Der Raumwinkel durch ein geneigtes Rechteck - RZ User

Der Raumwinkel durch ein geneigtes Rechteck
Harald Schröer
2006
Wir werden hier den Raumwinkel durch ein geneigtes Rechteck berechnen,
die Methode ist ähnlich zu der in Schröer [1] (Kapitel 5). Das Rechteck soll im
Koordinatenursprung sein.
z ✻
⃗0 = (0, 0, 0)
❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍
r
✔ ✔✔✔✔✔
y
✲
r
. 1 b
.. ....
. ♣
.. ..
♣✧ ✧✧✧✧✧ a
r 2
⃗p 1 ⃗p 2
✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥
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⃗p 4 ⃗p 3
Wir führen den Entfernungsvektor ⃗ l = (r, r 2 , r 1 ) ein. Wir bilden die Differenzvektoren:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗p 1 = ⎝
⎛
⃗p 3 = ⎝
0
−a
2 b
2
0
a
2
−b
2
⎠ − ⃗ l ⃗p 2 = ⎝
⎞
⎛
⎠ − ⃗ l ⃗p 4 = ⎝
0
a
2 b
2
0
−a
2
−b
2
⎠ − ⃗ l
⎞
⎠ − ⃗ l
Nun bestimmen wir die Seitenwinkel der beiden Kugeldreiecke auf der Einheitskugel:
cos α 12 := cos ̸ (⃗p 1 , ⃗p 2 ) = ⃗p 1 · ⃗p 2
|⃗p 1 | · |⃗p 2 |
1

cos α 23 := cos ̸ (⃗p 2 , ⃗p 3 ) = ⃗p 2 · ⃗p 3
|⃗p 2 | · |⃗p 3 |
cos α 13 := cos ̸ (⃗p 1 , ⃗p 3 ) = ⃗p 1 · ⃗p 3
|⃗p 1 | · |⃗p 3 |
cos α 34 := cos ̸ (⃗p 3 , ⃗p 4 ) = ⃗p 3 · ⃗p 4
|⃗p 3 | · |⃗p 4 |
cos α 14 := cos ̸ (⃗p 1 , ⃗p 4 ) = ⃗p 1 · ⃗p 4
|⃗p 1 | · |⃗p 4 |
Wir betrachten die folgende Abbildung:
Wir verwenden den Seitenkosinussatz, um zwei Winkel zu erhalten:
cos α 13 = cos α 12 cos α 23 + sin α 12 sin α 23 cos ϕ 2
⇒ cos ϕ 2 = cos α 13 − cos α 12 cos α 23
sin α 12 sin α 23
cos α 13 = cos α 34 cos α 14 + sin α 34 sin α 14 cos ϕ 5
⇒ cos ϕ 5 = cos α 13 − cos α 34 cos α 14
sin α 34 sin α 14
Nun benutzen wir den sphärischen Sinussatz im ersten Dreieck:
sin ϕ 1
sin α 23
= sin ϕ 2
sin α 13
= sin ϕ 3
sin α 12
Im zweiten Dreieck:
sin ϕ 4
= sin ϕ 5
= sin ϕ 6
sin α 14 sin α 13 sin α 34
Schließlich bekommen wir den sphärischen Exzeß in Bogenmaß:
ε 1 = ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 − π
ε 2 = ϕ 4 + ϕ 5 + ϕ 6 − π
Für den Raumwinkel gilt Ω = ε 1 + ε 2 .
Wenn a, b ≪ r, dann haben wir die Näherung:
Ω ≈
ab · cos α
r 2 + r1 2 + r2 2
mit tan α =
√
r
2
1 + r 2 2
r
Φ = I · Ω mit I als Lichtstärke (Stahlstärke) ergibt den Lichtstrom (Strahlungsfluß
oder Strahlungsleistung) durch das geneigte Rechteck im Vakuum.
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Literatur
[1] Harald Schröer ”
Lichtstrom und Beleuchtungsstärke“,german and english
edition, Wissenschaft und Technik Verlag Berlin 2001
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