Brechung an einer Glaskugel, die Brechung des Lichtes ... - RZ User

Brechung an einer Glaskugel, die Brechung des
Lichtes an einer planparallelen Platte und die
scheinbare Verschiebung durch eine Flüssigkeit
Harald Schröer
2002
1

1 Brechung an einer Glaskugel
Wir untersuchen hier den Durchgang von Lichtstrahlen durch eine Glaskugel.
Die Umgebung soll ein Vakuum sein. Siehe dazu die Abbildung.
r = Radius der Glaskugel
α = Einfallswinkel
n = Brechzahl der Glaskugel
Aus der Zeichnung entnehmen wir:
d = 2r · cos β = 2r ·
Für das Brechungsgesetz schreiben wir:
sin α
n
Wir setzen das Brechungsgesetz ein:
d = 2r ·
√
= sin β
√
1 − sin 2 β
1 − sin2 α
n 2
oder:
d = 2r √
n · n 2 − sin 2 α
n > 1 ≥ sin α
Aus der Zeichnung erkennen wir γ 2 +β = 90◦ mit Hilfe der beiden rechtwinkligen
Dreiecke. Daraus erhalten wir durch das Brechungsgesetz:
n = sin α
sin β =
sin α
sin ( 90 ◦ − γ 2
)
2

oder:
cos γ 2 = sin α
n
Für die Durchgangszeit des Lichtes durch die Glaskugel bekommen wir:
t = d · n
c
Wird das Vakuum durch ein gasförmiges Medium ersetzt, dann muß n Glas
n Gas
anstatt
von n eingesetzt werden. Diese beiden Brechzahlen müssen auf das Vakuum
bezogen sein.
Die hier hergeleiteten Gleichungen können auch für Flüssigkeitstropfen verwendet
werden, falls diese Tropfen Kugelgestalt haben.
2 Brechung des Lichtes an einer planparallelen
Platte
Wir schauen uns den Gang des Lichtstrahls durch eine Glasplatte an, wie in der
Abbildung gezeigt wird. Außerhalb der Glasplatte soll sich Vakuum befinden.
n = Brechzahl der Platte
d = Dicke der Platte
α = Einfallswinkel
β = Brechungswinkel
Es gilt das Brechungsgesetz:
sin α
sin β = n
Gesucht ist die Parallelverschiebung s r des Lichtstrahls. Nach der Abbildung
schließen wir:
s = d · (tan α − tan β)
oder:
(
s = d · tan α − sin β )
cos β
3

Zu der gesuchten Größe s r besteht der folgende Zusammenhang:
s r = s · cos α
Verwendet man sin α = cos α · tan α und sin 2 β + cos 2 β = 1, so erhalten wir:
(
)
cos α sin β
s r = d · sin α − √
1 − sin 2 β
Nun setzen wir das Brechungsgesetz bei sin β ein:
⎛
sin α
cos α ·
n
s r = d · ⎝sin α − √
1 − sin2 α
n 2
Schließlich bekommen wir:
s r = d · sin α ·
(
1 −
⎞
⎠
)
cos α
√
n2 − sin 2 α
Die Brechzahl ist immer größer als 1. Deswegen gilt n > sin α. Die Durchgangslänge
s l können wir mit
s l =
d
cos β =
d
√
1 − sin2 α
n 2
bestimmen. Für die Durchgangszeit berechnen wir:
t = s l · n
c
Wird das umgebene Vakuum durch ein Gas mit der Brechzahl n G ersetzt, so ist
anstatt von n der Quotient n P
n G
einzusetzen. n P ist hier dann die Brechzahl der
Platte, die auf das Vakuum bezogen sein muß.
3 Scheinbare Verschiebung durch eine Flüssigkeit
Wir betrachten folgende Zeichnung:
4

Ein Behälter enthält eine Flüssigkeit mit der Höhe h. Auf dem Boden befindet
sich eine kleine Perle P . Schaut man unter dem Winkel α gegen die Oberfläche
der Flüssigkeit, so erscheint die Perle von P nach P ′ verschoben. Wir haben das
Brechungsgesetz:
sin α
sin β
n = Brechzahl der Flüssigkeit
x = scheinbare Verschiebung
= n oder sin β =
sin α
n
Für die scheinbare Verschiebung entnehmen wir aus der Abbildung:
x = h · (tan α − tan β)
Mit
tan β = sin β
cos β = sin β
√
1 − sin 2 β
wegen sin 2 β + cos 2 β = 1
erhalten wir:
Durch tan α =
Verschiebung:
tan β =
n ·
sin α
√ =
n 2 −sin 2 α
n 2
sin α
√
n2 − sin 2 α
√1−sin sin α kommen wir zur folgenden Darstellung der scheinbaren
2 α
(
)
1
x = h · sin α · √
1 − sin 2 α − 1
√
n2 − sin 2 α
(1)
Wir können dieses Problem noch verallgemeinern. So kann das Vakuum durch
ein beliebiges Gas ersetzt werden. Wenn n G die Brechzahl des Gases und n F
die Brechzahl der Flüssigkeit ist, so lautet das Brechungsgesetz:
n F
n G
sin α
sin β = n F
n G
ist dann anstatt von n in Gleichung (1) einzusetzen.
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