Weitere Eigenschaften

DistributivgesetzAddition und Multiplikation sind verkoppelt durch dieDistributivität: (x + y)z = xz + yz für alle x, y, z ∈ R.Bemerkung: Aus der Kommutativität folgt natürlich die Distributivitätauch auf der anderen Seite. Entsprechender Hinweishinsichtlich der Inversenbildung.3

Eigenschaften der Multiplikation(1) Die Zahl 1 mit x·1 = x für alle x ∈ R ist eindeutig bestimmt :Betrachte dazu 1 · 1 ′ . Dieses Element ist zugleich 1 und 1 ′ .(2) Zu jedem x ∈ R, x ≠ 0, ist das multiplikativ Inverse eindeutigbestimmt. Schreibweise: x −1 := yMultipliziere dazu x · y = 1 auf beiden Seiten mit Inversem y ′ zu x.(3) 1 −1 = 1 :Verwende 1 · 1 = 1 und berücksichtige die Definition des Inversen.(4) (x −1 ) −1 = x für alle x ∈ R, x ≠ 0:Es ist x · x −1 = 1. Denke nun an die Definition des Inversen!4

Eigenschaften Multiplikation II(5) (x · y) −1 = x −1 · y −1 :Beachte dazu xyx −1 y −1 = 1 und denke an Definition des Inversen.Schreibweise: An Stelle von x −1 schreiben wir auch 1 x . Ebensoyx := x−1 y = yx −1 .(6) Die Gleichung a · x = b , a ≠ 0, hat die eindeutig bestimmteLösung x = a −1 b = b a . 5

Beweis. (a) x = a −1 b ist eine Lösung, denna · (a −1 b) = (a · a −1 )b = 1 · b = b.(b) Falls x der Gleichung a · x = b genügt, multipliziere (vonlinks) mit a −1 . Dies liefert x = a −1 b.(7)1( y x ) = x yfür x, y ≠ 0Beweis: Bei der linken Seite handelt es sich um (x −1 · y) −1 =(x −1 ) −1 · y −1 = x · y −1 ; dies ist in anderer Schreibweise die rechteSeite von (7).(8) Es gilt x · 0 = 0 für alle x ∈ R: Wir verwenden 0 + 0 = 0und multiplizieren mit x. Distributivität liefert: x · 0 + x · 0 = x · 0.Addition von −x·0 auf beiden Seiten liefert dann die Behauptung.6

Bruchrechnen(1)(2)ab · cd =ab=a·cb·db, d ≠ 0a·db·db, d ≠ 0(3)ab+ c d= a·d+c·bb·db, d ≠ 0(4)1 ab =baa, b ≠ 07

BegründungDie Regeln ergeben sich automatisch, wenn wir Brüche a bin derForm ab −1 schreiben und die uns bekannten Regeln für Addition,Multiplikation, Distributivität verwenden:Zu (1):Zu (2):Zu (3):ab · cd =ab−1 cd −1 = (ac)(b −1 d −1 ) = (ac)(bd) −1 = a·cb·d .ab= ab −1 = ab −1 (dd −1 ) = (ad)(bd) −1 = a·db·d .ab+ c d =ad bd + bcbd ==(ad)(bd) −1 +(bc)(bd) −1Distr. = (ad+bc)(bd) −1 = ad+bcbd.Zu (4): Hatten wir schon!8

Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung(a) Berechne (a + b) · (c + d) .(b) Berechne (a + b) 2 .(c) Berechne (a + b) · (a − b) .(d) Wann ist a b = c d ? b, d ≠ 0(e) Ermittleabcd. b, c, d ≠ 09

Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung(a) Berechne (a + b) · (c + d) :Distributivgesetz 2-mal.(b) Berechne (a + b) 2 .Spezialfall von (a).(c) Berechne (a + b) · (a − b) .Spezialfall von (a).(d) Wann ist a b = c d ? Genau wenn d · a = b · c.(Erweitere mit b · d.)(e) Ermittleabcd?Schreibe als Produkteines Bruchs und einesinversen Bruchs.10

Axiome der AnordnungReelle Zahlen kann man nicht nur addieren und multiplizieren,zwischen ihnen ist auch der Größenvergleich, eine Anordnung,erklärt. In R sind gewisse Elemente als positiv gekennzeichnet(Schreibweise: x > 0 ), so dass gilt:(P1) Für jedes x ∈ R gilt genau eine der Beziehungenx > 0, x = 0, −x > 0 .(P2) Sind x, y > 0 , so folgt x + y > 0 .(P3) Sind x, y > 0 , so folgt x · y > 0 .11

Verabredungen, SchreibweisenWir schreiben:a>b ⇐⇒ a − b > 0a≥b ⇐⇒ a > b oder a = b.Ferner:a aa≤b definiert als b ≥ a12

Eigenschaften(1) Reflexivität: x ≤ x gilt für alle x ∈ R:x ≤ x bedeutet x < x oder x = x.(2) Transitivität: x < y und y < z =⇒ x < z :Wir haben y − x > 0 und z − y > 0, wegen (P2) daher auch(z − y) + (y − x) > 0, somit z − x > 0 und folglich x < z.(2’) Variante: x ≤ y und y ≤ z =⇒ x ≤ z(3) Antisymmetrie: Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y :Annahme x ≠ y. Dann ist x < y und y < x, folglich x < xund daher 0 = x − x > 0 im Widerspruch zu (P1).(4) Vollständigkeit: Für x, y ∈ R gilt x ≤ y oder y ≤ x .13

Ordnung und AdditionUngleichungen lassen sich addieren:x < y und x ′ < y ′ =⇒ x + x ′ < y + y ′Es ist nämlich y − x > 0 und y ′ − x ′ > 0, wegen (P2) dannauch (y − x) + (y ′ − x ′ ) > 0, somit (y + y ′ ) − (x + x ′ ) > 0, wasx + x ′ < y + y ′ bedeutet.Variante: x ≤ y und x ′ ≤ y ′ =⇒ x + x ′ ≤ y + y ′ 14

Ordnung und MultiplikationHier ist Vorsicht angesagt!x < y und a>0 impliziert a · x < a · yWir haben y − x > 0 und a > 0, daher wegen (P3) auch a(y − x) > 0,folglich ay − ax > 0, was a · x < a · y bedeutet.Variante: x ≤ y und a ≥ 0 impliziert ax ≤ ay .Aber: x < y und a a · y .Es ist y − x > 0 und −a > 0, daher (P3) (y − x)(−a) > 0.ax − ay > 0 und folglich ax > ay.Es folgt15

Weitere OrdnungsbeziehungenVariante: x ≤ y und a ≤ 0 =⇒ a · x ≥ a · yQuadrate “positiv”: Für jede reelle Zahl x gilt x 2 ≥ 0 .Die Fälle x < 0, x = 0 und x > 0 sind zu unterscheiden. Injedem Fall folgt die Behauptung aus früheren Aussagen.Folgerungen: (a) Es ist 1 > 0.(b) Es gibt keine reelle Zahl x mit x 2 = −1.16

Übergang zum Inversen(1) x > 0 impliziert 1 x > 0 .Annahme 1 < 0: Multiplikation mit x > 0 liefertx1 = x · 1x < x · 0 = 0 , Widerspruch!(2) x < 0 impliziert 1 x < 0 .Es ist −x > 0, wende nun (1) an.(3) 0 < x < y impliziert 1 y < 1 x .Multipliziere x < y mit Faktor 1 xy > 0. 17

Natürliche, ganze und rationale ZahlenZunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen0, 1, 2, 3, . . . nichts mit den reellen Zahlen zu tun.Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!) bettet sich die MengeN der natürlichen Zahlen jedoch in die Menge R der reellen Zahlen per Zuordnungn ↦→ n R =n-mal{ }} {1 + 1 + · · · + 1ein. Wir identifizieren n mit n R . Somit N ⊆ R.Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus allen Differenzenm − n mit m, n ∈ N. Somit Z ⊆ R.Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allenQuotienten m n mit m, n ∈ Z, n ≠ 0. Somit Q ⊆ R. 18

Das Archimedische AxiomEine wichtige Eigenschaft der Anordnung der reellen Zahlen wirddurch das Archimedische Axiom ausgedrückt:Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit.x ≤ nDas Axiom beschreibt, wie die Menge N der natürlichen Zahlenin derjenigen R der reellen Zahlen gelegen ist.19

Folgerungen I(1)Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine ganze Zahl n mitn ≤ x < n + 1.Es ist n durch x eindeutig bestimmt.Schreibweise: n =: [x].Beweis: Wähle n ∈ Z minimal mit x < n + 1. (Warum geht dies?)(2) Sind x, y > 0, so existiert n ∈ N mit n · x > y.Beweis: Wähle n ∈ N mit y x < n.y < n · x.Multiplikation mit x > 0 zeigt20

Folgerungen IIDie n-te Potenz einer reellen Zahl a ist a n :=n−mal{ }} {a · a · · · a.(3)Sei a > 1, dann gibt es zu jedem reellen M > 0 einenatürliche Zahl n, so dass a n > M.Beweis: Schreibe a = 1+x mit x > 0 und wende die BernoullischeUngleichunga n = (1 + x) n ≥ 1 + n · xan, welche für x ≥ −1 gilt. (Beweis vorführen.) Wegen (2) gibtes ein n ∈ N mit n · x > M − 1. Es folgta n ≥ 1 + n · x > M.□21

Rückschau: Reelle ZahlenFassen wir zusammen: Die reellen Zahlen bilden eine MengeR zusammen mit zwei Verknüpfungen + und ·, so dass (R, +, .)den Eigenschaften (A1)–(A4) für die Addition, (M1)–(M4)für die Multiplikation und dem Distributivgesetz (D) genügt.Ferner ist auf R eine mit Addition und Multiplikation verträglichevollständige Ordnung erklärt, die also den Eigenschaften (P1)–(P3) genügt. Mit anderen Worten:(R, +, ·,

Elementare KombinatorikAufgabe der Kombinatorik ist das systematische Bestimmen derElementanzahl, der Kardinalität, |M| einer endlichen Menge M.|M| = n bedeutet daher, dass M genau n verschiedene Elementehat. Etwas vornehmer ausgedrückt:|M| = n gilt genau dann, wenn es eine bijektive Abbildungf : {1, 2, . . . , n} → M gibt.23

Einschub: Verknüpfung von AbbildungenDie Verknüpfung (Komposition) zweier Abbildungen f : M → Nund g : N → P ist durchg ◦ f : M → P,m ↦→ g(f(m))erklärt. (Die zuerst auszuführende Abbildung steht rechts.)Satz Die Verknüpfung von zwei bijektiven (injektiven, surjektiven)Abbildungen ist wieder bijektiv (bzw. injektiv, surjektiv).Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass die Verknüpfung von zwei injektiven (surjektiven)Abbildungen wieder injektiv (bzw. surjektiv) ist. Der Rest folgt. □24

Die Umkehrabbildung einer bijektiven AbbildungWir erinnern uns: Eine Abbildung f : M → N heißt bijektiv,wenn es zu jedem n ∈ N genau ein m ∈ M mit f(m) = n gibt.Dies ermöglicht die Definition der Umkehrabbildung zu f.Die Umkehrabbildung g : N → M der bijektiven Abbildungf : M → N ordnet jedem n ∈ N das (wegen der Bijektivitätvon f) eindeutig bestimmte Urbild m ∈ M mit f(m) = n zu.Schreibweise: f −1 := g.Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M → N istwieder bijektiv. Warum?Eigenschaften: (a) (f −1 ) −1 = f (b) (g ◦ f) −1 = g −1 ◦ f −1 .25

Zählformeln I(Z1) |M| = |N| ⇐⇒ Es gibt eine bijektive Abbildung f : M → N.Beweis. Verwende, dass Verknüpfungen von bijektiven Abbildungenund Umkehrabbildungen wieder bijektiv sind.(Z2)|M ∪ N| = |M| + |N|, falls M und N disjunkt sind,d.h. M ∩ N = ∅ gilt.Beweis. Zähle erst die Elemente von M, dann die von N ab.(Z3)|M × N| = |M| · |N|.Schreibe M × N als disjunkte Vereinigung der Teilmengen{m} × N, mit m ∈ M, und zähle ab.26