Algebraische Geometrie 2 12.¨Ubungsblatt

Prof. Dr. Torsten Wedhorn SS 09
Elena Fink
Algebraische Geometrie 2
12. Übungsblatt
Abgabe: Am Montag, den 13.07.09 bis 14 Uhr im Briefkasten 8 vor D1.348.
Bei jeder Aufgabe kann man 10 Punkte erreichen.
Aufgabe 45:
Betrachte das folgende kartesische Diagramm von Schemata:
X ′
g ′
X
.
f ′
Y ′
g
Y
f
Zeige:
(a) Ist g surjektiv, so gilt: f ′ surjektiv bzw. injektiv =⇒ f surjektiv bzw. injektiv.
(b) Ist g treu flach, so gilt: f ′ flach bzw. treu flach =⇒ f flach bzw. treu flach.
Aufgabe 46:
Sei S ein Schema, sei G ein O S -Modul vom endlichen Typ, und sei u: F → G ein Homomorphismus
von O S -Moduln.
Zeige, dass ein offenes Unterschema ι: V ↩→ S existiert, so dass für alle S-Schemata f : T → S gilt:
f ∗ u: f ∗ F → f ∗ G ist surjektiv ⇐⇒
f faktorisiert durch V, d.h.
∃f ′ : T → V, so dass f = ι ◦ f ′
Hinweis: Betrachte S \ (Supp Coker u) und benutze Aufgabe 22.
Aufgabe 47:
Sei S ein Schema, seien F und G lokal freie O S -Moduln vom Rang n und sei u: F → G ein
O S -Modulhomomorphismus. Zeige, dass u ein Isomorphismus ist genau dann, wenn u surjektiv ist.

Aufgabe 48:
Seien 1 ≤ d ≤ n ganze Zahlen, und sei I ⊂ {1, . . . , n} eine Teilmenge mit n − d Elementen.
Definiere einen Funktor X I : (Schemata) −→ (Sets) durch
⎧
⎫
⎨
die Komposition der Morphismen ⎬
X I (T ) =
⎩ U ∈ Grass d,n(T ) | OT I ↩→ On T → On T /U
⎭
ist ein Isomorphismus
wobei O I T ⊂ On T der Untermodul ist erzeugt von den Basisvektoren {e i, i ∈ I}.
Zeige:
(a) X I ist darstellbar durch ein offenes Unterschema von Grass d,n .
(b) ⋃ I XI = Grass d,n .
(c) X I ∼ = A d(n−d) .
(d) Folgere, dass Grass d,n ein glattes Z-Schema der relativen Dimension d(n − d) ist.
Hinweis zu (a): Benutze Aufgaben 46 und 47.