4. Tiefenbestimmung von Absorptionsänderungen in einem ...

4. Tiefenbestimmung
N tot (ρ) = ∑ i
W i (4.7)
berücksichtigt werden. In diesem Fall wird die Summe über alle Photonen
ausgeführt, die den Detektor erreichen.
Die mittlere Photonenflugzeit ist gegeben durch (s. (2.8))
〈t〉(ρ) =
∑ ∞
k=0 N k(ρ)t k
∑ ∞
k=0 N k(ρ) . (4.8)
Eine Absorptionsänderung ∆µ a,j ≠ 0 in einer oder mehreren Schichten beeinflusst
die in den Gleichungen (4.6), (4.7) und (4.8) beschriebenen Messgrößen.
Die entsprechenden veränderten Grössen werden hier mit Nk ⋆(ρ), N tot(ρ) ⋆ und
〈t〉 ⋆ (ρ) bezeichnet.
Um den Einfluss einer Absorptionsänderung auf eine Laufzeitverteilung auszudrücken,
ist es hilfreich, den Quotienten N ⋆ /N mit Gleichung (4.6) zu
berechnen und den Term exp(− ∑ m ∆µ a,ml im ) zu entwickeln. Dies liefert
∑
Nk ⋆(ρ)
N k (ρ) = i
′ W i
∞
∑
q=0
( 1
(−1)
q!)
q ( ∑ ∆µ a,m l im ) q
m
∑
. (4.9)
′ W i
Für die lineare Entwicklung (q = 1) der Gl. (4.9) führen wir eine zeitabhängigen
mittlere partielle Pfadlänge (zMPP) in der j-ten Schicht ein. Diese ist
definiert über
i
∑
′ l ij W i
〈l j 〉 k (ρ) =
i
∑ . (4.10)
′ W i
Wieder wird der Strich an der Summe verwendet, um eine Unterscheidung
von der zeitunabhängigen mittleren partielle Pfadlänge (MPP) 〈l j 〉(ρ) deutlich
zu machen. Diese können wie in (4.10) definiert werden, mit dem Unterschied,
dass die Summe über alle detektierten Photonen, unabhängig von
ihrer Flugzeit t k , ausgeführt wird.
i
50