Komplexe Zahlen i

© 2006 Dr. rer. nat. Peter Erich Keller
Komplexe Zahlen
1. Imaginäre Einheit i
2. Gauß’sche Zahlenebene
3. Mathematik der komplexen Zahlen (Addition, Subtraktion
und Multiplikation)
4. Exponential (polare) Darstellung einer komplexen Zahl
5. Komplex-konjugierte Zahlen
1. Imaginäre Einheit i
Die imaginäre Einheit ist definiert als die Quadratwurzel aus minus 1.
__
i = √-1
i i = i 2 = -1
Die komplexen Zahlen bestehen aus einer reellen Zahl a plus einer reellen Zahl b,
die mit i multipliziert ist.
z = a + bi
a ∈ {R}, b ∈ {R}, z ∈ {C}
z: komplexe Zahl
a: Realteil
bi: Imaginärteil

2. Gauß’sche Zahlenebene
Die komplexen Zahlen werden als Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene
dargestellt. Die Gauß'sche Zahlenebene besteht aus einer reellen Achse und einer
Achse in den Einheiten i (imaginäre Achse).
GAUß'sche Zahlenebene
^
|
|3i * 4+3i
|
|2i
|
* -3+ i | i * 2+ i
|
-------- −3--- −2--- −1-----|-----1-----2-----3-----4-----5----------->
|
|-i * 4 -i
|
-1-2i* |-2i
|
Jedem farbigen Punkt (*) entspricht einer komplexen Zahl. Gegeben sind folgende
komplexe Zahlen:
z = 4 + 3i
z = −3 + i
z = 2 + i
z = −1 –2i
z = 4 + i

3. Mathematik der komplexen Zahlen (Addition, Subtraktion und Multiplikation)
Komplexe Zahlen lassen sich addieren, substrahieren und multiplizieren.
Addition und Subtraktion
z + z = 4 + 2 + 3i + i = 6 + 4i
z + z = -3 +4 + i + i = 1 + 2i
Regel: z 1 ±z 2 = a 1 ±a 2 +(b 1 ±b 2 )i
Einfaches Rechenschema:
z 1 : a 1 + b 1 i
±z 2 : ±( a 2 + b 2 i )
Summe resp. Differenz
Multiplikation
z z = (-3 + i) (-1 -2i) = 3 +6i -i -2i i
= 5 +5i | i i = -1
Regel: z 1 z 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2 +(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i
Die Funktionen Re(z) und Im(z)
Re(z) gibt den Realteil, Im(z) den Imaginärteil der komplexen Zahl.
Z = a + bi
Re(z)=a
Im(z)=bi
4. Exponential (polare) Darstellung einer komplexen Zahl

Die komplexe Zahl kann auch in Polarkoordinaten angegeben werden.
Diese besteht aus einem Radialwert (r) und einem Winkel(φ, griech. Buchstabe;
sprich: PHI).
Die Umrechnung folgt aus der Euler’schen Gleichung
e iφ = cos(φ) + i sin(φ)
multipliziert mit dem Radialwert r (=Länge der komplexen Zahl in der Gauß’schen
Zahlenebene, Abstand vom Nullpunkt) erhält man die Umrechnungsformel.
r*e iφ = r(cos(φ)+i sin(φ))
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten.
Die kartesischen Koordinaten wurden vom französischen Mathematiker Décartes
entwickelt.
Koordinatentransformation polar >> kartesisch
a= r*cos(φ)
b=r*sin(φ)
z=a+bi
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten.
Koordinatentransformation kartesisch >> polar
_______
r=√a 2 +b 2
φ=arccos(a/r)
φ=arcsin(b/r)
Rechnen mit dem Taschenrechner

Arcuscosinus und Arcussinus sind die Umkehrfunktionen des
Cosinus und des Sinus. Mit dem Taschenrechner werden sie durch
die Tasten [arc] [sin] , [arc] [cos] oder [2nd] [sin -1 ], [2nd][cos -1 ]
berechnet. Die Winkel werden in Grad [DEG] oder Bogenmass
[RAD] eingegeben.
DEGREE engl. Grad, RADIAN engl. radial.
5. Komplex konjugierte Zahlen
Die komplex-konjugierte Zahl zu einer komplexen Zahl z wird mit z* bezeichnet.
Man berechnet sie durch Multiplikation des Imaginärteils mit
(-1).
Gegeben: z = a + bi
z* =a +(-1) bi = a – bi
In Polarschreibweise:
z = r exp(iϕ)
z*=r exp(-iϕ)