Trägheitsmoment

Massenträgheitsmoment.
1) Lernziel:
Die Studenten begreifen die Auswirkung der Massenverteilung bei der Rotation um eine
Drehachse.
Sie üben die Anwendung der Formeln für einfache geometrische Körper
Sie ermitteln die Federkonstante eines Drehpendels
Sie bestimmen experimentell das Massenträgheitsmoment verschiedener Körper
und erkennen die Bedeutung des Satzes von Steiner.
2) Theoretische Grundlagen
Während bei der Behandlung der Translation die Masse eines starren Körpers in seinem
Schwerpunkt zusammengefasst werden kann, etwa um seine Bewegungsenergie E= ½ M*v 2
zu berechnen, ist dies bei der Rotation des Körpers nicht mehr so einfach der Fall. Logisch,
denn die einzelnen Massenpunkte haben unterschiedliche Bahn-Geschwindigkeiten.
Ihre Winkelgeschwindigkeit ist allerdings für alle Punkte gleich.
E
1
2 ⋅M
⋅ v2
1
⋅ m
2 ∑
⎡ v
⎣ i i
i
⋅ ( ) 2
⎤
⎦
⎡
⎢
1
⋅ m
2 ∑
r
⎢ i i
i ⎣
⋅ ( ) 2
⎛
⎜
⎜
⎝
⋅
v i
r i
2
⎞
⎤
⎟⎟⎠ ⎥
⎥
⎦
( ) 2
1
⋅ m
2 ∑
⎡
⋅ r
⎣ i i
i
⋅( ) 2
ω i
⎤
⎦
1
2 ⋅J
⋅ ω2
J
n
∑
i = 1
⎡
⎣
m i
r i
⋅ ( ) 2
⎤
⎦
Formal gesehen wird die Masse M durch das Massenträgheitsmoment J
und die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzt.
Das Massenträgheitsmoment eines Körpers setzt sich also aus dem der einzelnen Massenpunkte
zusammen. Am besten lässt sich dies durch ein Integral berechnen:
J
⌠
⎮
⎮
⌡
r 2 ⌠
⎮
dm
ρ⋅
r 2
⎮
dV
⌡
2π R h
⌠ ⌠ ⌠
ρ⋅⎮
⎮ ⎮ r 2 r dφ
dr
dz
⌡ ⌡ ⌡
0 0 0
ρ :=
m
V
Für einen Zylinder mit der Masse M und dem Radius R erhält man somit:
Zylindervolumen:
V :=
R 2 ⋅π
⋅h
2π R h
⌠ ⌠ ⌠
J( R,
M) := ρ⋅⎮
⎮ ⎮ r 2 r dφ
dr
dz
→
⌡ ⌡ ⌡
0 0 0
1
⋅
2 M ⋅ R2
Die Massenträgheitsmomente für einige gebräuchliche Körper sind bereits berechnet worden und
sind in Formelbüchern aufgelistet.
http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment

3) Durchführung
3.1) Übungsanleitung
Stellen Sie diese Vorrichtung zusammen und
berechnen Sie das Massenträgheitsmoment aus
Stange und den beiden symmetrisch aufgebrachten
Gewichten in Abhängigkeit vom Radius.
Aus der Differenzialgleichung
2
d
J⋅
φ + D⋅φ
0
der Drehschwingung
2
dt
erhält man einen Ausdruck für
die
Kreisfrequenz ω.
ω 2 D J
ω 2π ⋅f
Aus der Kreisfrequenz berechnet man die Periodendauer, setzt für J den
T entsprechenden Ausdruck , z.B. mr²+ m Stange *L² /12 ein und erhält damit
eine Geradengleichung, wenn man T² = y und r² = x benennt:
T 2 4 ⋅ π 2
D
⎛
⎜
⎜
⎝
⋅
m⋅
r 2
+
2π
m Stange L 2 ⋅
12
⎞
⎟
⎟
⎠
D… Federkonstante (auch oder Richtgröße genannt)
T… Periodendauer der Schwingung
L… Länge der Stange
y 4⋅π 2 m
⎛
⎛
⎜ ⋅
⎞
⎟ ⋅ π 2 ⋅L 2 ⎞
+ ⎜ ⋅ ⎟
D ⎠ x
m Stange
⎝ ⎝ 3D ⎠
y = k * x + d
Die Werte werden in ein x-y –Diagramm gezeichnet. Die Steigung der Ausgleichsgeraden
(Trendlinie) wird hinsichtlich D ausgewertet.
n r / m m / kg m stange / kg T / s T 2 / s 2
Messen Sie also die Periodendauer T – Mittel
aus 5 Schwingungen - und tragen Sie T 2 in
einem Diagramm über r 2 auf. Die Steigung
der Geraden liefert die Federkonstante der
Drehfeder.
Geben Sie eine andere Messmethode zur
Bestimmung von D an!

3.2) Experimentelle Bestimmung der Massenträgheitsmomente einiger Körper:
Mit der in 3.1) ermittelten
Federkonstante D wird nun J
experimentell bestimmt und dem
berechneten Wert gegenübergestellt
Zylinder
Hohlzylinder
Scheibe
Kugel
r m T J gemessen J berechnet
m kg s kg*m 2 kg*m 2
3.3) Satz von Steiner
Der Satz von Steiner besagt, dass man bei Kenntnis des Massenträgheitsmoments um eine Achse
durch den Schwerpunkt des Körpers das Massenträgheitsmoment um eine beliebige parallele Achse
im Normalabstand a berechnen kann.
Man spannt die Scheibe in der Mitte ein und misst die Periodendauer.
Anschließend lässt man die Scheibe um einen außermittigen Drehpunkt rotieren und misst wieder
die Periodendauer der Schwingung.
Stellen Sie die so ermittelten Werte für J den berechneten Werten gemäß
Tabelle gegenüber.
J = J s + m*a 2 in einer
4) Ihr Kommentar:
Welche Parameter sind für die Genauigkeit der Messungen am einflussreichsten? Wie müsste man
die Einrichtungen verbessern, um zu genaueren Ergebnissen zu kommen?