden Punkte in der Zeichnung erhält man 

die Lage des Neupunktes P . 

Im letzten Schritt ist der Messtisch so zu orientieren, dass die Richtung von P zu 

einem Festpunkt im Bild und der Natur übereinstimmt. 

• Polares Anhängen 

Beim polaren Anhängen an einen Festpunkt ist zuerst die Richtung vom Festpunkt 

zum neuen Punkt in der Zeichnung zu bestimmen. Dazu ist mit der Bussole die Orientierung 

herzustellen und der Neupunkt über die gemessene Strecke zu kartieren. 

Dann zentriert man sich auf dem Neupunkt und orientiert sich zum Festpunkt. 


F1 

(1) 

P 

(2) 

F2


F1 

F2 

P 

F3 

Abbildung 8: Links: Rückwärtseinschneiden, Rechts: Polares Anhängen 

○ Eventuelle Bestimmung von weiteren Aufnahmepunkten 

○ Bestimmen von Geländepunkten: 

– Vom Aufnahmepunkt ausgehend wird die Richtung zum Objektpunkt direkt 

durch die Kippregel eingestellt und optisch die Horizontalstrecke ermittelt. 

P 

3 

1 

4 

2 

Nord 

F1 

Abbildung 9: Geländeaufnahme 

– Damit ist der Objektpunkt im entsprechenden Maßstab kartierbar. 

Der Höhenunterschied zum Standpunkt lässt sich aus den gleichen Messungselementen 

mit der Instrumentenhöhe und der Lattenablesung am Mittelfaden 

ermitteln. 

– Damit ist ein vollständiges Abbild des Geländes in der Lage entstanden und 

es kann aus den Höhenangaben ein Höhenlinienbild in der oben erläuterten 

Art abgeleitet werden. 

Neben der Geländeaufnahme ist das Messtischverfahren auch nur zur zweidimensionalen 

Aufnahme der Situation (Gebäude, Topographie etc.) mit ausgewählten Höhenpunkten 

(z. B. Straßenkreuzungen) zur Kartenherstellung genutzt worden. 

2.5 Bussolentachymetrie 

• Mit einer Bussole lässt sich ein Tachymetertheodolit genähert und nach Korrektur 

mit ausreichender Genauigkeit nach Norden ausrichten. 

Das wird beim Aufbau der Tachymeterzüge ausgenutzt. 

• Die Aufnahme der Objektpunkte erfolgt analog zur Aufnahme mit den Tachymetertheodoliten. 


F1 

P

3 MODERNE TACHYMETERAUFNAHME 18 

Magnetisch 

Nord 

• Bussolenzüge sind Polygonzüge mit recht kurzen Seitenlängen. 

Sie werden mit sogenannten Sprungständen aufgebaut, was bedeutet, dass nur 

jeder zweite Standpunkt mit dem Instrument besetzt wird. 

Der Vorteil besteht darin, dass auch in schlecht einsehbarem Gelände gearbeitet 

werden kann. 

• Zur Bestimmung der Nadelabweichung sind am Anfang und am Ende des Zuges 

auf bekannten Punkten weitere bekannte Punkte anzumessen. 

Gitternord 

F2 

s1 

F1 

P1 

Magnetisch 

Nord 

s2 

P2 

Gitternord 

Magnetisch 

Nord 

s3 s4 

P3 

F3 

F4 

gegeben: 

x und y in den Punkten F1 bis F4 

gemessen: 

Azimute (bezogen auf Magnetisch-Nord) 

in F1 nach F2 und 1 

Azimute in 2 nach 1 und 3 

Azimute in F3 nach F4 und 3 

alle Strecken zwischen F1 und F3 

gesucht: 


Berechnung: Im ersten Schritt ist die Nadelabweichung als zeitliche Funktion aus 

den gemessenen Azimuten und den bekannten Richtungswinkeln zu 

ermitteln. Im zweiten Schritt sind die gemessenen Azimute mit der 

Funktion der Nadelabweichung zu korrigieren. Damit liegen in allen 

Punkten Richtungswinkel und Strecken zur Ermittlung der 

Koordinaten der Neupunkte über einen Polygonzug vor. 

• Der geringen Richtungsgenauigkeit beim Bussolentachymeter steht entgegen, dass 

ein Richtungsfehler nur den betroffenen Stahl und nicht den ganzen folgenden Zug 

wie bei der Messung von Brechungswinkeln verschwenkt. 

• Da die Nadelabweichung eine Funktion in Abhängigkeit von längeren zeitlichen 

Perioden (säkulären Änderungen) und außerdem eine Abhängigkeit von der Tageszeit 

(periodischen täglichen Schwankungen) aufweist, ist darauf zu achten, 

dass die Bestimmung der Nadelabweichungen günstig zur Bestimmung der beiden 

Abhängigkeiten über den Messungszeitraum verteilt wird. 

3 Moderne Tachymeteraufnahme 

Unter der modernen Tachymeteraufnahme versteht man nicht nur den Einsatz moderner 

Messverfahren, wie Tachymetrie mit elektronischen Messsystemen oder den 

Einsatz von GPS, sondern auch moderne Auswerteverfahren. 

Hierzu zählt: 

- der Einsatz der elektronischen Datenverarbeitung, der bereits im Feld beginnt und 

durchgehend bis zur Bearbeitung der Ergebnisse durchgeführt wird. 

Rationalisierungseffekte durch: 



– automatisierten Datenfluss und 

– graphisch-interaktive Bearbeitung 

3.1 Planung, Vorbereitung und Punktverdichtung 

• In Abhängigkeit davon, welche Grundlagen für das zu vermessende Gebiet vorliegen, 

wird man großflächiger oder engmaschiger das Gelände aufnehmen müssen. 

• Liegt der Grundriss bereits in ausreichender Güte vor, müssen nur noch die für die 

Oberflächenstruktur charakteristischen Punkte in der Lage und der Höhe bestimmt 

werden. 

• Liegt die Grundrissstruktur gar nicht oder nur unzureichend vor, müssen sowohl 

die Lage als auch die Höhen der Geländepunkte tachymetrisch oder über Satellitenverfahren 

bestimmt werden. 

Als Grundlage für die Aufnahme werden Anschlüsse an das amtliche Festpunktfeld in der 

Lage und der Höhe benötigt. 

• Sinnvoll wären dreidimensionale Anschlusspunkte, welche jedoch in den meisten 

Fällen nicht vorliegen werden. 

Die vorhandenen Anschlusspunkte werden in den meisten Fällen nicht ausreichen, 

um die notwendigen Tachymeteraufnahmepunkte im übergeordneten System zu 

koordinieren. Damit werden Punktverdichtungen als Tachymeterzüge oder über 

GPS erforderlich. 

• Die Lage der Aufnahmepunkte wird sich an der Örtlichkeit orientieren und es 

werden dementsprechend bei schlecht einsehbarem Gelände mehr Punkte für die 

Aufnahme erforderlich sein. 

Eine Einschränkung aufgrund der Reichweite der eingesetzten Instrumente wird 

dabei bei den elektronischen Tachymetern kaum und bei GPS gar nicht auftreten. 

• Beim Einsatz von GPS erfolgt die Einbindung in das amtliche Lagefestpunktfeld 

entweder über den Einsatz von SAPOS (Anschluss an bekannte Referenzstationen) 

oder durch das Einbinden von GPS-Messungen auf Festpunkten. 

• Für eine genauere Höhenübertragung (unter einem Zentimeter) ist zur Zeit das 

GPS-Verfahren noch nicht geeignet und man muss eine Höhenübertragung aus 

dem amtlichen Höhenfestpunktfeld durchführen. 

Allerdings wird die GPS-Höhenbestimmung mit Subzentimetergenauigkeit auch in 

Echtzeit möglich werden (Verwendung von Geoidmodellen). 

• Bei der Planung der Geländeaufnahme sollte berücksichtigt werden, in welcher 

Form der Datenfluss von der Messung bis zur Aufbereitung der Ergebnisse durchgeführt 

werden soll. 

– Datenfluss durchgehend physikalisch durchführbar? 



– Sollen weitergehende Informationen im Datenfluss aus dem Feld bis zum 

Auswertesystem transportiert werden? 

– Können die Informationen in allen Zwischenschritten von den auswertenden 

Programmen übernommen werden? 

Hierbei ist denkbar, dass durch Verschlüsselung der Punkte das Auswerteprogramm 

die vollständige Information zu Erstellung der Ergebnisse erhält. 

Alternativ können zusätzliche Informationen wie die Art der aufgenommenen 

Punkte auch in einem Handriss geführt werden. 

3.2 Aufnahme und Registrierung mit elektronischen Messsystemen 

Beim Arbeiten mit elektronischen Messsystemen erhält man dreidimensionale polare 

Koordinaten des Neupunktes relativ zum Aufnahmepunkt. 

Ist der Aufnahmepunkte in der Lage und der Höhe bekannt und der Horizontalkreis 

orientiert kann man für den Neupunkt kartesische Koordinaten bestimmen. 

• Als Messsysteme werden Tachymeter angeboten, bei welchen der Reflektor im Objektpunkt 

vom Beobachter angezielt werden muss. 

Zur Einsparung von Personal werden mittlerweile auch Messroboter eingesetzt, bei 

denen über eine Funkverbindung und eine Zielverfolgung die Aufnahme vom Reflektor 

aus gesteuert werden kann. 

In diesem Fall kann der Beobachter entfallen, da die notwendigen Informationen 

wie Punktnummer, Punktart etc. vom Reflektor zum Gerät mit Funk übertragen 

werden und das Gerät dem Reflektor mittels motorischem Antrieb und Mustererkennung 

für den Reflektor automatisch folgt. 

• Zur Erfassung der Geländepunkte können Stangen mit bis zu 8m Länge mit 

aufgesetztem Reflektor (alternativ zum normalen Tachymeterstab) benutzt 

werden. 

• In vielen Fällen wird man Objektpunkte nur exzentrisch anzielen können und muss 

die Exzentrizität e bei der Umrechnung der Messungen auf das Zentrum berücksichtigen. 

Bei seitwärts liegenden Exzentren müssen sowohl die Strecke als auch 

der Horizontalwinkel korrigiert werden. 

Bei auf dem Zielstrahl liegenden Exzentren muss dagegen nur die Strecke um den 

Exzentrizitätswert korrigiert werden. 

(manche Geräte erlauben auch die getrennte Bestimmung von Richtung und 

Strecke) 



r E 

r 

s E 

s 

r = rE +arcsin( e 

sE 

e 

) s = 

gemessen: 

rE, sE und e 

gesucht: 

r und s 

� 

s 2 E − e 2 (10) 

• Diese Berechnungen und auch die Ermittlung der Koordinaten und der Höhen lässt 

sich mit der geräteeigenen Software durchführen. 

• Für den Austausch der Messungselemente, abgeleiteter Messungselemente oder 

der Koordinaten werden die Daten in Austauschformaten aufbereitet. 

Jeder Instrumentenhersteller bietet hierbei sein eigenes Austauschformat an. 



Exemplarisch werden nachfolgend Formate der Firmen Leica, Zeiss und TOPCON 

angegeben. 

Format GRE3/4 der Firma Leica: 

410001+00000001 42....+00020998 43....+00000009 44....+00081098 

410002+00000020 42....+00000493 43....+00043911 

410003+00000050 42....+00000000 

110004+00000494 21.102+24064700 22.102+10084400 31..00+00318171 51....+0010+007 

71....+02143912 

110006+00000001 21.102+13534000 22.102+09945400 31..00+00101663 51....+0010+007 

71....+02100999 

Diese fünf Datensätze geben im Standpunkt 493 43911 die Schrägstrecken, Horizontalrichtungen 

und Zenitdistanzen zu den Punkten 494 43912 und 1 999 wider. 

Die entsprechenden Werte sind zum ersten Punkt s = 318, 171m, r = 240, 647gon 

und z = 100, 844gon sowie zum zweiten Punkt s = 101, 663m, r = 135, 340gon und 

z =99, 454gon. 

Format REC500 der Firma Zeiss: 

1 60 Y 4590424.677 X 5824696.166 Z 0.00 

2 130199-3 Y 4590405.847 X 5824716.534 Z 0.00 

3 130199-3 m 1.000011 0m 337.6172 ih 0.00 

4 Polarpunktmessung m 1.000011 

5 2 D 39.552 Hz 344.6994 V1 298.167 

6 2 Y 4590443.867 X 5824727.375 Z 0.00 

7 60 D 27.031 Hz 387.7024 V1 297.186 

8 60 dY -6.067 dX -9.908 dZ 0.00 

Diese acht Datensätze geben im Standpunkt 130199-3 eine Polarpunktmessung wieder. 

Es sind die Koordinaten des Standpunktes, der Maßstab und die Orientierung des Horizontalkreises 

angegeben. 

Zum Punkt 2 sind die Schrägstrecke, die Horizontalrichtung und die Zenitdistanz gespeichert, 

aus denen sich auch die nachfolgenden Koordinaten berechnen lassen. 

Für den Zielpunkt 60 liegen die gleichen Messungen vor, nur dass sich hier aus den berechneten 

Koordinaten die Differenzen zu den gegebenen Koordinaten ermitteln lassen 

und ausgegeben werden. 

Format M5 der Firma Zeiss: 

For M5|Adr 1|PI1 60|y 4590424.6770 m |x 5824696.1660 m |z %%@ 

0.0000 m | 

For M5|Adr 2|PI1 130199-3|y 4590405.8470 m |x 5824716.5340 m |z %%@ 

0.0000 m | 

For M5|Adr 3|PI1 130199-3|m 1.000011 |0m 337.61720 gon %%@ 

|ih 0.0000 m | 

For M5|Adr 4|TI Polarpunktmessung |m 1.000011 | | %%@ 

| 

For M5|Adr 5|PI1 2|D 39.5520 m |Hz 344.69940 gon %%@ 

|V1 298.16700 gon | 



For M5|Adr 6|PI1 2|y 4590443.8670 m |x 5824727.3750 m |z %%@ 

0.0000 m | 

For M5|Adr 7|PI1 60|D 27.0310 m |Hz 387.70240 gon %%@ 

|V1 297.18600 gon | 

For M5|Adr 8|PI1 60|dy -6.0670 m |dx -9.9080 m %%@ 

|dz 0.0000 m | 

Bei diesem Format sind die gleichen Elemente wie im vorhergehenden Beispiel angegeben. 

Man erkennt hierbei sehr deutlich, die Ähnlichkeit zwischen den beiden 

Zeiss-Formaten. 

Ähnlich verhält es sich bei den Leica-Formaten GRE3, GRE4 und GIF10. 

Format GTS-700 der Firma TOPCON: 

GTS-800 v3.2 

JOB D:\TEST 

UNITS M,G 

SCALE 0.999892,0.999892,0.000000 

DATE 26/04/00,18:29:43 

TEMP 25,980 

RES OBS 2,0.000,1 

SD 344.69940,298.16700,39.5520 

RES OBS 60,0.000,1 

SD 387.70240,297.18600,27.0310 

Vorlauf 

Auftrag, Beschreibung 

Maßeinheit, hier m und gon 

Maßstabsfaktor 

Datum, Uhrzeit 

Temperatur, Luftdruck 

Punktnummer, Zielhöhe und Zähler bei freier Stationierung 

Horizontalwinkel, Vertikalwinkel, Schrägstrecke 

Punktnummer, Zielhöhe und Zähler bei freier Stationierung 

Horizontalwinkel, Vertikalwinkel, Schrägstrecke 

Bei diesem Format sind die gleichen Elemente wie im vorhergehenden Beispiel angegeben. 

Die Koordinaten als Ausgangs- oder als Ergebnisdaten stehen in einer eigenen 

Datei entsprechend dem nachfolgenden Beispiel mit den obigen Koordinatenwerten. 

Koordinatenformat der Firma TOPCON: 

60,4590424.6770,5824696.1660,0.0000,PT 

1301993,4590405.8470,5824716.5340,0.0000,PT 

2,4590443.8670,5824727.3750,0.0000,PT 

Man erkennt bereits an diesen vier Beispielen sehr anschaulich den Aufbau der 

Austauschformate. Hier wird also entweder mit Stellungsparametern, die in der Datenreihenfolge 

an einer bestimmten Stelle bzw. auch in einem bestimmten Spaltenbereich 

stehen müssen, oder mit Schlüsselzahlen, die die Bedeutung der nachfolgenden Zahlenwerte 

angeben, gearbeitet. 

3.3 Automatischer Datenfluss 

• Der Sinn des automatischen Datenflusses besteht darin, dass die Datenweitergabe 

sehr effektiv und sehr sicher durchgeführt wird. 

Dabei werden die Daten in einem mit dem Instrument verbundenen Speicher 

gesichert. Im nächsten Schritt werden diese Daten auf einen PC übertragen. 

Auf dem PC erfolgt dann der Datenfluss bis zum Auswerteprogramm, z.B. der 

interaktiven graphischen Bearbeitung. 



Gerätespeicher 

z.B. GRE4 oder REC 500 

↓ 

PC mit serieller 

Schnittstelle 

Physikalischer Datenfluss 

ohne Änderung der 

Datenstruktur 

• Beim physikalischen Datenfluss zwischen dem geräteeigenen Datenspeicher und 

dem Auswerte-PC muss der Datenfluss physikalisch möglich sein, d.h.: 

– Das Übertragungsprotokoll und die Übertragungsgeschwindigkeit muss festgelegt 

werden 

– Es werden zwei Programme zur Übertragung der Daten gestartet (im PC und 

im Instrument) 

Sie steuern die Übertragung durch das gegenseitige Zusenden von Steuerzeichen. 

Welche Art von Zeichen mit welcher Aussage gesendet werden, hängt 

von den eingesetzten Programmen ab. 

−→ DamitsinddieDatenaufdenverarbeitenden PC im vorgegebenen Format übertragen. 

• Am PC müssen Formatumwandlungen der Messungsdaten zur Verarbeitung in 

einem geodätischen Berechnungsprogramm bzw. Formatumwandlungen der Koordinatenwerte 

in das interaktive-graphische Auswertesystem durchgeführt werden. 

Hierbei ist es wichtig, dass keine eventuell vorhandenen Verschlüsselungen verloren 

gehen! 

– Die Beobachtungsdaten können im Feld bereits so verschlüsselt werden, dass 

das auswertende Programm erkennt, um welche Art von Objektpunkt es sich 

handelt. 

– Die Verschlüsselung orientiert sich dabei am Auswerteprogramm oder wird 

in der landesweit einheitlichen Form des OSKA (Objektschlüsselkatalog der 

Automatisierten Liegenschaftskarte (ALK)) vorgenommen. 

– Da beide Verfahren im Feld die Kenntnis eines umfangreichen Schlüsselkatalogs 

und auch die Eingabe recht langer Schlüsselzahlen bedingen, können im 

Feld auch abgekürzte Schlüsselzahlen genutzt werden, die für die eigentliche 

Bearbeitung jedoch umgesetzt werden müssen. 

• Das Ergebnis wird häufig nicht nur graphisch ausgegeben, sondern in digitaler 

Form weitergereicht. 

– Für den Austausch der Graphikdaten hat sich im PC-Bereich das Drawing 

Exchange Format (DXF) durchgesetzt. 

Der Nachteil dieses Formats besteht darin, dass keine logischen Informationen 

zu den Graphikdaten mitübertragen werden. 



Daten der 

Feldspeicher 

im entsprechenden 

Format 

Formatumwandlung 


Umwandlung der 

Verschlüsselung 

Grafischinteraktive 

Bearbeitung 

Geodätische 

Berechnungen 


Grafische 

Ausgabe der 

Ergebnisse 

PC 

Abbildung 10: Flussbild der Datenverarbeitung im PC 

– Beim Austausch von Graphikdaten einschließlich der logischen Zusammenhänge 

wird zumindestens in Deutschland sehr häufig die Einheitliche Datenbankschnittstelle 

(EDBS) eingesetzt. 

Dieses Format ist eine lineare Abbildung der Datenstruktur der ALK bzw. 

ATKIS und überträgt dementsprechend sowohl die graphischen Elemente als 

auch den logischen Zusammenhang dieser Elemente in Folienanordnung. 

3.4 Graphisch-interaktive Bearbeitung im Innendienst 

• Für die graphisch interaktive Bearbeitung der Ergebnisse liegen im PC-Bereich eine 

Vielzahl von Systemen vor (z. B. Geograph, CADDY). 

• Auch im kommerziellen Bereich liegen meist auf dem Betriebssystem UNIX eine 

ganze Reihe von Systemen vor (z. B. SICAD, DAVID, GIAP). 

• Beide Bereiche haben sich in den letzten Jahren stark in die Richtung von 

Geoinformationssystemen (GIS) angenähert. 

Für geodätische Anwendungen kommen eigentlich nur noch Systeme mit der 

Ausrichtung GIS in Frage. Das bedeutet, dass nicht nur die reine Graphik 

aufgebaut und gespeichert wird sondern auch eine logische Strukturierung der 

Datenvorgenommenwird. 

• Es erfolgt eine Klassifizierung der Daten nach dem Folienkonzept oder in Ebenen 

bzw. Layern, was dem Zusammenfassen gleichartiger Objekte entspricht. 

Nachfolgend sind die Folien der ALK als Beispiel für diese Klassifizierung aufgeführt. 



Folie Inhalt 

001 Flustücke 

002 Gemarkung, Flur 

003 Politische Grenzen 

011 Gebäude 

021 Flächen der tatsächlichen Nutzung 

023 Grenzeinrichtungen 

028 Geländeform 

050 Numerierte Punkte der Punktart 0 (TP) 

051 Numerierte Punkte der Punktart 1 (AP) 

052 Numerierte Punkte der Punktart 2 (Grenzpunkt) 

053 Numerierte Punkte der Punktart 3 (Gebäudepunkt) 

054 Numerierte Punkte der Punktart 4 (Topographischer Punkt) 

055 Numerierte Punkte der Punktart 5 (Sonstiger Punkt) 

058 Numerierte Punkte der Punktart 8 (Schwerepunkt) 

059 Numerierte Punkte der Punktart 9 (Nivellementspunkt) 

061 Kommunale Abgrenzungen 

062 Grundstücksbezogene Grenzen 

063 Andere gesetzliche Grenzen 

064 Versorgung und Entsorgung 

071 Kartenblatt, -rahmen und -rand 

081 Basistopographie Flurkarte 

082 Ergänzungstopographie 

085 Länderspezifische Punktdarstellung 

086 Länderspezifische Gebäudedarstellung 

520 Baumkataster 

• Nach dieser logischen Sortierung der graphischen Elemente (Punkt, Linie, Bögen 

und Flächen) erfolgt eine Verschlüsselung dieser Elemente und eine Zusammenfassung 

zu logischen Objekten. 

Beispiel ALK: 

Die Objektdefinitionen sind im Objektabbildungskatalog (OBAK) und die Verschlüsselungen 

im Objektschlüsselkatalog (OSKA) festgeschrieben. 

Im OBAK ist z. B. für ein Gebäude festgelegt, wie der Name des Gebäudes 

aufgebaut ist, dass das Gebäude flächenförmig ist und welche geometrischen 

Elemente mit welchen Schlüsselzahlen zulässig sind. 

Schlüssel Bedeutung 

1013 Begrenzungslinie eines 

nichtöffentlichen Geb. 

1014 Offene Begrenzungslinie 

1033 Anzahl der Vollgeschosse 

1041 Durchfahrt im Gebäude 

1045 Markierung für Überdachung 

1013 

1041 

1033 


V 

1045 

1013 

1014


• Die Speicherung der Geometrie (Punkte, Linien und Bögen) erfolgt bei der ALK 

redundanzfrei. 

Das bedeutet, dass ein Punkt oder eine Linie nur ein Mal mit seinen geometrischen 

Angaben gespeichert wird. Da auf der anderen Seite Punkte und Linien unterschiedlichen 

Objekten zugeordnet sein können, müssen eventuell Linienteilungen 

durchgeführt werden und die unterschiedlichen Bedeutungen der geometrischen 

Elemente gespeichert werden. 

• Diese logische Strukturierung erfolgt in allen geographischen Informationssystemen 

in gleicher Art und Weise, nur die Bearbeitungsschritte unterscheiden sich dabei. 

• Das gleiche lässt sich für die graphische Bearbeitung aussagen, die sich bei den 

einzelnen Systemen wie SICAD, Geograph, CADDY usw. unterscheidet. 

Auch die Integration von geodätischen Berechnungen ist bei den einzelnen Systemen 

unterschiedlich gelöst. 

• Die Übernahme der Objektpunkte mit den zugehörigen Koordinaten erfolgt fast 

ausnahmslos im automatischen Datenfluss. 

Die Aufbereitung der Graphik erfolgt entweder über einen im Feld aufgenommenen 

Handriss oder über eine im Feld vorgenommene Verschlüsselung. 

3.5 Graphisch-interaktive Bearbeitung im Feld 

• Mit der Leistungsexplosion im Hardwarebereich ist die Software mittlerweile nicht 

nur stationär im Innendienst sondern auch auf einem Laptop im Feld einsetzbar. 

• Bei einer Kopplung des elektronischen Messsystems mit einer Hardware, die den 

Einsatz der Graphiksoftware erlaubt, ist die oben angegebene graphisch interaktive 

Bearbeitung bereits vor Ort möglich. 

Eine Bearbeitung dieser Art wird natürlich noch effektiver, wenn auf einem vorhandenen 

graphischen Datenbestand eine Fortführung im Feld durchgeführt wird. 

3.6 Einsatz RTK 

• Das Satellitenverfahren GPS lässt sich auch für die Aufnahme größerer Punktmengen 

wie bei der Geländeaufnahme einsetzen (siehe Vermessungskunde III). 

• Voraussetzung dabei ist, dass keine Signalabschattungen zwischen Empfänger und 

den Satelliten bestehen. 

Sichtverbindungen zwischen den Punkten und zur Basisstation brauchen nicht vorliegen. 

• Erreichbaren Genauigkeiten beim Einsatz von RTK: 

Lage → einige Zentimeter und 

Höhe → etwa der dreifache Wert der Lagestandardabweichung (wegen der 

ungünstigen Schnitte ausgehen) 



• Eingesetzt wird bei der Real Time Kinematik das differentielle GPS-Verfahren mit 

einer Basisstation (Base), zu der die relativen Koordinaten mit beweglichen GPS- 

Empfängern (Rover) bestimmt werden. 

DamitlassensichsehreffektivGeländeaufnahmen relativ zu einem Punkt, der 

lage- und höhenmäßig im Bearbeitungskoordinatensystem bekannt sein muss, bestimmen. 

• Instrumentarium des Rovers: 

– Antenne und Controller an einem Lotstab 

– sowie der restlichen Messeinrichtung meist in einem Rucksack 

• Zur relativen Positionsbestimmung sind die Daten als Korrektur- oder Beobachtungsdaten 

zwischen der Basisstation und dem Rover per Funk auszutauschen. 

Die Übertragungsrichtung ist davon abhängig an welcher Stelle die relativen Koordinaten 

ermittelt werden sollen. (Der Rover ist zusätzlich mit der notwendige 

Funkeinrichtung und den entsprechenden Auswerteinrichtungen (Programmen) zu 

versehen). 

• Beispiel eines Gerätesystems: Leica System 500 

Das Gerätesystem ist (auch) für den Einsatz mit SAPOS entwickelt worden (Einsatz 

z.B. in Brandenburg). 

Abbildung 11: Leica GPS-Gerätesystem 500 

Von links nach rechts: Smart-Gate (Datenübertragung), Bedieneinheit, GPS-Empfänger, 

Antenne, Gesamtansicht 


4 DIGITALE GELÄNDEMODELLE (DGM) 29 

Abbildung 12: Leica GPS-Gerätesystem 500, Bedieneinheit 

In der Abbildung 12 sind im Display u.a.folgende Informationen ablesbar: 

- es handelt sich um Rover-Empfänger 

- Empfang von 7 Satelliten 

- Signal-Rausch-Verhältnis auf beiden Frequenzen 

- Datenempfang von Referenzstation ist OK 

- Zeit und restliche Batteriekapazität 

- 3-D-Koordinaten 

- Qualität der augenblicklichen Koordinaten- und Höhenbestimmung 

4 Digitale Geländemodelle (DGM) 

4.1 Allgemeines 

• Vielfach ist man heute dazu übergegangen, die Ergebnisse einer Geländeaufnahme 

nicht nur in analoger Form auszugeben sondern auch in digitaler Form als digitales 

Geländemodell abzuspeichern. 

• Der Sinn dieser Datenmodelle besteht einerseits darin die Fortführung zu vereinfachen 

und andererseits darin, diese Ergebnisse für vielfältige Zwecke weiterzuverarbeiten. 

• Im Zusammenhang mit topographischen Vermessungen kann man folglich das digitale 

Geländemodell als weitgehend unabhängigen Zahlenspeicher zur numerischen 

Beschreibung der Topographie auffassen. 

• Das DGM besteht aus dem digitalen Höhenmodell und dem digitalen Landschaftsmodell. 


4 DIGITALE GELÄNDEMODELLE (DGM) 30 

4.2 Digitales Höhenmodell 

• Als digitales Höhenmodell bezeichnet man die Menge der digital gespeicherten 

Höhenwerte, die als Funktion der Lage der Punkte, die Höhenstruktur des Geländes 

hinreichend genau repräsentieren. 

• Bei der Speicherung der Daten ist als zusätzliche Information aufzunehmen, in 

welcher Form die Daten vorliegen. 

Liegen nur die Messungsdaten vor, ist zu vermerken, in welcher Art die Vermessung 

(z. B. Rasteraufnahme oder Aufnahme des Geländeprtofils) erfolgt ist, und 

es ist eine Überarbeitung der Messungsdaten erforderlich. 

Liegen bereits abgeleitete Daten vor, so können diese direkt weiterverarbeitet werden. 

• Man nutzt dabei oft Polynome, die die Abhängigkeit der Höhe von den Lagekoordinaten 

wiedergeben. Die Bestimmung der Koeffizienten dieser Polynome erfolgt 

über die aufgenommenen dreidimensionalen Koordinaten und der Auflösung des 

zugehörigen Gleichungssystems nach der Methode der kleinsten Quadrate (Ausgleichungsrechnung). 

H(X, Y )=a00 + a10X + a01Y + a20X 2 + a22XY + a02Y 2 + ... (11) 

wobei H die Höhe, X und Y die Lagekoordinaten und aij die unbekannten Koeffizienten 

darstellen. 

4.3 Digitales Landschaftsmodell 

• Das digitale Landschaftsmodell umfasst die digitale Speicherung der als Grundriss 

bezeichneten Informationen. 

• Jedem Punkt wird als zusätzliche Information beigegeben, um welche Art von 

Punkt es sich handelt. 

Die Speicherung dieser Information wird sinnvollerweise in der Art durchgeführt, 

wie es bei geographischen Informationssystemen vorgenommen wird. Bei der ALK 

und auch bei ATKIS werden die Informationen objektweise gespeichert. Das bedeutet, 

dass dem Objekt die Information über die Art des Objektes beigegeben ist 

und die zugehörige Geometrie mit dem Objekt verknüpft wird. 


5 TRIGONOMETRISCHE HÖHENMESSUNG 31 

5 Trigonometrische Höhenmessung 

(tlw. Wiederholung aus 2. Semester) 

5.1 Grundlagen/Prinzip 

P 1 

z 

s 

∆h = s cot z 

P 2 

H 

H 1 

P 1 

z 12 

• Ermittlung von Höhenunterschieden aus Entfernungen 

und Vertikalwinkeln 

• im Gegensatz zum geometrischen Nivellement erfolgt 

die Messung nicht aus der Mitte, sondern von 

einem Entpunkt des Höhenunterschiedes aus 

• die Einflüsse von Erdkrümmung und Refraktion (gekrümmter 

Lichtweg) sind daher unbedingt zu beachten 

/2 

/2 

P 2 

c R 

cE H2 - cE ist der Einfluss der Erdkrümmung auf die trigonometrische Höhenübertragung 

- cR ist der Einfluss des gekrümmten Lichtweges 

Einfluss der Erdkrümmung 

P1 

(/2 

R 

( 

M 

so 

s 

R 

P2 

100 -( 

CE s ≈ s0 sin γ 

2 

cE 

sin γ 

2 

H 1 

= 

cE · 2R 

s 

s 

sin(100 − γ) 

= s 

cos γ 

s 

cE = 

2 

2R cos γ 

Näherung für R: 6370 km 

≈ s2 

2R 

= s 

2R 



Beispielwerte für den Einfluss der Erdkrümmung: 

s [km] 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 

cE 0.8mm 3.1mm 19.6mm 78.5mm 32cm 1.96m 7.9m 

Einfluss des gekrümmten Lichtweges (Refraktion) 

• die (optische) Dichte der Luft nimmt mit zunehmender Höhe ab 

dadurch kommt es zu einer kontinuierlichen Brechung des Zielstrahls 

• Der Einfluss des gekrümmten Lichtweges lässt sich analog berechnen, wenn der 

Lichtweg im Raum als Kreisbogen mit dem Radius r angenommen wird 

• Das Verhältnis der Radius der Lichtkurve zum Erdradius wird als Refraktionskoeffizient 

k bezeichnet 

k = R/r 

der Wert für k beträgt etwa k ≈ 0.125, dar ≈ 8R (für Zielungen außerhalb der 

bodennahen Luftschicht!) 

• der Refraktionskoeffizient kann stark variieren: 

– durch Variationen von Luftdruck und Temperatur entlang des Zielstrahls 

(vertikaler Temperaturgradient!) 

– in Bodennähe Beeinflussung durch verschiedene lokale Effekte 

schwer fassbare Reflektion/Absorbtion der Sonneneinstrahlung (Bewuchs, 

Asphalt/Beton, Wasserflächen, ...) 

– k ist örtlichen und zeitlichen Schwankungen unterworfen 

• Erfassung der Refraktionseinflüsse auf die Vertikalwinkelmessung ist sehr schwierig 

Korrektionen sind meist unsicher zu berechnen =⇒ Eleminierung durch Messungsanordnung 

und mit k = R/r r = R/k 

cR ≈− s2 

2r 

k · s2 

cR ≈− 

2R 

Beispielwerte für den Einfluss der Refraktion: 

(mit k =0.125) 

s [km] 0.1 0.2 0.5 1 5 10 

cE 0.1mm 0.4mm 2.5mm 9.8mm 24.5cm 0.981m 



Damit lässt sich der Höhenunterschied zwischen den beiden Punkten P1 und P2 berechnen: 

∆h = H2 − H1 = s · cot z + iP1 − zP2 + s2 k · s2 

− 

2R 2R 

∆h = s · cot z + iP1 − zP2 +(1− k) s2 

2R 

(iP1 Instrumentenhöhe in P1, zP2 Zielpunkthöhe in P2) 

• Der Korrektionsterm für Erdkrümmung und Refraktion kann für kurze Zielweiten 

( 100m) 

=⇒ weniger Instrumentenstandpunkte bei großen Höhenunterschieden 

• günstig und effektiv beim Einsatz elektronischer Tachymeter 

• Anwendung z.B. bei Trassierung von Verkehrsanlagen, Passpunktbestimmungen, 

Polygonzügen 

s 21 

z 21 z23 

2 

2 

s 23 

z 32 

s 32 

3 

3 

z 34 

s 34 

Trigonometrisches Nivellement mit 

gegenseitiger Zenitwinkelmessung 

4 

4 

5 

5 

1 

1 

A 

B 

z21 z23 

s21 s23 2 

2 

3 

3 

s 43 

z 43 

4 

4 

z 45 

s 45 

Trigonometrisches Nivellement mit 

Sprungständen 

• Messung zwischen den Endpunkten einer Strecke zweimal (Hin- und Rückmessung), 

dadurch Eleminierung von Erdkrümmung und (zum Teil) Refraktion 

gegenseitige Zenitwinkelmessung! 

• oder Messung in Sprungständen 

gleiche Zielweiten zwischen den ” Vor-“ und ” Rückblicken“ auf einem Standpunkt 

erforderlich! 


5 

5


kurzseitiges trigonometrisches Nivellement: 

- Zielweiten < 200m 

- Visuren meist parallel zur Erdoberfläche 

- Refraktionsfeld relativ homogen und bei Hin- und Rückmessung weitgehend konstant 

(kurzer zeitlicher Abstand!) 

⇒ Erdkrümmung und Refraktion beeinflussen Ergebnis kaum, auch bei Messung in 

Sprungständen 

langseitiges trigonometrisches Nivellement: 

- Zielweiten 200 bis 600 m 

-Abstände der Zielstrahlen zur Erdoberfläche variabel, variable Bodenverhältnisse 

- Refraktionsfeld inhomogen; durch Hin- und Rückmessung für jede Strecke weitgehend 

eleminierbar 

⇒ Erdkrümmung und Refraktion beeinflussen Ergebnis wenig; bei Messung in 

Sprungständen gleiche Zielweiten erforderlich 

◦ Bei sehr langen Zielweiten (> 1km) ist nicht nur gegenseitige sondern auch zeitgleiche 

Messung notwendig! 

Die Berechnung der Höhenunterschiede erfolgt nach der bereits bekannten Formel (einschließlich 

der Glieder zur Berücksichtigung von Erdkrümmung und Refraktion): 

bzw. für steile Zielungen: 

∆h = H2 − H1 = s · cot z +(1− k) s2 

2R + hi − hz 

∆h = H2 − H1 = s · cot z +(1− k s2 

) 

sin z 2R + hi − hz 

mit: hi Instrumentenhöhe 

hz Zieltafel- bzw. Reflektorhöhe 

5.3 Trigonometrische Höhenübertragung über große Distanzen 

• bei den nachfolgenden Betrachtungen wird die Erde als Kugel angenommen (mittlerer 

Radius 6371 km) 

in den meisten Fällen ist diese Näherung ausreichend 

• für genauere Annäherungen an die tatsächliche Erdfigur können andere (zusätzliche) 

Annahmen getroffen werden (ellipsoidische Gestalt, Geometrie des Geoides) 

⇒ siehe Vorlesung Landesvermessung (7. Semester) 



5.3.1 Höhenunterschiede aus einseitig beobachteten Zenitdistanzen 

Für genauere Bestimmungen bei großen Höhenunterschieden wird die horizontale Entfernung 

auf die mittlere Höhe Hm reduziert. 

es ergibt sich: 

Hm = H1 + H2 

2 

∆h = H2 − H1 = s(1 + Hm 

k s2 

) · cot z +(1− ) 

R sin z 2R + hi − hz 

Wenn s nicht gemessen sondern aus Koordinaten der Endpunkte eines Höhenunterschiedes 

gerechnet wird, ist zusätzlich die Projektionsverzerrung des Koordinatensystems zu 

berücksichtigen. 

5.3.2 Höhenunterschiede aus gegenseitig beobachteten Zenitdistanzen 

Bei gegenseitig gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzen ergibt sich entsprechend: 

∆h = H2 − H1 = s(1 + Hm 

R ) · tan(z21 − z12 

2 

und mit hi1 = hz1 und hi1 = hz1: 

)+ hi1 + hz1 − hz2 − hi2 

2 

∆h = H2 − H1 = s(1 + Hm 

R ) · tan(z21 − z12 

)+hi1 − hz2 

2 

5.3.3 Fehlerbetrachtung zur Höhenübertragung über große Distanzen 

Einseitige Zenitwinkelmessung: 

s 2 ∆h = 

� 

(1 + Hm 

�2 k · s 

)cotz− s 

R R sin z 

2 s + 

� 

Hm 

s(1 + R − ) 

sin 2 �2 ∆h · k · s 

+ s 

z sin z · 2R 

2 z + 

� 

s 

− 

2 

�2 

s 

sin z · 2R 

2 k +s2hi +s2hz Gegenseitige Zenitwinkelmessung: 

s 2 ∆h = 

� 

(1 + Hm 

R )tan(z21 �2 − z12 

) s 

2 

2 s + 

� 

Hm (1 + R ) 

2cos2 ( z21−z12 

�2 s 

2 ) 

2 z21 + 

� 

Hm 

(1 + R − ) 

2cos2 ( z21−z12 

�2 s 

2 ) 

2 z12 +s2hi1 +s2hz2 - die Fehler der mittleren Höhe und des Erdradius können i.d.R. vernachlässigt werden 

- bei Zenitdistanzen ≈ 100gon geht der Einfluss des Streckenfehlers stark zurück 

(bei z ≈ 97gon geht ss nur noch mit ca. 5% in das Ergebnis für ∆h ein) 

- Strecken können aus Koordinaten gerechnet werden (wenn Messung schwierig) 

- die Strecken können auch aus Zenitdistanzmessungen zu einem vertikalen Maßstab 

abgeleitet werden: 



z u 

z o 

s 

Streckenmessung aus Ablesungen an 

vertikaler Latte 

5.4 Bestimmung der Refraktion 

z1 

R 

11 

z1 

r 

s' 

s 

z2 

z2 

2 

R 

l 

h 

o 

u 

r 

l + h = s · cot zo 

=⇒ s = 

l 

cot zo − cot zu 

h = s · cot zu 

= 

o − u 

cot zo − cot zu 

Aus gegenseitigen Zenitwinkelmessungen kann 

auch der Refraktionskoeffizient bestimmt werden: 

z1 +∆z1 + β1 = 200gon 

z2 +∆z2 + β2 = 200gon 

β1 + β2 + γ = 200gon 

z1 +∆z1 + z2 +∆z2 = 200gon + γ 

∆z1 =∆z2 =∆z = 1 

2 δ 

γ = s 

R 

k = R 

r 

z1 + z2 +2∆z = 200gon + γ 

z1 + z2 + s 

s 

k = 200gon + 

R R 

z1 + z2 − 200gon = s 

(1 − k) 

R 

k =1− (z1 + z2 − 200gon) R 

s 

δ = s′ 

r 

∆z = s′ 

2r 

r = R 

k 

∆z = s′ s 

k ≈ 

2R 2R k 

Nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz erhält man für die Standardabweichung sk: 

s 2 k = 

� �2 

R 

s 

s 

2 z1 + 

� �2 

R 

s 

s 

2 z2 + 

� 

(z1 + z2 − 200gon) R 

s2 �2 

s 2 s 



Beispiel: 

gegeben: s = 1578.12m ±20mm 

z1 =98.8638gon ±2mgon z2 = 101.1510gon ±2mgon 

H1 =35.623m ±2mm 

gesucht: H2 ≈ 64m, sH2, k, sk 

Ergebnis: ∆h =28.352m ±35.0mm 

H2 =63.975m ±35.1mm 

k =0.062 ±0.179

VERMESSUNGSKUNDE IV

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