Blatt 4 - Institut für Mathematik - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Institut f. Mathematik
Grundlagen der
Stochastik
Blatt 4
G. Berschneider
SoSe 2013
Hausaufgabe 1
Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
(a) Zeigen Sie, dass aus der Unabhängigkeit der Ereignisse A, B und C die Unabhängigkeit
von A ∪ B und C folgt;
(b) Geben Sie notwendige und hinreichende Kriterien dafür an, dass zwei unvereinbare
Ereignisse unabhängig sind;
(c) Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen an ein Ereignis A an, unter
denen die Familie (A i ) i=1,2 mit A 1 = A 2 = A unabhängig ist.
Sei nun Ω = {1, 2, 3, 4} mit der Laplace-Verteilung versehen.
(d) Finden Sie drei paarweise unabhängige Ereignisse in Ω, welche nicht unabhängig
sind.
[10 Punkte]
Hausaufgabe 2 (Lemma von Borel und Cantelli)
Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und bezeichne P das von p induzierte
Wahrscheinlichkeitsmaß.
(a) Sei (A n ) n∈N eine Folge von Ereignissen mit ∑ n∈N P(A n) < ∞. Zeigen Sie, dass
P(lim sup n∈N A n ) = 0 gilt;
Hinweis: Nutzen Sie das Cauchy-Kriterium für Reihen.
(b) Sind A 1 , . . . , A n unabhängige Ereignisse, so gilt
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = 1 −
n∏
(
(1 − P(A k )) ≥ 1 − exp −
k=1
Hinweis: Nutzen Sie e −x ≥ 1 − x für x ∈ R.
n∑
k=1
)
P(A k )
[8 Punkte]
1

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Grundlagen der
Stochastik
G. Berschneider
SoSe 2013
Hausaufgabe 3
Für α ∈ R und k ∈ N definiert
( ( α α
:= 1, :=
0)
k)
α · (α − 1) · · · (α − k + 1)
k!
=
∏ k−1
j=0
(α − j)
k!
den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten. Zeigen Sie die folgenden Identitäten:
(a) ( ) (
α
k + α
) (
k−1 = α+1
)
k ;
(b) ( ) ( )
−α
k = (−1)
k α+k−1
k .
Seien nun α ∈ (0; ∞) und ϑ ∈ (0; 1) fest. Wir betrachten die Zähldichte
( ) α + k − 1
p : N 0 −→ R, k ↦−→
ϑ k (1 − ϑ) α ,
k
der Negativbinomialverteilung NB(α, θ) mit den Parametern α und ϑ.
(c) Zeigen Sie, dass p eine elementare Wahrscheinlichkeitsverteilung auf N 0 definiert.
[12 Punkte]
Abgabe der Hausaufgaben im grünen Postkasten mit der Nr. 112
(D1-Flur) bis spätestens Montag, den 06.05.2013, 16 Uhr.
Wegen des Feiertags entfallen am 09.05.2013 die Übungen.
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