Leistungsnachweis Mathematik 1 Wintersemester 2007/2008

Leistungsnachweis Mathematik 1
Wintersemester 2007/2008
Prof. Dr. Rainer Sawatzki
5. Februar 2008
Name, Vorname
Matrikelnummer
Aufgaben 7
erreichbare Punkte 100
Punkte:
Ergebnis:
Hinweise zur Klausur
Schriftliche Unterlagen sind grundsätzlich nicht erlaubt (Script, Bücher, eigene Aufzeichnungen).
Nur die Benutzung einer Formelsammlung ist erlaubt.
Die Nutzung eines Taschenrechners ohne Funktionsplotter ist erlaubt.
Kommunikation mit anderen ist verboten (auch Laptop, Handy, eMail, etc.).
Ergebnisse
Der Rechenweg, der zu den Ergbenissen geführt hat, muss für jede Lösung nachvollziehbar
dokumentiert werden.
Die schriftlichen Ergebnisse werden am Ende der Klausur eingesammelt und anschließend
bewertet.
Es gelten nur die abgegebenen schriftlichen Ergebnisse; mündliche Erläuterungen sind
für das Ergebnis nicht relevant.
Numerische Ergebnisse müssen mit 4 signifikanten Stellen angegeben werden, wenn
nichts anderes vorgegeben ist.
1

1 Funktionen
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
1.1 Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion: 9 Punkte
1. f 1 (x) = tan(x) − cos(x) N f =
1.2 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen: 6 Punkte
1. lim
x→1
x 2 + x − 2
x − 1
=
2. lim
x→1
x 3 + x 2 − 4x − 4
−x 3 − x 2 + 4x + 4 =
2 Differentialrechnung
2.1 Diskutieren Sie die Kurve f(x) = x √ 2 − x 2 , D f = [− √ 2; √ 2].
30 Punkte
Zur Kurvendiskussion gehören: Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Minima und Maxima,
Wende- oder Sattelpunkte, Asymptote, Bildmenge, Skizze.
2

WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
f(x) = x √ 2 − x 2 , D f = [− √ 2; √ 2]
3

WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
2.2 Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion f(x) = e x − 3x mit
Hilfe des Newton-Verfahrens vom Startwert x 0 = 0 aus.
15 Punkte
1. Prüfen Sie, ob der Startwert der Anfangsbedingung genügt.
2. Führen Sie 3 Iterationen aus und geben Sie jeweils das Ergebnis mit 6 signifikanten
Stellen an.
4

3 Integralrechnung
WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
3.1 Berechnen Sie die bestimmten Integrale: 15 Punkte
1.
2.
3.
∫ 3
0
∫ 4
0
∫ 2
0
x 2 − 5x + 8 dx =
√
16 − x2 dx =
xe −x dx =
3.2 Berechnen Sie das Volumen der “Zwiebel”, die durch Rotation
der Funktion f(x) = x 2 (x − a) im Intervall [0; a] um die x-Achse
entsteht.
10 Punkte
5

WS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 1
3.3 Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals
∫ 4
1
ln(x)dx
näherungsweise mit Hilfe der zusammengesetzten
Simpson-Regel für n = 6. (6 Intervalle – 7 Stützstellen)
15 Punkte
Anzahl der Aufgaben: 7
Erreichbare Punkte: 100
6