atp edition Lateralverhalten elastischer Bahnen vereinfacht modelliert (Vorschau)

5 / 2011 

53. Jahrgang B3654 

Oldenbourg Industrieverlag 

Automatisierungstechnische Praxis 

Lateralverhalten elastischer 

Bahnen vereinfacht modelliert | 24 

WIA-PA: A New Standard 

for Wireless Communication | 38 

Technologie-Roadmap 

Automation 2020+ Energie | 46 

Life Cycle Cost Model for 

Distributed Control Systems | 56

editorial 

Smart Grid braucht 

Automatisierung 

Zur Stillung ihres Energiehungers erzeugt die Menschheit aus fossilen Energieträgern 

Strom exakt nach ihrem Bedarf: zu jeder Zeit genau so viel, wie 

die Nachfrage erfordert. Die Stromerzeugung aus direkter Sonneneinstrahlung 

und Windkraft schränkt diese Freiheit ein, da sie zeitlich und örtlich 

unbeeinflussbar schwankt. Zudem gilt es, sie mit den existierenden Energiesystemen 

auf fossiler und nuklearer Basis systemkonform zu koppeln. 

Die Nutzung der sogenannten regenerativen Energien mit einem derzeit 

für 2050 geplanten Anteil von mehr als 50 % im Mix der Primärenergie erfordert 

somit einen Paradigmenwechsel: 

Elektrische Energie wird nicht mehr zu jeder Zeit in einer nur durch 

die Anschlussbedingungen und einen festen Tarif begrenzten Menge 

zur Verfügung stehen. 

Die flächige Verteilung von direkter Sonneneinstrahlung und Wind 

bewirken eine hochgradige Dezentralisierung der Energieerzeugung 

(virtuelle Kraftwerke). 

Die bisher klare Trennung von Erzeuger und Verbraucher wird 

unscharf („Prosumer“). 

Große und gleichzeitig flexible Energieverbraucher wie die Elektromobilität 

werden zum Ausgleich der Einstrahlungsvolatilität beitragen 

müssen. 

Damit entsteht ein komplexes EchtzeitOptimierungsproblem! Verfügbarkeit, 

Preis und Qualität elektrischer Energie sind unter Berücksichtigung eines 

weiterhin vorhandenen, zumindest fossil basierten Energieangebotes unter 

Beachtung sozioökonomischer Rahmenbedingungen mittels volatiler Marktbedingungen 

zu optimieren und zu steuern. Dafür hat sich der Begriff „Smart 

Grid“ etabliert. Das Schlagwort vom „Internet der Energie“ adressiert die 

Vernetzung und den notwendigen Informationsfluss. Die adäquaten Szenarien 

(„Use Cases“) und die passenden Marktmodelle sind in Arbeit. 

Eine solche Komplexität ist ohne das hoch entwickelte methodische Rüstzeug 

der Automatisierungstechnik nicht zu bewältigen. Beginnend mit der 

Modellierung verteilter Echtzeitsysteme verfügt die Automatisierungstechnik 

über mächtige Verfahren zur dynamischen Modellierung und Simulation 

sowie zur multikriteriellen Optimierung der Eigenschaften komplexer 

Funktionsnetze. Anwendungsfelder im Smart Grid sind zumindest die Automatisierung 

in und von Gebäuden („home automation“) und die Automatisierung 

der Verteilungsnetze unter Einbezug von in der Fläche verteilten 

Erzeugern (Photovoltaik, MiniHeizkraftwerke, Brennstoffzellen). Damit 

entsteht die Kopplung mit einer vernetzten Gasversorgung (Erdgas, Biogas). 

Eine entsprechende Normung, beginnend bei Planungs und Beschreibungsmethoden 

wie IEC 61850, für dynamische Netzmodelle und die 

Schnittstelle zwischen dem Energiesystem und den zukünftig aktiven 

Marktteilnehmern ist unverzichtbar. Spezifische regulatorische Aspekte 

und gesetzliche Anforderungen sind durch Automatisierungs und Informationstechnik 

sicherzustellen. 

Die Automatisierungstechnik ist unverzichtbare Disziplin im Smart Grid 

und muss ihre Rolle frühzeitig annehmen! 

Prof. Dr. 

Hartwig Steusloff, 

Fraunhofer IOSB, 

Karlsruhe 

atp edition 

5 / 2011 

3

Inhalt 5 / 2011 

Verband 

6 | Mit Automation die Herausforderungen meistern 

Fachhochschulen und Industrie im engen Dialog 

Forschung 

7 | Mensch und Maschine arbeiten sicher zusammen 

Ambidexterer Roboter erlaubt komplexe Operationen 

branche 

8 | Rekord in der Fertigungsautomatisierung – 

Die Prozesstechnik zieht 2011 nach 

Smart Grids bringen Zusatzschub für die Branche 

9 | Wireless – Der Weg zur optimalen Anwendung 

Assembly on the fly für Montage im Fließbetrieb 

10 | Abschied von COM und ActiveX: FDT 2.0 

basiert auf der Microsoft-.NET-Technologie 

14 | Virtuelles Labor für Automatisierungstechnik – 

Simulationssoftware erlaubt interaktives Lernen 

18 | ISO 26000: Herausforderungen und Chancen – 

Starten Sie mit uns ein ISO-26000-Pilotprojekt! 

Praxis 

20 | DIN EN 62424: Den Übergang zwischen Fließbild 

und CAE-System ohne Brüche realisieren 

4 


5 / 2011

Verträgt auch 

harte Sachen 

hauPtbeiträge 

24 | Lateralverhalten elastischer 

Bahnen vereinfacht modelliert 

Teil 2 

g.brandenburg 

38 | WIA-PA: A New Standard 

for Wireless Communication 

o. Jinsong, L. dan 

46 | Technologie-Roadmap 

Automation 2020+ Energie 

t. Wehnert, M. Winzenick 

56 | Life Cycle Cost Model for 

Distributed Control Systems 

M. dix, r. gitzeL, c. M. stich 

rubriken 

3 | Editorial 

66 | Impressum, Vorschau 

Hohe Langzeitstabilität 

bei aggressiven Medien? 

Jetzt möglich mit dem 

OPTIFLUX 5300. 

Denn sein Messrohr aus Hochleistungskeramik 

ist speziell für 

anspruchsvolle Applikationen 

entwickelt. Dazu zählen: 

• Hoch korrosive Medien 

• Hoch abrasive Medien 

• Hohe Temperaturwechsel 

Um eine mechanische Belastung 

beim Einbau des OPTIFLUX 5300 

zu vermeiden, ist das Keramikmessrohr 

der Flanschversion 

schwimmend gelagert. Damit 

ist im Brandfall für höchste 

Leckagesicherheit gesorgt. 

KROHNE – Chemie ist unsere Welt. 


5 / 2011 

5

verband 

Mit Automation die Herausforderungen meistern 

INtENSIVE DISkUSSIONEN auch bei der Abendveranstaltung 

prägen den VDI-Kongress Automation. Bild: VDI 

Wie kann die Automation zu einem hohen Sicherheitsstandard 

beitragen? Wie hilft sie, globale gesellschaftliche 

Herausforderungen zu meistern? Diese Fragen 

bilden den roten Faden des VDI-Kongresses Automation 

2011 am 28. und 29. Juni in Baden-Baden. 

„Die Automation spielt eine bedeutende Rolle beim 

Schutz des Menschen und der Umwelt vor Gefahren“, sagt 

Tagungsleiter Dr. Peter Adolphs, Geschäftsführer Fabrikautomation 

bei Pepperl+Fuchs. „Ohne verantwortungsbewusste 

Automation lassen sich die zunehmend komplexen 

Anlagen, Prozesse und Systeme nicht sicher beherrschen.“ 

Adolphs ist in diesem Jahr neuer Leiter des 

Automatisierungskongresses, gemeinsam mit Dr. Kurt D. 

Bettenhausen von Siemens, Prof. Dr. Ulrich Jumar vom 

Institut für Automation und Kommunikation sowie 

Dr. Norbert Kuschnerus von Bayer Technology Services. 

Das Programm bietet vier parallele Sektionen, zwischen 

denen die Teilnehmer wählen können: Design & 

Engineering, Methoden & Technologien, Prozessautomation 

sowie Automation im Alltag beziehungsweise Fertigungsautomation. 

Zu den Vortragsthemen zählen beispielsweise 

„Herausforderungen bei der Projektierung 

eines Feuer- und Gassystems“, „IO-Link Integration in 

Engineering-Tools und Steuerungen“, „Wasser und Abwasser 

fordern die Automatisierungstechnik“ oder „Simulationsbasierte 

Steuerung von Druckluftstationen“. 

Neu ins Programm integriert sind kurze Posterpräsentationen 

mit Praxisbeispielen – etwa zum Vergleich numerischer 

Löser zur Simulation steifer und hybrider Systeme, 

zur Optimierung der Life-Cycle-Kosten von pharmazeutischen 

Produktionsanlagen oder zur Plug & Work 

Automation in der Intralogistik. 

Parallel zum Kongress Automation finden die VDI- 

Fachtagungen „Wireless Automation“ (www.vdi.de/ 

wireless) sowie „Industrielle Robotik“ (www.vdi.de/ 

robotik) statt. Somit besteht während der Pausen für die 

Teilnehmer aller drei Veranstaltungen die Möglichkeit 

zum fachlichen Austausch, etwa im Rahmen der gemeinsamen 

Fachausstellung. Informationen und Anmeldung: 

www.automatisierungskongress.de 

VDI WISSENSFORUM, 

Kundenzentrum, Postfach 10 11 39, 

D-40002 Düsseldorf, Tel. +49 (0) 211 621 42 01, 

Internet: www.vdi-wissensforum.de 

Fachhochschulen und Industrie im engen Dialog 

Der Dialog zwischen Hochschulen und der Industrie 

stand beim 8. Fachkolloquium für Angewandte Automatisierungstechnik 

in Lehre und Entwicklung an Fachhochschulen 

(AALE) im Vordergrund. Das spiegelte sich 

erneut in der Struktur der Vortragenden und rund 200 

Besucher der Veranstaltung am Göppinger Standort der 

Hochschule Esslingen wider: Jeweils etwa die Hälfte kam 

aus der Industrie und von Fachhochschulen. 

40 Vorträge namhafter Experten, aber auch Beiträge mit 

studentischer Beteiligung vermittelten den Teilnehmern 

aus Deutschland, Österreich und der Schweiz viele interessante 

Ideen und Eindrücke. Als Schwerpunktthemen 

kristallisierten sich in diesem Jahr die funktionale Sicherheit, 

Energieeffizienz und Objektorientierte Programmierung 

in der Automatisierungstechnik heraus. So stellte 

der Namur-Vorsitzende Dr. Norbert Kuschnerus in einem 

der eröffenden Plenarvorträge die Einschätzung der 

Namur zur funktionalen Sicherheit dar. 

Ausrichter der Konferenz war in diesem Jahr die Fakultät 

„Mechatronik und Elektrotechnik“ der Hochschule Esslingen 

am Standort Göppingen. Organisator Professor Dr.-Ing. 

Karl-Heinz Kayser von der Hochschule Esslingen in Göppingen 

zieht eine positive Bilanz: „Wir haben eine sehr 

große und positive Resonanz erfahren und freuen uns, dass 

wir ein so hochkarätiges Programm anbieten konnten“. 

Professor Dr.-Ing. Reinhard Langmann, Vorsitzender 

des Fördervereins der AALE-Konferenz (VFAALE) und 

Vorstand des Tagungsbeirats betont: „Besonders wichtig 

ist und bleibt der Dialog zwischen den Hochschulen mit 

ihren Professoren und den Industrievertretern.“ Diese 

Kommunikation sei bedeutsam, damit die Lehrinhalte 

auf die Praxis in den Unternehmen abgestimmt und ständig 

auf dem Stand der modernen Technik seien. 

Der AALE Student Award wurde diesmal verliehen an 

Dipl.-Ing. Daniel Tritschler und Steven Rinke BSc. 

Tritschler wurde in der Master/Diplomkategorie ausgezeichnet 

für seine Arbeit „Entwicklung eines DC/DC- 

Wandlers mit großem Übersetzungsverhältnis“. In der 

Bachelor-Kategorie erhielt Rinke die Auszeichnung für 

die „Entwicklung von echtzeitoptimierten Ansteueralgorithmen 

für elektromotorische Ventilaktuatoren“. 

Der Tagungsband zur Fachkonferenz 2011 ist soeben 

im Oldenbourg Industrieverlag erschienen (978-3-8356- 

3238-7). 

VFAALE E.V., 

c/o Fachhochschule Düsseldorf, 

Fachbereich Elektrotechnik, 

Josef-Gockeln-Str. 9, D-40474 Düsseldorf, 

Tel. +49 (0) 211 435 13 08, Internet: www.vfaale.de 

6 


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forschung 

Mensch und Maschine arbeiten sicher zusammen 

die 3-d-simUlAtion ermittelt, wo Kameras installiert 

werden sollten, die vor Unfällen warnen. Bild: Fraunhofer 

Ein intelligentes Monitoring-System soll helfen, Unfälle 

zwischen Mensch und Maschine zu verhindern, die 

passieren, wenn Bereiche in Produktionshallen schlecht 

einsehbar sind. Das Fraunhofer-Institut für Digitale Medientechnologie 

IDMT Ilmenau entwickelte das System, 

welches mittels Kameratechnik und 3-D-Simulation mögliche 

Unfallsituationen erkennt, davor warnt und gegebenenfalls 

die Produktion zum Stillstand bringt. 

Das zur Einheit gehörende Konfigurations-Tool „Sim4Save“ 

berechnet die optimale Anzahl und Positionierung 

der Überwachungskameras in sicherheitsrelevanten Bereichen. 

Im Routinebetrieb werden dann die Daten aller 

Kameras, die auch an den Greifarmen der Roboter installiert 

sein können, in Echtzeit erfasst, analysiert und ausgewertet. 

Eine dazugehörige Kommunikationsplattform 

empfängt die Daten des Konfigurators. Kommt es im Arbeitsprozess 

zu einer Beinahe-Kollision, ertönt die Warnung. 

Ob lediglich ein akustisches Signal zu hören ist oder 

sofort die Maschine stillsteht, hängt wie die Anzahl der 

Kameras vom Sicherheitsbedürfnis des jeweiligen Unternehmens 

und vom Arbeitsverhalten des Roboters ab. 

FrAUnhoFer-institUt Für digitAle 

medientechnologie idmt, 

Ehrenbergstraße 31, D-98693 Ilmenau, 

Tel +49 (0) 3677 46 70, Internet: www.idmt.fraunhofer.de 

Ambidexterer Roboter erlaubt komplexe Operationen 

Neue Möglichkeiten zur Automatisierung im Elektromaschinenbau 

entwickelt der Lehrstuhl für Fertigungsautomatisierung 

und Produktionssystematik an 

der Uni Erlangen. Die Schlüsselkomponente bildet ein 

ambidexterer (lat. mit beiden Armen gleich geschickt) 

Roboter der Firma Yaskawa Motoman. Mit zwei Armen 

mit jeweils sieben Achsen und einer zusätzlichen Drehachse 

bietet er eine menschenähnliche Bewegungsflexibilität 

bei hoher Dynamik und Traglast. Pro Arm können 

Lasten von bis zu 20 kg manipuliert werden. Die Robotersteuerung 

erlaubt es, Werkstücke mit beiden Armen 

synchron zu manipulieren oder mit jedem Am getrennt 

Handhabungsoperationen auszuführen. 

Friedrich-AlexAnder-Universität 

erlAngen-nürnberg, 

Lehrstuhl für Fertigungsautomatisierung und 

Produktionssystematik (FAPS), 

Egerlandstr. 7-9, D-91058 Erlangen, 

Tel +49 9131 852 79 62, Internet: www.faps.uni-erlangen.de 

VA Master. 

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Ölplattform oder Chemieanlage – der 

komplett in nichtrostendem Stahl 

ausgeführte Ganzmetall-Schwebekörper 

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5 / 2011 

7

anche 

Rekord in der Fertigungsautomatisierung – 

Die Prozesstechnik zieht 2011 nach 

Die deutsche Automatisierungsindustrie zeigt sich für 

das laufende Jahr optimistisch. Die hohen Auftragseingänge 

der letzten Monate des Jahres 2010 haben sich 

2011 fortgesetzt. Für das laufende Jahr erwartet der ZVEI 

zehn Prozent Wachstum bei der elektrischen Automatisierungstechnik 

– ebenso viel wie bei der Elektroindustie 

ingesamt (siehe Beitrag unten). 

Bei der Fertigungsautomatisierung wurde der Vorkrisen-Umsatz 

bereits übertroffen, die Prozessautomatisierung 

dürfte das Vorkrisen-Niveau 2011 erreichen. Der 

Anstieg in der Fertigungsautomatisierung war so stark, 

dass er auch den Gesamtumsatz über das Niveau des Jahres 

2008 hievte. Der Gesamtumsatz wuchs 2010 um über 

16 Prozent auf knapp 41 Mrd. Euro. Getragen wurde das 

Wachstum vor allem vom Export mit plus 25 Prozent auf 

27 Mrd. Euro. Fast 42 Prozent betrug das Wachstum im 

Geschäft mit Südostasien. Mit plus 36 Prozent gehören 

auch die USA wieder zu den Wachstumsregionen der 

Branche. Die Exportquote liegt nun bei fast 83 Prozent. 

„Ein solch hohes Wachstum hatten wir nicht erwartet“, 

sagte Dr. Gunther Kegel, Vorsitzender des ZVEI-Fachverbands 

Automation anlässlich der Hannover-Messe. Einige 

Unternehmen melden 30 bis 40 Prozent gewachsenen 

Auftragseingang. „Die Lieferzeiten bei einigen Bauteilen 

betragen bis zu 20 Wochen, sodass das Umsatzwachstum 

den Aufträgen hinterherhinkt“, hob Kegel hervor. 

Der Umsatz mit Antrieben stieg 2010 um über 18 Prozent 

auf neun Mrd. Euro, der mit Schaltanlagen und Industriesteuerungen 

um gut 17 Prozent auf 15,5 Mrd. Euro. 

„Der Konjunkturzyklus der Prozessautomatisierung startet 

mit ein paar Monaten Verspätung. Der Umsatz in diesem 

Bereich ist 2010 um 15,4 Prozent auf 16,4 Mrd. Euro 

gestiegen“, erläutert Michael Ziesemer, im Vorstand des 

Fachverbands Automation zuständig für dieses Segment. 

„Wegen der steigenden Anforderungen an Energieeffizienz 

in allen Bereichen rechnen wir mit weiterem Wachstum“, 

betont Ziesemer. 

Deutschland bleibt mit über zwölf Prozent Produktionsanteil 

im Bereich elektrischer Automatisierung weltweit 

der größte Nettoexporteur. 2009 ist der Weltmarkt 

der elektrischen Automation gegenüber dem Vorjahr insgesamt 

um nahezu vier Prozent auf 306 Mrd. Euro gewachsen. 

Unsicherheiten sieht der Branchenverband 

„EIn solch hohEs Wachstum 

hatten wir nicht erwartet“, sagte 

Dr. Gunther Kegel, Vorsitzender des 

ZVEI-Fachverbands Automa tion. 

Bild: ZVEI 

jedoch im Zusammentreffen weltweiter Verwerfungen 

außerhalb der Branche. Dazu gehören die Gefahr einer 

Destabilisierung der arabischen Welt, die unverminderte 

Schuldenkrise einiger Länder und die Ereignisse in Japan. 

Deren mittel- und langfristige Auswirkungen seien 

noch nicht abschätzbar. 

ZVEI – ZEntralVErband ElEktrotEchnIk- und 

ElEktronIkIndustrIE E.V., 

Lyoner Straße 9, 

60528 Frankfurt am Main, 

Tel. +49 (0) 69 630 20, 

Internet: www.zvei.org 

Smart Grids bringen Zusatzschub für die Branche 

Der ZVEI hat die Wachstumsprognose 

für die deutsche Elektroindustrie 

erneut angehoben. Die Elektro-Produktion 

dürfte nach der aktuellen 

Prognose 2011 um zehn Prozent 

zulegen. Im Dezember war der Verband 

noch von einem Wachstum um 

sieben Prozent ausgegangen. Der 

Branchenumsatz wird nach den Vorhersagen 

auf gut 180 Mrd. Euro steigen 

– also annähernd das Vorkrisenniveau 

(182 Mrd. im Jahr 2008). 2010 

hatten Produktion und Umsatz um 13 

Prozent zugelegt. Erreicht würden 

nach den endgültigen Zahlen 164 

Mrd. Euro. Im Dezember waren für 

2011 nur 162 Mrd. erwartet worden. 

dEn um bau dEr 

stromnEtZE in 

Smart Grids 

fordert ZVEI- 

Präsident 

Friedhelm Loh. 

Bild: ZVEI 

ZVEI-Präsident Friedhelm Loh betont: „Auf dem Tiefpunkt 

der Krise hatten wir befürchtet, es könnte bis zu 

sieben Jahre dauern, bis wir zurück auf dem Niveau vor 

der Krise sind. Heute wissen wir: Es wird wesentlich 

schneller gehen. 2012 könnte der Branchenumsatz bereits 

eine neue Höchstmarke erreichen.“ Der jüngsten ZVEI- 

Umfrage zufolge planen 79 Prozent der Elektrofirmen, im 

laufenden Jahr ihre Stammbelegschaft aufzustocken. 

Loh forderte die Bundesregierung zu einem neuen 

Energiekonzept auf. Ein Ziel müsse ein sofortiger Ausund 

Umbau des Stromnetzes zum Smart Grid sein, um 

die erneuerbaren Energien überhaupt integrieren und 

ausweiten zu können. 

Von Smart Grids erwartet auch der VDE deutlichen 

Schub. Die Mitgliedsunternehmen erwarten die stärksten 

Wachstumsimpulse in den Bereichen Energieeffizienz 

(81 Prozent), Smart Grid (67 Prozent) und Elektromobilität 

(62 Prozent). Gerade bei den für die Automatisierungstechnik 

interessanten Smart Grids sehen zwei Drittel der 

befragten Unternehmen Deutschland in einer Spitzenposition 

bei der Technikkompetenz zur Umsetzung dieser 

intelligenten Stromnetze. 

ZVEI, VdE, 

Frankfurt am Main, 

Internet: www.zvei.org, 

Internet: www.vde.com 

8 


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Wireless – Der Weg zur 

optimalen Anwendung 

Als Entscheidungshilfe für die Auswahl geeigneter 

Funklösungen in der Automatisierungstechnik bietet 

der ZVEI-Arbeitskreis „Wireless in der Automation“ eine 

neue Broschüre an. Sie gibt einen Überblick über den 

Einsatz von Funksystemen. Die Betrachtung sowohl wirtschaftlicher 

als auch technischer Aspekte unterstützt den 

Entscheider bei der Auswahl von Funksystemen und der 

Planung seiner Anwendung. 

Die Broschüre erläutert Vorteile, aber auch Randbedingungen 

der Verwendung von Funk. Basis hierfür sind die 

Erfahrungen der beteiligten Herstellerunternehmen und 

Forschungseinrichtungen sowohl im Bereich der Prozessals 

auch der Fertigungsautomation. 

Die Broschüre mit dem Titel „Funklösungen 

in der Automation – Überblick und 

Entscheidungshilfen“ steht zum kostenlosen 

Download auf der ZVEI-Website bereit 

(www.zvei.org/automation/publikationen). 

ZVEI – ZEntralVErband ElEktrotEchnIk- 

und ElEktronIk -IndustrIE, 

Lyoner Straße 9, D-60528 Frankfurt am Main 

Tel. +49 (0) 69 6302-0, 

Internet: www.zvei.org 

Assembly on the fly für 

Montage im Fließbetrieb 

Die IBG Automation wurde mit dem Robotics Award 

2011 ausgezeichnet. Sie erhielt den Preis der Robotation 

Academy für das Projekt Assembly on the fly, eine 

automatisierte Frontend-Montage im Fließbetrieb. Dabei 

wird mit einem Roboter das Pkw-Frontend aus der Bereitstellungsposition 

entnommen und im Fließbetrieb an der 

Karosse montiert. Mit „Assembly on the fly“ lassen sich 

laut Jury höhere Produktivität und Qualität bei der Montage 

komplexer Bauteile in der Fließfertigung erreichen. 

Den zweiten Preis erhielt TOX Pressotechnik für eine 

robotergeführte Fügezange zum Setzen von Vollstanznieten 

in ultra-hochfeste Werkstoffe. Im Automobilbau ließen 

sich damit bis zu 100 Kilogramm pro Fahrzeu einsparen. 

Platz drei belegte FerRobotics Compliant Robot 

Technology für den aktiven Kontaktflansch – Hand-craft 

Power Kit. Damit lassen sich Produktionssequenzen automatisieren, 

die sich bisher nur per Hand verrichten 

lassen, da sie viel Sensibilität erfordern. Dafür sorgt ein 

aktiv gesteuertes Element zwischen Roboter und Werkzeug, 

das Widerstand fühlen und aktiv steuern kann. 

Die Robotation Academy ist eine herstellerübergreifende 

Roboter- und Automationsakademie, die von der Deutschen 

Messe gegründet und mit der Volkswagen Coaching 

GmbH als Partner betrieben wird. 

dEutschE mEssE, robotatIon acadEmy, 

Messegelände, D-30521 Hannover, 

Tel. +49 (0) 511 890, 

Internet: www.robotation.de 

• Zellstoff / Papier 

• Chemie / Pharma 

• Kraftwerke 

• Food 

ELEKTROTECHNIK 

MSR-TECHNIK 

MES 

AUTOMATION 

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Lösungen für 

die Industrie 

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Tel: +49 (0) 69 / 5005 0 

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Branche 

Abschied von COM und ActiveX: FDT 2.0 

basiert auf der Microsoft-.NET-Technologie 

Erste Produkte mit dem neuen Standard sollen noch in diesem Jahr auf den Markt kommen 

Vorhandenes Know-How und Komponenten 

können weiter verwendet werden 

Konzepte fast 

unverändert 

FDT 1.2.x DTMs auch 

in FDT 2.0 ausführbar 

Migrationsstrategien 

möglich 

Interaktion zwischen 

FDT Komponenten 

verbessert: 

Einfachere 

Architektur 

Bessere 

Dokumentation 

Common 

Components 

eingeführt 

Interopera- 

bilität 

Investitionsschutz 

& 

Kompatibilität 

Zukunfts- 

un 

sicherheit 

Innovations- 

potentzial 

Bisherige 

Anforderungen 

2.0 

Abdeckung aller FDT-1.2.x- 

Anforderungen 

Offenheit bzgl. verschiedener 

Gerätetypen und Feldbusse 

Anwendungsszenarien 

DTM Funktionsumfang 

Neue Funktionalitäten 

ermöglicht 

COM/ActiveX- 

Einschränkung 

eliminiert 

Bessere Performance 

Sicherheitsaspekte 

Life-Cycle-Aspekte 

PLC-Tool-Schnittelle 

AbwärtskompAtibel 

trotz neuer 

Leistungsmerkmale 

und Funktionen: 

die Vorteile 

von FDT 2.0 auf 

einen Blick. 

Mit .NET wird Technologie verwendet, die heute 

und auch in Zukunft von Windows unterstützt wird 

System 

Rahmenapplikation 

Rahmenapplikation CC 

FDT 1.2-Schnittstelle 

DTM 

FDT 1.2 

DTM CC 

DTM 

FDT 2.0 

Rahmenappl. CC-Schnittstelle 

FDT 2.0-Schnittstelle 

DTM CC- 

Schnittstelle 

Der neue 

stAnDArD 

wird um vorgefertigte 

und vorgetestete 

„Common 

Components“ (CC) 

ergänzt, die den 

Großteil der 

Funktionalität 

beisteuern, um 

DTMs beziehungsweise 

Rahmenapplikationen 

für FDT 2.0 zu 

entwickeln. 

Bilder: FDT Group 

Die FDT Group wird im Laufe des Jahres ein Update 

des FDT-Standards bereitstellen. Gegenüber der aktuellen 

Version 1.2.1 wird FDT 2.0 neben Verbesserungen 

auch neue Leistungsmerkmale bieten. Der neue Standard 

wird abwärtskompatibel sein. Erste Produkte, die ihn 

nutzen, dürften noch vor Ende des Jahrs auf den Markt 

kommen. Erstmals öffentlich vorgestellt wurde FTD 2.0 

auf der Hannover-Messe. 

Der FDT-Standard IEC 62453 erfreut sich seit langem 

einer breiten Akzeptanz durch Endanwender sowie Hersteller, 

die eine nahtlose Geräte-, Netzwerk- und Anwen- 

dungsintegration über sämtliche Bereiche der Prozessund 

Fertigungsautomation anstreben. Aktuell werden 

mehr als 3000 verschiedene Geräte von FDT-zertifizierten 

DTMs (der Gerätetreiber-Software) unterstützt. Damit 

ist FDT der am weitesten verbreitete zertifizierte 

Standard in der gesamten Branche. 

Vierzehn der gängigsten Netzwerkstandards sind bereits 

in FDT integriert und einige weitere stehen kurz davor. Die 

Installationen reichen von einigen Dutzend Geräten eines 

Asset-Management-Systems bis hin zu mehreren zehntausend 

Geräten in Prozessleitsystemen oder SPS-Großanlagen. 

10 


5 / 2011

Auf Basis diese Erfolgs bereiten die 85 Mitgliedsunternehmen 

der FDT Group ein wichtiges Update des FDT- 

Standards vor, das mit den vorhandenen Installationen 

abwärtskompatibel ist, aber gleichzeitig vielfältige neue 

Leistungsmerkmale und Verbesserungen enthält. Im Folgenden 

erhalten Sie einen Ausblick auf das, was der erweiterte 

Standard zu bieten hat. 

FDT 2.0 IST ABWÄRTSKOMPATIBEL 

Während der neue Standard FDT 2.0 mit zahlreichen 

Erweiterungen und neuen Leistungsmerkmalen aufwartet, 

ist die FDT Group dem Grundsatz der Abwärtskompatibilität 

treu geblieben. Zu Beginn dieses Prozesses 

stand die Einbindung der Anwendungsfälle (der sogenannten 

Use Cases) aus den bisherigen Standards, die 

Fortführung der Offenheit für sämtliche Feldbus-Protokolle, 

die Aufrechterhaltung der grundlegenden Architektur 

des Standards und die Unterstützung der vorhandenen 

Funktionalität der DTMs. Erst anschließend wurden 

neue Use Cases, Erweiterungen, Leistungsmerkmale 

und Funktionen in FDT 2.0 eingebunden (siehe Bild 1). 

Prozesstechnik: 

Sicher und verfügbar? 

NEUE TECHNOLOGIE-PLATTFORM 

Der aktuelle FDT-Standard in der Version 1.2.1 genießt 

einen hohen Verbreitungsgrad und nutzt die erprobten, 

mittlerweile jedoch überholten Technologien COM und 

ActiveX. FDT 2.0 basiert dagegen auf der modernen Microsoft-.NET-Technologie 

und wurde darüber hinaus so 

entwickelt, dass er von inkompatiblen Änderungen der 

Common Language Runtime (CLR, die Kernkomponente 

von .NET) durch Microsoft unabhängig ist. Dank dieser 

neuen Technologieplattform können die Software-Entwickler 

bei der Erstellung FDT-konformer Produkte mit 

aktuellen Werkzeugen arbeiten. So wurde der gesamte 

FDT-2.0-Standard in eine integrierte Entwicklungsumgebung 

(IDE) mit der Bezeichnung FDT Express eingebunden, 

die unter der aktuellen Version von Microsoft 

Visual Studio läuft. FDT Express wird allen Mitgliedern 

der FDT Group kostenlos zur Verfügung gestellt werden. 

VERBESSERTE INTEROPERABILITÄT 

Die Interoperabilität über sämtliche Hersteller und Netzwerke 

hinweg ist einer der zentralen Vorzüge des FDT- 

Standards. Der neue Standard FDT 2.0 wird um vorgefertigte 

und vorgetestete „Common Components“ ergänzt, 

die den Großteil der Funktionalität beisteuern, um 

DTMs beziehungsweise Rahmenapplikationen für FDT 

2.0 zu entwickeln (siehe Bild 2). Das erhöht nicht nur die 

Interoperabilität für den Endanwender, sondern beschleunigt 

zudem die Markteinführung zertifizierter 

FDT-Produkte und senkt gleichzeitig die Kosten für die 

Gerätehersteller. Die „Frame Common Components“ implementieren 

darüber hinaus alles Notwendige seitens 

der Rahmenapplikation, um eine Abwärtskompatibilität 

mit den bereits installierten DTMs zu gewährleisten. 

FDT 2.0 setzt bei der Gerätekonfiguration und -verwaltung 

nicht auf Abschottung. Daher werden zusätzlich zu 

den DTMs selbstverständlich auch DDs, EDDs und sogar 

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5 / 2011

Branche 

die zukünftigen FDI-Gerätepakete (Device Packages) unterstützt. 

Sämtliche dieser Verfahren können innerhalb 

einer einzigen FDT-Umgebung beliebig miteinander kombiniert 

werden. 

SCHNELLE .NET-KLASSEN STATT XML-PARSEN 

Die FDT-Technologie wird bereits seit fast zehn Jahren 

als erfolgreicher Industriestandard eingesetzt. In dieser 

Zeit konnten anhand tausender Installationen und Millionen 

ausgelieferter FDT-konformer Produkte zahlreiche 

Erfahrungen gesammelt werden. Dieser reichhaltige 

Erfahrungsschatz bildete die Grundlage für das Update. 

Die Anwender werden beispielsweise davon profitieren, 

dass Gerätekataloge in kürzester Zeit innerhalb der Rahmenapplikation 

aufgebaut werden können, ohne dass 

(wie in FDT 1.2.1 notwendig) der gesamte DTM instanziiert 

werden muss. Die DTMs wiederum verfügen über 

fein abgestufte Möglichkeiten der Datenablage, um einen 

schnellen Zugriff auf die einzelnen Geräteparameter zu 

ermöglichen. Und schließlich wurde das eher langsame 

XML-Parsen des vorherigen Standards zugunsten der 

blitzschnellen .NET-Klassen aufgegeben. 

mit dem FDT-2.0-Standard wird die FDT Group eine aktualisierte 

Lebenszyklus-Richtlinie herausgeben. Sie 

weist Endanwendern und Herstellern den besten Weg, 

um ihre vorhandenen Produkte langfristig optimal zu 

nutzen. Da FDT-Anwendungen miteinander interagierende 

Software-Komponenten von möglicherweise mehreren 

hundert unterschiedlichen Herstellern umfassen, 

wird die FDT Group darüber hinaus einen ebenfalls 

überarbeiteten Style Guide veröffentlichen, um eine einheitliche 

Darstellung in der Benutzerschnittstelle, unabhängig 

vom jeweiligen Hersteller, sicherzustellen. 

FAZIT 

Der vollständige FDT-2.0-Standard, FDT Express sowie 

die FDT Common Components werden im Laufe dieses 

Jahres verfügbar sein. Die ersten Produkte, die FDT 2.0 

nutzen, werden voraussichtlich noch vor Ende 2011 auf 

den Markt kommen. Die Endanwender der Technologie 

dürfen eine neue Dimension der intelligenten Geräteintegration 

mit FDT 2.0 erwarten. 

12 

GERINGE CLIENT-ANFORDERUNGEN 

FDT-2.0 unterstützt sowohl mehrere FDT-Rahmenapplikationen 

mit einer gemeinsamen Datenbasis als auch 

eine verteilte N:1-Client/Server-Architektur. Sämtliche 

benötigten Leistungsmerkmale, um verteilte Szenarios 

zu unterstützen, sind ebenfalls im Standard enthalten. 

Hierzu zählen beispielsweise das sogenannte „pessimistische 

Sperren“ von Datensätzen für einen Mehrnutzer- 

Zugang, unbeaufsichtigte Installationen und die serverbasierte 

DTM-Ablage. Der Hersteller der Rahmenapplikation 

hat damit die freie Wahl, die DTM-Gerätelogik 

nach kommerziellen Erwägungen entweder auf der Client- 

oder der Server-Seite der Architektur zu implementieren; 

auf dem Client wird in jedem Fall nur die Benutzerschnittstelle 

benötigt. Die geringeren Client-Anforderungen 

unterstützen Anwendungen auf PDAs, ebenso 

wie sonstige nicht-stationäre Client-Architekturen. 

Alle Komponenten einer FDT-konformen Architektur 

sind als digital signierte Baugruppen (.NET Assemblies) 

implementiert, sodass der Anwender eine hohe Sicherheit 

in Bezug auf die Quelle der Komponenten erhält. Die 

DTMs der Version FDT 2.0 erhalten nun ihren eigenen 

digital signierten Konformitätsnachweis. Mit diesem 

kann die Rahmenapplikation dem Anwender anzeigen, 

welche DTMs zertifiziert sind, ohne auf externe Quellen 

zurückgreifen zu müssen. Um die Verwaltung einer bereits 

installierten Anwendung zu erleichtern, kann die 

Rahmenapplikation eine serverbasierte DTM-Ablage abfragen 

und den Anwender automatisch informieren, 

wenn für ein vorhandenes Gerät ein aktualisierter DTM 

verfügbar ist. 

VERBESSERTE LEBENSZYKLUS-UNTERSTÜTZUNG 

Viele FDT-basierte Anwendungen erfordern Lebenszyklen, 

die weit über 15 Jahre hinausgehen. In Verbindung 


5 / 2011 

autoren 

Glenn schulz, 

Managing Director der FDT 

Group 

FDt Group Aisbl 

bp 20 

b-1370 Jodoigne, 

tel. +32 10 22 22 51, 

e-mail: glenn.schulz@fdtgroup.org 

michAel heller, Group 

Manager Device Integration 

Customer Projects bei M&M 

Software 

m&m software Gmbh, 

industriestr. 5, 

D-78112 st. Georgen, 

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Branche 

Virtuelles Labor für Automatisierungstechnik – 

Simulationssoftware erlaubt interaktives Lernen 

Hochschule Deggendorf setzt neue Praktikumsform für verschiedene Studiengänge ein 

In Automatisierungstechnik-Vorlesungen wurde im 

Rahmen der E-Learning-Aktivitäten der Hochschule 

Deggendorf ein virtuelles Laborpraktikum auf der Basis 

der Win Ers-Simulations-Softwarepakete und der Lernplattform 

Moodle entwickelt. Dieses Praktikum wird in 

verschiedenen technischen Studiengängen erfolgreich 

eingesetzt. 

VORAUSSETZUNGEN UND RANDBEDINGUNGEN 

Das Thema „Automatisierungstechnik“ ist an der 

Hochschule Deggendorf Inhalt verschiedener Vorlesungen 

sowohl im auslaufenden Diplom- als auch im 

gleichnamigen Bachelorstudiengang „Elektro- und 

Informationstechnik“ sowie in den Bachelorstudiengängen 

„Mechatronik“ und „Wirtschaftsingenieurwesen“. 

Einen Schwerpunkt innerhalb der Vorlesung bildet das 

Thema der Sensorik auf Feldebene sowie die Erstellung 

neuer beziehungsweise die Interpretation vorhandener 

Planungsunterlagen der Automatisierungstechnik wie 

Grundfließbilder, Verfahrensfließbilder, RI-Fließbilder 

und PLT-Stellenpläne. 

Die genannten Studiengänge haben teilweise deutliche 

Unterschiede in den inhaltlichen Ausrichtungen 

und Schwerpunkten, sodass das elektrotechnische 

praktische Vorwissen der Studierenden ebenfalls stu- 

diengangsabhängig extrem unterschiedlich ausgeprägt 

ist. Es kommt hinzu, dass die Gruppengrößen ebenfalls 

sehr stark variieren, was dann wiederum die Planung 

eines Laborpraktikums für alle Studiengänge schwierig 

macht. 

ANFORDERUNGEN 

Unter Berücksichtigung der genannten Randbedingungen 

wurde ein für alle Studiengänge sinnvolles virtuelles 

Labor mit automatisierungstechnischen Themen konzipiert. 

Da seit zirka fünf Jahren an der Hochschule Deggendorf 

in den verschiedenen Studiengängen verstärkt virtuelle 

Lehre eine Rolle spielt, lautete das Ziel, einen entsprechenden 

E-Learning-Kurs einzurichten, mit folgenden 

Merkmalen und Anforderungen: 

möglichst leichte Bedienung und Parametrierung, 

ohne dass tiefe praktische elektrotechnische Kenntnisse, 

Programmierkenntnisse oder Modellbildungskenntnisse 

erforderlich sind 

Lösung von Labor-Arbeitsaufträgen und Übungsaufgaben 

an einem beliebigem Ort über einen festgelegten 

Zeitraum 

jederzeitige Möglichkeit zur Diskussion und Klärung 

offener Fragen zu den Aufgaben über entsprechende 

Foren 

BILD 1: Durchfluss regelungs simulation mit dem 

WinErs-Modul „Messtechnisches Praktikum“, 

hier eine Übersichtsdarstellung. 

BILD 2: Durchfluss regelungs simulation mit dem 

WinErs-Modul „Messtechnisches Praktikum“, 

hier die PLT-Stellenplandarstellung. 

14 


5 / 2011

Einreichung der Ergebnisse als Prüfungsvorleistung 

beziehungsweise Leistungsnachweis 

sofortiger Vergleich der Ergebnisse mit Musterlösungen 

nach Abgabe der Lösungen 

Inhalte und Themen passend zur Klausur, um eine 

bessere Vorbereitung zu ermöglichen 

PROJEKTDURCHFÜHRUNG 

Der Einsatz von E-Learning eignet sich für die Inhalte 

der Lehrveranstaltung mit den genannten Bedingungen 

und Anforderungen besonders gut. Die Potenziale des 

Einsatzes digitaler Medien in der Lehre liegen in der 

orts- und zeitunabhängigen Nutzung, in der multimedialen 

Aufbereitung von Lehrinhalten mit der Möglichkeit 

der Interaktion mit den Inhalten sowie Kommunikationsmöglichkeiten 

zwischen den Lernenden und den 

Lernenden mit dem Lehrenden [1]. 

Diese Anforderungen an den Automatisierungstechnik-E-Learning-Kurs 

konnten folgendermaßen erfüllt 

werden: 

Als E-Learning-Plattform wurde die an der Hochschule 

Deggendorf oft eingesetzte Open-Source-Plattform 

Moodle benutzt. Die teilnehmenden Studenten 

konnten sich über ein Passwort anmelden und die entsprechenden 

Dateien (Aufgabenstellungen, Programmpaket, 

zusätzliches ergänzendes Informationsmaterial) 

herunterladen und mussten in einer festen Zeitspanne 

die Aufgaben lösen sowie ihre Lösungen elektronisch 

hochladen. 

Es wurden die Simulationspakete „WinErs“ des Ingenieurbüros 

Dr.-Ing. Schoop verwendet [2, 3]. Eine spezielle 

Campus-Lizenz sieht vor, dass beliebig viele Lizenzen 

für die Studierenden der Hochschule zur Verfügung 

stehen, die Software sowohl innerhalb des hochschuleigenen 

PC-Pools als auch auf den privaten Rechnern der 

Studierenden installiert werden darf. Besonders diese 

Vereinbarung war wichtig für einige Studierende, die 

während ihres Auslandssemesters diesen Leistungsnachweis 

erbringen wollten. 

Inhaltlich wurde schwerpunktmäßig das Modul 

„Messtechnisches Praktikum“ benutzt mit potentiometrischen 

Standmessungen, DMS-Kraft- und Druckmessungen, 

Temperaturmessungen, Durchflussmessungen 

und -regelungen. Besonders anschaulich wird im letztgenannten 

virtuellen Laboraufbau neben der technischen 

Darstellung (Bild 1) auch parallel dazu ein „lebendiger“ 

PLT-Stellenplan visualisiert, der die besprochenen 

theoretischen Vorlesungsinhalte sehr anschaulich 

verdeutlicht (Bild 2). 

Zentraler Aspekt eines E-Learning-Angebots sind 

Simulationen wie die genannten. Diese ermöglichen 

eine Interaktivität des Lernenden mit dem System. 

Der Lernende kann Parameter eingeben und verändern 

und erhält vom System eine Rückmeldung. Die 

Simulationen stellen eine höhere Stufe der Interaktivität 

dar, es gibt nicht nur vorgefertigte multimediale 

Komponenten, sondern je nach Eingabe des Lernenden 

werden diese erzeugt und verändert [4]. 

Weight / in 1000 kg 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 2 4 6 8 10 12 

Hour 

E+H Boiler House Energy monitoring.[Steam] 

E+H Boiler House Energy monitoring.[Gas] 

Betriebsmittelverbrauch pro Einheit 

des erzeugten Endproduktes 

(z. B. pro Kilogramm Dampf) 

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0.87 

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Branche 

Durch die Simulation können die Lerninhalte visualisiert 

werden. 

Da der Lernende durch die Simulation angeregt wird, 

die Inhalte und Gesetzmäßigkeiten zu erforschen, wird 

entdeckendes Lernen gefördert. Der Lernende kann 

experimentieren, unterschiedliche Parameter einstellen 

und so die Einflüsse auf das Ergebnis beobachten 

[5]. Neben der Exploration der Lerninhalte werden dem 

Lernenden Aufgaben gestellt, die er mithilfe der Simulation 

lösen kann. Der Lernende wird also motiviert, 

die Inhalte selbst anzuwenden. Auf diese Weise soll 

produktives Lernen, das Prozesse des Problemlösens 

und Anwendung von Wissen beinhaltet, angeregt werden 

[6]. 

vor allem Visualisierung des Vorlesungsstoffs und 

auch zur Prüfungsvorbereitung hat sich dieses virtuelle 

Labor bewährt, und es kommt inzwischen regelmäßig 

zur Anwendung. Weitere ähnliche technische 

Projekte beispielsweise im Themenbereich „Bildverarbeitung“ 

haben sich angeschlossen und werden fortgeführt. 

Das Projekt wurde im Rahmen der NotebookUniversity-Initiative 

der Hochschule Deggendorf von dieser unterstützt. 

FAZIT 

Das virtuelle Automatisierungstechniklabor wurde von 

den beteiligten Studenten durchweg positiv bewertet. 

Auch Studierende, die in Australien ein Studiensemester 

verbrachten, konnten erfolgreich an dem E-Learning-Kurs 

teilnehmen. Alle beteiligten Studierenden 

konnten fristgerecht ihre Beiträge hochladen. Ihre Lösungen 

wurden mit „bestanden“ beziehungsweise 

„nicht bestanden“ bewertet. Eine Einzelbewertung mit 

Notenvergabe erschien nicht sinnvoll, da eine Zusammenarbeit 

einzelner Studenten nie ausgeschlossen werden 

kann, aber im Sinne einer gemeinsamen Erarbeitung 

des Stoffes und Prüfungsvorbereitung durchaus 

auch Vorteile bietet. 

Selbstverständlich kann ein virtuelles Labor kein 

reales Labor ersetzen. Als Ergänzung, Vertiefung und 

referenzen 

autoren 

Prof. Dr. rer. nat. MartIn 

JogwIch lehrt an der 

Hochschule Deggendorf in 

der Fakultät Elektrotechnik 

und Medientechnik die 

Fächer Automatisierungstechnik, 

Industrielle 

Bildverarbeitung und 

Physikalische Grundlagen 

der Sensorik. 

[1] reinmann, G.: Studientext Didaktisches Design. 2010 

(http://lernen-unibw.de/sites/default/files/Studientext_DD_april10.pdf) 

[2] Schoop, , M.: Lernsoftware, Darstellung von 

ablaufsteuerungen. 

Iee automatisierung + Datentechnik, hüthig Verlag, 

2007 

[3] h ass, V. c., Pörtner, r.: Praxis der Bioprozesstechnik. 

Spektrum akademischer Verlag, Berlin heidelberg 

2008. 

[4] Schulmeister, r.: taxonomie der Interaktivität von 

Multimedia – 

ein Beitrag zur aktuellen Metadaten-Diskussion. 

it+ti, 4, 193-199. 2002. 

[5] Seel, n.: Psychologie des Lernens. 

utB, Stuttgart 2003. 

[6] reinmann, G., eppler, M.: Wissenswege. 

Methoden für das persönliche Wissensmanagement. 

huber Verlag, Bern 2008. 

hochschule Deggendorf, 

Edlmairstraße 6 + 8, D-94469 Deggendorf, 

tel.+49 (0) 991 361 55 18, 

E-Mail: martin.jogwich@fh-deggendorf.de 

MartIna rEItMaIEr, M.A. 

ist Leiterin des Kompetenzzentrums 

E-Learning an der 

Hochschule Deggendorf. 

hochschule Deggendorf, 

Edlmairstraße 6 + 8, D-94469 Deggendorf, 

tel. +49 (0) 991 361 51 61, 

E-Mail: martina.reitmaier@fh-deggendorf.de 

16 


5 / 2011

Mehr Diagnose 

für intelligente 

Sensoren und Aktoren 

IO-Link 

Intelligente Geräte brauchen 

einfache Schnittstellen 

Diese Neuerscheinung ist didaktisch so aufgebaut, dass es je 

nach Qualifikation, verschiedene Einstiegs-Levels (Einsteiger, 

Fortgeschrittene, Experten) gibt. 

Das umfassende Kompendium beschreibt die neue, herstellerunabhängige 

IO-Link-Schnittstelle. Diese kann über Sensoren und Aktuatoren 

auf einfache Weise Daten mit der überlagerten Steuerung austauschen. 

Anstatt vieler proprietärer Systeme muss der Anwender in 

Zukunft also nur noch ein System kennen. Parametrierungen können 

automatisch in die Geräte geladen und umgekehrt Diagnose- und 

Wartungsinformationen an die Leitwarte gemeldet werden. Was sich 

zunächst komplex anhört, funktioniert mit IO-Link ganz einfach. 

Ergänzend zu den detaillierten, theoretischen Beschreibung und ihrer 

Vorteile finden Ingenieure und Praktiker aus dem Maschinen- und 

Anlagenbau, Betreiber, Instandhalter, Planer und Systemintegratoren 

auch vertiefende Übungen und praktische Beispiele. 

Autoren: P. Wienzek, J. R. Uffelmann 

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mit einer Gutschrift von € 3,- auf die erste Rechnung belohnt. 

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Vulkan-Verlag per Post, per Telefon, per Telefax, per E-Mail, nicht über interessante, fachspezifische Medienund Informationsangebote informiert und beworben werde. Diese Erklärung kann ich mit Wirkung für die Zukunft jederzeit widerrufen.

Branche 

ISO 26000: Herausforderungen und Chancen – 

Starten Sie mit uns ein ISO-26000-Pilotprojekt! 

Handelt Ihr Unternehmen sozial verantwortlich? Wie arbeiten Ihre Zulieferer? 

In Zeiten gestiegener medialer Aufmerksamkeit und zunehmend 

bewussten Konsums hat der Nachhaltigkeitsgedanke 

in der Industrie massiv an Bedeutung gewonnen. 

Selbst die ISO (International Organization for Standardization), 

die man eher aus dem Bereich technischer Normen 

kennt, nimmt sich dieses Themas in ihrem neuen 

ISO-Standard an. 

Die „ISO 26000 Guidance on Social Responsibility“ 

fasst erstmals diverse Einzelforderungen an Nachhaltigkeit 

und soziale Verantwortung strukturiert und international 

anerkannt zusammen. Die Norm, die am 1. November 

2010 in einer weltweiten Abstimmung veröffentlicht 

wurde, gibt Empfehlungen, wie sich Organisationen jeglicher 

Art verhalten sollten, um ihrer gesellschaftlichen 

Verantwortung gerecht zu werden. 

MITHILFE DER NORM IMAGEVORTEILE GENERIEREN 

Der Standard ist ein Kompromiss aus den unterschiedlichen 

Forderungen diverser Interessengruppen. Im Interesse 

einer möglichst breiten Akzeptanz bildet die 

ISO 26000 deshalb auch keine zertifizierbare Norm, sondern 

einen Leitfaden, der gesellschaftlich verantwortliches 

Handeln normiert und einen international einheitlichen 

Standard setzt. 

Vielfach werden die Empfehlungen der Norm bereits 

von gesetzlichen Vorgaben erfüllt, insbesondere im stark 

reglementierten Deutschland. Dazu gehören der Schutz 

der Menschenrechte, arbeitnehmerfreundliche Arbeitsbedingungen 

oder teilweise recht weitreichende Umweltschutzvorschriften. 

Doch die ISO 26000 geht auch über 

die bestehenden Gesetze hinaus. Beispielsweise bestimmt 

die Norm, dass „gesellschaftliche Verantwortung“ nicht 

bei „juristischer Mitschuld“ endet. Der Begriff „nutznießerische 

Mitschuld“ beschreibt in diesem Zusammenhang 

Situationen, in denen eine Organisation zum Beispiel 

direkten Nutzen durch den von anderen begangenen 

Missbrauch von Menschenrechten zieht. Dadurch endet 

gesellschaftliche Verantwortung eines Unternehmens 

nicht am eigenen Werkstor, sondern schließt auch das 

Verhalten der eigenen Zulieferer mit ein. 

Die Ausrichtung an der ISO 26000 könnte für Unternehmen 

die Chance bieten, ihre Außenwahrnehmung zu optimieren 

und Imagevorteile zu generieren. Doch es gibt 

auch kritische Stimmen, die den Nutzen der ISO 26000 

in Frage stellen. 

UNTERSTÜTZUNG FÜR FIRST MOVER 

Weil die Norm gerade erst veröffentlicht wurde, gibt es 

aus der Praxis noch keine Antworten auf die polarisierende 

Diskussion. Welchen Aufwand bedeutet es für Organisationen 

tatsächlich, bestehende Prozesse und Strukturen 

für die ISO 26000 fit zu machen? Wie kann aus der 

Norm der optimale Nutzen für das Unternehmen erreicht 

werden? Finden Sie mit uns die Antwort! 

Für Sie bietet sich jetzt die Gelegenheit als First Mover 

ein Pilotprojekt zur Implementierung der „ISO 26000 

Guidance on Social Responsibility“ zu starten. Unser Verlag 

bietet Ihnen an, zusammen mit fachkundigen Experten 

eine publizistisch begleitete Case Study durchzuführen. 

Bei der Beratung zur Seite steht Ihnen dabei Karl- 

Christian Bay, Herausgeber und Co-Autor des Buches 

„ISO 26000 in der Praxis. Der Ratgeber zum Leitfaden für 

soziale Verantwortung und Nachhaltigkeit“ (1.Auflage, 

München 2010, Oldenbourg Industrieverlag GmbH). 

neuerscheinung: isO 26000 

ISO 26000: Ein Standard, der Bekanntes aufgreift 

und dabei herausfordert 

erstmals schafft ein internationaler standard eine Definition von 

gesellschaftlicher Verantwortung. anhand beispielhafter Verhaltensregeln 

(Best Practice) bietet die isO 26000 unternehmen, 

die im Zuge der wachsenden öffentlichen aufmerksamkeit 

bewusster wirtschaften wollen, konkrete handlungsorientierung. 

im Oldenbourg industrieverlag erschien jetzt der praxisorientierte 

ratgeber zur isO 26000. er vergleicht den standard mit bestehenden 

normen und gibt Tipps zur erfolgreichen um setzung im unternehmen. 

Fordern Sie ihr exemplar an: 

Silvia Spies, Huyssenallee 52-56, 

45128 Essen, Tel. +49 (0) 201 82002-14, 

E-Mail: s.spies@vulkan-verlag.de, Mehr Infos: www.sr4u.org 

herauSgeber: Karl-Christian Bay 

1. Auflage 2010, 232 Seiten, Hardcover, 49,90 € 

18 


5 / 2011

Nicht Mozart – 

und doch ein Klassiker 

IMPLEMENTIERUNG WIRD FACHKUNDIG BEGLEITET 

Karl-Christian Bay ist Gründer und Inhaber einer Wirtschaftsprüfungs- 

und Rechtsanwaltskanzlei, die sich 

auf die Beratung von Fragen im Spannungsfeld von betriebswirtschaftlichen, 

rechtlichen und ethischen Aspekten 

spezialisiert hat. Dies umfasst beispielsweise die 

Durchführung von Unternehmenstransaktionen oder 

die Beratung hinsichtlich Compliance-Fragestellungen. 

So würde die Implementierung des Standards 

ISO 26000 in Ihrem Unternehmen mit der Status-Quo- 

Analyse und Identifikation von Geschäftsprozessen 

und Governance-Strukturen beginnen. Daraus resultierend 

werden dann die Anforderungen der ISO 26000 

eingegrenzt und der notwendige Anpassungsbedarf 

geplant und umgesetzt. Nach Implementierung des 

Leitfadens wird eine angemessene Kommunikationsund 

Reportingstrategie erarbeitet, die das gesellschaftlich 

verantwortliche Verhalten an Konsumenten, Investoren 

und sonstige Anspruchsgruppen optimal 

kommuniziert. Begleitet wird die Case Study über einen 

längeren Zeitraum durch Veröffentlichungen in 

unseren Medien. 

Viele Unternehmen fühlen sich heute der Nachhaltigkeit 

verpflichtet. Die ISO 26000 ist der erste, weltweit 

anerkannte Standard, der diesen Leitgedanken in einem 

definierten System vereint. Nutzen Sie jetzt den First- 

Mover Advantage. Starten Sie mit Karl-Christian Bay 

und dem Oldenbourg Industrieverlag ein ISO-26000-Pilotprojekt. 

Lassen Sie uns gemeinsam herausfinden, 

welche Vorteile die ISO 26000 für Organisationen 

bringt. Für ein unverbindliches Informationsgespräch 

stehen wir Ihnen gerne jederzeit zur Verfügung. 

iniTiaTOren 

Karl-chriSTian bay, 

Gründer und Inhaber von 

BAY Wirtschaftsprüfer | Rechtsanwälte 

und Herausgeber des 

Buches „ISO 26000 in der Praxis: 

Der Ratgeber zum Leitfaden für 

soziale Verantwortung und 

Nachhaltigkeit“ 

bay Wirtschaftsprüfer | rechtsanwälte 

Werner-von-Siemens-ring 12, 

85630 münchen, Tel. +49 (0) 89 46 14 90 60, 

e-mail: karl-christian.bay@bay-cc.com 

internet: www.bay-cc.com 

hanS-Joachim Jauch, 

Geschäftsführer des Oldenbourg 

Industrieverlags 

oldenbourg industrieverlag gmbh, 

rosenheimer Straße 145, 

d-81671 münchen, 

Tel. +49 (0) 89 45 05 14 04, 

e-mail: iso26000@oldenbourg.de 

internet: www.oiv.de 

A01007DE 

Wie Mozarts Werke sind die 

SAMSON-Ventile der Bauart 240 

weltweit bekannt und geschätzt. Auch 

sind sie nicht minder vielfältig: abgestuft 

wie die Orgelpfeifen, für alle Drücke 

und Durchflüsse von adagio bis 

allegro erhältlich. Dabei arbeiten die 

Ventile ausgesprochen piano – damit 

niemand durch einen Paukenschlag 

geweckt wird. Die Besetzung können 

Sie ganz nach Ihrem Gusto variieren: 

Mit Stellungsregler, Magnetventil und 

Grenzsignalgeber warten weitere Virtuosen 

auf ihren Einsatz. 

Sie sind der Dirigent. 

Wir haben die Instrumente. 

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Weismüllerstraße 3 • 60314 Frankfurt am Main 

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Praxis 

DIN EN 62424: Den Übergang zwischen Fließbild 

und CAE-System ohne Brüche realisieren 

Die neue Norm nutzen oder die bisherigen Lösungen fortführen? 

Seit Januar 2010 gilt die Norm DIN EN 62424 (siehe [3]). 

Sie legt fest, wie Aufgaben der Prozessleittechnik in 

Fließbildern darzustellen sind. Eine Übergangszeit bis Juli 

2012 lässt die Parallelität mit der „DIN 19227 Teil 1 Graphische 

Symbole und Kennbuchstaben für die Prozessleittechnik“ 

(siehe [2]) zu. Dies bedeutet, dass die neue 

Norm die Regelungen bis auf Unterabschnitt 3.9 „Einwirkung 

auf die Strecke“ ersetzt. Deren Inhalte sollen in 

DIN ISO 10628 „Fließschemata für verfahrenstechnische 

Anlagen“ (siehe [4]) aufgenommen werden. Für jeden Anlagenbetreiber 

stellt sich nun die Frage, ob und wann er 

die neue Norm erfüllt und ob er seine softwaretechnische 

Lösung nicht durch eine maßgeschneiderte ablöst. 

DARSTELLUNG IM FLIESSBILD 

Da DIN EN 62424 eine eindeutige Schnittstelle für den 

Informationsaustausch zwischen Werkzeugen zur Erstellung 

und Bearbeitung von Fließschemata und CAE-Systemen 

der Prozessleittechnik definieren soll, musste die 

alte Norm durch Präzisierungen, sowohl im Hinblick auf 

die Symbolik als auch auf die Beschreibung der Verarbeitungsfunktionalität 

abgelöst werden. 

Das System von Erst-, Ergänzungs- und Folgebuchstabe 

der alten Norm zielte darauf ab, die Funktion der Stelle 

und die Verarbeitungsfunktionen in einer Zeichenfolge 

zu erfassen. Die Darstellung der PLT-Aufgabe im R&I- 

Fließbild erfolgte im Wesentlichen mit Hilfe des „PLT-Eis“, 

in dessen oberen Textfeld diese Zeichenfolge einzutragen 

war. Die neue Norm sieht nun für diesen Zweck sieben 

Textfelder vor, wovon eines die alte Position innerhalb des 

Ovals oben behält. Die restlichen sechs Felder stellen die 

Alarmebenen von Tripel-Hoch bis Tripel-Tief dar und dienen 

der Erfassung von Alarm, Anzeige und Schaltung. 

Bild 1-1 gibt einen Eindruck, wie sich die Informationen 

rund um das Oval verteilen. In den Textfeldern der Alarmebenen 

dürfen nur die Verarbeitungsfunktionen: Alarm 

(A), PCS-Statusanzeige von Binärsignalen (O), binäre Steuerungs- 

oder Schaltfunktion (S) sowie (Z), wenn sicherheitsrelevant, 

auftreten. Die übrigen Verarbeitungsfunktionen 

werden an alter Position gemäß einer vorgegebenen 

Reihenfolge eingetragen. Der untere Textplatzhalter im 

Oval dient der Kennzeichnung der PLT-Aufgabe. 

Links vom Oval sind ergänzende Informationen aufzutragen, 

wobei von oben nach unten der Unterlieferant, 

die Typicalkennzeichnung und eine Geräteinformation 

ausgegeben werden kann. Das Oval hat seine Standardverknüpfungspunkte 

auf den beiden Hauptachsen. Sechs 

weitere Verknüpfungspunkte sind rechts von den Textplatzhaltern 

der sechs Alarmebenen zu sehen. 

NORM LEGT DREI NEUE SYMBOLE FEST 

Schließlich legt die Norm der Form nach drei Symbole für 

Sicherheits-, GMP- und Qualitätsrelevanz fest. Sie werden 

rechts vom Oval angezeigt, wenn die Anforderungen an die 

PLT-Aufgabe so zu kategorisieren sind. Die bevorzugte Lage 

der Symbole kann im Konflikt mit der Lage einer Signal- oder 

Bild 1-1: Das PLT-Oval für 

Anzeige im zentralen Leitstand 

Bild 2-1: 

Die Darstellung 

von Bild B.22 in 

Planeds 4.0 

Bild 1-2: Das Sechseck 

der Leitfunktion 

20 


5 / 2011

ARCA_Ins_DU-Ventil_D_90x260.qxd 

Wirklinie stehen. Solche Überschneidungen hält die Norm 

für nicht immer vermeidbar und deshalb für tolerierbar. 

Ist eine der Alarmebenen mit einer Schaltfunktion 

belegt, dann ist deren Verknüpfungspunkt zu verwenden, 

um die Signallinie zum Verknüpfungspunkt des 

Ovals der PLT-Aufgabe zur Leitfunktion anzulegen, die 

von dort ihr Eingangssignal erhält. 

In DIN 19227 Teil 1 war das Symbol für die Leitfunktion 

auch schon vom Oval der Sensor- oder Aktor-Aufgabe 

verschieden. Es wurde jedoch unterschieden zwischen 

„vom Prozessrechner realisiert“ und „vom Prozessleitsystem 

realisiert“. Diese Unterscheidung wurde 

aufgegeben. Bild 1-2 zeigt das nun gültige Symbol. 

Links vom Sechseck sind drei Textplatzhalter vorgesehen, 

deren oberer Inhalt der Unterlieferant sein sollte. 

Darunter folgt die Angabe über das zugehörige Typical 

und schließlich die Geräteinformation, Bild 1-1 entsprechend. 

Eingehende Signallinien müssen ihre Quelle in 

Ovalen besitzen, die entweder Sensoren oder Aktoren 

repräsentieren. Ausgehende Signallinien müssen auf 

einem oder mehreren Ovalen von Aktoren enden. 

Innerhalb des Sechsecks steht im oberen Textplatzhalter 

die Kategorie (U für Leitfunktion) gefolgt von der 

Verarbeitungsfunktion für eine Schaltung (S oder Z). In 

Bild 1-2 kommt beides vor, was soviel bedeutet, wie: 

„Mindestens ein Sensor oder Aktor besitzen „Z“ als Verarbeitungsfunktion.“ 

Das Sechseck hat seine Standardverknüpfungspunkte 

auf den beiden Hauptachsen. 

KONZENTRATION AUF DIE SPEZIFIKATION 

Da die Regeln zur Spezifikation der PLT-Aufgaben und 

der Leitfunktionen enger gefasst wurden und symboltechnisch 

im und um das jeweilige Symbol herum zu platzieren 

sind, sollte das Fließbildsystem dem Anwender eine 

Eingabehilfe bieten, die ihn sich auf die eigentliche Spezifikation 

konzentrieren lässt und die ihn von umständlicher 

Gruppierung und Platzierung entlastet. 

Für die Verbindung der Aufgaben untereinander und mit 

den Leitfunktionen legt die Norm fest, dass Schaltfunktionen 

von den Alarmebenen (von deren zugeordneten Verknüpfungspunkten) 

aus, mittels gestrichelter Pfeile mit den 

Symbolen der PLT-Aufgaben oder Leitfunktionen verbunden 

werden, die die Ausgangssignale weiter verarbeiten. 

Die übrigen Verbindungen werden von Symbol zu Symbol 

mittels gestrichelter Pfeile gezeichnet. Dabei gibt der Pfeil 

jeweils die Richtung des Informationsflusses wieder. Verbindungen 

der PLT-Aufgabe zum Prozess werden durch 

eine richtungslose, durchgezogene Linie dargestellt. 

ÜBERGANG VOM FLIESSBILD ZUM CAE-SYSTEM 

Bild 2-1 zeigt eine Darstellung von Bild B.22 aus 

DIN EN 62424. Im oberen Teil ist eine „2oo3“-Architektur 

mit drei Druckmessungen in einer Rohrleitung zu sehen. 

Die Signale der drei sicherheitsrelevanten Druck-Hoch- 

Hoch-Schaltungen mit Einstufung „SIL 3“ werden von der 

Leitfunktion U0062 verarbeitet und beeinflussen die 

Stellfunktion Y0069 mit Auf/Zu-Endlagenmeldungen. Die 

Durchflussregelung ist druck- und temperaturkompen- 

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siert, wobei Druck und Temperatur im zentralen Leitstand 

angezeigt werden. Die Auf-Endlage der Stellfunktion ist 

verknüpft mit einer weiteren Leitfunktion U0070. 

Für einen bruchlosen Übergang vom Fließbild zum 

CAE-System bedeutet dies, dass alle verfahrenstechnisch 

relevanten Anforderungen an die Instrumentierung 

mit Bezug auf die jeweilige Verarbeitungsfunktion 

im CAE-System adäquat abgebildet werden können. 

SPEZIFIKATIONEN WERDEN ZUSAMMENGEFÜHRT 

Betrachtet man in Bild 2-1 Sensor-PLT-Aufgaben, dann 

sieht man, dass sie ihre Einbauorte in Rohrleitungen haben. 

Jeder dieser Einbauorte repräsentiert den Sitz eines 

Feldgeräts. Zwei Anforderungen muss das CAE-System 

erfüllen: Zum einen muss es in der Lage sein, den Signalfluss 

wiederzugeben und zum anderen, die logische Verschaltung 

der Stellen in Stellenplänen zu ermöglichen. 

Es gehören also die Spezifikation der Signalverarbeitung 

aus verfahrenstechnischer Sicht aufgrund der Betriebsparameter 

einerseits und die gerätetechnische Spezifikation 

andererseits zusammen. Ersteres beschreibt die Anforderungen 

an die Gerätetechnik und letzteres deren Realisierung 

im Hinblick auf Beschaffung und Montage. 

Bild 2-2 zeigt den bruchlosen Übergang vom Fließbild in 

das CAE-System. Beispielhaft hervorgehoben ist die Leitfunktion 

U0062. Auf derselben Hierarchie-Ebene sind die 

übrigen Messstellen, die Aktorstelle und Leitfunktionen 

aufgeführt. Schaut man eine Ebene tiefer, dann sind dort 

die ein- und ausgehenden Signallinien dargestellt. Der 

oberste Knoten verweist auf den Aktor. Er zeigt eine sicherheitsrelevante 

Schaltung Z an, die das Ventil schließt. Die 

Aktorstelle selbst ist als „sicherheitsrelevant“ markiert. 

Die Eingangssignale der Leitfunktion kommen entsprechend 

der „2oo3“-Architektur von drei Messstellen in 

derselben Rohrleitung. In Bild 2-1 ist bei der Messstelle 

P0060 der Einbauort hervorgehoben dargestellt. Der hohe 

Integrationsgrad zwischen Fließbild-Software und CAE- 

System zeigt sich dann, wenn die Betriebsdaten und die 

Einbauortdaten im Fließbild erfasst und für die Spezifikation 

im CAE-System nutzbar gemacht werden können. 

EINGABEAUFWAND WIRD REDUZIERT 

Im vorliegenden Fall liegen die Betriebsdaten bei der 

Rohrleitung. Dies ist in der Realität so und dies sollte auch 

in der Software so sein. Gleiches gilt für die technischen 

Daten der Rohrleitung. Das heißt für die Beschaffung der 

Geräte, dass Betriebs- und Rohrleitungsdaten nur einmal 

erfasst werden müssen. Der Eingabeaufwand wird reduziert 

und vermeidet Fehler durch falsche Übertragung. 

Eine mögliche Realisierung zeigt Bild 2-2. „-B01“ repräsentiert 

das Stellenelement im CAE-System. Als Symbol 

quellen 

Die aussagen zur norm Din en 62424 in diesem Beitrag 

beziehen sich auf die ausgabe von Januar 2010, diejenigen 

zur norm Din 19227 Teil 1 auf die ausgabe von Oktober 

1993. Die Bilder des artikels wurden mit dem Cae-system 

Planeds 4.0 der Planets software GmbH erstellt. 

Bild 2-2: Die Leitfunktion U0062 

Bild 2-3: Die Aktor- und Sensor-Stellen sowie Leitfunktionen 

22 


5 / 2011

wird es mit anderen Symbolen im Stellenplan verschaltet. 

Eine Ebene tiefer steht der Verweis in das Fließbild zur 

Rohrleitung RL0001. Ein hochintegriertes System ermöglicht 

mit komfortabler „Gehe-zu“-Funktionalität den 

Sprung in das Fließbild, wo dann gemäß Bild 2-1 die Wirklinie 

als Einbauort hervorgehoben dargestellt wird. 

Damit ist es völlig gleichgültig, ob das Messstellenblatt 

als typisches Dokument des CAE-Systems aus diesem 

oder aus dem Fließbildsystem angestoßen wird. Stets 

wird auf dieselben Daten zugegriffen. 

So wie Bild 2-2 die komplette Verknüpfung zwischen den 

Leitfunktionen, Aktor- und Sensor-Stellen in Bild 2-1 zeigt, 

so kann ein entsprechendes Listendokument generiert werden, 

aus dem die netzwerkartigen Verknüpfungen in linearisierter 

Form etwa als Abschaltketten dokumentiert werden. 

Eine Suche über Fließbildgrenzen hinweg erübrigt 

sich, weil das Dokument nicht nur die Vermaschung aufzeigt, 

sondern auch sagt, in welchem Fließbild die einzelne 

Stelle oder die Leitfunktion dokumentiert ist. 

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der Embedded-PC mit 

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Die CX5000-Serie von Beckhoff. 

liTeraTur 

[1] Bergmann, Jürgen: rechnergestützte Projektierung von 

Prozeßautomatisierungssystemen mit dem Cae-system 

PlaneDs; shaker Verlag, aachen 2000 

[2] Din 19227 Teil 1 Oktober 1993: Graphische symbole und 

Kennbuchstaben für die Prozeßleittechnik – Darstellung 

von aufgaben, Beuth Verlag, Berlin 1993 

[3] Din en 62424 Januar 2010: Darstellung von aufgaben 

der Prozessleittechnik – Fließbilder und Datenaustausch 

zwischen eDV-Werkzeugen zur Fließbilderstelllung und 

Cae-systemen, Beuth Verlag, Berlin 2009 

[4] Din en isO 10628 März 2001: Fließschemata für 

verfahrenstechnische anlagen – allgemeine regeln, 

Beuth Verlag, Berlin 2001 

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Arno Schmidt, 

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PROFIBUS, PROFI- 

NET, EtherCAT und 

Ethernet

hauptBeitRag 

Lateralverhalten elastischer 

Bahnen vereinfacht modelliert 

Teil 2: Anwendung des Fadenmodells auf Mehrwalzensysteme 

Das seitliche Verlaufen von durchlaufenden Stoffbahnen in der Papier-, Kunststoff- und 

Textilindustrie wird mihilfe von Bahnkantenregelungen korrigiert. In Teil 1 wurde die 

ausgedehnte Bahn durch eine Harfe von Fäden ohne Querkopplungen in einem System 

aus zwei angetriebenen Walzen angenähert. Zwei Grenzfälle wurden behandelt: Ein Faden 

unter Zugspannung bei vernachlässigten Biegespannungen und ein Faden bei Biegung 

unter Vernachlässigung der Zugspannung. Ein Faden mit vorherrschender Zugspannung 

stellt demnach ein Verzögerungsglied 1. Ordnung dar, das dieselbe Zeitkonstante aufweist, 

wie sie für das Longitudinalverhalten charakteristisch ist. Bei Biegung wird die Zeitkonstante 

kleiner, ohne dass sich die Systemordnung ändert. Der erreichbare Fadenversatz 

relativ zu einer Schwenkwalze vermindert sich. Im folgenden Teil 2 werden ein Drei- und 

ein Vierwalzensystem untersucht, das letztgenannte nur für den Fall überwiegender Zugspannung. 

Für diese industrie-üblichen Systeme werden nicht angetriebene Schwenkwalzen 

zwischen angetriebenen Klemmstellen zu Grunde gelegt. 

SCHLAGWÖRTER Durchlaufende Bahn / Bahnlauf-Regelsysteme / Seitenkantenregelung / 

Bahnkantenregelung 

Simplified Mathematical Model of Lateral Behavior of Moving Elastic Webs – 

Part 2: Applying the Threads Model to Multi-Roller Systems 

The lateral position of a moving web in production lines for the paper, plastics and textile 

industries has to be corrected by means of web guiding systems. In Part 1 the continuous 

two- dimensional web has been approximated through a harp of non-interlinking threads 

in a system of two driven rollers. Two important cases have been investigated: A thread 

with predominant tensile stress and a thread with predominant bending stress. The thread 

with predominant tensile stress revealed to be a first-order lag with the same time constant 

as is characteristic for the longitudinal web dynamics. The thread with bending stress 

exhibits a smaller time constant and a smaller reachable displacement relative to a guiding 

roller. In the following Part 2 a three and a four roller system is investigated, the latter 

one being investigated only in the case of predominant tensile stress of the thread. In 

these industrial systems non-driven guiding rollers are assumed which are located between 

driven rollers. 

KEYWORDS Moving web / lateral web dynamics / web guide system / web edge control 

24 


5 / 2011

Die in Teil 1 dargestellte mathematische Behandlung 

eines Systems aus zwei angetriebenen Walzen, 

die von Fäden in Form einer Fadenharfe 

umschlungen werden, wird im folgenden Teil 2 

auf ein System aus drei und vier Walzen ausgedehnt, 

in dem nicht angetriebene Schwenkwalzen zwischen 

zwei angetriebenen Klemmstellen angeordnet sind. 

3. Dreiwalzensystem 

3.1 massenbilanzen bei angetriebener und nicht 

angetriebener schwenkwalze 

Longitudinale Schwenkung mit 

angetriebener Schwenkwalze 

Im Dreiwalzensystem nach Bild 5 sei aus systematischen 

Gründen zunächst angenommen, dass außer 

den Klemmstellen 1 und 3 auch die Schwenkwalze 2 

angetrieben sei und ein Drehmoment um die z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

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1 

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23 

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3 2 23 

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T s 

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23 12 

23 

23 12 

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12 

1 

1 

1 

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23 

23 

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⎟ + 

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⎥ 

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δ 

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z 

v 

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2 

2 

̃δ () 

-Achse 

aufbringen kann. Die klein dargestellten Umlenkwalzen 

seien ohne jeden Einfluss. Die Dehnungen 

lauten auf Grund der Massenbilanzen in Kontrollraum 

1-2 und 2-3 

z 

s 

T s 

s 

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v 

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T s 

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23 12 

23 

23 12 

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(3.1.1) 

z 

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T s 

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⎡ 

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̃ 

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23 

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23 12 

23 

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1 

1 

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ε 

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v 

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c 

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2 12 3 

23 

23 

2 

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⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

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⎥ 

= 

̃ 

̃ 

̃δ 

(3.1.2) 

Einsetzen von Gl. (3.1.1) in (3.1.2) liefert mit 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

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12 

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1 

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⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

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̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

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23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

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s 

T s 

s 

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v 

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l 

T s 

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23 12 

23 

23 12 

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1 

1 

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⎜ 

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⎠ 

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ε 

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v 

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T 

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c 

c 

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23 

23 

2 

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⎝ 

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⎡ 

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⎢ 

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⎥ 

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nach 

Umformungen das Ergebnis 

z 

s 

T s 

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1 

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= + + 

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⎡ 

⎣ 

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⎤ 

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ε 

23 

23 

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1 

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T s 

s 

v s v s 

v 

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s 

v 

c 

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l 

l 

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T s 

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T s 

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23 12 

23 

23 12 

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1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

̃ 

̃ 

̃δ 

(3.1.3) 

mit 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

s 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

() 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

12 

1 

α 

α 

ε̃ ≈ = 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

23 13 

() () 

s 

s 

(3.1.4) 

Um den Einfluss der Schwenkung auf die Dehnungen zu 

untersuchen, wird Gl. (3.1.2) in Gl. (3.1.1) eingesetzt 

sowie Gl. (2.3.7) verwendet. Ändert sich allein 

z 

s 

T s 

s 

v s v 

v 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 

1 

1 

() 

() () 

() 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

= + + 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 

1 

1 

() () 

() 

s 

T s 

s 

v s v 

v 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − 

ε 

ε 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

= 

= + 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

s 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

() 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

12 

1 

α 

α 

ε̃ ≈ = 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

23 13 

() () 

s 

s 

so folgt 

mit Gl. (2.3.7) 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

s 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

() 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

12 

1 

α 

α 

ε̃ ≈ = 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

23 13 

() () 

s 

s 

(3.1.5) 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

s 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

() 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

12 

1 

α 

α 

ε̃ ≈ = 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

23 13 

() () 

s 

s 

(3.1.6) 

Die Grenzwerte der Sprungantworten lauten 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

1 

α 

α 

(3.1.7) 

und 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

1 

α 

α 

(3.1.8) 

Bei einer Schwenkwinkeländerung treten keine bleibenden 

Dehnungsänderungen auf. 

Longitudinale Schwenkung mit 

nicht angetriebener Schwenkwalze 

Ist die Schwenkwalze nicht angetrieben, trägheitslos und 

reibungsfrei gelagert, so kann sie kein Drehmoment um 

die z-Achse aufbringen. Dies erzwingt gleichgroße tangentiale 

Kraftkomponenten 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c2 12 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

= 

= + ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

y 

E 

) ( )cos () 

≈ 23 3 

α 

. Die Schwenkwalze 

kann nur axiale Kraftkomponenten aufnehmen, 

die ungleich groß sein können, 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c2 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

= 

= + 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

y 

y 

12 23 

12 23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

= 

≠ 

≈ 

α 

, sodass 

auch die Fadenkräfte ungleich groß sein können, 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

y 

E 

) ( )cos () 

≈ 23 3 

α 

. Da aber gilt 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c2 12 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

= 

= + ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

≈ 

≈ 

23 3 

1 

α 

α 

und 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

v 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c 

c 

2 12 3 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

= 

= + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

1 

α 

α 

mit 

z 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

2 

1 

12 

12 

01 

2 1 12 

1 

1 

() 

() () 

() () () 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

ε 

23 

23 

12 

3 2 23 

1 

1 

() () 

() () () 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

l 

l 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

c 

23 12 

23 

23 12 

01 

1 12 

12 

1 

1 

1 

1 1 

=− 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

ε 

ε 

v 

v 

sl 

v 

T 

l 

v 

s 

s 

T s 

c2 12 

23 

23 

2 

12 

12 

1 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

= 

= + ̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε () 

z 

v 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

v 

t 

z 

l 

2 

2 

23 

12 

2 

12 23 

2 

2 

12 

2 

12 

1 

1 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

δ 

ε 

δ 

ε 

δ 

() 

( ) 

=− + + 

→+ ≈ 2 

12 

23 

2 

23 

2 

23 

12 23 

0 

0 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

δ 

ε 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

t 

t 

z 

l 

t 

F t F t 

z 

z 

→∞ = 

→+ ≈ 

→∞ = 

≠ 

F t F t 

F t F t 

F t F t t 

F 

y 

y 

z y E 

z 

12 23 

12 23 

12 12 2 

23 

() () 

() () 

() ()cos ( ) 

( 

= 

≠ 

≈ 

α 

t F t t 

t 

F t F t F t 

s 

y 

E 

Ei 

) ( )cos () 

cos ( ) 

() () () 

() 

≈ 

≈ 

≈ 

≈ 

23 3 

12 23 13 

1 

α 

α 

ε̃ ≈ = 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() () 

s 

s 

, darf in guter Nä- 

GünTHER BRAnDEnBuRG, tu München 

25 


5 / 2011

δ̃ 

2 

δ̃ 

2 

s z2 

ε ̃ s 

12 

() s = δ̃ 

2 

() s 

ε ̃12 

() hauptBeitRag 

z2 

s = 1δ 

̃ + 2 

() Ts 

12s 

v 

1 + T s v 

ε̃ 

23 

12 

2 

2 T12s 

1 z2 

T̃ 

̃ 

12 εs 

23 

=− 1 z2 

δ 

=− 1 + T12s1δ 

̃ + 2 T23s 

v 

1 + T s1 

+ T s v 

12 23 

2 

ε̃ 

ε̃ 

12 

12 

z2 

ε̃ 

( 

12 

t z→+ 0) 

2 

( 

≈ δ2 

t →+ 0) 

≈ δ2 

l12 

l12 

ε̃ 

12 

( t →∞ ) = 0 

( t →∞ ) = 0 

z2 

ε̃ 

23( t z→+ 2 0) 

≈ δ 

ε̃ 

23( t →+ 0) 

≈ δ2 

l23 

l23 

ε̃ 

23( t →∞ ) = 0 

ε̃ 

( t →∞ ) = 0 

23 

2 

BiLD 5: 

Dreiwalzen-System 

mit longitudinaler 

Schwenkung 

der Klemmstelle 2 

() ≠ F () t 

F () t ≠ F () t 

z12 z23 

z12 z23 

ṽ 

() s ≈ ṽ 

() s 

c2 c3 

26 

y12() = Fy23() 

t 

F () t = F () t 

y12 y23 

12 

() t ≠ F23() 

t 

F () t ≠ F () t 

12 23 

Fz12() t ≈ Fy12 ()cos t αE2( t) 

Fz12() t ≈ Fy12 ()cos t αE2( t) 

1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1() 

s ⎤ 

ε̃ ̃ ̃ 

13() s ≈ε12() s ≈ε23() 

s ≈ 

01 ̃ 

1 + T 

sl12 

() s 

ṽ 

̃ 

c2() s ≈ vc3() 

s 

13s 

⎢ε̃ 

() s + 

v 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

z23( 

t) ≈ Fy23( t)cos αE3() 

t 

Fz 

23( 

t) ≈ Fy23( t)cos αE3() 

t 

l 

v 1 ṽc3() s − ṽc1() 

s 

̃ ̃ ̃ 

c3() 

t ⎡ 

⎤ 

13 

l12 + l23 

T 

ε13() s ≈ε12() s ≈ε23() 

s ≈ ε̃ 

01() 

s + 

13 

= = 

cos αEi 

( t) 

≈ 1 

1 + T1 

3s 

⎢ 

v 

⎥ 

cos αEi 

( t) 

≈ 1 

v v 

⎣ 

⎦ 

sl̃ 

12 

() s 

herung F12() t ≈ F23() t ≈ F13() 

t angenommen 1 ⎡ werden ṽ 

und lässigbar, l13 l12 so + ldass für die Dehnungen nach Gln. (3.1.1) 

c2() s − ṽc1() 

s 

23 

F12() t ≈ F23() t ≈ F13() 

t 

T 

⎤ 

ε̃ 

13 

= = 

daher auch 

12() 

s ≈ 

01 

1+ 

⎢ε 

̃ () s + 

T und (3.1.2) v gilt v 

12s 

⎣ 

v 

⎥ 

⎦ 

1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1() 

s ⎤ 

ε̃ ̃ ̃ 

13() s ≈ε12() s ≈ε23() 

s ≈ 

01 

ε̃ 

12 

() s ≈ ε̃ 

= ε̃ 

23() s 

13() 

s 

ε̃ 

12() 

s ≈ ε̃ 

= ε̃ 

23() s 

13() 

s (3.1.9) 

1 + T1 

3s 

⎢ε̃ 

() s + 

v 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1() 

s ⎤ 

1 ⎡ ṽc 

() s − ṽc 

() sε 

̃12() 

ssl̃ 

≈() 

s ⎤ 

3 2 23 

01 

Konsequenterweise kann dann auf der Schwenkwalze 

1+ 

⎢ε 

̃ () s + 

⎥ 

(3.1.13) 

ε̃23() s ≈ ⎢ε̃12 

(s) 

+ 

+ l13 ⎥Tl12 s+ 

⎣ l23 

v 

1 + T ⎦ 

23s 

⎣ 

v T13 

= v = ⎦ 

l13 l12 + l23 

keine Gleitzone auftreten, das heißt die gesamte Umschlingungszone 

wird durch eine Haftzone 

v v T13 

= = 

1 ⎡ 1 

eingenommen. 

Weiterhin ist die Konsequenz, 1 + dass T23s 

1 + 

⎛ ṽ 

v v 

c1 ⎞ T12s 

vc2 vc3 

= ̃ 

1 ⎡ ṽc 

s − ṽc 

s sl̃ 

01 

− 

() s ⎤ 

3 2 23 

⎜ε 

T12s 

v 

⎟ 

⎝ ⎠ 

− ̃ ̃ ⎤ 

⎢ 

+ ⎥ 

ṽ 

̃ 

c2ṽ() s ≈ vc3() 

̃ 

c2() s ≈ vcs3() 

s 

⎣ 

ε̃1 

+ 

23() Ts 

12≈ 

s v v ε̃12 

(s) 

+ 

+ 

1 + T1 

⎢⎦ 

⎥ 

23s 

⎣ ⎡ ṽc3() vs − ṽc2 

s v 

ε̃ 

⎦ 

23() s ≈ ε̃12() 

s + 1 ⎡ () ⎤ ṽc2() s − ṽc1() 

s ⎤ 

ṽ 

s ṽ 

c2() ≈ 

c3() 

s 

(3.1.10) 1 + 1T s 

⎢ 

12 

23⎡ 

⎣ v() 

s ≈ 

01 

1 ⎛ ṽ 

c1 ⎞ 

v 

⎥ 

1+ 

⎢ε 

̃ () s + 

T12s 

vc2 vc3 

ṽ 

s ṽ 

c2() ≈ 

c3() 

s 

= ̃ 

01 

− 

ṽ 

s ṽ 

c2() ≈ 

c3() 

s 

1 + T23s 

1 + T s 

⎜ε 

12 

v 

⎟ 

⎝ ⎠ 

− ⎦ 

⎥ 

c3v() 

ct3 

() t 

T12s 

⎣ ̃ ̃ v 

̃ε 

⎤ ⎦ 

13 

⎢ 

+ ⎥ 

1 ⎣ ⎡ 1 ⎛ ṽ 1+ 

T s v v 

1 ⎞ 12 ⎦ 

ist. Vom Ausgang der Klemmstelle 2 bis zum Eingang = − 

3 

t 

der ṽ 

Klemmstelle ̃ 

c2() s ≈ vc3() 

s 

+ + ⎝ 

⎜ 

⎠ 

⎟ − T12s 

ṽ 2 

ṽ 

⎤ 

c c c3 

⎢ sl̃ 

ε̃ 

01 

+ ⎥ 

1 T 

v t 

3 bildet sich näherungsweise eine 

23s 

1 T 

12sl 

() ̃ 

12s 

12 

s () s 

⎣ 

1 v ⎡ 1+ 

T12ṽs 

c 

() vs − ṽcv 

() s⎦ 

sl̃ 

() s ⎤ 

3 2 23 

( z0 − z1 ) cosδ 

≈ z0 

−z1 

ε̃23() s ≈ ⎢ε̃12 

(s) 

+ 

+ ⎥ 

einheitliche Fadengeschwindigkeit vc3() 

t aus, mit der ̃ε 

1 

13 

+ T23s 

⎣ 

v (3.1.14) v ⎦ 

der sl v 

̃ 

12 

tsFaden die Schwenkwalze antreibt. Die Geschwindigkeit 

sl̃ 

12 

1 1 ⎡ ⎡ ṽc3v() ̃s ṽ 

c3() −s −c1v() 

̃sc1() 

⎤s 

⎤ 

c3() 

() s der Schwenkwalze ist infolge 

sl̃ 

dieser Näherungen 

ohne Einfluss auf die Fadendehnung, 1 T für die mit nicht angetriebener Schwenkwalze 

( RP2 + l23) 

γ 

2() 

t ε̃ ̃ 1 ⎡ ̃ 1 ⎛ ṽ 

c1 ⎞ T12s 

c2 c3 

Axiale Translation und laterale = Schwenkung ̃ 

01 

− 

12 

() s 

z0 − z1 ) cosδ 

≈ z0 

−z1 

1 + T23s 

1 + 

⎜ε 

T12s 

v 

⎟ 

⎝ ⎠ 

− ⎤ 

1 

+ 

z̃ 

⎢ 

⎥ 

2 

s 

̃ 

12 2 

1+ 

T s v 

⎣ 

12 ⎦ 

12s l s 

13ε̃() s ≈ε ̃ 

12() s ̃ 

23() 

s ≈ ̃ 

13() s ≈ε12() s ≈ε23() 

s ≈ 

01 

() =− δ () 

1 + T1 

3s 

⎢ε 

() s01 

+ 

1 + T 

v 

⎥ 

1⎣3 

s 

⎢ε̃ 

() s + 

v 

⎥ 

⎣ 

⎦ ⎦ 

+ 

nach 

̃ 

1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1() 

s ⎤ 

ε 

sl 

̃ 12 

̃ s ̃ 

13() () s 

≈Gl. ε (3.1.1) 

12() ≈ε 

gilt 

23() 

s ≈ ε̃ 

01() 

s + 

In beiden Fällen bildet sich 

1 + T1 

3s 

⎢ 1 ⎡ 

⎣ 

v 

ṽ 

⎥ 

c3() s − ṽc1() 

s ⎤ 

⎛ R ⎞ l 

in guter Näherung eine einheitliche 

1Dehnung 

+ + 

ε̃ s ̃ s ̃ s 

⎦ 

13() ≈ε12() ≈ε23() 

≈ ε̃ 

P2 

13 

l13 l12 l+ 

12l⎛ 

23 

+ l23 

R ⎞ 

P2 

2 

−T 01() 

s + 

1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1() 

s ⎤ 

1 + T ε̃ s ̃ s ̃ 

13() ≈ε12() ≈ε23() 

s ≈ ε̃ 

01() 

s + 

13s 

⎢ 

⎣ 

v 

⎥ 

⎦ z̃ 

2() s =− ̃ 

1 + T1 

3 

⎢ 

12 2 

⎣ 

v 

⎥ 

1 ⎡ ṽc3() − ṽc1() 

s ⎤ 

12s l () s 

⎝ 

⎜1 

̃ε 

13 

⎠ 

⎟ ( nach + TGl. ) s(3.1.11) 12 23 

+ 1+ 

aus. 

2s 

T 

t 

13T= 13 

= = = 

e 

1 

12 23 

l 

0 

23 

⎝ 

⎜ 

̃ ̃ ̃ 

⎦ 

ε13() s ≈ε s s 

l 

12() ≈ε 

13 

l12 + l 

23() 

≈ ε̃ 

z 

( ) 

23 ⎠ 

⎟ T T s 

z̃ 

l 

3() s = ̃2 

01() 

s 1+ 

T ̃3 

() s = 

l 

23 

T13 

= = 

1 + T1 

3s 

⎢ 

⎣ 

v 

⎥ (3.1.11) 

2 23γ ̃ 

2() 

s 

23s z () s ≈ + 1 + T23s z s 1 1 

̃ 

T s T s l ̃ s v v v v 

2() =− 

12δ2() 

1 + 

12 

1 + 

23 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s 

⎦ 

v v 

l13 l12 + l 

3.2 Fadenkinematik ( z 

bei 0 

− 

angetriebener 

z1 ) cosδ1 

≈1 

z0⎡ 

−⎡z1 

und ṽc2ṽ() s − ṽ 

c2() s −c1v() 

̃sc1() 

⎤s 

⎤ 

23 

−T mit T13 

= = 

t 2s 

l13 l12 + l23 

e 

ε̃ 

1 

v v 

T13 

= = 

z̃3 

() s = ̃2 

l 

v v 

l12 + l23 

T13 

l13 l12 + l 

1 T23s z () s 12ε̃ 

() s ≈ 

≈ + 1 + T23s z ̃ s 01 

α 

nicht angetriebener schwenkwalze 1 1 

E 

≠ 0 

1 

T s T s l ̃ s 

2() + 

⎢ 

̃ 

12() 

s ≈ ε () s01 

+ 

1T=− + 

12s 

⎢ε 

̃ () s + 

T 

⎥ 

12 ⎣s 

⎣ v 

12δ 

v 

⎥ 

2() 

⎦ ⎦ 

− 2( T12 + T23 

) s 

1 + 

12 

1 + 

23 

23 

( 0) 

e 

1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1() 

s ⎤ 

ε̃ 

13 

= 

12() 

s 

= 

≈v 

v 

(3.1.12) z̃ 

4 

() s ≈ l ̃ 

1 

Im Abschnitt 2-3 eines 23 z̃ 

γ 

2() 2s 

=− Dreiwalzensystems 

̃ 

12 2 

v 01 

+ 

1+ 

T 

⎢ε 

̃ () s 

⎥ 

ε̃ 

12s 

1 ⎡ 

⎣ 

v 

ṽc2() s − ṽc1() 

s ⎤ 

1+ 

T34s 

1 T12s l δ () s nach Bild 5 

Ti− 

1, i 

= l / v 

+ 

i−1, 

i 

⎦ 

12() 

s ≈ 

01 

+ 

1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1() 

s ⎤ 

1+ 

T 

⎢ε 

̃ () s 

sind zwei Einflüsse durch die 1Klemmstelle 1 ⎡ ⎡ ṽc2 () szu −berück- 

sichtigen, und ⎥ zwar zum einen 1 + 1Tderen + 

ṽc 

() s sl̃ 

() s ⎤ 

3ṽc 

() s −2ṽc 

() s 

23sl 

̃ () s ⎤ 

3 2 23 

ε̃ 

12() 

s 

⎥ 

≈ 

01 

+ 

1+ 

T 

⎢ε 

̃ () s 

α 

12s 

⎣ 

v 

E 

≠ 0 

ε̃23ε̃() s ≈ ̃ 

23() s ≈ ⎢ε12 

⎢ε̃(s 

12) 

(s + ) + + + ⎥ ⎥ 

⎦ 

23Ts23 

Diese 

1 ⎡ ṽ 

12s 

⎣ 

v 

c2() s − ṽc1() 

s 

⎣s 

⎣Bewegung und v v zum v v ⎦ ⎦ 

⎤ 

⎦ 

−T 12() 

s ≈Überlegungen 1 01 

+ 

1+ 

1T ⎢ε 

̃⎡ 

() s treffen ṽ 

s v 

s ⎡ 

c3() für − den ̃c2 

ṽc 

() s − ṽc 

() s ⎥() 

sgeraden ε̃ 

sl̃ 

⎤ wie für den 

t 2s 

−Tt 2s 

anderen 

gebogenen () s ⎤ 

R l 

3 2 23 

12s 

23() ⎣ s v 

23() ≈ Faden ε̃ 

w2

1 

23 

23 

12 

+ T s v v 

T s 

T s 

v 

⎣ 

⎢ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ 

̃ 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 

s z s T s T s l s 

T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

ist jedoch klein gegen die Fußpunktverschiebung 

des Fadens und wird vernachlässigt. Diese 

Fußpunktverschiebung, das heißt der Fadenversatz, 

ist nach Gl. (2.1.2) 

1 

1 

23 

23 

12 

≈ + 

s 

T s 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + (3.2.1) 

Dieser wird nach Ablauf einer kleinen, meist vernachlässigbaren 

Totzeit 

l 

l 

v 

T s 

s 

v s v s 

v 

c 

c 

3 12 23 

23 

12 

3 2 

1 

1 

= 

+ 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε () 

() () 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

+ + 

− 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

1 

1 

1 

1 1 

23 12 

01 

1 12 

12 

2 3 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

c c c 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

) 

= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + 

l 

t 

R 

l 

T T s 

P 

23 2 

2 

23 

12 23 

1 1 

γ () 

1 

1 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + 

R 

l 

T T s 

T T s T T s 

l 

s 

P 

̃γ () 

e 

T s 

l 

l 

R 

l 

T T s 

P 

≈ 

+ 

= 

+ + 

− + 

2( ) 

34 

23 2 

23 

2 

2 

12 23 

1 

1 1 

̃γ 

3 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ 

( ) + 

( ) 

T T s 

R 

l 

T T s 

T s 

T s 

l 

P 

23 2 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

1 1 1 

̃γ () 

s 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

P 

P 

= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

1+ + 

( ) + 

T T s T T s 

l 

s 

̃γ () 

zum Durchlaufen der Haftzone als 

Fußpunktverschiebung des Fadens im Abschnitt 2-3 

wirksam. Analog zu Gl. (2.2.3) ergibt sich mit Gl. (3.2.1) 

der Fadenversatz auf Klemmstelle 3 zu 

12 s 

̃ε ()≈ 1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + (3.2.2) 

Der Fadenversatz 

̃ ̃ ̃ 

s s s 

T 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () () 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

wird geglättet auf der Klemmstelle 3 

wirksam. 

Als wichtiges Ergebnis ist festzuhalten, dass es für diese 

beiden Gleichungen keine Rolle spielt, ob es sich bei der 

Schwenkwalze um eine angetriebene oder eine ideale, 

nicht angetriebene Klemmstelle handelt. Durch die Eigenschaft 

bedingt, dass eine trägheitslose und reibungsfrei 

gelagerte Schwenkwalze zwar keine tangentialen, aber 

axiale Kräfte aufnehmen kann, werden die Zeitkonstanten 

beider Fadenabschnitte wirksam – im Gegensatz zu den 

Dehnungen: Diese werden gemäß Gl. (3.1.11) – bei Annahme 

einer idealisierten Schwenkwalze – in guter Näherung 

gleichgroß und gehorchen der Gesamtzeitkonstante 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

. 

Diese Aussage kann verallgemeinert werden: Wenn bei 

instationärer Bewegung in einem System ein Faden in eine 

angetriebene oder nicht angetriebene, reale oder idealisierte 

Leitwalze 

1 

1 

23 

23 

12 

≈ + 

s 

T s 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

unter einem Winkel 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

einläuft, so wird 

für den Fadenversatz 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 

T s z s T s z s T s 

R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

auf dieser Leitwalze die Zeitkonstante 

T l v 

i i i i 

− 

− 

= 

1 1 

, , / wirksam. Im Abschnitt 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() 

() 

() () () 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() 

() 

() () () 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

12 

v 

v 

s 

̃ε ()≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

3 

1 2 2 

z s 

e T s 

t 

̃ ()= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

wirkt die 

Zeitkonstante 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

glättend auf die eingeleitete Anregung. 

Faden mit Biegung bei longitudinaler Schwenkung 

Infolge der Biegung des Fadens geht gemäß Abschnitt 2-3 

jetzt die reduzierte Zeitkonstante 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + ein, und mit Gl. 

(3.1.5) ergibt sich 

̃ 

s 

T 

23 

1 

1 

1 

()≈ + 

ε 

3 

01 

3 1 

23 

s 

s 

v s v s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

ε () 

() () 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

01 

2 1 

12 

+ 

− 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

s 

v s v s 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

(s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

+ 

− 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

12 

01 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z 

z 

1 12 

12 

2 3 

0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

̃ 

̃ 

1 

12 2 

2 

23 

1 

1 

̃ 

l 

s 

s 

T 

() 

()≈ + 

δ 


̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

1 

1 

1 

() () 

=− + + δ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 1 

12 2 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

s 

T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ 

δ () 

() () 

= + + ̃ ̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + (3.2.3) 

Faden ohne Biegung bei axialer Translation 

Eine bei 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

einsetzende, axiale Translation der Walze 2 

nimmt den Faden mit und löst im Abschnitt 2-3 einen 

mit 

̃ 

̃ 

̃ 

v 

s 

s 

s 

T 

c3 

12 23 

1 

1 

1 

() 

() () 

≈ ≈ + 

ε 

ε 

3 

01 

3 1 

3 12 23 

s 

s 

v s v s 

v 

l 

l 

v 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

ε () 

() () 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= 

+ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

+ 

T s 

s 

v s v s 

v 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

(s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

+ + 

− 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z 

z 

1 12 

12 

2 3 

0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

) ≈ − 

̃ 

̃ 

δ 

cos 1 

12 

12 2 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

T s l 

s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() 

() 

− + 

+ 

≈ + 

− 

δ 


l 

v 

i 

i 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

/ 

, 

=− + + 

− 

δ 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ 

̃ 

δ () 

() () 

+ 

= + + ablaufenden Ausgleichsvorgang aus, in den die 

dann folgende Fußpunktverschiebung auf Klemmstelle 2 

eingeht. Man erhält in Analogie zu Gl. (2.2.3) und Einsetzen 

von (2.2.1) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

v s v s 

v 

t 

sl 

s 

s s s 

T 

c 

c 

c 

2 3 

3 

12 

13 12 23 

1 

1 

1 

() () 

() 

() 

() () () 

≈ 

≈ ≈ ≈ + 

ε ε ε 

3 

01 

3 1 

13 

13 12 23 

12 

s 

s 

v s v s 

v 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() 

() () 

() 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= = 

+ 

≈ 

1 

1 

1 

1 

12 

01 

2 1 

23 

23 

12 

+ 

+ 

− 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

≈ 

+ T s 

s 

v s v s 

v 

s 

T s 

c 

c 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

ε 

() 

() () 

() (s 

v s v s 

v 

sl 

s 

v 

T s 

T s 

v 

c 

c 

) 

() () () 

+ 

− 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

3 2 23 

23 12 

01 

1 

1 

1 

1 

ε 

c c c 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

z z z z 

1 12 

12 

2 3 

13 

0 1 0 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

− 

( ) ≈ − 

̃ 

̃ 

̃ε 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + (3.2.4) 

Faden mit Biegung bei axialer Translation 

In gleicher Weise folgt jetzt in Analogie zu Gl. (2.2.9) und 

Einsetzen von (2.2.5) 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

(3.2.5) 

Faden ohne Biegung bei lateraler Schwenkung 

Analog zu Gl. (2.2.3) und mit Gl. (2.3.1) folgt für den Faden 

ohne Biegung für das System von Bild 1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

(3.2.6) 

Der optimale Fall für 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

nach Gl. (3.3.3) lautet 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

(3.2.7) 

Das System ist jetzt von erster Ordnung. 

Faden mit Biegung bei lateraler Schwenkung 

Analog zu Gl. (2.2.9) und mit Gl. (2.3.7) folgt für den Faden 

mit Biegung 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

(3.2.8) 

Im optimalen Fall 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

kürzen sich Zähler und Nenner 

im ersten Term rechts, und es bleibt stehen 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

z s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

z 

s 

z s 

M 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

1 2 3 

() () () 

( 

= 

+ 

= 

+ + 

) ( ) ( ) 

, , 

= + ≈ + = + + 

+ 

− 

e 


R 

v s 

T 

T s 

M 

M 

P 

t 

P 

P 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

23 

2 

23 

2 

23 

̃ 

̃ 

12 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

3 

1 

1 

1 2 2 

s l 

s 

R 

l 

z s 

T s l 

s 

z s 

e 

P 

T s 

t 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

= 

≈ + 

= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

(3.2.9) 

Das System ist wieder von erster Ordnung. 

4. Vierwalzensystem 

Gegeben ist das System aus vier Klemmstellen nach Bild 

6a und Bild 6b. Die folgende Behandlung dieses Systems 

beschränkt sich auf den technisch wichtigen Fall des Fadens 

ohne Biegung. 

Die Klemmstellen 1 und 4 seien angetrieben und in 

ihrer räumlichen Lage fest. Die nicht angetriebenen 

Klemmstellen 2 und 3 befinden sich auf einem Drehrahmen 

und sind parallel zueinander, lateral zur Laufrichtung 

des Fadens, um den links von der Klemmstelle 

1 gezeichneten Drehpunkt 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

P 

12 

2 2 

2 

1 

̃γ () 

() 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t 

R 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

12 

schwenkbar. Später wird 

der Drehpunkt zwischen den Klemmstellen 2 und 3 oder 

rechts von Klemmstelle 4 angeordnet. Der Schwen k- 

radius sei 

γ 

z 

z 

z 

s 

T s R 

s 

z t R 

t 

P 

P 

2 

0 

2 

1 

2 

1 

12 

2 2 

2 

1 

2 2 

1 

1 

( ) 

() 

() 

() 

() () 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

=− + 

→∞ =− 

→ 

γ 

∞ 

→ + 

+ 

( ) 

t 

z 

z 

R l t 

P 

( ) 

() 

() 

( ) 

( ) 

0 

2 

1 

3 

0 

2 23 2 

0 

̃ 

γ 

und erstrecke sich von 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

P 

12 

2 2 

̃γ () 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t 

z s R s 

z 

t 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z 

s 

M 

M 

bis zum Mittelpunkt 

der Klemmstelle 2. Die nicht angetriebenen Walzen 

seien trägheitslos und reibungsfrei gelagert. Diese Anordnung 

unterscheidet sich von der in Bild 1 dadurch, dass 

der Faden von der Klemmstelle 1 vertikal zur Klemmstelle 

2 geführt wird. Die detaillierte Ableitung der Beziehungen 

findet sich in Anhang A 3. Hier werden die Ergebnisgleichungen 

zusammengefasst. 

Um perspektivische Darstellungen zu vermeiden, wurden 

Draufsicht (unten), Vorderansicht (oben Mitte) und 

Seitenansichten (oben links und rechts) dargestellt. Die 

27 


5 / 2011

hauptBeitRag 

BiLD 6A: Koordinatensysteme im Vierwalzensystem: Drehpunkt rechts von Klemmstelle 2 

BiLD 6B: Fadenverlauf im Vierwalzensystem: Drehpunkt rechts von Klemmstelle 2 

BiLD 6: Koordinatensysteme und Fadenverlauf im Vierwalzensystem 

28 


5 / 2011

Seitenansichten sind – abweichend von der Norm bei technischen 

Zeichnungen – aus Gründen der Anschaulichkeit 

vertauscht, das heißt die Seitenansicht von links ist auf der 

linken und die von rechts auf der rechten Seite gezeichnet. 

Es werden gemäß Bild 6a die raumfesten Koordinatensysteme 

3 

1 2 2 

z s 

e T s 

t 

̃ ()= 

+ 

− 

3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

R 

v s 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ 

+ + 

2 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

bis 

3 

1 2 

z s 

̃ ()= 

+ 3 

1 2 3 

1 2 3 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

v 

T s 

T s 

M 

M 

P 

P 

̃ 

̃ 

, , 

() () 

≈ 

+ 

= 

+ + 

3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 2 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

l 

s 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

gewählt und die 

bewegten Koordinatensysteme 

3 3 3 3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

sowie 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

eingeführt. Die Nullpunkte liegen in den 

Mittelpunkten der Walzen. Alle Systeme sind linksdrehend. 

Ein Fadenversatz auf einer Walze 

3 3 3 3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

3 3 3 3 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

z z z z 

0 1 0 

− 

( ) ≈ − 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 

R R T T s T T s 

T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

4 

34 1 

1 1 

() 

̃z 

s 

T s 

T 

= + + 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ ( 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

relativ 

zum Koordinatensystem 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

bekommt den tief 

gestellten Index 

z z z z 

0 1 0 

− 

( ) ≈ − 

δ 

cos 1 

2 

12 

12 2 

3 

23 

2 

23 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s l 

s 

z s 

e 

T s z s T 

T s 

t 

() () 

() () 

=− + 

= + ≈ + 

− 

δ 


T l v 

z s 

E 

i i i i 

̃ 

̃ 

̃ 

2 

12 23 

12 2 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

() () 

/ 

() 

, , 

=− + + 

≠ 

= 

− 

− 

δ 

α 

= 

+ 

≈ 

+ 

=− 

+ + 

− 

e 

T s 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

T s 

T s 

t 2 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

1 

1 2 3 

23 

2 

23 

2 

12 23 

̃ 

̃ 

() () 

2 

3 

1 

1 

1 

1 1 

12 2 

3 

23 

2 

23 

12 

12 

2 

l 

s 

z s 

T s z s T s 

T s 

T s z 

s 

M 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

δ () 

() () () 

= + = + + 

und den hoch gestellten Index 

1 

0 

1 

0 

x 

y 

, 

( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

, heißt 

also 

2 3 

1 

1 2 3 

2 

3 

12 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

R 

l 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

P 

̃ 

̃γ 

/ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

. Der Fadenversatz relativ zur geschwenkten Walze 

2 lautet dann zum Beispiel 

1 

1 2 3 

2 

3 

3 

23 

12 2 

1 

0 

1 

0 

z s 

T s 

l 

s 

x 

y 

̃ 

̃γ 

() () 

, 

( ) ( 

= 

+ 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

() () () 

() ( 

, 

, , 

, , 

, 

z 

x y z 

x y z 

x 

y 

1 

0 

4 

0 

4 

0 

4 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

3 

1 

3 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

() 

, 

, , 

z 

x y z 

z 

z 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

i 

k 

3 

1 

2 

1 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ . 

4.1 Drehpunkt links Von klemmstelle 2 

Klemmstelle 2 

Relativ zum ruhenden 

R 

l 

= + 

( ) 

γ 

γ 

z 

z 

z 

s 

T s R 

s 

z t R 

t 

P 

P 

2 

0 

2 

1 

2 

1 

12 

2 2 

2 

1 

2 2 

1 

1 

( ) 

() 

() 

() 

() () 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

=− + 

→∞ =− 

→ 

γ 

∞ 

→ + 

+ 

( ) 

= 

+ + 

t 

z 

z 

R l t 

z 

z 

s 

R 

l 

P 

P 

( ) 

() 

() 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

0 

1 1 

2 

1 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

23 

̃ 

̃ 

γ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ 

( ) + 

( ) 

T T s 

R 

l 

T T s 

T s 

T s 

l 

P 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

2 

1 

1 1 

3 2 

3 

0 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

2 2 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) lim 

( ) 

s 

z 

t 

R 

l 

T T s 

T T s 

l 

s 

P 

→ = 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

→∞ 

3 2 

2 

23 

23 2 

3 

0 

2 23 2 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

γ 

() () 

( ) 

( ) 

s 

R 

l 

l 

s 

z 

t 

P 

P 

= + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

→+ 

z t l 

z s l s 

z 

R 

l 

w 

3 

0 

23 

3 

0 

23 2 

3 

0 

2 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

→∞ = 

= 

zu 

R 

l 

= + 

( ) 

γ 

= 

+ + 

z 

s 

R 

l 

P 

() 

( ) 

1 1 

3 

0 

2 

23 

̃ 

⎝ 

⎜ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎝ 

⎜ 

⎠ 

⎟ 

+ 

( ) + 

( ) 

T T s 

R 

l 

T T s 

T s 

T s 

l 

P 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

2 

1 

1 1 

3 2 

3 

0 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

2 2 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) lim 

( ) 

s 

z 

t 

R 

l 

T T s 

T T s 

l 

s 

P 

→ = 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

→∞ 

3 2 

2 

23 

23 2 

3 

0 

2 23 2 

1 

0 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

γ 

() () 

( ) 

( ) 

s 

R 

l 

l 

s 

z 

t 

P 

P 

= + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

→+ 

z t l 

z s l s 

z 

R 

l 

w 

3 

0 

23 

3 

0 

23 2 

3 

0 

2 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() () 

→∞ = 

= 

BiLD 7: 

Fadenverlauf im 

Vierwalzensystem: 

Drehpunkt zwischen 

Klemmstelle 2 und 3 

BiLD 8: 

Fadenverlauf im 

Vierwalzensystem: 

Drehpunkt rechts 

von Klemmstelle 4 


5 / 2011 

31

( ) γ 

γ 

̃ 

T s 

T s 

3 

12 23 

2 

2 1 1 

+ 

( ) + 

( ) 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.10) 

c) Es sei 

( ) γ 

γ 

̃ 

12 23 

( )( ) 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

, 

( ) γ 

γ 

̃z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 2 2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 2 2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

Der Drehpunkt liegt jetzt im Mittelpunkt der Walze 3. 

Man erhält aus Gl. (4.2.3) 

( ) γ 

γ 

̃z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.11) 

Die Grenzwerte der Sprungantwort lauten 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

12 23 

2 

2 1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.12) 

( ) γ 

γ 

̃ 

T s 

T s 

12 23 

2 1 1 

+ 

( ) + 

( ) 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.13) 

Da das Zählerpolynom den Wert 1 annimmt und die differenzierenden 

Anteile weggefallen sind, wird das System 

noch träger. 

Klemmstelle 4 

Dieser Fadenversatz von Gl. (4.2.3) wird nun an Klemmstelle 

4 weitergegeben und auf Klemmstelle 4 verzögert 

wirksam. Man erhält mit Hilfe von Gl. (4.2.3) die beiden 

Formen 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.14) 

Der stationären Endwerte der Sprungantwort lauten 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.15) 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.16) 

Für die drei Sonderfälle a) bis c) ergeben sich die vier 

„geglätteten“ Ausdrücke 

a) 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

1 12 23 12 23 

2 2 

T T s T T s 

s 

̃γ () 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.17) 

b) 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.18) 

c) 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

0 

T s T s l s 

z 

t 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

, 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

( ) γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

s 

l T T s T T s 

T s 

T s 

s 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

12 23 

2 

2 

2 

1 1 

( ) 

() 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

γ 

z 

s 

T T s T T s 

T s 

T s 

l 

3 

0 

12 23 12 23 

2 

12 23 

23 2 

1 1 2 

1 

2 

1 1 

( ) 

( 

( )= 

+ + 

( ) + 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 

s 

T T s T T s 

T T s T T s 

l 

s 

) ( 

= 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) + 

1 1 2 

1 

2 

1 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

̃γ ) 

( ) 

( ) 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

l 

z t l 

R 

R 

l 

z 

s 

P 

P 

3 

0 23 

2 

3 

0 

23 2 

3 

2 23 

3 

0 

0 

2 

0 

= 

( )= 

→∞ = 

= 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

(4.2.19) 

Die Grenzwerte der Sprungantworten lauten in diesen 

drei Fällen 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

(4.2.20) 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

(4.2.21) 

4.3 Drehpunkt rechts Von klemmstelle 3 

Aus Gründen der Vollständigkeit wird untersucht, 

wie sich das Systemverhalten ändert, wenn der Drehpunkt, 

wie in Bild 8 gezeichnet, rechts der Klemmstelle 

3 liegt. 

Die Berechnung dieses Falls in Anhang A 3.3 zeigt, 

dass diese Variante keine praktische Bedeutung hat. Die 

maßgebende Übertragungsfunktion lautet 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

(4.3.1) 

Eine der Wurzeln des Zählerpolynoms liegt in der linken, 

die andere in der rechten s-Halbebene: Das System ist also 

allpasshaltig. 

Grenzwerte der Sprungantwort lauten 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

(4.3.2) 

und 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

(4.3.3) 

Für den ausgezeichneten Punkt 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

12 23 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s 

T T s 

T s 

T s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

z 

23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

und für große 

Zeiten lässt sich Gl. (4.3.1) gemäß Gl. (A3.3.18) durch ein 

Totzeitglied 

T 

l 

v 

l 

l 

v 

s 

T s 

s 

v s v s 

v 

c 

c 

13 

13 12 23 

23 

23 

12 

3 2 

1 

1 

= = 

+ 

≈ + + 

− 

⎡ 

⎣ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

ε 

ε 

() () 

() () 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

= + + − 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ − + 

+ 

1 

1 

1 

1 1 

23 12 

01 

1 12 

12 

2 3 

T s 

T s 

v 

v 

T s 

T s 

v 

v 

v 

v 

c c c 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

ε 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

+ 

( ) 

= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + 

R l t 

z 

s 

R 

l 

T T s 

P 

P 

2 23 2 

3 

0 

2 

23 

12 23 

1 1 

γ () 

() 

( ) 

̃ 

1 

1 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + 

R 

l 

T T s 

T T s T T s 

l 

s 

z 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

() 

() 

s 

e 

T s 

l 

R 

l 

z 

s 

R 

l 

T T s 

w 

P 

≈ 

+ 

= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + 

z 

s 

R 

l 

T T s 

P 

3 

0 

2 

23 

12 23 

1 1 

() 

( ) 

̃ 

1 

1 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

+ 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + 

R 

l 

T T s 

T T s T T s 

l 

s 

z 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

() 

() 

s 

e 

T s 

l 

R 

l 

z 

s 

R 

l 

T T s 

w 

P 

≈ 

+ 

 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

genannt und gegen den 

Uhrzeigersinn positiv gezählt (vgl. Bild 6a). Der bisherige 

Schenkwinkel 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

(vgl. Bild 2a) wird nach wie 

vor im Uhrzeigersinn positiv gezählt. Dann gilt nach 

Gl. (2.3.5) 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

(A3.1.1) 

Der Schwenkradius sei 

( ) 

̃z 

s 

3 

0 ( )= 

+ 

( ) + 

( ) 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

1 

1 1 

0 0 

12 23 

23 2 

3 

0 

3 

0 

2 

T s T s l s 

z 

t 

z t l 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

3 2 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

ˆ 

() 

( ) 

γ 

̃z 

s 

T s 


T 

P 

p 

= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 2 23 

2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 

1 1 

s 

T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

( ) + 

( ) 

= + + + + 

( ) + 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ = 

1 

0 0 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

4 

0 

T T s T T s 

s 

z 

t 

z t R p ̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

( ) 

( ) 

2 3 2 23 2 

4 

0 

34 

3 2 

2 3 

23 

1 

1 

2 

+ 

( ) = 

= + 

= = 

R 

l 

z 

s 

T s R 

s 

R 

R 

l 

z 

P 

p 

p 

P 

ˆ 

ˆ 

() () 

( ) 

γ 

γ 

γ 

̃ 

̃ 

̃4 

0 

34 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 

1 

1 1 2 

1 

2 

1 

( ) 

s 

T s 

T T s T T s 

T T s T T 

( )= + + + 

( ) + 

+ + 

( ) + 23 

2 23 2 

2 23 

4 

0 

12 23 34 

2 

1 

1 1 1 

s 

l 

s 

R 

l 

z 

s 

T s T s T s l 

P 

̃ 

̃ 

γ () 

( ) 

= 

( )= 

+ 

( ) + 

( ) + 

( ) 

3 2 

̃γ () 

s 

und reiche bis zum Mittelpunkt 

von Walze 2. Die Drehung des Rahmens beginne 

zum Zeitpunkt 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s T T s R 

T s 

T s 

s 

T s 

T 

p 

̃γ () 

T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

p 

23 12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃ 

̃ 

γ () 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

→∞ 

( )= →∞ 

( )= 

s 

T s l 

z t z t l 

1 34 

23 2 

3 

0 

4 

0 

23 2 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ( ) 

. Die Bewegung der Walze 2 setzt 

sich aus einer Drehung um ihren Mittelpunkt mit dem 

Winkel γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

() 

() 

s 

z̃ 

nach Gl. (2.3.5) und der axialen Translation 

des Mittelpunktes nach Gl. (2.3.4) zusammen, wie in 

Abschnitt 2.3 gezeigt. 

Wenn der Faden in der Mittellinie von Walze 1 und 

2, also seine Projektion auf die ( 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

() 

() 

s 

z̃ 

)-Ebene durch 

den Mittelpunkt der Walzen läuft, so führt die Rotation 

der Walze um ihren Mittelpunkt nur zu einer 

Verdrillung ohne Änderung des Fadenwinkels, 

wenn der Einfluss der Walzenradius’ 

t R γ 

̃z 

s 

T s 

R 

l 

T T s 

P 

4 

0 

34 

2 

23 

12 23 

1 

1 

1 1 

( ) ()= + + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) 

T T s 

z t l 

12 23 

4 

0 

23 2 

1+ + 

( ) 

→∞ = 

̃ 

̃ 

γ 

( ) 

( ) 

z 

s 

T s l 

s 

z 

s 

T s R 

s 

z 

P 

4 

0 

34 

23 2 

2 

1 

12 

2 2 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

() 

() 

() () 

() () 

= + 

= + ̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) 

() 

( ) 

( ) 

z 

z 

s 

R R T T s T T 

P 

P 

p 

→∞ = 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

2 2 

3 

0 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

1 

̃ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

+ + + 

( ) + 

1 1 

1 1 

12 23 

2 

3 

2 

12 23 12 2 

T s 

T s 

R 

R 

R 

T T s T T 

p 

P 

p 

( 

+ + 

( ) + 

→+ 

( )= 

1 

0 

12 23 12 23 

2 

3 

0 

2 

3 

2 

12 23 

T T s T T s 

z t R 

R 

R 

T T 

p 

P 

p 

̃( ) s 

T T s 

R 

z t R 

R 

R 

R 

R 

P 

p 

P 

p 

p 

P 

2 

12 23 

2 2 3 

3 

0 

2 

3 

2 

2 2 3 

1 

1 

ˆ 

ˆ 

ˆ 

( ) 

γ 

γ 

γ 

= 

→∞ 

( )= 

+ 

= + 

( 

̃ 

() () 

( ) 

( ) 

γ 

3 

0 

3 2 

2 23 

3 

0 

2 3 

23 

2 

= 

 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 () 

s 

angenommen sei. Verläuft 

der Faden hingegen außerhalb der Mittellinie, 

so tritt bei der Rotation auch eine Änderung des Fadenwinkels 

auf. Diese ist jedoch gegenüber der Winkeländerung 

infolge der Translation in erster Näherung 

vernachlässigbar. 

Die Translation des Mittelpunktes 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

P 

12 

2 2 

2 

1 

̃γ () 

() 

der Walze 2 nach 

Gl. (2.3.4) lautet, wie in Abschnitt 2.3 ausgeführt, 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

P 

12 

2 2 

̃γ () 

(A3.1.2) 

Die Projektion dieser Strecke auf die ruhende 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t 

R 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

12 

-Achse 

ist 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

P 

12 

2 2 

̃γ () 

(A3.1.3) 

Dann gilt für kleine Änderungen im s-Bereich 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

2 12 

2 

0 

0 12 12 

) ( )/ 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

̃z t l 

z 

T s 

T s 

M 

(A3.1.4) 

Bei 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= = 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

z 

s 

T s 

M 

M R s 

P2 2 

̃γ () 

wird auch 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

P 

12 

2 2 

1 

̃γ () 

() 

. Zum Zeitpunkt 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 

12 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

+ 

( ) + 

( 

= + − + 

s 

T 

T s 

T 

T s 

T T s T T 

T T s T 

z 

23 12 2 

12 23 12 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

+ + 

( ) + 

̃4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

s 

T s l 

1 34 

23 2 

̃γ 

γ 

γ 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

t 

z t l 

z 

s 

T s 

l T T 

4 

0 

4 

0 

23 2 

4 

0 

34 

23 12 

0 0 

1 

1 

( ) 

( ) 

( ) () 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= + − + 23 12 23 

2 

12 23 

34 

12 

1 1 

1 

1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= + − + 

s 

T T s 

T s 

T s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T T s T T s 

z 

p 

23 12 23 

2 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

̃4 

0 

4 

0 

23 2 

4 23 

4 

0 

0 0 

12 23 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

() 

t 

z t l 

R 

l 

z 

s 

e 

p 

T 

T 

→+ 

( )= 

→∞ = 

= 

≈ 

− + 

( 

̃ 

̃ 

) 

+ 

s 

T s l 

1 34 

23 2 

̃γ 

, der 

Schwenkung um den Drehpunkt 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

2 12 

0 

) ( )/ 

( ) 

= = ≠ 

̃z t l 

M 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t 

R 

z s R s 

z 

t 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

2 12 

2 

0 

) ( )/ 

( ) 

= = ≠ 

̃z t l 

z 

M 

, wird die Translation 

unter Voraussetzung der Haftbedingung (V4) dem auf 

Klemmstelle 2 haftenden Faden mitgeteilt. Dadurch entsteht 

ein Faden-Anfangswinkel 

γ 

δ 

γ 

γ 

2 2 

1 

0 

1 

0 

23 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

=− 

= 

= 

z 

x 

l 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

, 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

2 12 

2 

0 

) ( )/ 

( ) 

= = ≠ 

̃z t l 

z 

T s 

T s 

M (A3.1.5) 

33 


5 / 2011

Der Fadenversatz relativ zum ruhenden 

() () 

( 

( ) 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

z s R s 

z 

t 

M 

P 

M 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

-System lautet 

nach Gl. (2.2.1) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

λ 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

z s R s 

z 

t 

M 

P 

M 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

(A3.1.6) 

Relativ zum mitbewegten 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

λ 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

z s R s 

z 

t 

M 

P 

M 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

-System, also relativ zum 

Mittelpunkt von Walze 2, führt der Faden eine Bewegung 

in negativer Richtung aus. Der Fadenversatz lautet: 

γ 

2 2 2 

= 

z t R t 

M 

P 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

(A3.1.7) 

Man beachte, dass 

γ 

2 2 2 

= 

z t R t 

M 

P 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ der Fadenversatz ist und 

γ 

γ 

2 2 2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

= 

= 

z t R t 

z 

z t R t 

M 

P 

M 

P 

( ) 

( ) 

() () 

() ()cos ( ) ( ) 

() () 

( 

( ) 

( ) 

γ 

γ 

γ 

γ 

λ 

2 2 2 

2 

0 

2 2 

2 

2 

0 

12 

0 

0 

t R t 

z s R s 

z 

t 

P 

M 

P 

M 

≈ 

≈ 

> 

> 

= 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

0 0 0 

1 1 

2 12 

2 

0 

2 

0 12 

12 

2 

12 

) ( )/ 

() () 

( ) 

( ) 

= = ≠ 

= + = + 

̃ 

̃ 

̃ 

z t l 

z 

z 

s 

T s 

T s z s T s 

M 

M 

T s R 

s 

z 

z 

s 

T s z s T s R 

P 

M 

P 

12 

2 2 

2 

1 

2 

1 

12 

2 

12 

2 

1 

1 

1 

1 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() 

() 

=− + =− + 2 

2 

1 

2 

1 

() 

() 

() 

s 

z 

z 

̃ 

gemäß 

den Definitionen von Abschnitt 4 das Koordinatensystem 

bezeichnet. Verwechslungen sind kaum möglich. 

Klemmstelle 3 

Die Klemmstelle 3 führt keine Relativbewegung gegenüber 

der Klemmstelle 2 aus. Die Verschiebung des Fadens 

relativ zur Klemmstelle 2 wird an Klemmstelle 3 weitergegeben. 

Dabei kommt die Zeitkonstante 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 

T s z s T s T s R s 

z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 

T s T s R s R l s 

z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 

T T s T T s R T T s T T s 

P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

ins Spiel, da 

die Klemmstelle 3 auf den Faden eine axiale Kraft ausübt 

(vgl. Abschnitt 3.2). Man erhält mit Gl. (A3.1.7) die Verschiebung 

des Fadens relativ zum Mittelpunkt der 

Klemmstelle 3 zu 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

(A3.1.8) 

Nachdem sich der Koordinaten-Nullpunkt des 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

-Systems, 

also der Mittelpunkt der Walze 3, gegenüber dem 

ruhenden 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

-System in positiver Richtung nach der 

Funktion 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

(A3.1.9) 

bewegt, ist die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ 

zum ruhenden 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

-System 

̃ 

̃ 

s 


P 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

) () () 

= + =− + + γ 

() 

) () 

) () 

2 23 2 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

s R l s 

s z s R 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

γ γ γ 

() () () 

12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

s) 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃γ () 

) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

(A3.1.10) 

Weitere Umformungen mit den Zwischenschritten 

̃ ̃ ̃ 

z 

s 


z 

z 

P 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 2 

3 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() () 

() 

() () () 

= + =− + + γ 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

() () 

() () 

0 

3 

0 

2 23 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

2 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z s R l s 

z 

z s z s R 

M 

p 

P 

≈ + 

( ) 

= + 

γ 

+ 

( ) =− + + + + 

( ) 

l 

s 


z 

P 

P 

23 2 

23 12 

2 2 2 23 2 

3 

1 

1 

1 

1 

̃ ̃ ̃ 

̃ 

γ γ γ 

() () () 

(0 12 23 

12 23 

2 23 

1 1 1 

1 1 

) () 

s 

T s 

T s 

T s 

T s 

R 

l 

P 

= − + + 

( ) + 

( ) 

+ 

( ) + 

( ) 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎢ 

⎢ 

⎤ 

⎦ 

⎥ 

⎥ 

̃γ 2 

12 23 12 23 

2 

2 12 23 12 23 

2 

1 

() 

s 


P 

= 

+ 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ ⎦ 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

( ) + 

( ) + 

l 

T T s T T s 

s 

l R l T T s R 

P 

23 

12 23 12 23 

2 2 

23 2 23 12 23 

1 

̃γ () 

P l T T s 

T T s T T s 

s 

z 

s 

2 23 12 23 

2 

12 23 12 23 

2 2 

3 

0 

1 

1 1 

+ 

( ) 

+ + 

( ) + 

= 

+ + 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

T T s 

P 

P 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 

1 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + T T s 

l 

s 

12 23 

2 23 2 

̃γ () 

(A3.1.11) 

liefern das Ergebnis 

̃z 

s 

R 

l 

T T s 

R 

l 

T T s 

P 

P 

3 

0 

2 

23 

12 23 

2 

23 

12 23 

1 1 1 

( ) ()= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

2 

12 23 

23 2 

2 

23 

12 23 

1 1 

1 1 1 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

+ + 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ + 

( ) + + 

T s 

T s 

l 

s 

R 

l 

T T s 

R 

P 

̃γ () 

P 

l 

T T s 

T T s T T s 

l 

s 

2 

23 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 23 2 

1 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

⎟ 

+ + 

( ) + 

̃γ () (A3.1.12) 

Dieses wird in Abschnitt 4.1 des Hauptteils genauer diskutiert. 

Klemmstelle 4 

Diese Faden-Fußpunktverschiebung ̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 

T s z s T s T s R 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + 

γ 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ ( 

() 

( ) 

s 

z 

s 

R R T T s T T 

T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

+ + 3 12 23 

2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

1 1 

1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( 

+ 

s 

T T s 

R 

R 

R 

T T s T T 

T 

p 

P 

p 

12 23 12 23 

2 

+ 

( ) + 

T s T T s 

wird nun auf die 

Klemmstelle 4 übertragen und führt dort zum geglätteten 

Fadenversatz 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ 

s 

T T s 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T 

p 

P 

p 

̃γ () 

12 23 12 23 

2 2 

+ 

( ) + 

T s T T s 

s 

̃γ () 

(A3.1.13) 

in den die Gl. (A.3.1.12) einzusetzen ist. Es wird vorausgesetzt, 

dass die Verschiebung 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

( 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ 

s 

T T s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T 

p 

P 

p 

̃γ 

12 23 12 23 

2 

+ 

( ) + 

T s T T s 

̃γ 

die Verschiebung 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() ( 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

1 

1 

s R 

z 

s 

T s z 

s 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

() () 

() () 

= + γ 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

3 

0 

23 1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) 

() 

() 

s 

z 

z 

s 

T s 

T 

= 

= + + ̃ 

̃ 

3 

0 2 3 

12 

1 

1 

̃ () 

( ) 

z 

s 

R 

R 

T 

P 

p 

= 

+ + 

⎡ 

⎣ 

+ 

2 

3 

2 

1 1 

1 

( 

= 

+ + 

( 

+ 

R 

R 

R 

T 

p 

P 

p 

( 

nicht beeinflusst. 

A 3.2 Drehpunkt zwischen Klemmstelle 1 

und Klemmstelle 4 

Der Drehpunkt befinde sich zwischen den Klemmstellen 

1 und 4. Wieder ist der Fadenversatz auf Klemmstelle 3 

und 4 zu ermitteln, wobei analog zu Abschnitt A 3.1 vorgegangen 

wird. 

Klemmstelle 2 

Wie aus Bild 7 ersichtlich ist, ändert sich der Fadenwinkel 

gegenüber Bild 6a in entgegen gesetzter Richtung. Der 

Fadenversatz auf der Walze 2 wird jetzt positiv und lautet 

analog zu Gl. (A3.1.7) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ 

s 

T T s 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T 

p 

P 

p 

̃γ () 

12 23 12 23 

2 2 

+ 

( ) + 

T s T T s 

s 

̃γ () 

(A3.2.1) 

Klemmstelle 3 

Der Fadenversatz auf Klemmstelle 2 wird an Klemmstelle 

3 weitergegeben und analog zu Gl. (A3.1/8) wird 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

3 2 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R P ̃γ () 

(A3.2.2) 

Der Nullpunkt des mitbewegten 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 

3 2 

( ) + 

s 

T T s 

R P 

-Systems bewegt sich 

in positiver Richtung gegenüber dem festen 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 

T s z s T 

P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + 

γ 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() ( 

s z R 

z 

s 

T s 

T s R p 

P 

= + 

= + + ̃ ̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

3 

0 2 3 12 2 

12 2 

1 

1 

̃ () 

( ) 

z 

s 

R R T T 

T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( 

⎡ 

⎣ 

+ + 3 

2 

3 

2 

12 2 

1 1 

( ) + 

= 

+ + + 

( 

( 

s 

R 

R 

R 

T 

T 

p 

P 

p 

-System 

nach der Funktion 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

( ) + 

+ + + 

( ) + 

( ) 

s 

T T s 

s 

R 

R 

T T s T T s 

P 

p 

̃γ () 

(A3.2.3) 

Die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ zum ruhenden 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

̃γ () 

s 

-System ist dann 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

s 

T T s 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

P 

p 

̃γ () 

s 

̃γ () 

(A3.2.4) 

Einsetzen von Gl. (A3.2.2) ergibt 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

3 

12 23 12 23 

2 

1 1 

( ) + 

+ + + 

( ) + 

( ) 

s 

T T s 

s 

R 

T T s T T s 

P 

̃γ () 

(A3.2.5) 

woraus folgt 

34 atp edition 

5 / 2011 

hauptBeitRag

̃z 

s 


T s 

T s 

P 

p 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

( ) ()= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 1 

1 

() 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T T s T 

p 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ + 

( ) + T s 

s 

z 

s 

T s z 

s 

z s R s 

M 

p 

23 

2 2 

4 

0 

34 

3 

0 

3 

0 

4 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() ( 

( ) ( ) 

( ) 

= + 

=− ) 

() 

() 

( ) () ( ) () 

( ) 

̃ ̃ ̃ ̃ ̃ 

̃ 

z z z s z R 

z 

s 

l 

T 

M 

p 

3 

0 

3 

1 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 23 12 

= + = − 

= 

− + 

γ 

T s T T s R 

T s 

T s 

s 

T T s 

p 

23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

12 23 

1 1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

( ) 

̃γ () 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

s 

p 

12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( 

( ) 

) = + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

1 

1 1 

34 

23 12 23 12 23 

2 

4 

12 23 12 2 

T s 

l T T s T T s R 

T T s T T 

p 

3 

2 2 

34 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 23 

1 

1 

1 

1 

s 

s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

T 

p 

̃γ () 

= + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) − = 

+ 

− 

s 

T T s 

l 

s 

T T s T T s 

l 

R 

T s 

T 

p 

12 23 

2 23 2 

12 23 

2 

12 23 

23 

4 

0 

1 2 

1 

̃γ () 

2 

1 

2 

1 

2 

3 

0 

12 23 

12 23 

23 2 

2 12 23 

s 

e 

z 

s 

T T s 

T T s l e 

Ts 

T 

T 

≈ 

≈ 

+ 

+ 

− 

+ 

≈ − + 

( ) 

̃ 

̃ 

( ) () γ 

s 

T T s 

l 

z 

s 

e 

T s 

l 

23 2 

4 

0 

2 

34 

23 2 

12 23 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ()≈ 

+ 

− + 

( ) 

(A3.2.6) 

Klemmstelle 4 

Diese Faden-Fußpunktverschiebung 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

z 

z 

s 

T s z 

s 

z 

z 

z 

s 

T 

3 

0 

4 

0 

34 

3 

0 

4 

0 

3 

0 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

() 

() () 

() 

= + 

= + 12 

2 2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

s R 

s 

z 

s 


P 

P 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

γ () 

() () 

() () 

= + = + + γ 

γ 

2 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

3 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

() 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

M 

p 

M 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

= 

= + 3 

0 

3 

1 

3 2 

3 

0 

23 12 

2 2 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() () 

s z R 

z 

s 

T s T s R s R 

p 

P 

p 

= + 

= + + + 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 3 2 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

() 

( ) 

s 

z 

s 


T 

T 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 3 12 23 

2 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 1 

1 

( ) + 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ 

s 

T T s 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T 

p 

P 

p 

̃γ () 

12 23 12 23 

2 2 

+ 

( ) + 

T s T T s 

s 

̃γ () 

wird nun auf die 

Klemmstelle 4 übertragen und führt dort zum geglätteten 

Fadenversatz 

̃z 

s 


T s 

T s 

P 

p 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

( ) ()= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 1 

1 

() 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T T s T 

p 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ + 

( ) + T s 

s 

z 

s 

T s z 

s 

z s R s 

M 

p 

23 

2 2 

4 

0 

34 

3 

0 

3 

0 

4 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() ( 

( ) ( ) 

( ) 

= + 

=− ) 

() 

() 

( ) () ( ) () 

( ) 

̃ ̃ ̃ ̃ ̃ 

̃ 

z z z s z R 

z 

s 

l 

T 

M 

p 

3 

0 

3 

1 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 23 12 

= + = − 

= 

− + 

γ 

T s T T s R 

T s 

T s 

s 

T T s 

p 

23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

12 23 

1 1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

( ) 

̃γ () 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

s 

p 

12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( 

( ) 

) = + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

1 

1 1 

34 

23 12 23 12 23 

2 

4 

12 23 12 2 

T s 


T T s T T 

p 

3 

2 2 

34 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 23 

1 

1 

1 

1 

s 

s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

T 

p 

̃γ () 

= + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) − = 

+ 

− 

s 

T T s 

l 

s 

T T s T T s 

l 

R 

T s 

T 

p 

12 23 

2 23 2 

12 23 

2 

12 23 

23 

4 

0 

1 2 

1 

̃γ () 

2 

1 

2 

1 

2 

3 

0 

12 23 

12 23 

23 2 

2 12 23 

s 

e 

z 

s 

T T s 

T T s l e 

Ts 

T 

T 

≈ 

≈ 

+ 

+ 

− 

+ 

≈ − + 

( ) 

̃ 

̃ 

( ) () γ 

s 

T T s 

l 

z 

s 

e 

T s 

l 

23 2 

4 

0 

2 

34 

23 2 

12 23 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

( ) ()≈ 

+ 

− + 

( ) 

(A3.2.7) 

Diese Gleichung wird in Abschnitt 4.2 des Hauptteils interpretiert. 

a 3.3 Drehpunkt rechts von klemmstelle 3 

Die Rechnung erfolgt ganz analog zu den beiden Fällen 

A 3.1 und A 3.2. 

Klemmstelle 2 

Der Fadenversatz relativ zu Walze 2 (vgl. Bild 8) wird wie 

im Fall A 3.2 positiv und lautet analog zu Gl. (A3.2.1) 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 

T s z s T s T s l R P 

̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R 

z t l 

P 

23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

3 

0 

2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

(A3.3.1) 

Klemmstelle 3 

Dieser Fadenversatz wird an Klemmstelle 3 weitergegeben, 

und analog zu Gl. (A3.2.2) ergibt sich 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 


̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R 

z t l 

P 

23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

3 

0 

2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

(A3.3.2) 

Der Nullpunkt des mitbewegten 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 


̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R 

z t l 

P 

23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

3 

0 

2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

-Systems bewegt sich 

in negativer Richtung gegenüber dem festen 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 


̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R 

z t l 

P 

23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

3 

0 

2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

-System 

nach der Funktion 

̃z 

s 


T s 

T s 

P 

p 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

( ) ()= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 1 

1 

() 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T T s T 

p 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ + 

( ) + T s 

s 

z 

s 

T s z 

s 

z s R s 

M 

p 

23 

2 2 

4 

0 

34 

3 

0 

3 

0 

4 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() ( 

( ) ( ) 

( ) 

= + 

=− ) 

() 

() 

( ) () ( ) () 

( ) 

̃ ̃ ̃ ̃ ̃ 

̃ 

z z z s z R 

z 

s 

l 

T 

M 

p 

3 

0 

3 

1 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 23 12 

= + = − 

= 

− + 

γ 

T s T T s R 

T s 

T s 

s 

T T s 

p 

23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

12 23 

1 1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

( ) 

̃γ () 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

s 

p 

12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( 

( ) 

) = + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

1 

1 1 

34 

23 12 23 12 23 

2 

4 

12 23 12 2 

T s 


T T s T T 

p 

3 

2 2 

34 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 23 

1 

1 

1 

1 

s 

s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

T 

p 

̃γ () 

= + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) − = 

+ 

s 

T T s 

l 

s 

T T s T T s 

l 

R 

T s 

p 

12 23 

2 23 2 

12 23 

2 

12 23 

23 

4 

0 

1 2 ̃γ () 

Ts 

(A3.3.3) 

Die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ zum ruhenden 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 


̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R P 23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

-System ist dann analog zu Gl. (A3.2.4) 

̃z 

s 


T s 

T s 

P 

p 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

( ) ()= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 1 

1 

() 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T T s T 

p 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ + 

( ) + T s 

s 

z 

s 

T s z 

s 

z s R s 

M 

p 

23 

2 2 

4 

0 

34 

3 

0 

3 

0 

4 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() ( 

( ) ( ) 

( ) 

= + 

=− ) 

() 

() 

( ) () ( ) () 

( ) 

̃ ̃ ̃ ̃ ̃ 

̃ 

z z z s z R 

z 

s 

l 

T 

M 

p 

3 

0 

3 

1 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 23 12 

= + = − 

= 

− + 

γ 

T s T T s R 

T s 

T s 

s 

T T s 

p 

23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

12 23 

1 1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

( ) 

̃γ () 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

s 

p 

12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( 

( ) 

) = + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

1 

1 1 

34 

23 12 23 12 23 

2 

4 

12 23 12 2 

T s 


T T s T T 

p 

3 

2 2 

34 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 23 

1 

1 

1 

1 

s 

s 

T s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

T 

p 

̃γ () 

= + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

+ + 

( ) − = 

s 

T T s 

l 

s 

T T s T T s 

l 

R p 12 23 

2 23 2 

12 23 

2 

12 23 

23 

4 

0 

̃γ () 

(A3.3.4) 

Einsetzen von Gl. (A3.3.2) ergibt 

̃z 

s 

T s 


T 

T 

P 

p 

4 

0 

34 

2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 

1 

1 

( ) ()= + + + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

= + + + + 

( ) + 

s 

T T s 

s 

R 

T s 

R 

R 

T T s T T s 

p 

P 

p 

12 23 

2 2 

2 

34 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

1 

1 1 

̃γ () 

( ) 

+ + 

( ) + 

= + + 

( ) 

1 

1 

1 

12 23 12 23 

2 2 

2 

1 

12 

23 4 

T T s T T s 

s 

z 

s 

T s l 

R P 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() 

() 

2 

3 

1 

23 

2 

1 

23 12 

23 2 2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

() 

() () 

() () 

s 

z 

s 


̃ ̃ ̃ 

= + = + + + 

( )γ () 

() () 

() 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) () 

s 

z 

z 

z s R s 

z 

z z z 

MT 

p 

M 

3 

1 

3 

0 

3 

0 

4 2 

3 

0 

3 

0 

3 

1 

̃ 

̃ 

̃ ̃ ̃ 

=− 

= + 

γ 

T 

p 

P 

s z R 

z 

s 

T s T s l R 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 

23 12 

23 4 

1 

1 

1 

1 

( ) () 

( ) 

() 

() 

= − 

= + + + 

( ) 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 2 4 2 

3 

0 23 12 23 12 23 

2 

4 

1 

() () 

() 

( ) 

s R s 

z 

s 


T 

p 

p 

− 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

̃ 

̃ 

γ 

12 23 

2 

12 23 12 23 

2 4 

23 

12 

1 

1 

1 

s 

T s 

s 

T T s T T s 

R 

l 

T 

p 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

̃γ () 

T s T T s 

l 

s 

z t R 

z t l 

P 

23 12 23 

2 23 2 

3 

0 

4 2 

3 

0 

2 

0 

( ) + 

→+ 

( )= 

→∞ 

( )= 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

( ) 

( ) 

3 2 

ˆγ 

(A3.3.5) 

Nach Umformung folgt das Ergebnis 

̃z 

s 


T s 

T s 

P 

p 

3 

0 2 3 12 23 12 23 

2 

12 23 

1 

1 1 

( ) ()= 

+ + + 

( ) + 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

̃γ 2 

2 

3 

2 

12 23 12 23 

2 

12 23 12 

1 1 

1 

() 

s 

R 

R 

R 

T T s T T s 

T T s T 

p 

P 

p 

= 

+ + + 

( ) + 

( ) 

+ + 

( ) + T s 

s 

z 

s 

T s z 

s 

z s R s 

M 

p 

23 

2 2 

4 

0 

34 

3 

0 

3 

0 

4 2 

1 

1 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

̃ 

γ 

γ 

() 

() () 

() ( 

( ) ( ) 

( ) 

= + 

=− ) 

() 

() 

( ) () ( ) () 

( ) 

̃ ̃ ̃ ̃ ̃ 

̃ 

z z z s z R 

z 

s 

l 

T 

M 

p 

3 

0 

3 

1 

3 

0 

3 

1 

4 2 

3 

0 23 12 

= + = − 

= 

− + 

γ 

T s T T s R 

T s 

T s 

s 

T T s 

p 

23 12 23 

2 

4 

12 23 

2 

12 23 

1 1 

1 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ 

( ) + 

( ) 

= 

− + 

( ) 

̃γ () 

+ 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

T T s 

R 

l 

T T s T T s 

l 

s 

z 

s 

p 

12 23 

2 4 

23 

12 23 12 23 

2 23 2 

4 

0 

1 

̃ 

̃ 

γ () 

( 

( ) 

) = + − + 

⎡( ) + 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

+ + 

( ) + 

1 

1 1 

34 

23 12 23 12 23 

2 

4 

12 23 12 2 

T s 


T T s T T 

p 

3 

2 2 

2 4 

s 

s 

R p ̃γ () 

(A3.3.6) 

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Oldenbourg Industrieverlag 

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( 0) () 

z z 1 ( 0) () 1 

P3 

2 

̃ 3 

= ̃3 

+ z̃ 

M T3() 

s = z̃ 

3 

−Rp4γ̃ 

2 

1+ 1+ T12 + T23 s T12T23s 

2 


0 

( 0 1 

z̃ ) P2 + ⎡ 

p3 1 

( 

̃z 

) 12 P 

T s T s l 23 R 

12 23 

3 

3 

()= s 

⎣ + ( + ) + ⎤ 

Rp2 

⎦ 

23 4 

1 + 

23 

1 + 

( ̃γ 2 

() s − R 

̃γ 

( 1+ 

T p 4 

γ̃ 

2 

() s 

12s) ( 1+ 

T 

12 

z s 

P 

T s T s l R 

23s) 

2 

() s 

= Rp2 

γ̃ 

s 

2 2() 

1+ ( T12 + T23 ) s+ T12T23s 

( 0) 

1 1 

2 

̃3 

() = 

23 4 

1 + 

R 

23 

1 + 

( + ) γ̃ 

2 

() s − Rp 

4 

γ̃ 

2 

() s 


P3 

2 

0 1 23 

− ⎡( 

( 

1+ ( 112 

+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s 

) 

̃z 

) 12 23 12 23 p4 

4 

()= s 

⎣ 

+ 

+ ⎤ 

( 0) 

z̃ 

⎦ 

4 ( t →+ 0)= 

0 ̃γ s 

R 

1 

p2 

2 

+ 

2 2() 

hauptBeitRag 

( 0) 1T34s 

1+ ( T12 + T23 

)s+ 

T12T23s 

= Rl − ⎡( T + T ) s+ 

T T s R 

( 0 ) 23 12 23 12 23 p4 

z3 

() s = 

⎣ 

⎤ 

p2 

̃ 

⎦ γ̃ 

s 

2 2() 

z s 

1+ ( T12 + T23 ) s+ T12T s 

2 

̃γ 

2() 

s 

T s z ( 0) 

̃ 

s 

4 

() = ̃3 

() 

1 

23 

+ 

34 

( 0) 

R 

2 p4 

l − ⎡( T( 1 

+ 

T12s) s( 1+ 

T T 

23s 

( 

) s R 

0 ) 23 12 23 12 23 p4 

z3 

() s = 

⎣ 

⎤ 

̃ 

⎦ 

1− ⎡( 

̃γ 

2() 

s 

⎣ T + T z) ̃s+ 

T T s ⎤ 

12 23 4 ( t →∞ 

12 23 

) 

⎦ 

= l23γ2 

1 

l23 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

R 

= l s 

2 p4 

( 0) z s 1− ⎡( 

1 

⎣ 

T12 + T23 ) s+ 

T12T23s 

⎤ 

⎦ Rl 

2 23 p4 

= 

T s − ⎡( z ( 0) 

̃ 

s 

4 

() = ̃3 

() 

+ 

2 23γ̃ 

2() 

( 0) 

z̃ 

M3() s =− 1 RTp4γ 

̃ 

34s2( 

s) 

1+ 

( 12 23 12 23 

2 


2 

1 + 

0 1 23 

− ⎡( 

( 

34 

T l ̃ s 

2 23γ2() 

12 

+ T23 ) s+ 

T12T23s 

1⎣ 

⎤ 

̃z 

l T T 

0 1 23 

− ⎡( 12 

+ 

( 

+ ( T12 

+ T23 ) s+ 

12T23s 

⎦ 

z̃ 

) 23 ) ) 12 23 12 23 p4 

4 

() s = 

⎣ 

s+ 

T 12 

T 23 

s ⎤ 

⎦ 

Rp4 

4 

()= s 

⎣ 

+ ) + ⎤ 

⎦ 

̃γ s 

l 

1 + 

2 2() 

T ̃γ 

2() 

s 

34s 

1+ ( T12 + T23 

)s+ 

T 

23 

( 0) 

Die Grenzwerte = der Sprungantwort llauten 

̃ 

12 + 

T 

T23s 

( 0) () 1 ( 0) () 1 

s 

2 23γ2() 

34s 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

z̃ 4 

( t →∞ ̃ ) ̃= 

l() 

23γ 

̃ ̃ 

3 

= z3 

+ zM3 

s 

2= z3 

−Rp4γ 

2 

(A3.3.10) 

( 0) 

z̃ 

s R1 

+ ̃( T12 

s + T23 ) s+ 

T12T23s 

M3() =− 

p4γ 

2( 

) 

R 

2 p4 

1− ⎡( R 

2 p4 

( 0) 

⎣ T + T ) s+ 

T T s ⎤ 

12 23 12 23 

z̃ 

3 ( t →+ 0)= 

RP 

4γ2 

(A3.3.7) Die Gln. (A3.3.10) 1 

⎦ 

( 0( 0) 

) () 1 ( 0) () 1 

̃z̃3 

( t →+ z̃ 0z)= 

̃ () RsP 

4γ2z̃ R ̃ 

3 

= 

3 

+ 

M3 

= 

3 

− 

p4γ 

z s 

1 unterscheiden sich l 1− ⎡( 12 

1 von ⎣ T + T23 ) s+ 

T T s ⎤ 

23 

12 23 

Gln. (A3.3.6) ⎦ 

= l 

( 0 ) 

̃3 

() 

2 23 2 

2 

und 

1+ ( T12 + T23 ) + T12 l 2 

nur durch ein Glättungsglied. Daher 

= s 

l s 

23 

+ 

2 23γ̃ 

2() 

1l 

T− ⎡( sT 

γ̃ 

() gibt Gl. (A3.3.6) Einblick 

in das Verhalten 

l s 

1 + 

2 23γ ̃ 

2( 

( ) 

34 

1+ 

( T12 23 ) s+ 

T12T23 

T 

s 

z̃ 

0 34s 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T T s 

3 

() s = 

23 ⎣ + T 12 23 ) s+ 

T T s ⎤ 

12 23 ⎦ Rp4 

̃γ 

2() 

s 

12 23 

( 0) 

( 1+ 

T des Systems. 

12s) ( 1+ 

T23s) 

z̃ 

3 ( t →∞)= 

l2 

3ˆγ 

2 

( 0) 

1 

( 0) 

2 

z̃ 

= 

3 ( t →∞l 

)= − ⎡( l2T3 ˆγ 

2+ 

T s T T s R 

(A3.3.8) 

( ) 

z̃ 

0 3 

() s = 

23 ⎣ 12 23 ) + ⎤ 

z̃ 

23 2 

12 23 ⎦ p4 

( 1+ 

s) ( 1 

23s) 

l γ̃ 

() 

Zunächst s 4 

( t →∞ ) 

l 

= 

2 

bestätigt T der T Sonderfall s T s R 

0 1 23 

− 

l23γ 

( 0) 

R 

2 

2 p4 

1− ⎡ ⎡( 

( 

̃γ 

2() 

s 

̃z 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

) 12 23 23 p4 

4 

()= s 

⎣ 

+ ) + ⎤ 

⎣( T z̃ 

4 ( t →+ 

⎦ 

0)= 

0 

12 

+ T23 

) s + T ⎤ 

12T23s 

⎦ l23 

̃γ s 

1 + 

2 2() 

T= 

34s 

1+ ( T12 + T23 

)s+ 

T s l s 

23 

( 0) 

Rp 

Klemmstelle 1− ⎡( T4 

2 4 

z s 

1 

2 23γ ̃ 

2 

1+ ( T 

( 

⎣ 12 

+ T23 

) 

0 ) 

12 

+ T23 ) s+ 

T12T23 

̃3 

() = 

s + T T s ⎤ 

2 

lz̃ 

234 

( t →∞ R ) = l γ 

2 223 2 p4 

23 2 

12 23 ⎦ 

Dieser = Fadenversatz wird geglättet l 

T12T23s + 1 

+ R− ( 

p⎡( 4( T + 

12 T 23) s + − T = s 0 

23 

l ̃ auf s Klemmstelle 4 

⎣ 

T12 + T ⎤ 

12 23 ) s+ 

T12T12 23s l s 

γ̃ 

() s 

23 

2 23γ 2() 

1 

R 

⎦ l 

p4 

23 2 

wirksam: 1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s 

= 1 

l ̃ s 

1 + 

2 23γ2() 

( 0) 

T 34s 

1 l − ⎡( 

z̃ 

1+ 

( T12 ) s+ 

23RT12T23s 

p2 

4 

= l23 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

l γ̃ 

() s (A3.3.11) 

4 

( s) = 

⎣ + ) + ⎤ 

23 

T12 T23 s T12T23s ⎦ Rp4 

̃γ + 

2 2() 

s 

1 T34s 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T2 

3s 

2 

T T 

− ⎡( + ) + 

( 0) 

1 l 

z̃ 

4 

( s) = 

⎣ 

⎤ 

1 

23 

T12 T23 s T12T23s ⎦ R 

12 

+ ⎛ 

23 

T12T23 

l ⎞ 

( 0) 

23 

p4 

s12 

, 

= ⎜ 

1± 1+ 

4 

R ⎟ 

2 

̃γ 

1 + 

2 2() 

s z̃ 

− 

4 

( t →∞ ) = 

l23 T 

γ 

( 2T12 + Tp4 

23 ) s 

2 

12T 

1 

23 

⎜− ⎡( 12 23 

T34s 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T2 

3s 

( T( 0) 

T R 

12 

+ 

12 23 e 

23 ) p4 

⎟ 

2 ⎝ 

l23 

z̃ 

4 

() s ≈ ⎠ 

+ T s l 23γ̃ 

2 

die T12T23 

Gl. s + (4.2.11). R 

1 

⎣ T + T ) s+ 

T T s ⎤ 

⎦ 

p4( T12 + T23 

) s − = 0 

l23 

= 1 l s 

34 

R 

1 + 

2 p4 

1− ⎡( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s 

1 

⎣ 

⎤ 

⎦ l 

z̃ 

0 3 

() s = 

1 

R 

2 23 

̃γ 

2() 

T34s 

1+ ( T12 + Tp 

23 4 ) s+ 

T12T23s 

( ) 

Interessant T ist l es, die Nullstellen 2 23 2 

23 

12 23 23 

= l s 

1 + 

2 23 

̃γ 

2() 

1+ ( T12 + T23 ) s> 

+ 0T12T23s l γ̃ 

() s Zählerpolynoms 

( 0) ( 0) 

2 

z̃3 

( t →∞)= z̃4 

( t →∞)= 

l23γ2 

T34s 

1+ ( T12 + T23 

) s+ 

T12T23s 

( T 

R 

12 

+ 

23 ) p4 

(A3.3.9) 1 T12 + 1T 

⎛ 

23 

= 

23 2 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

l γ̃ 

() s T T l ⎞ 

2 

l23 

T 12 23 23 

s12 

12T , 

= 23s + ( T12 + T⎜ 

23 − ) 1s± − 1+ 

4= 

0 

⎟ (A3.3.12) 

2 

2 T12T23 

⎜ Rp4 

( T T R 

12 

+ 

23 ) p4 

⎟ 

⎝ 

Der stationäre 2 Endwert l23 

der Sprungantwort lautet 

T12T23s + ( T12 + T23 

) s− = 0 

4 

R 

1 T12 T23 

s R ⎠ 

zu bestimmen. Diese lauten 

p 

− ( + ) 

p4 

T 

1 

0) 

l23 

2z̃( + T 

T T s 3 R 

() s ≈ 

l 

12T 

s l 

23 

T 

l ̃ 

23γ2() 

s 

12 23 

2 

23 

p4( 12Ts 

1+ 

+ T23 

( T) s 

12 

+ − T 

R23 

) s= 

0 

≈ e 

> 0 

2 

p4 

T 

( T T R 

12T+ 

23 ) p4 

1+ 

RefeRenzen 

s 

1− 

s 

2 Ts 

2 

≈ e 

T 

Rp4 = l23 

1− 

s 

1 T12 + T ⎛ 

23 

T12T23 

l ⎞ 

4 

23 

2 

s12 

, 

= 1⎜ 

1 12 ± 1 + 234s R p 

− ( T ) 

⎟ 

2 

2 0 

z 

T) 

12T23 

⎜ 

1 T 

( 0 12 

T23 

s 

T12 + T ̃ 

) 

23 

3 

() − ( 12 

+ T 

[1] Brandenburg, g.: Über das Verhalten durchlaufender 

[10] Campbell, 23 

+ ) ( Tl 

23 T R 

12 

+ 

) p4 

⎟ 

̃( 

3 

() s ≈ 1 

⎝ 

+ D. p.: s process Dynamics. new York, 

l ̃ () ⎠ 

12 23 

23 2() 

1+ 

s 

+ ( T 

( 0 

2 

2 T 

z 

12 T 

̃ 

) 23 

3 

() s ≈ 

l ̃ 

23γ 

2 

≈ e 

− ( + ) 

12 

+ T23 

) s l 23γ 

γ̃ 

s 

s 

( 0 

1+ ( T2 

2 T 

+ T ) s 

12 T 

z̃ 

) 3 

s ≈ 

l23 2 

≈ e 

− ( + ) 23 s 

elastischer Stoffbahnen bei Kraftübertragung durch 

() John Wiley & Sons, γ̃ 

inc. 1958. Chapter l23γ̃ 

3: forming, 

2 

Coulomb'sche Reibung in einem System angetriebener, 

propulsion, T12 + T23 

1− 

and s guidance. Section 8: Web guidance, 

s 

umschlungener Walzen. Dr.-ing.-Diss. l ̃ 

23γ 

th München 1971 T T pp. l 152-156 2 

2 

12 23 23 

T12 + T > 0 

[2] Brandenburg, 23 

1− 

s g.: ein mathematisches Modell für eine R[11] p4 2= 

Shelton, l 

T T R23 

J.J.: a simplified model for lateral behaviour 

p 

2 

( 12 

+ 

23 ) 4 

durchlaufende elastische Stoffbahn in einem System 

T 

1+ 

of s short − 2( T12web + T23 

) sspans. proc. of the 6th int. Conf. on Web 

( 0 e 

angetriebener, umschlungener Walzen. Regelungstechnik z̃ 

) 2 Ts 

4 

()≈ shandling ≈ e 

− 

− 2( T12 + T23 

) s 

( 0 T 1 

12 

( 0 e 

z̃ 

z̃ 

) 4 

()≈ s 

l ̃ 

1− 

) s 

4 

23γ 

1 

2 

1+ 

T34s 

2 T12 T23 

s R T23 

s 

3 

() s ≈ − ( (iWeB) + l23 ) γ̃ 

2001. 2 Web handling Research 

1+ 

T34s 

und prozeßdatenverarbeitung 21 (1973), h. 3, S. 69-77; h. 4, Center, Oklahoma p State 

23 2() 

− ( 1 

+ ( T) 

12 

+ T23 

) s l γ̃ 

univ., s Stillwater, Oklahoma uSa. 

S. 125-130; h. 5, S. 157-162 

paper 31 

0) 

l23 

z̃( [3] Brandenburg, g.; tröndle, h.-p.: Das Verhalten durchlaufender 

elastischer Stoffbahnen bei ortsabhängiger Verteilung T elastischer T12 + und T viskoelastischer Stoffbahnen zwischen 

3 

() s ≈[12] tröndle, h..p.: zum l ̃ 

23γdynamischen 2() 

s Verhalten transportierter 

1+ ( T12 + T23 

) s 

23 

von elastizitätsmodul, Querschnitt und Dichte. Siemens 1+ 

s 1+ 

s 

( 0 

z̃ 

) aufeinanderfolgenden 2 

3 

() 

2 Klemmstellen. 

T12 T23 

s 

s 

Ts 

l ̃ 

23γ2 ≈ e − ( + ) Dr.-ing. Diss. tu 

l ̃ 

23γ 

forschungs- und entwicklungsberichte 4 (1975) nr. 6, S. R 

2 

p4 = l ≈ e 

− 

23 T München T 1973 

12 

+ T23 

359-367 

1−[13] Sievers, s 1− 

L., s 

2 2 

Balas, M. J., flotow, a.: Modeling of web 

[4] Brandenburg, g.: Verallgemeinertes prozeßmodell für 

1 T 

( 0 12 

T23 

s 

z̃ 

) 3 

() s ≈ − conveyance ( + ) 

system for multivariable control. ieee trans. 

fertigungsanlagen mit durchlaufenden und anwendung auf autom. Control, 

Rp4 

= l 

2() 

1+ ( T23 

12 23 ) s l γ̃ 

vol. 

T s 33, no. 6, pp. 524-531, Jun. 1988 

antrieb und Registerregelung bei Rotationsdruckmaschinen. 

habilitationsschrift, technische universität München, ( 0 

[14] Young, 12 

+ T23 

1+ 

g. e., Shelton, s J. J., fang, B.: interaction of web span: 

z̃ 

) 3 

() 

2 

T12 T23 

s 

s part ≈ i – Statics. trans. l ̃ 

23γ2 ≈aSMe, e − ( + J. ) Dyn. l ̃ 

23γSyst. Meas. Control, 

2 

1976 

Vol. T ( 12 

+ T 

12 + T23 

) s 23 

T 1111, ( 0 e− 

no. 3, pp. s 490-496, Sept. part ii – Dynamics. trans. 

[5] Brandenburg, g.: prozeßmodelle für durchlaufende 1+ 

s z̃ 

) s ≈ 

+ T s l ̃ 

4 

() aSMe, J. Dyn. 2 Syst. 

23γ2 

Meas. Control, Vol. 111, no. 3, 1989. pp. 

2 Ts 

≈ e 

− 1 

elastische Bahnen in kontinuierlichen fertigungsanlagen. 497-504, Sept. 34 1989 

T 

VDi-Berichte nr. 276, 1977, S 241-256 

1− 

s 2 

R[15] p4 

= Young, l g. e., Shelton, J. J., Kardamilas, C. : Modeling and 

23 

[6] Olsen, J. e.: Lateral mechanics of an imperfect web. proc. of control of multiple web span using state estimation. trans. 

the 6th int. Conf. on Web handling (iWeB) 2001. Web 

aSMe, J. Dyn. Syst. Meas. Control, Vol. 111, no. 3, pp. 

− + 

T12 + 

( T12 T23 

) s 

handling Research Center, Oklahoma State univ., Stillwater, 

( 0 e 23 

z̃ 

1 

) 505-510, Sept. 

+ s ≈ s 

( 0 

z̃ 

) 3 

() 

2 

T12 T23 

s 

s ≈ + T s l 1989 

̃ 

4 

() 

23γ 

Oklahoma uSa. paper 30 

[16] Shelton, 2 

1 J.J.; Reid, K.n.: 

l ̃ 

23γ2 ≈ e − ( + Lateral ) and longitudinal dynamic 

34 

l ̃ 

23γ2 

[7] Shelton, J.J.: Lateral dynamics of a moving web. ph.D. 

behaviour T12 + T and control of moving webs. trans. aSMe, Journal 

23 

1− 

s 

dissertation, Oklahoma State univ., Stillwater, OK, 1968 

of Dynamic 2 Systems, Measurement, and Control, vol. 115, 

[8] Shelton, J.J.; Reid, K.n.: Lateral dynamics of a real moving no. 2, pp. 309-317, Jun. 1993 

web. transactions of the aSMe, Sept. 1971, pp. 180-186 [17] Young, g. e., Reid, K. n.: Lateral and longitudinal dynamic 

Rp4 

= l 

[9] Shelton, J.J.; Reid, K.n.: Lateral dynamics of an idealized 

23 

behavior and control of moving webs. Journ. of Dyn. 

moving web. Journal of Dynamic Systems, Measurement, Systems, Measurement and Control, trans. of the aSMe, 

and Control Sept. 1971, pp. 187-192 

− ( T12 + T23 

) s 

( 0 e 

June 1993, Vol. 115, pp. 308-317 

z̃ 

) s ≈ 

+ T s l ̃ 

4 

() 

23γ2 

1 

34 

( ( ) + ) 

36 


5 / 2011

1 

0 34 

12 233 

12 23 

( ) + 

( ) 

z 

3 

() 

s 

2 23 2 

1 

0 23 

2 p4 

( ) 

̃ () 

3 

() = 

2 23 2 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s l 1 

s + T12 + T23 s T12T23s 

1− γ̃ 

() 

⎣ T12 + T23 

s T ⎤ 

12T23s 

⎦ 2 

( 0) 

( 0) 

1 

23 2 

() 

= 

23 2 

1 

= 

23 2 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

l γ̃ 

() s ( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

l s 

( 0) 

⎡( 

z̃ 

4( 0) 

( t →∞ ) = l23γ2 

̃γ () 

4 

→∞ 23 z̃ 

4 

( t →∞ ) = l23γ 

2 

4 

23 23 l12 23 

2 

p4 

= 

( 0) 

l − ⎡( ̃γ 

2 

2() 

z̃ 4 

( s) = 

⎣ 

) + ⎤ 

23 

T12 23 

s T12Tl 

23s ⎦ 

4 

1 

T 12 T 23 23 

s R s 

2 23γ ̃ 

2 

() 

p 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T− 23( s + ) ̃γ + 

2 2() 

s 

1 T34s 

1+ 0( ) T12 + T23 ) s+ 

T12T2 

3s 

l23 

z 

( 0 ) 

s 

1 

z̃( 3 

() s ≈ 

3 

() 

z s 

2 23 2 

2 

l23 

12 23 12 2 

23 T () 

1 

l23γ̃ 

2() 

s 

( 0 ) 

̃ 

( 0 ) 

3 

() = 

̃3 

() = 2 23 2 

1+ 2 23 2 

1+ ( T12 + T23 ) s+ 

T12T23s l ̃ 

( T 

γ () s 

12 

+ T23 ) s+ 

T12T23s l s 

2 p4 

γ̃ 

() 

⎡( 12 23 1 

+ ( 

12 T12 23 

+ 

T23 

R) 

s 

2 2 

1− ⎡( 12 23 12 23 

23 

1 

⎣ T + T ) s+ 

T s ⎤ 

( 0) 

1 l − ⎡( 

z̃ 

⎦ l 

T s R T s 

23 

T12 T23 

2 

s Rp4 T12 T23 

s 

l 

12 23 

p4( 12 

+ 

23 ) − = 0 

2 23 

̃γ 4 

( s) = 

⎣ + ) + ⎤ 

23 

T12 T23 s T12T23s ⎦ Rp4 

23 

̃γ 

= + 

2 2() 

s 

1 T 

1 

23 

12 23 

= + 

p4( + 

23 ) − = 0 

R 

p4 

Rp4 

23p 

4 2 

12 23 

1 

23= 

2 

() 

23 2 

( 1+ 

T12s) ( 1+ 

T23s) 

l ̃ 

( 1+ 

T 

γ () s 

12s) ( 1+ 

T23s) 

l s l s 

23 

̃ 

1 + 

2 23 

̃γ 34s 

1+ T 

γ () 

34s 

1+ R( ( T12 + T23 pT4 = 

12 

+ lT23 

) 

) s+ 

T12T2 

3s 

s+ 

T12T23s 

R 

2 p4 

1− ⎡( 12 23 

2 

23 

1 T T 

12 

+ ⎛ 

23 

23 

23 

T12T23 

l ⎞ 

12 l 

1 T 

2 

0 23 

12 

T23 

s 

T 23 

, 

1 T12 + T23 

⎛ s 

T12T23 

l 

⎞ 

12 , 

= ⎜ 

12T23s + 

− 1± 1+ 

4 

⎟ 

( 12 

+ T23 

) s− z̃ 

) 3 

() s = ≈ 0 

− ( 12 23 

1 

⎣ T + T ) s+ 

T T s ⎤ 

⎦ 

+ ) l23 

= 

l 

p4 

23 2() 

2 

23 

s 

2 

2 

12 23 

12 (A3.3.13) 

12 , 

= 2 ⎜ − 1± 1+ 

4 

2 

23 2 T ⎟ 

2 T T 

23 

2 

12 ⎜ 

l 

R 

T12T23s + Rp4( T12 + T23 

23 

( T T R 

12 

+ 

23 ) p4 

⎟ 

12 23 

p4 12 p4 

12 23 

⎜ 

T) s 

23 

12 T− 23s + = 

R0 

p4 

1 T12 T23 

s l l 

s s 

1 + 

2 23 

̃γ 

2() 

T γ̃ 

34s 

1+ ( T12 + T23 

) s+ 

T12T23s 

+ ( + ) 

p 

4( T12 + T23 

) s 

( T T Rp 

12 

+ 

23 ) 4 

⎟ ⎝ 

− = 0 und mit Hilfe der Padé-Approximation 

Rp4 

⎠ 

⎝ 

Rp4 

p4 

⎠ 

Da immer gilt 

2 

l23 

T T 

12T 23s + 

1+ 

( T12 + T23 

) s− = 0 

Ts 1+ 

T12 T23 

T12T23 

l 

T 

23 

1 12 

+ lT 

⎛ 

23 23 

12 23 

> 0 

2 

23 

2 

1 TT12 23 

12 > 0 

23 

2 

( 12 T Rp 

p4 

12 

+ 23 

23 ) 

12 

+ T23 

⎛ l ⎞ 

R s 

23 

23 

T12T23 

l ⎞ 

2 Ts 

≈ e 

2 

p4 

Ts 

≈ e 

− 

s12 

, 

= ⎜ − 1± 23 

23 4 

12 

( T, 

T R 

s 1+ 

12 , 

= 4 ⎜ ⎟ 

2 

− 1± 1+ 

4 

⎟ 

T 

T (A3.3.17) 

2 

12 

+ 

2 T12T23 

⎜ 

23 

) 

p4 

2 

(A3.3.14) 

12 23 

2( TT TT 

12 12 23 

⎜ R 

12 

+ 

23 ) p4 

⎟ 

1− 

⎝ 

23 

p4 

( T T R 

12 

+ 

23 ) p4 

⎟ 

s 

1− 

s 

⎝ ⎠ 

⎠ T2 

2 

folgt 1+ 

s 2 

liegt einer dieser Wurzeln 

4 

12 p 

4 

1 T 

( 0) 

12 

T23 

s R in der linken, die andere in der 

4 

rechten s-Halbebene: p 

− ( + ) 

Das System 1ist Talso 12 

Tallpasshaltig. 

23 

s R Ts 

≈ e 

p 

12 23 

T12T23 

l 

T 

23 

− ( + ) 

12 23 

> 0 T12T23 

l 

1 

23 

( 

−0 

s 

T 

2 23 

Für 0) 

l 

2 T 12 T 23 

23 

z3 

0) 

() große 2 Zeiten, > 0 

T T R also l23kleine 

z̃( 2 

3 

23 2 

( p 

2 

̃( 

3 

() s ≈ 

23 

l ̃3 

() s, ≈kann Gl. (A3.3.6) folgendermaßen 

12 23 

( T T Rp 

p4 

12 

l ̃ 

12 

+ 

23 ) 

) 12 

+ T T 

23 

() 

1 s 

− ( 12 

+ T + ) 23 

+ 

1+ 

s 

s 

( 0 2 

2 

4 

23γ2() 

s 

23γ2() 

s + 

) 4 

12 2 

2 T 

12 T 

z̃ 

3 

s 

23 

23 

1+ T12 + T23 

s 

1genähert + ( T12 + T werden: 

23 ) 

( ) 

) ( 0 

≈ 

l ̃ 

12 23 

23 2 

e 

− ( + ) s 

() z̃ 

) γ 

l ̃ 

3 

() 

2 

T12 T23 

s 

s ≈ 

23γ 

l 

2 23γ̃2 ≈ e − ( (A3.3.18) 

+ ) l23γ̃2 

T + T T 

s 

1− 

s 

12 

+ T23 

1− 

s 

T 2 

2 

Rp4 4 

23 

p4 = l 

Rp4 = l23 

23 

12 23 

4 

1 T 4 

p 

1 T12 T23 

s R p 

12 

T23 

s R 12 

+ T23 

1+ 

s 

p 

− ( + ) 

Der ( 0 Fadenversatz − 2 

12 + T23 

s 

− ( + 

( 2) 

auf Walze 23 T 12 verhält T sich für den ausgezeichneten 

) 

z̃ 

) 3 

s ≈ 

0) 

l 

( 0 

l 

23 

z̃( 0 

0) 

) 

l23 

3 

() s ≈ 

23 

̃( 

3 

() z̃( 3 

() s l 

≈ 

̃ 

23γ2() 

s 

) 23 2 

≈ e 

− ( + ) 23 s 

() γ̃ 

l23γ̃ 

2 

2( 12 + T23 

) s 

4 

()≈ 

e 

TPunkt 

( 0 

R 

2 

1+ T () 

( 0 12 ) 3 

() 1 

T 23 2 

l ̃ 

( 23γ2() 

(A3.3.15) s 

12 

+ T23 

) s 

z̃ 

4 

s 

l ̃ 

23γ 

2 

( 0 12 

T23 

s 

z̃ 

) 23 2() 

3 

() s ≈ − ( 12 + ) 

23 

1+ ( T12 1 T 

23 2() 

1+ ( T12 + T23 

) s l γ̃ 

s 

( 0 12 

T23 

s 

z̃ 

) 3 

() s ≈ − + 

( T23 

) 

) 12 

+ T23 

p4 

= l für große Zeiten wie ein Totzeitglied. 

+ ) 

1 

23 

()≈ 

1− 

s 

s 

Der 

+ T 

Fadenversatz 2 

34s 

auf Walze 4 lautet demgemäß 

23 2() 

1+ ( T12 + T23 

) s l γ̃ 

s 

− ( T12 + T23 

) s 

− 2( T ( 0 e 

12 + T23 

) s 

Ist Rp4 außerdem = l 

e z 

) s ≈ 

23 

p4 noch Rp4 = l23, so wird 

+ T s l ̃ 

4 

() 

23γ 

( 0 

2 

z̃ 

) 4 

()≈ s 

l ̃ 

23γ 

2 

1 

34 

(A3.3.19) 

23 

1+ 

T s 

2 23 2 

T 1 

T 

1+ 

s 

Ts 

1+ 

s 

( 0 2 Ts 

e 

− 12 23 

2 Ts 

) ≈ e 

− 

3 

() T 1 T 

( 0 

23 2() 

T 1 s 

12 23 

12 

T23 

s 

z̃ 

) 3 

() s ≈ − ( + ) 

( 0 12 

T23 

s 

z̃ 

) 3 

() s ≈ − ( + ) 

23 2() 

1 T 23 2() 

1 TT12 T23 

s l γ̃ 

s 

12 

T23 

s l γ̃ 

s 

(A3.3.16) 

+ ( + ) + ( + ) 

− 

1− 

s 

2 

2 

T 

1+ 

s 

T 2 

1+ 

Ts 

s 

≈ e 

− 

Ts T12 + T23 

2 

T 

( 0 

1+ 

) 3 

() 

s 

T12 T23 

s 

z̃ 

− + 

12 

+ T23 

− 

Ts 

T ≈ e 

− 

1 

1 s 

( − 

+ 

0 ) s 

23 2 

3 

() 

2 

T 

T12 T23 

s 

s ≈ 

l ̃ 

23γ 

≈ ez 

̃ 

− ( ( 0 ) + ) l ̃ 

23γ2 

T12 + T23 

1− 

3 

() 

2 

T12 T23 

s 

2 

1− 

s s ≈ 

l γ̃ 

≈ e − ( + ) l γ̃ 

2 

T s 

12 

+ T23 

1− 

s 

[18] f orrest Jr., a. 2 W.: the lateral response und 2control of 

T12 + T 

a multi-span 23 

1+ 

12 web 23 s system to dynamic T12 + Tchanges 23 to the 

Rp4 

( 1+ 

( 0 

s 

z̃ 

) p 

0 

4 

) ( 0 

= l23 

Rp4 

= l 

3 

() 

T12 23 s 

z̃ 

23 ) 2 − ( + ) 

3 

() 

2 

T12 T23 

s 

3 

() 

2 

T12 T23 

s 

web s ≈and conveyance l hardware. 

23γ̃2s 

≈≈e − ( + proc. ) l of 

23γ̃ 

the 6th int. 

23 

l23γ̃2 ≈ e − ( Conf. 

2 

+ ) l ̃ 

23γ2 

on Web 

T12 T23 

2 

1−handling + 

12 (iWeB) T12 + T23 

23 s 2001. Web handling Research 

1− 

s 

Center, Oklahoma 2 State univ., Stillwater, 

− T12 + T23 

s 

( 0 

) − ( 2 Oklahoma uSa. 

T12 + T23 

) s 

z 

4 

( 0 () e 

̃ 

) paper 33. 

s ≈ 

23 2 

+ T34s l 

− ( T12 + T23 

) s 

̃ 

4 

() 

23γ 

( 0 e 

[19] 2 

R p 1 

z̃ 

) s ≈ 

34 

+ T s l ̃ 

4 

() 

23γ 

p4 

= agilla, l p. R.; Dwibedula, R. V. et al.: Lateral control 

23 

2 of a 

1 

p4 

Rp4 

= l23 

web 23using estimated velocity feedback. proc. 34 of the 6th int. 

Conf. on Web handling (iWeB) 2001. Web handling 

− ( T12 + T23 

) s 

− 

− ( T12 + T23 

) 

( T + T ) s 

( 0 e s 

12 23 

z̃ 

) Research Center, 

( 0 

s ≈ 

) ( 0 e 

4 

() + T s l Oklahoma State univ., 

4 

() 

23γ̃ 

2 

1 

23 z̃ 

) s ≈ 

2 

+ T s l 

Stillwater, 

Oklahoma uSa. paper ̃ 

4 

() 34. 

23γ2 

34 

1 

34 

[20] Shin, K.-h., 34Kwon, S.-O. et al.: feedforward control of the 

lateral position of a moving web using system identification. 

ieee trans. on industry applications, Vol. 40, no. 6, 

november/ December 2004 

[21] Shin, K.-h., Kwon, S.-O.: the effect of tension on the 

lateral dynamics and control of a moving web. ieee trans. 

on industry applications, Vol. 43, no. 2, March/april 2007 

[22] Brandenburg, g.: Vereinfachtes prozessmodell für das 

Seitenkantenverhalten durchlaufender, elastischer 

Bahnen. tagungsband SpS/ipC/DRiVeS 2010, nürnberg 

2010, S. 95-110 

[23] Kessler, g.: Das zeitliche Verhalten einer kontinuierlichen 

elastischen Bahn zwischen zwei aufeinanderfolgenden 

Walzenpaaren. Regelungstechnik 8(1960), S. 436-439 und 

9(1961), S. 154-159 

[24] Szaó, i.: einführung in die technische Mechanik. Berlin, 

göttingen, heidelberg: Springer-Verlag 1954 

[25] Bestemann, p. g. J.; Limpens, C. h. L.; Babuska, R.; Otten, 

B. J.; Verhaegen, M.: Modeling and identification of a Strip 

guidance process with internal feedback. ieee trans. of 

Cotrol System technology, Vol. 6, nO. 1, Jan. 1998, pp. 

88-102 

23 2 23 2 

⎡( ) + 

34 

autOR 

ManuSKRipteingang 

04.08.2010 

Im Peer-Review-Verfahren begutachtet 

univ. PROf. i. R. 

DR.-inG. HABiL. GünTHER 

BRAnDEnBuRG (geb. 1935) 

studierte Elektrotechnik an 

der Technischen Universität 

München und war anschließend 

sechs Jahre Entwicklungs- 

und Projektierungsingenieur 

bei Siemens in 

München und Erlangen. 1971 promovierte er am 

Lehrstuhl für Elektrische Antriebstechnik der 

TU München, erwarb mit der Habilitation 1976 

die Lehrbefähigung für „Sondergebiete der 

elektrischen Antriebstechnik“ und wurde 1978 

zum Universitätsprofessor ernannt. Seit 1990 

war er am Institut für Mechatronik der TU München 

tätig und trat 2001 in den Ruhestand. Er 

befasste sich in Lehre und Forschung mit der 

Technologie und Antriebstechnik von elektrisch-mechanischen 

Systemen, speziell von 

Rotationsdruckmaschinen und Hochpräzisions- 

Werkzeugmaschinen. Seit 2001 übt er eine 

beratende Tätigkeit auf dem Gebiet der Mechatronik, 

insbesondere der Fertigungsanlagen mit 

durchlaufenden Bahnen, mit dem Schwerpunkt 

Druckmaschinen aus. 

Technische universität München, 

institut für Mechatronik, 

Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik, 

Boltzmannstr. 15, D-85748 Garching, 

Tel. +49 (0) 89 28 91 51 95, 

E-Mail: Brandenburg@tum.de 


5 / 2011 

37

HAuPTbeITRAg 

WIA-PA: A New Standard for 

Wireless Communication 

Specification and Application Examples 

The paper provides background and challenges of industrial wireless technology and 

summarizes the present state of standardization. It introduces characteristics of WIA-PA, 

a specification for industrial wireless networks for process automation, and its network 

composition, network topology and protocol stack architecture. WIA-PA is currently subject 

of international standardization. Furthermore, a comparison between WIA-PA and 

the other main industrial wireless network specifications, WirelessHART and ISA100.11a, 

is provided. Finally, four applications are presented. 

KEYWORDS Wireless Communication / Process Automation / WIA-PA / WirelessHART / 

ISA100.11a 

WIA-PA: ein neuer Standard für drahtlose Kommunikation – 

Spezifikation und Anwendungen in der Prozessautomation 

Der Beitrag beschreibt den Hintergrund und die Herausforderungen an die industrielle 

drahtlose Kommunikation und fasst den Normungsprozess zusammen. Es werden Eigenschaften 

von WIA-PA, eine Spezifikation für industrielle drahtlose Netzwerke in der 

Prozessautomation, vorgestellt und in deren Netzwerkaufbau, die Netzwerktechnologie 

und den Protokoll-Stack eingeführt. WIA-PA ist zur Zeit Gegenstand der internationalen 

Normung. Weiterhin wird WIA-PA mit den anderen beiden wichtigen Spezifikationen auf 

diesem Gebiet, WirelessHART und ISA100.11a, verglichen. Schließlich werden vier Anwendungen 

vorgestellt 

SchlagWöRtER Drahtlose Kommunication / Prozessautomation / WIA-PA / 

WirelessHART / ISA100.11a 

38 


5 / 2011

OuYang JinSOng anD liu Dan, 

Instrumentation Technology and economy Institute, beijing, P. R. China 

Industrial automation technology has gone through 

phases of analog instrumentation up to the seventies, 

digital control systems from the seventies on and fieldbus 

based control systems that came up at the end of 

the 20th century. As a new technology, wireless sensor 

networks are arising now, with their characteristics of 

low installation cost and easy usage. They give plant 

owners the opportunity to monitor a whole industrial 

process at low investment costs and to obtain important 

process parameters that are difficult to get on-line with 

wired sensors. Therefore, such networks face broad application 

prospects in various industries like oil and gas, 

petrochemical, process, metallurgy as well as fresh and 

waste water treatment. 

1. Challenges for Wireless TeChnology 

A transmission over wireless media is not as protected 

as one over wired media. In an industrial environment, 

on the one hand, there may exist several wireless 

networks according to such standards as IEEE 802.11 

[1], Bluetooth, and IEEE 802.15.4 [2], that share the 2.4 

GHz frequency band and may interfere with each 

other; and on the other hand, multipath effects caused 

by e.g. machines and metal pipelines influence the 

signals as well as electromagnetic noise produced by 

electric drives. Therefore, various problems such as 

dispersion, multipath, interference, attenuation, node 

sleeping, node hiding, safety and security related problems 

frequently occur during transmission. In short, 

compared with commercial wireless technology, industrial 

wireless technology has to fulfill higher requirements 

with respect to reliability, real-time, low 

power consumption, safety and security. 

2. sTandardizaTion of Wireless neTWorks 

A key problem hindering the acceptance of the industrial 

wireless networks is the lack of a mature 

and unified international standard. Recently, some 

international organizations have been actively promoting 

the standardization of industrial wireless 

network and have achieved several solutions, such 

as WirelessHART, ISA100.11a, and WIA-PA (Wireless 

Network for Industrial Automation – Process 

Automation). 

WirelessHART is a specification of an industrial 

wireless network which has been defined by the HART 

Communication Foundation (HCF). In 2004, HCF announced 

the beginning of the specification works and 

set up a working group. In September 2008, the wirelessHART 

Communication Specification (HART 7.1) 

had been approved by the IEC (International Electrotechnical 

Commission) as a Publicly Available Specification 

(IEC/PAS 62591 Ed.1). 

ISA100.11a is a standard for industrial wireless measurement 

and control drawn up by the International 

Society of Automation (ISA). In December 2004, ISA 

initiated the standardization process and set up a working 

group. In September 2009, the result had been 

approved as the ISA100.11a standard [3]. It will be 

submitted to the American National Standards Institute 

(ANSI) for approval as an ANSI standard. 

WIA-PA is a communication protocol based on a 

certain kind of wireless network system architecture 

that has been developed by the Chinese Industrial 

Wireless Alliance (CIWA) due to an urgent need expressed 

by users in the field of process automation. 

On October 31st, 2008, WIA-PA became a Publicly 

Available Specification (PAS) of IEC with number IEC/ 

PAS 62601 [4]. Now WIA-PA is submitted to the Standardization 

Administration of China (SAC) for approval 

as a Chinese national standard. 

Within IEC, the working group SC 65C WG 16 is in 

charge of the above mentioned standardization. WirelessHART 

has already been published as IEC 

62591:2010-04 [5], while WIA-PA is still passing the 

voting stages of the IEC standardization process. 

ISA100.11a is planned to be submitted to IEC for consideration 

as an IEC standard. 


5 / 2011 

39

HAuPTbeITRAg 

FiguRE 1: 

Typical topology of 

a WIA-PA network 

osi layer funcion Wia-Pa 

Application 

Provides the user with network capable 

application 

al (Provides the user with network 

capable application) 

Presentation 

Converts application data between 

network and local machine formats 

Session 

Connection management services for 

applications 

Transport 

Provides network independent, 

transparent message transfer 

or 

FiguRE 2: 

ISO OSI 

basic 

reference 

model 

mapped to 

WIA-PA 

Network 

Data link 

Physical 

end-to-end routing of packets. 

resolving network addresses 

establishes data packet structure, framing, 

error detection, bus arbitration 

Mechanical/ electrical connection. 

Transmits raw bit stream 

nl (Power-optimized redundant path, 

star and mesh networking) 

dlsl 

(Hybrid CSMA and TDMA, AFS, AFH, TH) 

ieee sTd 802.15.4-2006 MaC 

Phy 

(Ieee STD 802.15.4-2006-based radios) 

NW 

SM 

gW 

Cluster 

head 

Cluster 

head 

Routing device 


Cluster 

member 

Field 

device 

Cluster 

member 

Field 

device 

Cluster 

member 

Field 

device 

Cluster 

member 

Field 

device 

Cluster 

member 

Field 

device 

Cluster 

member 

Field 

device 

FiguRE 3: 

Hybrid centralized 

and distributed 

system management 

40 


5 / 2011

3. Wia-Pa sPeCifiCaTion 

3.1 overview 

WIA-PA specifies system architecture and a communication 

protocol that is based on IEEE 802.15.4. Its main features 

are hybrid star and mesh hierarchical topology, 

system management, two-level communication resource 

allocation, adaptive frequency hopping, and two-level 

packet aggregation and disaggregation (see also [6]). 

3.2 device types 

Five types of WIA-PA devices are specified: 

Host computer 

Gateway device(GW) 


Field device 

Handheld device. 

To improve reliability, there may be redundant gateway 

devices and routing devices in a WIA-PA network, which 

operates as hot backup. 

In order to facilitate management, WIA-PA specifies 

five kinds of logical roles: 

Gateway 

Network Manager (NM) 

Security Manager (SM) 

Cluster head 

Cluster member 

3.3 network topology 

As illustrated in Figure 1, WIA-PA supports a hybrid star 

and mesh hierarchical network topology. 

The first level of a WIA-PA network consists of a mesh 

topology, where routing devices and gateway devices are 

deployed, whereas the second level forms a star topology, 

where routing devices, field devices, and handheld devices 

(if present) are deployed. 

3.4 Protocol architecture 

The WIA-PA protocol architecture, which is illustrated 

in Figure 2, is based on the ISO OSI Basic Reference Model 

(ISO 7489 [7]). It defines the Data Link Sub-Layer 

(DLSL), Network Layer (NL) and Application Layer (AL), 

while its PHYsical (PHY) and Medium Access Control 

sub-layer (MAC) are based on IEEE 802.15.4. 

3.5 fraMeWork of sysTeM ManageMenT 

WIA-PA supports hybrid centralized and distributed 

management schemes as shown in Figure 3. The system 

management is implemented by NM, SM, and cluster 

heads. The cluster heads are directly managed by NM 

and SM; and they have the privilege of managing cluster 

members. 

The NM performs the following tasks: 

constructing and maintaining the mesh topology 

comprised of cluster heads and the star topology comprised 

of cluster heads and cluster members 

allocating communication resources to cluster heads 

in mesh topology and allocating communication resources 

to cluster heads which they will pass over to 

members of their cluster 

monitoring performance of the WIA-PA network including 

device status, path health and channel condition. 

The SM performs the following tasks: 

authorizing the cluster heads and cluster members 

that are attempting to join the WIA-PA network 

managing keys in the whole network, including key 

generation, key distribution, key recovery and key 

revocation 

authorizing the end-to-end communication relationships. 

A cluster head performs the following tasks: 

constructing and maintaining the star topology 

allocating communication resources that have been 

allocated to it by the NM to members of its cluster 

delivering results of monitoring its cluster to the NM 

managing the keys used in its cluster 

authorizing a communication relationship to another 

cluster head 

authorizing the communication relationships between 

it and cluster members. 

3.6 superframe structure 

In order to guarantee real-time and reliable communication, 

WIA-PA only takes into account the beacon enabled 

IEEE 802.15.4 superframe structure. The WIA-PA superframe 

structure is shown in Figure 4. 

The Contention Access Period (CAP) as defined in the 

IEEE 802.15.4 superframe is used for device joining, intracluster 

management, and retrials in a WIA-PA superframe. 

The Contention Free Period (CFP) as defined in the 

IEEE 802.15.4 superframe is used for communication 

between mobile devices and the cluster head in a WIA-PA 

superframe. 

The Inactive period as defined in the IEEE 802.15.4 

superframe is used for intra-cluster communication, 

inter-cluster communication, and sleeping in the WIA- 

PA superframe. 

3.7 Multi-access and adaptive frequency hopping 

A WIA-PA network supports the following multi-address 

access mechanisms: 

Intra-superframe: Beacon, CFP, intra- and inter-cluster 

communication periods use the Time Division Multiple 

Access (TDMA) mechanism. CAP uses the Carrier 

Sense Multiple Access (CSMA) mechanism. 

Inter-superframe: Different routing devices use different 

channels in the active period by adopting the 

Frequency Division Multiple Access (FDMA) mechanism. 

If there are not enough channels, the WIA-PA 


5 / 2011 

41

HAuPTbeITRAg 

network uses the TDMA mechanism to enhance the 

system capacity. 

The WIA-PA network supports three frequency hopping 

mechanisms: 

Adaptive Frequency Switch (AFS): within a WIA superframe 

cycle Beacon, CAP and CFP use the same 

channel and change it according to the channel condition 

in the next superframe cycle. 

Adaptive Frequency Hopping (AFH): within a WIA 

superframe cycle the communication channel for the 

intra-cluster period is irregularly changed for each 

timeslot according to the actual channel condition. 

Timeslot Hopping (TH): within a WIA superframe 

cycle, the transmit/receive frequency for the intercluster 

period is regularly changed for each timeslot 

to compensate for interference and fading. 

The multi-address access and adaptive frequency hopping 

mechanisms are listed in Table 1. 

3.8 PaCkeT aggregaTion and disaggregaTion 

The WIA-PA network supports a two-level packet aggregation 

mechanism in order to reduce the number of packets 

to be forwarded. 

Data aggregation. If a field device has more than one 

User Application Object (UAOs), it will choose to invoke 

a data aggregation mechanism according to its 

aggregation flag. This mechanism will reduce communication 

frequency usage. 

Packet aggregation. If a routing device receives packets 

from more than one field device, it will choose 

to invoke the packet aggregation mechanism according 

to its aggregation flag. This mechanism will 

reduce the number of packets sent from the routing 

device to the gateway device. 

Disaggregation is carried out by the GW. 

4. CoMParison of Wia-Pa To WirelessharT 

and isa100.11a 

Table 2 shows a comparison with respect to the following 

five aspects: architecture, system management, communication 

technologies, networking technologies and application 

technologies. 

5. aPPliCaTions of Wia-Pa 

Up to now, WIA-PA networks have been applied in various 

industries like petrochemical and metallurgical as well 

FiguRE 4: 

WIA-PA superframe 

is based on the 

beacon enabled 

IEEE 802.15.4 

superframe. 

ieee 

802.15.4 

Wia-Pa 

Basic MaC mechanism 

dlsl hopping 

mechanism 

Beacon Beacon TDMA 

CAP CAP CSMA 

CFP CFP TDMA 

Frequency Division Multiple Access 

(FDMA) 

AFS 

Intra-cluster period TDMA AFH 

Inactive 

Inter-cluster period TDMA TH 

Sleeping – – 

tablE 1: Hopping mechanisms 

42 


5 / 2011

Comparison of Wia-Pa WirelessharT isa100.11a 

architecture 

system management 

Communication 

technologies 

networking technologies 

Network 

composition 

Protocol stack 

System management 

scheme 

System manager 

as Single point of 

failure 

Host computer, gateway 

device, routing device, field 

device, and handheld device 

IEEE 802.15.4 physical layer 

and MAC layer; defining DLSL, 

network, and application layer 

Hybrid centralized and 

distributed 

Can be avoided by redundancy 

Network manager, gateway 

and field device 

IEEE 802.15.4 physical layer; 

defining DLL, network, 

transport, and application 

layer 

Centralized 

Can be avoided 

by redundancy 

Field device and infrastructure 

device 

IEEE 802.15.4 physical layer; 

defining DLL, network, 

transport, and application 

layer 

Centralized ( a distributed 

one is under discussion) 

Can be avoided by redundancy 

Manager address Fixed assignment Fixed assignment Dynamically assigned 

Packet 

aggregation 

Security 

Two-level aggregation Not supported In field devices 

DLL and application layer; 

optionally symmetric and 

asymmetric keys 

DLL and transport layer; 

symmetric key 

DLL and network layer; 

optionally symmetric and 

public (128-bit) 

Timeslot durations Flexible All slots are 10 ms Flexible: one duration per 

network 

IEEE 802.15.4 Physical layer and MAC layer Physical layer Physical layer 

compatibility 

Superframe 

structure 

Multi-access 

mechanism 

Frequency 

hopping 

Based on IEEE 802.15.4 No structure 

superframe structure 

Mixed CSMA, TDMA and FDMA Mixed TDMA and CSMA 

No structure 

Mixed TDMA and CSMA 

AFH, AFS and TH Channel hopping Slow hopping, fast hopping 

and mixed hopping 

Network topology Hybrid mesh and star Mesh or star 

(star is not recommended) 

Routing function 

Routing 

technology 

Fragmentation 

and reassembly 

Joining of field 

devices and 

routing devices 

Field devices have no routing 

function 

Static redundant routing 

Network layer 

All devices have routing 

function 

Source, graph, and 

hybrid source/graph and 

superframe 

Network and application 

layers 

Mesh 

Field devices have no routing 

function 

Source, graph, and hybrid 

source/graph 

Application layer 

Distinguished Not distinguished Not distinguished 

Leaving of devices Actively and passively Not distinguished Not distinguished 

application technologies 

Support of other 

protocols 

Multiple application 

protocols 

Application 

definition 

Wired/Wireless HART, 

Profibus, Modbus and FF; 

Virtual device 

Wired HART, EDDL 

Wired/Wireless HART, 

Profibus, Modbus and FF; 

informative material about 

adapters and tunneling 

protocols available 

Yes, at gateway side No Yes, at gateway side 

Object-oriented (UAO), simple Commands Object-oriented (UFO), 

complex 

Alert function Report method Command Alter object 

Communication 

between application 

Objects 

VCR Not supported Parameter of UFO 

tablE 2: Comparison of WIA-PA to WirelessHART and ISA100.11a 


5 / 2011 

43

HAuPTbeITRAg 

FiguRE 5: Pressure and temperature transmission system, 

installed around a boiler with fluidized-bed combustion 

FiguRE 6: Oil well remote measurement system 

Energy 

Consumption 

Evaluate 

Motor 

Efficiency 

Evaluate 

MotorMonitor 

WIA-PA Adapter 

Motormonitoring center 

Device Status 

Forecast 

WIA-PA Network 

FiguRE 7: Rolling plant equipped 

with bearing temperature sensors 

MotorDrive System 

stator 

current 

voltage 

Reasoning Modle 

Speed 

Evaluate 

Stator 

Resistant 

Evaluate 

Energy and Efficiency 

Efficiency 

Evaluate 

Rotor 

Failure 

Energy 

Consumption 

Statistics 

Stator Bearing 

Failure Failure 

Nameplate 

Info 

Equipment Health 

MotorControl Center 

FiguRE 8: Motor efficiency on-line monitoring system 

as in power plants, buildings, and wastewater treatment 

plants. Use cases were for instance: 

temperature and pressure data acquisition 

pipeline leak detection 

condition monitoring of electrical drives. 

In the following, a few examples are described. 

5.1 Pressure and TeMPeraTure 

MoniToring sysTeM 

In order to expand production, a paper company in 

northeast China built a new boiler to supply steam to the 

turbine for power generation of that plant. In a combined 

process, also the company buildings and the near-by city 

can be supplied with heat in winter. 

To better control the process, it was decided to equip 

the pipeline leading through the steam generator with a 

pressure and temperature monitoring system. As the 

combustion chamber is of the fluidized-bed type, it is 

quite extended and therefore difficult to access by a wired 

network. Instead, ten WIA-PA pressure transmitters 

and ten WIA-PA temperature transmitters were installed, 

see Figure 5. Their data are transmitted to a monitoring 

system in the control room. The WIA-PA pressure and 

temperature transmitters are all battery-powered. 

This system was installed in December, 2007, and 

keeps operating satisfactorily. 

44 


5 / 2011

5.2 o il Well reMoTe MeasureMenT 

and ConTrol sysTeM 

An oil field company in northeast China wanted to improve 

its wells, equipped with rod pumps. Fast and accurately 

determining the indicator diagram of such a well 

is a basic requirement for analyzing its operation. Therefore, 

the engineers of this facility developed a system capable 

of acquiring all data that are necessary to determine 

the indicator diagram. It stores these data and transmits 

them upon request of the control center. There, the 

conditions of all wells are monitored and supervised. 

Five WIA-PA nodes are installed at each well, for 

measuring stroke, load, pressure, temperature, and current. 

Figure 6 shows the structure of the oil well remote 

measurement system. 

5.3 Bearing TeMPeraTure MoniToring sysTeM 

A cold rolling plant in a steel factory in northeast China 

employs hundreds of rollers in the continuous annealing 

lines. Predictive condition monitoring of the rollers provides 

early failure warnings, resulting in increased availability 

and significant cost savings. 406 thermocouple 

sensors equipped with WIA_PA interfaces have been installed 

within a space of 200 m length, 20 m width and 

30 m height. Each sensor continuously monitors the bearing 

temperature of a roller, as shown in Figure 7. 

ReFeReNZeN 

[1] Ieee Standard for Information technology –Telecommunications and 

information exchange between systems - Local and metropolitan area 

networks - Specific requirements, Part 11: Wireless LAN Medium Access 

Control (MAC) and Physical Layer (PHY) Specifications, 2007 

[2] Ieee 802.15.4: Ieee Standard for Information technology - Telecommunications 

and information exchange between systems - Local and metropolitan 

area networks - Specific requirements, Part 15.4: Wireless Medium Access 

Control (MAC) and Physical Layer (PHY), Specifications for Low-Rate Wireless 

Personal Area Networks (WPANs), 2009 

[3] ISA-100.11a: Wireless systems for industrial automation: Process control and 

related applications, 2009 

[4] IeC/PAS 62601: Industrial communication networks - Fieldbus specifications 

- WIA-PA communication network and communication profile, ed. 1.0, 2009 

[5] IeC 62591: Industrial communication networks - Wireless communication 

network and communication profiles – WirelessHARTTM, ed. 1.0, 2010 

[6] Wei Liang, Xiaoling Zhang, Yang Xiao, Fuqiang Wang, Peng Zeng, and Haibin 

Yu: Survey and experiments of WIA-PA specification of industrial wireless 

network, published online, Wireless Communications and Mobile Computing, 

Wiley InterScience, www.interscience.wiley.com, 2010 

[7] ISo 7498-2:1989: Information processing systems - open Systems Interconnection 

- basic Reference Model, 1989 

AuToReN 

5.4 e leCTriCal drive effiCienCy 

MoniToring sysTeM 

Saving energy consumed by electrical drives is one of the 

ten important energy saving projects of the 11th Five- 

Year Plan proposed by the National Development and 

Reform Commission of China. Online monitoring is foreseen 

to provide the necessary findings for this. 

A set of twenty drives was selected and equipped with 

sensors and transmitters to measure the relevant mechanical 

and electrical quantities such as voltage, current, 

and torque. A monitoring system pre-processes these and 

sends the resulting data through a WIA-PA wireless network 

to the WIA-PA gateway. From there it is forwarded 

to the host PC. The latter finally displays the operational 

status of each motor including input and output power 

as well as the efficiency, see Figure 8. 

6. ConClusion 

WIA-PA is a communication protocol that has been developed 

by the Chinese Industrial Wireless Alliance 

(CIWA) due to an urgent need expressed by users in the 

field of process automation. WIA-PA is submitted to the 

Standardization Administration of China (SAC) for approval 

as a Chinese national standard. Because of its 

useful characteristics and features, it will be applied 

worldwide in the future. 

MANuSKRIPTeINgANg 

17.11.2010 


PROF. OuYang JinSOng (born in 1964) is 

President of the Instrumentation Technology 

and Economy Institute, P. R. China (ITEI) and 

General Secretary of China National Technology 

Committee 124. The latter is commissioned 

by the Standardization Administration 

of China with standardization in the field of 

Industrial Process Measurement and Control 

(SAC/TC124). Prof. Ouyang’s carrer in 

research and standardization in the automation and instrumentation 

industry began in 1987. Since 1988, he has been the 

speaker of the Chinese delegation to IEC/TC65 and participated 

in the work of many groups of this committee. He also oversaw 

the standardization work for EPA and WIA-PA, two communication 

protocols recently being developed in China. 

instrumentation technology & Economy institute (itEi), 

P.R. china, 397a guanganmenwai Str., beijing, 100055, china, 

tel. (86)-10-63461005, E-Mail: ouyangjs@tc124.com 

DR. liu Dan (born in 1977) is Senior Engineer 

of Instrumentation Technology and Economy 

Institute, P. R. China (ITEI). Her professional 

career includes research on fieldbus technology 

since 2000. She developed and tested industrial 

communication protocol stacks. She has also 

participated in the research and standardization 

work for EPA and WIA-PA from the initial stage. 

instrumentation technology & Economy institute (itEi), 

P.R. china, 397a guanganmenwai Str., beijing, 100055, china, 

tel. (86)-10-63461005, E-Mail: liud@tc124.com 


5 / 2011 

45

HauptBEitRaG 

Technologie-Roadmap 

Automation 2020+ Energie 

Zukunftsmärkte für die Automationstechnologien 

Das globale Energiesystem befindet sich in einer Phase des grundlegenden Wandels. Für 

Automatisierungstechnologien ergeben sich hier neue Einsatzfelder – und auch neue 

Anforderungen. Mit der Integrierten Technologie-Roadmap II für Automation setzt der 

ZVEI den 2006 initiierten, sehr erfolgreichen Roadmapping-Prozess zur Früherkennung 

von technologischen, marktlichen, politischen und gesellschaftlichen Entwicklungen 

fort. In der neuen Roadmap wurden als wichtig und zukunftsträchtig erkannte Marktsegmente 

weiter vertieft. Hierfür wurden wichtige Trends in der Energiewirtschaft als Zukunftsmärkte 

für die Automationstechnologien analysiert. Gemeinsam mit Experten aus 

der Energie- und der Automationsbranche wurden Automatisierungsbedarfe abgeleitet 

und Handlungsstrategien entworfen. 

SCHLAGWÖRTER Erneuerbare Energien / Smart Grids / Biotreibstoffe / CCS / Wasserstoff 

Future Markets and new challenges for automation technology 

The global energy system faces massive changes. For automation technologies, new markets 

emerge – and new challenges. After the huge success of the first integrated roadmap 

automation, initiated in 2006, the ZVEI continues its roadmapping activities. The new 

roadmap automation 2020+ assesses in detail market segments that appear to be important 

and promising for the future. For this reason, key trends of the energy sector were analysed. 

Together with experts from the energy sector and automation technology, future automation 

needs were identified and strategies related to future markets were derived. 

KEYWORDS Renewable Energy / Smart Grids / Biofuel / CCS / Hydrogen 

46 


5 / 2011

TimOn WEHnERT, iZt 

mARKuS WinzEniCK, ZVEi 

Angesichts der gestiegenen Dynamik und Komplexität 

der Umfeldbedingungen für Unternehmen 

kommt der Früherkennung und dem Monitoring 

technologischer, marktbezogener, politischer 

und gesellschaftlicher Entwicklungen eine immer 

größere Bedeutung für den Innovationserfolg zu. Dies 

gilt besonders in Krisenzeiten. In vielen Kundenbranchen 

werden jetzt Überlegungen angestellt, wie mithilfe der Automation 

die eigenen Produktionsprozesse vereinfacht, 

beschleunigt und sicherer gemacht werden können. 

Um Trends, Herausforderungen und Bedarfe besser 

verstehen zu können, geht der ZVEI mit der Erstellung 

einer Integrierten Technologie-Roadmap für die Automation 

neue Wege. Er setzt damit den 2006 erstmals initiierten 

Roadmapping-Prozess fort [1], [2]. In der neuen 

Roadmap wurden als wichtig und zukunftsträchtig erkannte 

Innovationsfelder weiter vertieft sowie insbesondere 

auch internationale Aspekte thematisiert, welche 

in der ersten Phase des Roadmapping nur eine untergeordnete 

Rolle gespielt hatten. Zu den Schwerpunkten des 

neuen Roadmap-Prozesses gehörte neben Wasser und 

Megacities das Thema Energie. 

1. Themen der roadmap energie 

Energietechnologien stellen einen vielversprechenden 

Wachstumsmarkt dar. Durch die ernormen Infrastrukturbedarfe 

der Energiewirtschaft ergeben sich große Potenziale 

für Automatisierungslösungen. Aber nicht nur die 

Größe dieser Märkte ist relevant, sondern auch ihre Qualität 

als Leitmärkte für innovative Produkte. 

Die Roadmap Automation 2020+ Energie fokussiert 

dabei auf fünf Bereiche innerhalb der Energiewirtschaft: 

Regenerative Kraftwerke 

Stoffliche und energetische Nutzung von Biomasse 

Intelligente Netze – Smart Grids 

CO 2 Abscheidung und Speicherung (CCS) 

Wasserstoff als Energiespeicher 

Diese Bereiche wurden ausgewählt, weil sie mittel- bis 

langfristig ein sehr hohes Entwicklungspotenzial aufweisen 

und von großer Bedeutung für die Automatisierungsbranche 

sind. Der Fokus wurde aber bewusst auf 

solche Teilbereiche der Energiewirtschaft gelegt, in 

denen hohe Unsicherheiten bestehen. Weder die Entwicklungen 

in der Energiewirtschaft sind hier vorhersehbar, 

noch sind die korrespondierenden Automatisierungsbedarfs 

einfach ableitbar. Die Roadmap 2020+ 

setzt sich damit von der Vorgänger-Roadmap Automation 

2015 ab, deren Anliegen es eher war, einen breiten 

Überblick im Energiebereich zu liefern und etablierte 

Märkte zu untersuchen. 

1.1 die entwicklung der roadmap – ein dialogprozess 

Die Erstellung der Roadmap basiert auf einem Methodenmix 

(vergleiche BILD 1) und weist somit eine hohe Robustheit 

auf. Die Herleitung der Automatisierungsbedarfe 

erfolgte aus vergleichsweise stabilen mittel- und langfristigen 

Trends. Bei der Bewertung der Zukunftsmärkte 

und der sich daraus ergebenden Automatisierungsbedarfe 

stützt sich die Roadmap auf einen intensiven 

Dialog mit bedeutsamen Stakeholdern. Gemeinsam mit 

Wirtschaft, Wissenschaft, Investoren, Projektentwicklern 

und Infrastrukturbetreibern wurden konkrete Technologiebedarfe 

und Anforderungen identifiziert, um die 

Potenziale dieser Märkte besser einschätzen und erschließen 

zu können. 

Insgesamt haben an dem Roadmap-Prozess über 90 

Experten, Hersteller und Anwender aus der Automationsbranche 

und der Energiewirtschaft teilgenommen. 

Dies geschah in Form von sechs moderierten Workshops. 

Inhaltlich begleitet und gelenkt wurde der Roadmap- 

Prozess von der Steuerungsgruppe, die sich aus Vertretern 

der Unternehmen, die die Erstellung der Roadmap 

finanziert haben, sowie aus Vertretern des Zentralverbands 

der Elektrotechnischen Industrie (ZVEI) und des 

Instituts für Zukunftsstudien und Technologiebewertung 

(IZT) zusammensetzt. 


5 / 2011 

47

HauptBEitRaG 

2. ZukunfTsmärkTe 

Weltweit sind dauerhaft enorme Investitionen in Energieinfrastrukturen 

zu erwarten. Die Internationale Energieagentur 

geht von über einer Billion US-Dollar jährlich 

aus [3]. Derzeit fällt zwar nur ein kleiner Anteil auf die in 

dieser Roadmap untersuchten Technologiefelder – es handelt 

sich jedoch um Bereiche mit rasanter Wachstumsund 

Innovationsdynamik. 

In einzelnen Segmenten gibt es bereits heute schon 

sehr lukrative Märkte für Automationstechnologien. Mit 

dem Zeithorizont 2020 und darüber hinaus werden viele 

Felder ein massives Bedeutungswachstum erfahren. 

Bild 2 gibt einen Überblick über die Marktrelevanz der 

einzelnen Technologiefelder für die Automatisierungsbranche 

im Zeithorizont 2020. Dabei wurden Technologiefelder, 

die ein langfristiges Potenzial aufweisen (etwa 

Wasserstoff, CCS, Bioraffinerien), niedriger bewertet als 

Technologiefelder, die bis 2020 ein großes Marktpotenzial 

erwarten lassen. Zu bemerken ist, dass die Aussagen 

für die einzelnen Technologiefelder mit unterschiedlichen 

Unsicherheiten behaftet sind, die im Wesentlichen 

aus schwer abschätzbaren Marktentwicklungen für die 

Energietechnologien selbst herrühren. Die Breite der 

Balken in Bild 2 repräsentiert die Unsicherheit der Entwicklung 

im jeweiligen Technologiefeld im Bezug auf 

die Marktrelevanz für Automatisierungstechnologien. 

Zudem sind in dieser Darstellung lediglich die Automa- 

Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4 

Trendanalyse 

Interviews Workshops Roadmap 

Erwartete 

Zukunftstrends 

-Megatrends 

-Energiewirtschaft 

-Technologien 

-Politik/Recht 

Qualitative Befragung 

-Treiber 

-Hemmnisse 

-Automatisierungsbedarfe 

Workshops mit 

-Experten 

-Herstellern 

-Anwendern 

-Stakeholdern 

Roadmap: 

-Schlüsseltechnologien 

-Zukunftsmärkte 

-Wildcards 

-Empfehlungen 

BiLD 1: 

Vorgehensweise 

im Roadmap- 

Prozess 

-Gesellschaft 

Basisstudien 

Marktrelevanz für Automatisierungstechnologien 

niedrig mittel hoch 

Smart Grids 

BiLD 2: 

Marktrelevanz der 

untersuchten 

Technologiefelder 

der Energiewirtschaft 

für die 

Automatisierungsbranche 

im 

Zeithorizont 2020; 

Einschätzung der 

Mitglieder des 

Roadmap- 

Steuerungskreises 

Wind 

Biogas 

Biotreibstoffe 

Wasserstoff 

Solarthermische Kraftwerke 

Bioraffinerien 

CCS 

Photovoltaik 

Geothermie 

48 


5 / 2011

tisierungsbedarfe für den Betrieb der Anlagen, nicht 

jedoch für die Produktion der jeweiligen Technologien 

berücksichtigt. 

2.1 smart grids – ein großer markt für die automatisierung 

Aktuell verändern sich die Anforderungen an die Stromnetze: 

Nicht mehr wenige große, sondern viele kleine dezentrale 

Erzeuger existieren, fluktuierende erneuerbare 

Energien werden ins Netz gespeist und die räumliche 

Distanz zwischen Stromerzeugung und -verbrauch 

wächst. Das führt dazu, dass die Regelanforderungen an 

die Netze steigen. Aus diesen Anforderungen ergeben sich 

neue Automatisierungsherausforderungen für Erzeugungs- 

und Lastmanagement sowie Netzüberwachung 

und -steuerung (siehe Bild 3). 

Aus den untersuchten Feldern dürfte der Bereich Intelligente 

Stromnetze (Smart Grids) der Markt mit der 

größten Relevanz für die AT-Branche insgesamt werden. 

Hier ist ein großer Bedarf umfangreicher Automatisierungslösungen 

zu erwarten. Diese reichen von der 

Haustechnik bis zur Netzleittechnik auf Höchstspannungsebene. 

Gefragt sind spezielle Komponenten wie 

auch komplexe Systemlösungen. Der Markt ist einerseits 

durch allgemeine Trends in der Energiewirtschaft 

und die strategischen Antworten der Energieversorgungsunternehmen 

getrieben. Er wird jedoch auch im- 


Automatisierungsbedarf 

Technologien 

• Dezentralisierung: 

„Millionen statt tausender 

Erzeuger“ 

• Starke Zunahme 

fluktuierende Erzeugung 

• Bidirektionaler Stromfluss 

Erzeugungs- und 

Lastmanagement 

• Verbesserte Prognose 

(Last & Wetter) 

• Plug&Play-Lösungen 

• Offene bidirektionale 

Kommunikationsstandards 

•Schnellere DCS 

•Wechselrichter für 

Netzdienstleistungen 

•Smart Meter Language 

•IKT Gateway 

•Visualisierungstools 

• Liberalisierung des 

Marktes 

• Energieversorger wird 

zum Energiedienstleister 

• Prosumer (privater 

Kleinerzeuger, adaptive 

Konsumenten) 

Netzüberwachung und - 

steuerung 

• Netzmonitoring 

• Selbstheilendes 

Übertragungs- und 

Verteilnetz 

• Flexible Schutzsysteme 

• Schnell reagierende 

Leistungselektronik 

•FACTS Bauteile 

•Phasorenmessgeräte 

•Sensoren für Leiterüberwachung, 

Kriechstrom, 

Temperaturüberwachung 

•Anpassungsfähige 

Schutzeinrichtungen 

•Intelligent Electronic 

Devices (IEDs) 

•Elektronische Messwandler 

•Intelligente Umspannwerke 

•Backscatter Radio 

Technologie 

BiLD 3: 


und Automatisierungsbedarf 

für Smart Grids 

(Darstellung IZT) 


Automatisierungsbedarf 

Technologien 

• Klimaschutz 

• Strategische 

Versorgungssicherheit 

• Steigender Anteil 

erneuerbarer und 

dezentraler Energien 

(EU: 20% bis 2020) 

• Steigender Stromanteil 

am Endenergieverbrauch 

Anlagensteuerung 

• Hohe dynamische 

Regelbarkeit 

• Beitrag zur Netzstabilität 

• Verbesserte kurz- und 

langfristige 

Wetterprognosen 

• Plug&Play-Lösungen 

• Leistungsfähigere DCS 

• Bidirektionale Kommunikationstechnologien 

• Intelligente Sensorik und 

Aktorik für: 

- Betriebs- und 

Prozessparameter 

- Sonnen-Tracking 

- Nachführung von 

Spiegeln 

Wartung und Fernanalyse 

• Condition Monitoring 

• Vorausschauende 

Diagnose 

• Sensorik zur 

Komponentenüberwachung 

• Sensorik Ölqualität 

• Zustandsüberwachungssysteme 

• Expertensystem 

BiLD 4: 


und Automatisierungsbedarf 

für regenerative 

Kraftwerke 

(Darstellung IZT) 


5 / 2011 

49

HauptBEitRaG 

mer wieder konkret durch politische Rahmengesetzgebung 

bestimmt. 

Kurzfristig sind die größten Märkte in Europa und 

USA zu sehen. Mittelfristig werden Smart-Grid-Ansätze 

auch in Schwellenländern Einsatz finden. In China besteht 

vor allem ein hoher Bedarf an HGÜ-Leitungen (inklusive 

der notwendigen Leistungselektronik), um Strom 

aus Wasser- und Kohlekraftwerken in die weit entfernten 

Ballungszentren zu bringen. In Europa wird der Markt 

für Smart Grids unter anderem durch politische Vorgaben 

befördert, wie etwa die Verpflichtung, intelligente 

Stromzähler einzuführen (in Deutschland ab 2010). 

Wichtige Weichenstellungen sind innerhalb der nächsten 

fünf Jahre zu erwarten. In den aktuell laufenden Pilot- 

und Demonstrationsvorhaben werden technische 

Konzepte, Geschäftsmodelle und Standards entwickelt, 

die für die weitere Entwicklung des gesamten Markts 

prägend sein werden. 

2.2 e rneuerbare energien – 

langfristig hohe Wachstumsraten 

Die erneuerbaren Energien haben im letzten Jahrzehnt 

eine sehr hohe Wachstumsdynamik erfahren. Diese Entwicklung 

ist sehr stark getrieben durch staatliche Förderungen. 

Neben Klimaschutzaspekten steht hier häufig die 

Erhöhung der strategischen Versorgungssicherheit im 

Vordergrund. Global gesehen kann der weitere Ausbau 

der erneuerbaren Energien als langfristig sehr stabiler 

Trend angesehen werden. Bis 2050 decken erneuerbare 

Energien den Energieverbrauch zur Hälfte. [4]. 

Kurzfristig (bis 2020) werden neben Biomasse vor allem 

Windkraftanlagen bei den erneuerbaren Energien dominieren. 

Mittelfristig (nach 2020) wird Wind eine stärkere 

Verwendung auch außerhalb der Industrienationen finden. 

Solarenergie wird zunächst in Ländern mit starker 

Förderung wachsen, sich mittelfristig als wettbewerbsfähige 

Alternative in sonnenreichen Industrieländern mit 

hohen Stromkosten ausbreiten. Mit einem starken globalen 

Wachstum ist nach 2030 zu rechnen. Diese Prozesse 

sind zumindest mittelfristig weniger durch technische 

Entwicklungen oder geographische (klimatische) Potenziale 

als vielmehr durch politische Vorgaben aufgrund 

der Klimaschutzproblematik geprägt. 

Insgesamt ist der Einsatz erneuerbarer Energien an 

einen Paradigmenwechsel geknüpft, der langfristig einen 

massiven Einfluss auf das Energiesystem als ganzes, insbesondere 

aber auf die Elektrizitätswirtschaft haben 

wird. Zusätzlich und teilweise substituierend zu den 

Strukturen großer Kraftwerke werden eine große Anzahl 

von kleinen (oft standardisierten) Anlagen errichtet werden. 

Dabei kann es sinnvoll sein, diese räumlich stärker 

zu verteilen (Beispiel Biomasse um Transportwege zu 

minimieren) oder zu konzentrieren (wie etwa bei großen 

Offshore-Windparks). Für die Automatisierungstechnik 

hat diese Dezentralisierung weitreichende Folgen. Statt 

komplexe und zum Teil maßgeschneiderte Lösungen für 

ein Großkraftwerk zu liefern, sind jetzt immer mehr kleine, 

leicht zu bedienende, kostengünstige und robuste 

Lösungen für einen Massenmarkt gefragt. 

Automatisierungsbedarfe für regenerative Kraftwerke 

bestehen vor allem in zwei Bereichen: bei der Anlagensteuerung 

und in den Bereichen Wartung und Fernanalyse 

(siehe BILD 4). Dabei können die AT-Werkzeuge für 

diese beiden Bereiche nicht strikt getrennt werden. Decentralized 

Control Systems (DCS) für die Anlagensteuerung 

können auch für Fernwartungsaufgaben genutzt 

werden. Im Gegenzug können Informationen aus der 

Fernanalyse und dem Anlagenmonitoring als Grundlage 

für die Anlagensteuerung verwendet werden. Bei der 

Anlagensteuerung gehen die Aspekte (a) Fernsteuerung 

der einzelnen Anlage und (b) Management eines Anlagenverbundes 

fließend ineinander über. 

Wind – Spitzenreiter bei regenerativen Kraftwerken 

Kurzfristig (bis 2020) stellen Windkraftanlagen den interessantesten 

Markt für AT-Anwendungen dar. Hier geht 

es um die Betriebsoptimierung (Regelbarkeit, Beträge zur 

Netzstabilität) und um eine automatisierte Wartung und 

Fernanalyse. Gerade in Offshore-Windparks dürfte ein 

effektives Condition Monitoring ein zentraler Schlüssel 

für die Wettbewerbsfähigkeit von Windkraftanlagen werden. 

Ob hierfür von der Automatisierungsbranche lediglich 

Komponenten geliefert werden oder ein breiteres 

Spektrum von Systemlösungen mit hoher Wertschöpfung 

angeboten werden kann, hängt von der strategischen Positionierung 

der Anlagenbauer und deren möglichen Kooperationen 

mit AT-Firmen ab. 

Photovoltaik – Automation in der Produktion 

Bei Solartechnologien besteht der unmittelbar größte 

Markt für AT-Produkte in der Produktion. Gerade bei der 

Photovoltaik handelt es sich um einen Markt mit extremen 

Wachstumsraten (im Mittel > 50 % jährlich in den 

letzten zehn Jahren). Mittelfristig sind auch weiterhin 

hohe Ausbauraten bei den Produktionsstätten zu erwarten. 

Ein bedeutender Automationsbedarf besteht in der 

vorgelagerten Siliziumproduktion (chemische Industrie) 

und bei der Zell- und Modulproduktion selbst, für die 

zunehmend von spezialisierten Anbietern schlüsselfertige 

Produktionsstätten angeboten werden. 

Solarthermische Kraftwerke 

Auch bei solarthermischen Kraftwerken steht der Übergang 

von der manuellen Produktion in die industrielle 

automatisierte Produktion an. Für die Anlagen selbst werden 

Überwachungs- und Steuerungssysteme für die ausgedehnten 

Spiegelfelder sowie angepasste Leittechnik der 

konventionellen Stromerzeugungseinheiten benötigt. 

Wenn sich die aktuelle Entwicklung in diesem Feld innerhalb 

der nächsten ein bis drei Jahre verstetigt, dann 

könnte im Zeitraum bis 2020 ein lukrativer Markt für die 

Automationsbranche entstehen. 

Optimierung der energetischen Biomasseverwertung 

Biogasanlagen für die anaerobe Vergärung werden derzeit 

mit integrierter Steuerung vertrieben, es besteht aber 

noch ein hohes Potenzial zur Prozessoptimierung. Die 

Prozesse zur Herstellung von Biotreibstoffen der ersten 

Generation gelten als weitestgehend ausgereift und verstanden. 

Für die Prozesse der thermochemischen Bio- 

50 


5 / 2011

massevergasung, die notwendig für Biotreibstoffe der 

zweiten Generation und langfristig für integrierte Bioraffinerien 

sind, besteht jedoch noch ein hoher Bedarf 

an Prozessoptimierung und damit einhergehend eine 

Überwachung der Prozessparameter und Steuerung der 

Prozesse. Für die Umwandlung von Biomasse gilt, die 

Eingangsstoffe, auf Energiegehalt und Störstoffe zu analysieren, 

um die Verarbeitungsprozesse besser steuern 

zu können und die Abrechnung zu vereinfachen. Ziel ist 

die Integration verschiedener Einzelprozesse in eine Bioraffinerie, 

um möglichst ressourceneffizient unterschiedliche 

Rohstoffe mit verschiedenen Verfahren zu diversen 

Produkten zu verarbeiten. 

2.3 Langfristig attraktiv – Wasserstoff, 

Co 2 -abscheidung und Bioraffinerien 

Es wurden drei Märkte identifiziert die langfristig (also 

nach 2020) ein hohes Entwicklungspotenzial für die AT- 

Branche haben könnten. Allerdings sind diese drei Märkte 

sehr unterschiedlich strukturiert: 

Wasserstoff als Energiespeicher 

Langfristig ist davon auszugehen, dass Wasserstofftechnologien 

(als Energiespeicher) an Bedeutung gewinnen. 

Sehr wahrscheinlich werden zunächst Einsatzfelder im 

Verkehrsbereich entstehen (Brennstoffzelle). Hier würden 

sich vielfältige AT-Bedarfe beim Handling von Wasserstoff 

ergeben. Es handelt sich um einen Massenmarkt 

(Tankstellen, Fahrzeuge), der mit überschaubarem AT- 

Entwicklungsbedarf zu erschließen ist. Größte Unsicherheit 

besteht beim Zeithorizont. Wie der Markt wächst, 

hängt von sehr unterschiedlichen Faktoren ab, wie zum 

Beispiel von technologischen Entwicklungen bei Wasserstoffspeichern 

und Brennstoffzellen oder der Investitionsbereitschaft 

in die nötige Infrastruktur (Pipelines, 

Tankstellen). 

CO 2 -Abscheidung und Speicherung 

Für die CO 2 -Abscheidung und Speicherung ist die zeitliche 

Entwicklung relativ gut abschätzbar (Kommerzialisierung 

ab 2020). Unsicherheiten bestehen in der 

Größe der Märkte für die jeweiligen Zielregionen (Europa, 

USA, China). Probleme mit der langfristig sicheren 

Lagerung und mangelnde öffentliche Akzeptanz 

könnten, insbesondere in Europa, zum Fallstrick für 

diese Technologielinie werden. Für die AT-Branche 

geht es vor allem darum, Konzepte aus anderen Bereichen 

zu übertragen und weiter zu entwickeln, um einen 

zusätzlichen Markt für Kraftwerksleittechnik und Prozessautomation 

zu erschließen. 

Bioraffinerien 

Auch im Bereich Bioraffinerien ist mit Kommerzialisierungen 

im Wesentlichen erst nach 2020 zu rechnen. Der 

Weg zu integrierten Bioraffinerien führt über die Optimierung 

der Biomassevergasung und Biotreibstoffherstellung. 

Langfristig ist hier ein großer Markt mit umfangreichen 

und komplexen Automatisierungsanforderungen 

zu erwarten. Getrieben wird der Markt langfristig 

durch die Verknappung fossiler Energieträger. Er 

kann kurzfristig jedoch stark durch politische Vorgaben 

(mit der Zielsetzung der Versorgungssicherheit) beschleunigt 

werden. Unklar sind häufig jedoch die verfahrenstechnischen 

Umsetzungen in zukünftigen Bioraffinerien, 

sodass die konkreten AT-Bedarfe derzeit 

selten spezifiziert werden können. 

3. sChLüsseLTeChnoLogien 

Um adäquate Automatisierungslösungen für die in der 

Roadmap betrachteten Bereiche der Energiewirtschaft 

anbieten zu können, sind erhebliche Entwicklungsanstrengungen 

nötig. Dabei sind jedoch selten völlige Neuentwicklungen 

gefragt. Häufig besteht die Anforderung 

in der Weiterentwicklung, Optimierung oder Anpassung 

von prinzipiell vorhandenen Verfahren und Technologien. 

Der größte technologische Entwicklungsbedarf wurde 

im Bereich der Sensorik identifiziert. Für die Prozessautomation 

in den Feldern Biomassenutzung, Wasserstofftechnologien 

und CO 2 -Abscheidung besteht eine wichtige 

Herausforderung darin, Verfahren aus anderen Branchen 

etwa der Pharmaindustrie, der Oleochemie oder dem 

Brauereiwesen zu übertragen und auf die speziellen energiewirtschaftlichen 

Bedürfnisse anzupassen. Die Anwendungsfelder 

mit dem höchsten technischen Entwicklungsbedarf 

sind intelligente Stromnetze (Smart Grids) 

sowie langfristig auch Bioraffinerien. 

Insgesamt werden von der Energiebranche angepasste 

Systemlösungen nachgefragt. Ein Angebot reiner 

Einzelprodukte ist daher häufig nicht ausreichend. Vielfach 

sind auch spezielle Softwareapplikationen mit zu 

entwickeln, um den Einsatz von AT-Komponenten überhaupt 

erst zu ermöglichen oder für die Kunden attraktiv 

zu machen. 

Eine generelle Anforderung ist die Robustheit von 

Komponenten, da der Einsatz vielfach in kleinen, 

räumlich weit verstreuten Anwendungen stattfindet, 

bei denen Wartung beziehungsweise Ersatz von Komponenten 

schwierig ist (zum Beispiel Offshore-Windräder, 

Pipelines für Wasserstoff oder CO 2 ). Zugleich 

herrschen zum Teil extreme Umgebungsbedingungen 

(Wetter, aggressive Medien), die hohe Materialanforderungen 

nach sich ziehen. Eine große Anforderung 

stellt auch die Systemverfügbarkeit der AT-Lösungen 

dar. Unter dem Blickwinkel der energetischen Versorgungssicherheit 

etwa wäre ein hohes Maß an Redundanzen 

(wie etwa in der Leittechnik konventioneller 

Großkraftwerke) erforderlich. Wie dies in den Kostenstrukturen 

kleiner, dezentraler Systeme abbildbar sein 

könnte, ist derzeit noch ungewiss. 

3.1 sensorik 

Messgeräte und Sensoren sind der Bereich, für den der 

höchste technische Entwicklungsbedarf identifiziert 

wurde. Dabei geht es meist darum, Messverfahren, die im 

Labormaßstab vorhanden sind, in feldtaugliche Komponenten 

zu überführen. 


5 / 2011 

51

HauptBEitRaG 

Der größte Entwicklungsbedarf für neue Sensoren 

besteht im Bereich der Biomassenutzung. Hier geht 

es vor allem um die Charakterisierung der Eingangsstoffe 

sowie um die Bestimmung von Prozessparametern 

für die hochkomplexen bio- oder thermochemischen 

Prozesse. Für eine große Anzahl von Messgrößen 

gibt es hier derzeit keine praxistauglichen 

Sensoren. 

Für effizientere fossile Kraftwerke (überkritische 

Kraftwerke mit hohen Frischedampfparametern) 

werden Messgeräte zur Komponentenüberwachung 

benötigt (Temperatur- und Stressmonitoring). 

Ein weiteres wichtiges Einsatzfeld sind Windkraftanlagen, 

wo Sensoren für Condition Monitoring benötigt 

werden (zum Beispiel Metallabrieb in Öl). 

Langfristig werden auch verstärkt Sensoren für das 

Handling von Wasserstoff im Verkehrsbereich zum 

Einsatz kommen (beispielsweise für Wasserstofftankstellen). 

Perspektivisch könnten auch Messgeräte zum Monitoring 

von CO 2 -Pipelines und -Lagerstätten relevant 

werden. 

Übergreifend wurden folgende Entwicklungsanforderungen 

identifiziert: 

Für fast alle Sensoren gilt der Bedarf: kleiner, robuster, 

billiger. Kostenreduktionen sind entscheidend, 

um die Sensoren für Massenanwendungen platzieren 

zu können. Häufig sind Kostenreduktionen, gegenüber 

dem heute gängigen Verfahren, um einen Faktor 

10 notwendig. 

In den meisten Einsatzfeldern ergeben sich hohe Robustheitsanforderungen. 

Korrosionsbeständigkeit ist 

zum Beispiel in Offshore-Windkraftanlagen oder 

beim Transport von CO 2 von hoher Relevanz. In Biogasanlagen 

oder Bioraffinerien sind Messgeräte häufig 

einem Gemisch aus aggressiven Medien (wie Ammoniak) 

ausgesetzt. In Kraftwerken ist Hitzebeständigkeit 

ein wichtiger Faktor. 

Vielfach wird es nötig sein, berührungslose Verfahren 

(wie zum Beispiel NIR-Spektroskopie, tuneable 

Lasers und so weiter) anzuwenden. 

In einigen Bereichen, beispielsweise der Charakterisierung 

von Biomasseeingangsstoffen oder bei Wasserstofftankstellen, 

ist es notwendig, eichfähige Verfahren 

zu entwickeln. 

3.2 software und modellierung 

Wie oben bereits erwähnt, bestehen Entwicklungsherausforderungen 

häufig in der Anpassung und Weiterentwicklung 

von bereits bestehenden Verfahren und Technologien. 

In diesem Zusammenhang spielt die Softwareentwicklung 

eine wichtige Rolle. Durch Programme 

für spezifische Anwendungen können Märkte für technische 

Komponenten häufig überhaupt erst erschlossen 

werden. Zugleich gibt es einige Bereiche, in denen die 

Komplexität der zu automatisierenden Prozesse sehr 

hoch ist. Daher ist es notwendig, Modellierungstools und 

Expertensysteme zu entwickeln, die es erlauben, große 

Datenmengen aus unterschiedlichsten Quellen zu handhaben. 

Wichtige Beispiele sind: 

Erzeugungsprognosen für Elektrizität aus wetterabhängigen 

Quellen (Wind und Sonne), 

Steuerungs- und Managementsysteme für verteilte 

Erzeuger (virtuelles Kraftwerk) mit geeigneten 

Schnittstellen an Handelsplattformen (Strombörse) 

und 

Expertensysteme für Condition Monitoring besonders 

für Wind, getrieben von den hohen Anforderungen 

der Wartungsoptimierung für schwer erreichbare 

Offshore-Windanlagen. 

Für die Prozessautomation von Biogas- und Biotreibstoffanlagen 

müssen Modelle und Parameterbibliotheken 

entwickelt werden, die die komplexen und 

hoch sensitiven bio- oder thermochemischen Prozesse 

adäquat abbilden können. Die Modellierungswerkzeuge 

(Softwareplattformen) können größtenteils aus 

der chemischen Industrie übernommen werden. 

3.3 management- und Leitebene 

Die Anforderungen an zukünftige Managementsysteme 

und Leittechnik lassen sich im Wesentlichen aus folgenden 

Trends in der Energiewirtschaft ableiten: 

Zunahme kleiner, dezentraler Anlageneinheiten 

(Energieerzeuger), 

Größere räumliche Distanzen zwischen oder innerhalb 

von Anlagen, 

Dynamisierung von ehemals statischen Prozessen, 

Steuerung von komplexen und hoch sensitiven Prozessen. 

Diese Trends sind – mit unterschiedlicher Gewichtung 

– bestimmend für die meisten der im Folgenden aufgeführten 

Entwicklungsbedarfe. 

Größere Datenmengen – schnellere 

Decentralized Control Systems 

Eine übergreifende Anforderung, die die Grundlage für 

viele Management- und Steuerungskonzepte bildet, ist 

die Weiterentwicklung von Decentralized Control Systems 

(DCS). Eine große Anzahl der diskutierten Automationslösungen 

basiert auf dem Auslesen, Übertragen 

und Analysieren von enormen Datenmengen in Echtzeit. 

Räumlich verteilte Systeme werden auf zentrale Leitwarten 

aufgeschaltet und von dort überwacht und optimiert. 

Gerade die Konzepte zu Smart Grids, aber auch 

Ansätze zur automatisierten dynamischen Steuerung 

von regenerativen Kraftwerken erfordern ein schnelleres 

Handling größerer Datenmengen, als es mit heutigen 

DCS-Systemen praktikabel ist. Dabei ist es im niedrigen 

Leistungsbereich (etwa KWK-Versorgung einzelner Häuser 

mit Brennstoffzellen, die aber zu einem virtuellen 

Kraftwerk zusammengefasst werden) möglich, dass aus 

Kostengründen Systeme mit SCADA-Funktionalitäten 

verwendet werden. 

52 


5 / 2011

Schnelle Datenübertragung mit 

Schnittstellen-Standards 

Um die dezentral anfallenden Daten in zentralen Leitwarten 

zeitnah analysieren und verarbeiten zu können, sind 

schnelle Datenübertragungstechnologien notwendig. Hier 

stehen verschiedene Lösungen (UMTS, PLC, LAN und so 

weiter) und Protokolle zu Verfügung. Um eine unkomplizierte 

Anbindung dezentraler Systeme an zentrale Datenverarbeitungssysteme 

zu gewährleisten, sind standardisierte 

Schnittstellen notwendig. Ziel ist, dass sich dezentrale 

Anlagen im Plug-and-Play-Verfahren an zentralen 

Leitwarten anmelden. 

Dynamisierung der Anlagensteuerung 

Eine Herausforderung, die in unterschiedlichsten Feldern 

auftritt, ist, dass etablierte verfahrens- und prozesstechnische 

Technologien, die bisher auf statischen Betrieb 

optimiert wurden, in Zukunft dynamisch betrieben werden 

müssen. 

Statische Prozesse aus der Chemie müssen auf die 

Regelanforderungen der Energiewirtschaft angepasst 

werden. Beispiele sind Elektrolyse zur Wasserstoffproduktion 

sowie Verfahren zur CO 2 -Abscheidung. 

Turbinen und Generatoren in regenerativen Kraftwerken 

(Windanlagen, solarthermische Kraftwerke) 

müssen auf Teillastbetrieb optimierbar sein, um das 

wetterabhängige, fluktuierende Leistungsangebot 

maximal nutzen zu können. 

Aktive Steuerung der Stromnetze 

Für die Umsetzung von aktiv gesteuerten Smart Grids 

sind neben den oben genannten Softwarelösungen zur 

Modellierung, Management und Steuerung von Energieanlagen 

auch eine Reihe von technischen Weiterentwicklungen 

nötig. 

Im Bereich der Netzleittechnik müssen schnell reagierende 

Leistungselektronik sowie schnell schaltbare 

Spulen und Kondensatoren (FACTS) zur Leistungsflusssteuerung 

und Blindleistungsbereitstellung 

(weiter-)entwickelt werden. 

Eine wichtige Herausforderung ist die zunehmende 

Bidirektionalität des Stromflusses. Hierauf müssen 

auch die Sicherheitssysteme angepasst werden, die 

darüber hinaus dynamisch parametrisierbar sein 

müssen, um auch bei immer geringeren Kurzschlussströmen 

fehlerfrei zu arbeiten. 

Ein großer Entwicklungsbedarf besteht bei digitalen, 

fernauslesbaren und ansteuerbaren, also den intelligenten 

Stromzählern. Neben den Zählern selbst müssen 

auch die entsprechenden Managementsysteme 

entwickelt werden. Dabei ist es noch offen, welche 

Datenübertragungstechnologien (und -standards) 

verwendet werden. 

Für das Erzeugungs- und Lastmanagement müssen 

kleine, billige und leicht zu bedienende Steuerungseinheiten 

entwickelt werden. Mögliche Einsatzfelder 

reichen von mittelgroßen Einheiten, wie Windrädern 

oder Kraft-Wärme-Kopplungsanlagen, über Einfamilienhausbrennstoffzellen, 

Elektroautos zu Kleinstverbrauchern, 

wie fernsteuerbare Kühlschränke oder 

Waschmaschinen. 

Kompatibilität und einfache Bedienbarkeit 

Zur Einbindung von regenerativen Kraftwerken, aber 

auch anderen kleinen Erzeugern und Verbrauchern in ein 

aktiv gesteuertes Smart Grid, ist es notwendig, dass Steuerungseinheiten 

einen Plug-and-Play-Charakter aufweisen: 

Einfache Installation, automatische Konfiguration 

und effiziente Kommunikation sind essenzielle Vorbedingungen, 

wenn Tausende oder gar Millionen unterschiedlicher 

Anlagen zu einem virtuellen Kraftwerk zusammengeschlossen 

werden sollen. Hier sind umfassende, herstellerübergreifende 

Standards notwendig. 

Für viele Anwendungen ist es notwendig, dass Management- 

und Leitsysteme einfacher zu bedienen sind, 

als das für bisherige Systeme der Fall ist. Regenerative 

Kraftwerke werden oft nebenbei zum eigentlichen Kerngeschäft 

des Besitzers betrieben – Biogasanlagen etwa 

durch Landwirte. Das heißt also, dass die Mechanismen 

zur Steuerung der komplexen chemischen Vergärungsprozesse 

vor dem Nutzer quasi „versteckt“ werden müssen. 

Das Interface muss selbsterklärend sein und nur die 

wichtigsten Informationen enthalten. Das System selbst 

muss eigenständig Optimierungsarbeiten übernehmen 

und dabei fehlertolerant bleiben. 

faZiT und ausBLiCk 

In den neuen, schnell wachsenden Bereichen der Energiewirtschaft 

ergeben sich jetzt und zukünftig lukrative 

Einsatzfelder für Automatisierungstechnologien. 

Die technologischen Entwicklungsbedarfe für angepasste 

AT-Lösungen sind durchweg überschaubar. 

Trotzdem sind gezielte Anpassungen nötig. Lediglich 

bestehende Komponenten anzubieten, wird nicht genügen, 

um sich in den in der Roadmap untersuchten 

Feldern zu positionieren. 

Vielmehr muss eine aktive Erschließung dieser neuen 

Märkte sowohl technologische Weiterentwicklungen als 

auch gezielte Marketingstrategien umfassen. In manchen 

Bereichen – etwa bei den intelligenten Stromnetzen – 

könnte es für Automatisierungsunternehmen sogar vorteilhaft 

sein, neue Märkte aktiv mitzugestalten. 

Wichtige Handlungsstrategien hierzu wären: 

Neue Geschäftsmodelle: In den im Beitrag beschriebenen 

Märkten besteht hohes Wertschöpfungspotenzial 

durch die Kopplung von Produkten und Dienstleistungen 

(zum Beispiel bei der Fernüberwachung 

und im Datenmanagement). Zugleich definieren neue 

Geschäftsmodelle in der Energiewirtschaft auch Anforderungen 

und Anwendungspotenziale für Automatisierungstechnologien. 

AT-Hersteller können hier 

Märkte selbst mitentwickeln, indem sie gezielt selbst 

Energiedienstleistungen anbieten. Dabei kann es für 

AT-Firmen durchaus sinnvoll sein, mit Anlagenbauern 

oder Energiedienstleistern strategische Partnerschaften 

einzugehen. 


5 / 2011 

53

HauptBEitRaG 

Strategische Allianzen für Forschung und Entwicklung: 

Wenn Systemlösungen entwickelt werden sollen, 

ist ein großes, spezialisiertes Wissen der jeweiligen Verfahrens- 

und Prozesstechnik nötig. Die Anlagenhersteller 

sind jedoch nicht bereit, dieses Know-how leichtfertig 

aus der Hand zu geben. Um angepasste Automatisierungslösungen 

entwickeln zu können, wird es also oftmals 

notwendig sein, langfristige, vertrauensvolle 

Partnerschaften mit Anlagenherstellern einzugehen. 

Direkter Draht zu den Enkunden, Nutzern und kommunalen 

Entscheidern: Die Automatisierungsindustrie ist 

gezwungen, die aufgezeigten Märkte aktiv zu erschließen. 

Zur Deckung des Bedarfs an integrierten Systemlösungen 

genügt es nicht, dass grundsätzlich verwendbare 

Komponenten am Markt verfügbar sind. Vielmehr 

müssen spezielle Entwicklungen und Anpassungen gemäß 

den Bedürfnissen der Nutzer in den verschiedenen 

Branchen vorgenommen werden. Dies gilt insbesondere 

in nicht so hochtechnisierten Ländern, in denen Produktionsanlagen 

oftmals mit deutlich geringer qualifiziertem 

Personal gefahren und gewartet werden. Es empfiehlt 

sich daher, einen direkten Draht zu den Endkunden, 

Nutzern und kommunalen Entscheidern aufzubauen. 

ZVEI-Aktivitäten: Die Energiewirtschaft insgesamt ist 

stark von politischen Vorgaben geprägt. Je nach Region 

und Land gibt es große Unterschiede in der Entwicklung 

der einzelnen Marktsegmente. Sowohl die Größe 

der Automatisierungsmärkte als auch die konkreten 

Ausgestaltungen im Bereich Smart Grids, erneuerbarer 

Energien, CO 2 -Abscheidung und auch bei der Wasserstofftechnologie 

werden durch politische und gesetzliche 

Entwicklungen bestimmt. Es kommt für die Automatisierungsunternehmen 

und einen Verband wie dem 

ZVEI daher darauf an, nicht nur die technischen Entwicklungen 

und Anforderungen zu kennen, sondern 

auch die Entwicklungen und Entscheidungen auf politischer 

und rechtlicher Seite intensiv zu beobachten, 

daraus frühzeitig Schlussfolgerungen für die Automatisierungstechnik 

zu ziehen und in die Branche hinein 

zu kommunizieren. 

ManuSkRiptEinGanG 

20.08.2010 

REFEREnZEn 


[1] S. Behrendt,Erdmann, L. integriertes technologie- 

Roadmapping – ein praktischer Leitfaden zur Suche 

nach technologischen antworten auf gesellschaftliche 

Herausforderungen und trends, ZVEi/iZt, Frankfurt/M, 

2007 

[2] ZVEi: integrierte technologie-Roadmap automation 

2015+. ZVEi, Frankfurt/M 2006 

[3] i nternationale Energie agentur: World Energy outlook 

2008. paris, 2008 

[4] Shell international BV: Shell Energy Scenarios to 2050. 

Shell international BV, 2008. 

(http://www.shell.com/scenarios) 

autoREn 

DipL.-pHYS. TimOn WEHnERT 

(geb. 1969) ist seit 2000 Projektleiter am 

Institut für Zukunftsstudien und Technologiebewertung 

(IZT) gGmbH Berlin. 

Timon Wehnert arbeitet vorwiegend zu 

Themen der nachhaltigen Energiewirtschaft. 

Forschungsschwerpunkte sind 

langfristige Szenarien für den Energiesektor, 

kommunale Energiestrategien und 

die Analyse der Potenziale regenerativer Energieversorgungssysteme. 

Sein Fokus liegt dabei auf diskursiven Methoden der 

Technologiebewertung, die eine Integration von Anwendern 

und Schlüsselakteuren in Innovations- und Strategieprozessen 

beinhalten. 

izT – institut für zukunftsstudien 

und Technologiebewertung, 

Schopenhauerstr. 26, D-14129 Berlin, 

Tel. +49 (0) 30 80 30 88 13, 

E-mail: t.wehnert@izt.de 

DR. mARKuS 

WinzEniCK 

(geb. 1966) ist seit 

2001 im ZVEI-Fachverband 

Automation 

tätig. Seit 2007 leitet 

er den Fachbereich 

Schaltgeräte, Schaltanlagen, 

Industriesteuerungen. 

Parallel dazu ist er für die 

Koordinierung und Bearbeitung übergreifender 

technischer Themenfelder im 

Fachverband Automation zuständig. 

zVEi – zentralverband-Elektrotechnikund 

Elektronikindustrie e.V., 

Fachverband Automation, 

Lyoner Straße 9, D-60528 Frankfurt am main, 

Tel. +49 (0) 69 630 24 26, 

E-mail: winzenick@zvei.org 

54 


5 / 2011

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hauPtbEitrag 

Life Cycle Cost Model for 

Distributed Control Systems 

A Taxonomy-based Approach 

The introduction of short-lived IT-related commercial-off-the-shelf (CotS) components into 

the domain of process automation has enabled a drastic decrease in Distributed Control 

Systems (DCS) acquisition cost. However, the high obsolescence rate of CotS components 

has drastically increased the number of required upgrades during its life cycle. It has 

become very difficult to compare investment options since a lot of costs moved from the 

initial acquisition to later stages. One answer to this problem is to use the life cycle cost 

(LCC) of a system as decision basis. LCC approaches are already in use in other domains, 

and in this article we present a cost taxonomy and calculation model that takes into account 

the peculiarities of the process automation domain. 

SCHLAGWÖRTER Life Cycle Costs / Distributed Control Systems / Migration / Evolution 

Lebenszykluskostenmodell für Leitsysteme – 

Ein taxonomiebasierter Ansatz 

Durch die Einführung kurzlebiger, preiswerter Commercial-off-the-Shelf-Komponenten 

(CotS) in moderne Prozessleitsysteme konnten die Anschaffungskosten dieser Systeme 

dramatisch verringert werden. Allerdings führt die hohe Obsoleszenzrate der CotS-Komponenten 

zu einem enormen Anstieg der Systemerneuerungen im Laufe des Lebenszyklus. 

Durch die Kostenverschiebung in die Nachkaufphase wird gleichzeitig der seriöse Vergleich 

zwischen Investitionsalternativen erschwert. Die in diesem Beitrag vorgeschlagene 

Lösung verwendet Lebenszykluskosten als Entscheidungsbasis für Investitionen in Leitsysteme. 

Der Idee der Lebenszykluskosten wird schon in anderen Branchen Rechnung 

getragen, daher konzentriert sich der vorliegende Ansatz auf die Eigenheiten der Domäne 

Prozessautomation. 

KEYWORDS Lebenszykluskosten / Prozessleitsysteme / Migration / Evolution 

56 


5 / 2011

MARCEL Dix, RALf GiTzEL, CHRiS M. STiCH, abb 

Traditionally, process automation is a domain 

that is characterized by long-term investments 

and comparatively static systems. Recently, the 

introduction of short-lived IT-related commercial-off-the-shelf 

(CotS) components into the 

domain has brought a completely new aspect into the 

equation. On the one hand, it has enabled a drastic decrease 

in DCS acquisition costs. On the other hand, the 

high obsolescence rate of CotS components has significantly 

increased the number of required upgrades during 

the life cycle of a DCS. With a lot of the costs moved from 

the initial acquisition to later stages, it has become more 

difficult to compare investment options reasonably. 

One answer to this problem is to use the life cycle cost 

(LCC) of a system as decision basis. LCC approaches are 

already in use in other domains, and in this article we 

present a cost taxonomy and calculation model that takes 

into account the peculiarities of the process automation 

domain. The model has been developed at ABB Corporate 

Research in Germany as part of the Industrial Software 

Solutions research program. 

1. Life CyCLe Cost CaLCuLation 

Due to the increasing impact of after-sales cost, acquisition 

cost is a poor measurement for comparing different investment 

strategies. It is a common experience that quality products 

tend to have a higher cost up front but will work better 

and have fewer defects. For this reason, a preferable 

approach is to compare DCS investments by calculating the 

LCC associated with the system. Life Cycle Cost Calculation, 

which actually does not regard costs but discounted cash 

flows, is a recent trend in manufacturing that is largely industry-driven 

(see for example [1] and [2], but also [3] and 

[4]). The LCC concept is closely related to Total Cost of Ownership 

[5]. While there have been attempts to differentiate 

the two terms (cf. [1]), we do not believe this delineation to 

be globally accepted or even useful in a practical context. 

There exist LCC examples for different markets ranging 

from carpeting [6] to industrial valves [7]. While these examples 

share some fundamental similarities, the actual 

cost elements included in the calculation can vary widely 

from domain to domain. 

2. LCC-ReLated PRoPeRties of distRibuted 

ContRoL systems 

In order to create an LCC calculation model for a domain, 

it is important to identify the unique properties of that 

field. In particular, specific cost drivers have to be identified. 

Based on expert interviews, the analysis of pilot cases 

and some prior work [8], we have isolated several important 

factors that are not typically present in other domains. 

Evolution One of the core differences to most other domains 

is the fact that system configurations evolve over 

time. Other industries such as automobile manufacturers 

look at individual machines. A single machine is typically 

not subject to major redesigns and thus LCC models from 

these areas do not consider evolution as a cost driver. For 

a DCS, the focus is on a system that has static components 

such as controllers and some rather volatile ones such as 

PCs. The latter experience not only replacements but also 

upgrades with changing functionality. The costs associated 

with these changes to the system are an important cost 

driver. 

Obsolescence A factor closely related to evolution is 

obsolescence. Not all changes are driven by the customer’s 

desire for new features (cf. [9]). In fact, often intact equipment 

has to be replaced to reduce the risk of catastrophic 

failure scenarios. The spare parts for obsolete equipment 

might be unavailable, expensive and/or time-consuming 

to obtain [10]. In addition, the replacement of one system 

component might trigger a cascade of changes due to 

compatibility issues. 

Software Most Life Cycle Cost Calculations focus on 

mechanical or mechatronic devices. A DCS adds the additional 

factor of software to the equation. Software costs 

for the client is a little-understood field so far. Nevertheless, 

the costs associated with applying updates and 

other software-related activity must not be neglected. 


5 / 2011 

57

hauPtbEitrag 

system (e.g. the AC800M controller with the serial number 

4711). Instances reflect the individual properties of objects 

within a system, such as criticality for system uptime, redundancy, 

and function. An instance that represents several 

items also has a quantity property. Even if they represent 

the same “type” of product, two instances might vary 

greatly. For example, a PC that is used as an operator station 

might have a different impact on LCC than that one used 

as a server due to its effect on system downtime. 

All instance descriptions together represent the system 

under observation. While the LCC model is somewhat 

flexible regarding what does and what does not belong 

to the system, its primary focus is on those components 

on the DCS level. This includes the HMI and the controllers, 

but not the field devices and lower components. 

Finally, general Life Cycle Information has to be provided 

in order to calculate the life cycle cost of a system. 

This information includes the interest rate to use for discounting 

the cash flows, cost for system downtime, and 

the hourly rate of the service technician. 

By applying a cost model to an input model, a LCC 

calculation can be performed. Our cost model is based 

on the cost taxonomy shown in Figure 3. Cost categories 

that turned out to be of lesser importance have been 

marked in gray. 

The cost categories on the top level are costs for maintenance, 

changes to the system, running service contracts, 

and costs for leasing equipment. Maintenance 

costs can be split up into costs for preventive and for 

corrective measures. Both categories can in turn be split 

into material, downtime, and personnel cost. However, 

the pilot cases have shown that the material and downfiGURE 

1: Three LCC Input Model Layers 

Product information 

Products 

instance 

information 

instance 

information 

instance 

information 

instance 

information 

instance 

information 

Component 

Products 

service 

Products 

Life Cycle information 

software 

Component 

Hardware 

Component 

Preventive 

service 

Corrective 

service 

software 

service 

Remote 

service 

spare Parts 

service 

fiGURE 2: 

Products in a DCS 

In addition to these domain-specific factors, the typical 

LCC drivers such as maintenance cost and installation 

also apply. 

3. PResentation of LCC modeL 

ABB’s LCC approach consists of a multi-layered input 

model (Figure 1) and a cost model (Figure 3) that transforms 

the input model into cost information. The output 

can range from a single value (i.e. total LCC) to any kind 

of cost breakdown. 

The input model consists of three layers that have to 

be defined consecutively (Figure 1). On the top layer of 

this model, general product information is needed. 

This information is not tailored to a particular system 

and describes failure behavior, acquisition costs and 

other factors that are shared by all instances of the 

product. Since not all components have the same properties, 

e.g. a service product does not have a Mean 

Time to Failure (MTTF), a taxonomy of product types 

was devised (Figure 2). For the sake of space, the exact 

properties of these types are elaborated on a need-toknow 

basis throughout this section. The Product Information 

layer is called a “metamodel” and is reused in 

the context of system models created for different LCC 

calculations. 

Unlike the first layer, the second layer is problem-specific 

and describes a particular DCS. Where the product information 

layer describes the general properties of a product 

(e.g. that of an AC800M controller), the Instance Information 

layer describes the actual components used in a 

58 


5 / 2011

Cost per 

Period 

maintenance 

Change 

service 

Contracts 

Leasing 

Cost 

Corrective 

maintenance 

Preventive 

maintenance 

acquisition 

installation 

Personnel 

Cost 

other 

Cost 

material 

Cost 

material 

Cost 

material 

Cost 

downtime 

Cost 

downtime 

Cost 

downtime 

Cost 

Personnel 

Cost 

Personnel 

Cost 

Personnel 

Cost 

Personnel 

Cost 

fiGURE 3: LCC Cost Model 

time cost for preventive maintenance are negligible. 

Changes to the system comprise the acquisition of new 

devices and their installation. The acquisition incurs material 

cost (typically the purchase prices) as well as some personnel 

cost overhead for ordering which has a lesser impact. 

The installation of the new devices results in personnel cost 

as well as planned downtime cost. In some cases, material 

cost can be reduced to zero by leasing systems. 

Service contracts in our model are considered to be 

personnel cost as they primarily represent the use of 

external manpower. A typical service contract represents 

an agreement to provide services such as corrective 

maintenance. In some cases, the amount of service required 

cannot be planned and there will be money to 

pay beyond the basic contract. These extra costs are covered 

by the corrective maintenance section. 

3.1. Corrective maintenance Costs 

Corrective maintenance cost is an interesting element in 

LCC, because it is not deterministic and requires a lot of 

data to be calculated properly. There are many accepted 

approaches for the determination of reliability. However, 

some of the more involved processes are time and cost intensive. 

In order to reduce effort to an acceptable minimum, 

our cost model allows three ways of modeling failure. 

Rule of thumb failure modeling involves two simple 

data elements. First, the percentage of failures during the 

warranty period is determined. Second, the general type 

of failure rate is identified. The failure rate can either by 

decreasing (infant mortality), increasing (wear-out) or be 

constant. Using these two values, it becomes possible to 

extrapolate a rough estimate for failure behavior. Obviously, 

this method should only be used for components 

that are not main cost drivers. It is generally suitable for 

items that are not used in great numbers and do not cause 

system downtime. 

Simple failure modeling is based on failure descriptions 

provided by the vendor. The MTTF given is enhanced 

by the same shape information provided for the rule 

of thumb model. This model is maybe a little better than 

the rule of thumb but, again, should only be used for 

equipment of lesser importance. 

Complex failure modeling is done by creating a fault 

tree of possible failures and their associated cost effects. 

The failure probabilities are either taken from 

empirical research or from theoretical calculations. 

Two types of components will profit from such a detailed 

calculation. On the one hand, failure-prone 

equipment such as PCs can be better understood. On 

the other hand, really critical components such as controllers 

influence the LCC through downtime costs and 

thus are important cost drivers as well. Using Monte 

Carlo simulation, it is possible to create several scenarios 

that reflect different failure occurrences and thus 

costs. The different elements of corrective maintenance 

costs for a period can be calculated for each scenario 

to get an expected value. 

Material costs for corrective maintenance is calculated 

as shown in Figure 4. First, the number of failures in 

the period is determined using simulation and the probabilities 

described above. From these failures, all warranty 

cases are removed. Next, the average spare parts 


5 / 2011 

59

hauPtbEitrag 

cost for the product is determined. In the case of Complex 

Failure Modeling, different values can be used for different 

types of failures. The total material costs are the 

average costs for a spare part times the number of failures. 

After a repair, a component is considered to be “as 

good as new”, resetting its age to 0. It should be noted 

that the cost driver “obsolescence” has an indirect influence 

on the material cost as the spare part costs will 

typically increase once a product becomes obsolete. 

Personnel costs of corrective maintenance depend on 

the working time needed to fix the failures. The calculation 

process is shown in Figure 5. Two values are 

important for personnel cost – the number of Relevant 

Failures in a period and the number of service Incidents. 

The number of Relevant Failures is the number 

of failures in the period that are not covered by warranty. 

The number of Incidents is equal to the number of 

failures unless two or more failures occur at the same 

time. In that case they can be covered by a single service 

incident. For example, if 5 failures occur in a period but 

2 of them occur at the same time, there will be only 4 

service incidents. 3 of the incidents occur for each single 

failure, the last incident for the 2 failures that occurred 

at the same time. 

The corrective maintenance time for an instance (Total 

Instance Manhours) is the sum of the actual working 

time for all failures and the travel time for all incidents. 

The working time for each failure is called Mean Time 

to Repair (MTTR) and depends on the product and the 

type of failure. The travel time is based on the distance 

of the plant to the service base. For each instance, the 

technician has to travel twice the distance (back and 

forth). The Travel Cost for an incident includes kilometer 

allowance for the distance travelled and the daily allowances 

for the technician. 

The global personnel cost for corrective maintenance 

is the sum of all Total Instance Manhours reduced by the 

service hours provided as part of the contract multiplied 

by the hourly rate. Added to this value are the total travel 

costs for all incidents. 

Since there are many different possible constellations 

in a service incident, a few simplifications have to be 

made. In our case, we assume that all problems will be 

handled by a single service technician who will drive to 

the plant, work 8h a day, and will stay overnight between 

days regardless of distance. Also, typically each failure 

is considered to result in its own incident, i.e. there are 

no synergy effects for repair. The only exceptions are 

redundant components that fail at the same time, which 

can obviously be handled in one go. 

Downtime cost for corrective maintenance is based on 

the lengths of incidents. However, the time for travelling 

back is not included, since the problem is already fixed 

then. The incident length is the work time, plus travel 

time and response time. Response time is influenced by 

the service contracts for Corrective Maintenance and 

Spare Part Delivery. Obsolescence has a big influence 

here, i.e. there might be no acceptable guaranteed times 

for the delivery of obsolete parts. Since it is an unlikely 

case, the model ignores the possibility that a part will be 

unavailable at all. 

3.2. Preventive maintenance Cost 

As has been mentioned above, the main cost factor for 

preventive maintenance is personnel costs. Preventive 

maintenance can involve many different tasks such as 

cleaning components, replacing wearing parts, and applying 

software patches or firmware updates. Depending 

on the plant operator’s domain, other activities may be 

included. Preventive maintenance activities differ from 

corrective maintenance in that, in our model, they can 

mostly be planned in advance and that they don’t actually 

affect the component’s life expectancy. For the latter 

reason, comparing the impact of different levels of service 

quality is currently beyond the scope of our model. 

Due to its nature, the preventive maintenance personnel 

cost is relatively easy to calculate. The time needed for all 

preventive maintenance activities is summed up and treated 

as a single service mission. The overhead for travel is 

added in the same fashion as for corrective maintenance. 

determine 

number of 

failures 

ignore 

Warranty 

Cases 

 

Relevant 

failtures 

Calculate total 

spare Parts 

Cost 

determine 

spare Parts 

Cost 

 

spare Part 

Cost 

fiGURE 4: Spare Part Cost for an Instance 

60 


5 / 2011

Due to its predictable nature, downtime cost can be 

avoided by using scheduled phases of no production. In 

24/7 systems, redundancy typically allows preventive 

maintenance without downtime as well. For these reasons, 

we consider preventive maintenance downtime to 

be an unnecessary element in the cost model. Also, the 

activities described as preventive maintenance involve 

little material and therefore the aspect of material costs 

can also be neglected. 

3.3. Cost of CHange 

Changes to the system (in which we include the original 

creation of the system) are important cost drivers. There 

are two aspects to consider; the acquisition of the new 

components and the installation. 

The acquisition costs for a planned change project 

consists mostly of the purchase price of the components. 

For software components, there is a recent trend 

to offer these as part of subscription programs, which 

grant a discount on the price (up to 100%). There is 

some overhead for ordering and order tracking. However, 

even in complex cases, this amount is only of 

minor impact. 

Of similar impact and greater complexity are the costs 

for installation that consist of costs that can be assigned 

directly to specific components and overhead costs. The 

algorithm for determining the installation costs is 

shown in Figure 6. For all components, the time required 

for installation is determined. To these costs, two 

overhead blocks are added. First, there are the costs for 

travel (comprised of the time needed, hotel and kilometer 

cost). Second, there are the costs for engineering. 

Determining the exact costs would require a detailed 

analysis of the actual project, which is something that 

would add a great level of complexity to the system. In 

particular, engineering overhead not only affects the 

Perform for 

all hardware 

instances 

individual Hardware instance 

Global 

ignore 

Warranty Cases 

determine 

number of 

failures 

Create 

incidents 

 

Response time 

Calculate 

travel Cost 

per incident 

{all instances} 


Calculate total 

travel Cost 

 

Relevant failtures 

 

mttR 

 

incidents 

 

travel Cost 

Look up free 

Hours from 

service Contract 

 

free Hours 

Calculate Work 

manhours 

{all failures} 

Calculate travel 

manhours 

{all incidents} 


Calculate time 

to Pay 

 

Hourly Rate 

 

total instance 

manhours 

 

Hours to lay 

 

total travel Cost 

fiGURE 5: Corrective Maintenance Personnel Cost 

Compute 

Personnel Cost 


5 / 2011 

61

hauPtbEitrag 

newly installed components but also the existing system 

that has to be changed to accommodate its new elements. 

The model uses a rule of thumb, where the engineering 

overhead is a value depending on the system size (i.e. 

there is a lookup-table for engineering costs). 

3.4. Costs for service Contracts 

Besides the actual costs for corrective and preventive 

service, there are typically standby contracts, coupled 

with certain service level agreements. In our model, 

the costs for service contracts are considered to be 

personnel costs. Each service contract is tied to an 

annual fee which can also depend on system circumstances. 

For example, service costs might depend on 

the number of controllers and might also depend on 

the age of a product. In the case of ABB, products are 

considered to be either active, classic (no longer sold 

but still supported), limited or obsolete. The price for 

service contracts can depend on the “Life Cycle Phase” 

of a product as well, making maintenance of classic 

products more expensive than that of active ones. 

It should be noted that the model is currently not designed 

to allow modeling do-it-yourself service. Internal service 

units’ costs can not be appropriately assigned to a single 

system if they are responsible for more than one. A detailed 

discussion of this phenomenon is beyond the scope of this 

paper but it should suffice to say that it only makes sense 

cost-wise for a plant operator to replace internal service to 

avoid an increase in internal capacity or if the decrease in 

needed service would allow reducing the work force. Having 

external service providers taking over tasks while the 

own employees sit idle is not going to save any cost. 

fiGURE 6: 

Costs for 

Installation 

determine instances that Change 

{all Changing instances} 

SCEnARiO 1 

multiply the new Product´s 

installation time (based on Life 

Cycle Phase) With Hourly Rate 

230‘ 

{all Changing instances} 

add all installtion Costs 

Calculate travel 

time from 

distance 

Look up engineering Cost 

based on system size 

multiply distance 

With Kilometer 

allowance 

SCEnARiO 2 

add all 

installation 

times 

Calculate 

number of 

nights and days 

from total time 

260‘ 

Calculate Hotel 

and daily 

allowance Cost 

add overhead to 

installation Cost 

fiGURE 7: Comparison of Expected Cost 

62 


5 / 2011

Automatisierungstechnische Praxis 

Genießen Sie das beruhigende Gefühl, bestens informiert zu sein. 

atp edition erscheint in der Oldenbourg Industrieverlag GmbH, Rosenheimer Str. 145, 81671 München, GF: Hans-Joachim Jauch 

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einverstanden, dass ich per Post, Telefon, Telefax oder E-Mail über interessante Verlagsangebote informiert werde. Diese Erklärung kann ich für die Zukunft jederzeit widerrufen.

hauPtbEitrag 

Life Cycle Plan 1 

Life Cycle Plan 2 

fiGURE 8: Comparison of Value at Risk 

3.5. Costs for Leasing 

Costs for leasing are an annual fee that depends on the 

number of components that are leased. Currently, leasing 

is only common for PCs but within the model it 

can also be applied to other types of equipment and 

even software. 

4. using tHe Cost modeL 

The cost model described above is focused on individual 

scenarios. During a planning phase, it is not so 

much the individual scenarios that are of interest but 

a general prediction of the future. For this purpose, the 

cost model can be used in conjunction with Monte Carlo 

simulation. A series of random “life cycle histories” 

can be created based on the probabilities given for the 

various failure events. These can be used to calculate 

two different values that allow dedicated statements 

about different life cycle plans. 

The expected life cycle costs are the average of all generated 

scenarios’ life cycle costs. It allows a quick comparison between 

two life cycle plans. However, it does not take into account 

the risk associated with a particular life cycle plan. 

The value at risk 

is the amount of cost 

that will not be surpassed in x% of all simulated cases. 

It is a good indicator for the risk associated with a particular 

life cycle. 

Figure 7 and Figure 8 show an example, where two possible 

life cycle plans are compared. Scenario 1 is a DCS that 

uses a controller with a short product life cycle which is 

replaced by its successor model in 2014. Scenario 2 depicts 

the use of a controller with a long life cycle support, thus 

requiring no planned exchange. 

The comparison of expected costs per period in Figure 

7 gives an impression of what cost categories will impact 

our life cycle in which periods. It can be seen that life 

64 


5 / 2011

cycle plan 2 has a higher acquisition costs in period 2008 

but has lower costs in most of the following periods. 

However, a lower average costs do not necessarily mean 

lower costs in most or all of the possible cases. Figure 8 

shows histograms of all simulation scenarios for both 

plans. The resulting life cycle scenarios are grouped by 

resulting LCC. As can be seen, the long-term support also 

pays off in worse cases than expected on average. For example, 

with life cycle plan 2, the cost will be less than 

922’000 € in 95% of the cases. This is no longer an average 

autorEn 

DiPL.-infORM. (fH) 

MARCEL Dix (geb. 1975) ist 

wissenschaftlicher Mitarbeiter 

im Forschungsprogramm 

Industrial Software Systems 

am ABB Forschungszentrum 

in Ladenburg. 

ABB AG forschungszentrum Deutschland, 

Wallstadter Str. 59, D-68526 Ladenburg, 

Tel. + 49 (0) 6203 71 62 47, 

E-Mail: marcel.dix@de.abb.com 

DR. RER. POL. RALf GiTzEL 

(geb. 1975) ist wissenschaftlicher 

Mitarbeiter im 

Forschungsprogramm 

Industrial Software Systems 

am ABB Forschungszentrum 

in Ladenburg. 



Tel. +49 (0) 6203 71 61 08, 

E-Mail: ralf.gitzel@de.abb.com 

DiPL.-inG. CHRiS M. STiCH 

(geb. 1970) ist Gruppenleiter 

der Forschungsgruppe Life 

Cycle Science am ABB 

Forschungszentrum in 

Ladenburg. 



Tel. +49 (0) 6203 71 62 11, 

E-Mail: christian.stich@de.abb.com 

value but one that includes scenarios where we experience 

a lot more problems than expected. However, with life 

cycle plan 1, these extreme scenarios hold higher costs. It 

is possible that a life cycle plan comparison will not yield 

such definite results. In those cases, it becomes necessary 

to reach a decision that is based on the risk strategy of the 

company. For example, risk-averse plant operators will 

accept increased expected costs over a high value at risk. 

5. ConCLusions 

In this article, we have shown a framework for the calculation 

of life cycle costs for distributed control systems. 

Its cost model is based on industry standards and 

similar models in related industries. Additionally, it has 

been adapted to the peculiarities of the domain of process 

automation such as evolution and obsolescence. Our 

approach has been used in several pilot cases and will 

serve as a basis for a sales tool allowing customers to 

choose the solution that benefits them the most over the 

whole life cycle. 

ManuSKriPtEingang 

06.10.2010 

LitEraturE 


[1] VDMa 34160:2006-06 Forecasting model for lifecycle costs of machines and 

plants. technical report, VDMa, Frankfurt, 2006 

[2] VDi 2884: Purchase, operating, and maintenance of production equipment 

using Life Cycle Costing (LCC), 2005 

[3] Fuller, Sieglinde, K. and Petersen, Stephen r.: Life-Cycle Costing Manual 

for the Federal Energy program. technical handbook 135, uS Department 

of Commerce, boulder, Colorado, uSa, 1995 

[4] Din En 60300-3-3 Dependability management – Part 3-3: application guide 

– Life Cycle Costing, 2004 

[5] Kirvin, bill: tCo – applied Methodology tools. http://amt.gartner.com/ 

tCo/MoreabouttCo.htm, 1987, last visited 2007-12-1 

[6] Carpet and rug institute: understanding the real Cost of Carpet, 

http://www.facilitiesnet.com/bom/article.asp?id=2021, 2004, last visited 

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[7] Dervisopoulos, Marina; Schatka, anne; torney, Meike; Warwela, Marc: Life 

Cycle Costing im Maschinen- und anlagenbau, in: industrie Management 

22, gito Verlag, pp. 55-58, 2006 

[8] Siemens: Life Cycle Cost analysis of Process auto mation Systems, 

technical Paper, 

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last visited 2008-06-27 

[9] h auff, thomas: Prozessleitsysteme: Lebenszyklus und Qualität, 

atp 2006 (48), pp. 43-42, 2006 

[10] Peter Sandborn: trapped on technology’s trailing Edge, iEEE Spectrum 

4.08, 2008 


5 / 2011 

65

impressum / vorschau 

impressum 

vorschau 

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Mess- und Automatisierungstechnik) 

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Automatisierungs technik 

der Prozessindustrie). 

Redaktion: 

Gerd Scholz 

(verantwortlich) 

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Technische Universität München 

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Fachredaktion: 

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66 


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für Ihre tägliche und zukünftige Arbeit. 

1. Auflage 2010, ca. 282 Seiten mit CD-ROM, Broschur • € 179,- • ISBN: 978-3-8356-3221-9 


€ 169,- 

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