Photonenstatistik - Leibniz Universität Hannover

Rüdiger Scholz (Hrsg.) 

Crashkurs – Photonenstatistik 

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover


Inhaltsverzeichnis 

Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2 

Literatur ..............................................................................................................................2 

1. Klassisches Licht................................................................................................ 3 

1.1 Darstellung...............................................................................................................3 

1.2 Erzeugung thermischen Lichts...............................................................................3 

1.4 Interferenz................................................................................................................4 

1.5 Rauschen thermischen Lichts .................................................................................6 

1.6 Quadraturamplituden des Lichts ............................................................................7 

2. Photonenstatistik................................................................................................ 7 

2.1 Thermisches Licht...................................................................................................7 

2.2 Quantisierung des Ein-Moden-Feldes....................................................................8 

2.3 Kohärente Zustände.................................................................................................9 

2.4 Graphische Darstellung.........................................................................................10 

3 Anhang: Bose-Einstein-Verteilung................................................................... 11 

Literatur 

1. H. Paul: Photonen; Teubner, Stuttgart 1999 

2. H.-A. Bachor; T. C. Ralph: A Guide to Experiments in Quantum Optics, Wiley-VCH (1998) 

3. Rodney Loudon: The Quantum Theory of Light, 3rd ed.; Oxford Science Publications, 2006 

Hinweis zur Quellennutzung: Auch wenn ich bemüht war, wirklich sämtliche Quellen deutlich zu 

benennen, so ist leider nicht auszuschließen, dass einzelne Gedankengänge eingeflossen sind, deren 

Herkunft ungenannt blieb, weil sie nicht mehr präsent war. Ich bitte dies zu entschuldigen. Nach einem 

entsprechenden Hinweis würde ich das angemessen korrigieren. 

© Dr. Rüdiger Scholz Juni 2009 Leibniz Universität Hannover 2


1. Klassisches Licht 

1.1 Darstellung 

Eine Lösung der Maxwellschen Wellengleichung für isotrope Dielektrika 

 

1 

c t 

2 

2 

 

Ert , 

Ert 

2 

, 0. 

 

ist eine elektromagnetische Welle der Form: 

1 

E x, t E0 ar , texpi 0tc. c. 

e p r , t 

2 

 

; (1a) 

0 ist das Zentrum des Frequenzspektrums, E 0 ist die reelle Feldstärke, e p 

der reelle Polarisationseinheitsvektor; 

Modulationen von Amplitude und Phase werden durch die dimensionslose komplexe Größe 

a r t a r t r t 

, 

, expi , 

. (1b) 

beschrieben. Ohne ernste Einschränkungen für die folgenden Überlegungen gehen Sie bitte vereinfachend 

von einer Ausbreitung in x-Richtung und einer konstanten linearen Polarisationsrichtung aus: 

1 

Ex, t E0 ax, texpi 0tc. c. 

 

2 

E xt , exp i t E xt , exp i 

t 

 

 

 

 

, 

, . 

( ) ( ) 

0 0 0 

( ) ( ) 

E x t E x t 

0 

 

(1c) 

E (+) und E ( ) werden als positiver bzw. negativer Frequenzanteil des elektrischen Feldes bezeichnet. 

1.2 Erzeugung thermischen Lichts 

Modellvorstellung: Eine große Zahl von Atomen strahlen unabhängig von einander kurze Wellenzüge aus, 

deren Länge kurz gegen die Beobachtungszeit t B ist. 0 liegt im optischen Bereich, messbar ist daher nur 

eine mittlere fluktuierende Intensität. Stöße führen zu chaotisch verteilten Phasensprüngen zwischen den 

ausgestrahlten Wellenzügen. Die thermische Bewegung der strahlenden Atome führt durch den 

Dopplereffekt zu einer zusätzlichen Vergrößerung der spektralen Breite. All diese Fluktuationen 

erscheinen als Intensitätsschwankungen und spektrale Breite. Es gibt kein Licht mit scharfer Frequenz 

und ohne Amplitudenrauschen. 

1.3 Messgröße Intensität 

Das Messsignal ist das Ergebnis eines Energieübertrags vom Licht zum Detektor. Je nach Beobachtungsdauer 

t B mitteln sich unterschiedliche Zeitabhängigkeiten heraus. Auch die schnellsten derzeit verfügbaren 

Detektoren können Schwingungsdauern im Bereich von 10 15 s nicht folgen. Sie messen also (meistens) 

die über eine Zeitdauer T (T umfasst „einige“ Perioden der Trägerwelle) gemittelte Intensität I. Dabei 

bleiben die niederfrequenten Fluktuationen der Amplituden weiterhin sichtbar: (vgl. Crashkurs Optik) 

T 

t 

2 

1 

2 

I t r 

0 

c Et' 

dt 

T 

. (2) 

T 

t 

2 



Setzen Sie nun quasimonochromatisches Licht voraus (d. h.: die Frequenzbreite ist klein gegen die Mittenfrequenzf 

« f 0 ), dann ergibt Gl. 2 mit Gl. 1: 

T 

T 

t 

t 

2 2 

1 2 1 ( ) ( ) 

2 

0 

' d 

r 0 ' d 

T 

 

T 

t 

 

T 

t 

t 

2 2 

T 

t 

2 

1 ( )2 ( )2 ( ) ( ) 

0 

c E t' E t' 2 E t' E t' dt 

t 

 

T 

t 

2 

1 

t 

T 

2 

2 1 

T 

0 0 

1 

2 

t 

T 

2 

 

 

 

I t c E t t c E t E t 

r 

r 

 

 

 

( ) ( ) ( ) ( ) 2 

r 

0 c E t' E t' d t' 2r 

0 c E0 E0 

r 

c E a 

t 

 

2 

(3) 

 

 

Die Anteile mit optischen Frequenzen mitteln sich dabei heraus. 

Die Fluktuationsraten (im Prinzip also die zeitliche Ableitung von |a(t)| 2 ) bestimmen eine 

charakteristische Zeit, unterhalb die Intensität konstant ist. Diese Zeit ist die Kohärenzzeit koh der 

beteiligten Lichtwelle(n). Im Großen und Ganzen gilt f koh 1; wobei f die spektrale Breite des 

Lichts ist. 

1.4 Interferenz 

Zwei Felder E 1 (x, t) und E 2 (x, t) sollen nun überlagert und die Bedingungen möglicher Interferenz 

abgeleitet werden. Phasen und Amplituden variieren langsam im Vergleich zu optischen Frequenzen: 

a(tT/2) a(t+T/2) a(t): 

( ) 1 ( ) 1 ( ) 

E t E t E t E 

gesamt 

1 2 

0 

a1 t k1x 1t E0 a2 t k2x 2t 

2 2 

( ) ( ) 

expi i 

expi i 

 

1 

t 

T 

2 

2 

( ) ( ) 

I r 

0 

c E t E t 

t 

T 

 

1 

t 

T 

2 

1 

t 

T 

2 

' ' d ' 

( ) ( ) ( ) ( ) 

 

 

2 

 

 

c E t' E t' E t' E t' d t' 

r 

r 

 

0 1 2 1 2 

T 1 

t 

T 

2 

1 

t 

T 

2 

2 

2 2 ( ) ( ) 

0 1 ' 2 ' ' 

1 2 

T 

 

1 

t 

T 

2 

 

 

c E t E t E t E t' E t' E t' d t' 

1 2 1 2 

 

 

 

( ) ( ) 

 

2 1 

1 

 

t 

T 

 

2 

1 ( ) 

2 2 2 1 

* 

 

r 

0 c E0 1 2 1 ' 2 ' expi i ' . . d 

2 

 

a t a t a t a t kx t c c t 

T 

 

 

' 

 

1 

 

t 

T 

 

 

2 

 

1 

( ) 

2 2 

r 

0 c E 

0 

a1 t a2 t 2 a1 t a2 t coskx t 

 

2 

 

 

I I 2 I I cos kxt 

 

 

(4) 



Gl. 4 beschreibt Interferenz zwischen den Wellenzügen. Ist z. B. zeitabhängig, ist das Interferenzmuster 

nicht stationär und verwischt. Die Bedingungen stationärer Interferenz, also Interferenz bei langer 

Beobachtungsdauer t B , lassen sich noch genauer untersuchen. Nehmen Sie dazu an, dass die beiden 

Lichtwellen mit gleicher Helligkeit, Mittenfrequenz und Richtung, jedoch mit einem Laufzeitunterschied 

interferieren. In diesem Fall wird die Interferenzfähigkeit allein durch mangelnde zeitliche Kohärenz 

beschränkt: k = = 0; = 0 . Gl. 4 schreibt sich dann: 

1 1 

 

t 

T t 

T 

 

2 2 

1 ( ) 2 2 1 * 1 * 

 

I 

Schirm r 

0 c E0 1 2 1 

' 

2 

' d' 

1 

' 

2 

' d' 

2 

 

a a a t a t t a t a t 

T 

 

1 T 

 

 

t 

 

1 

 

t 

T t 

T 

 

 

2 2 

 

1 

( ) 2 

* * 

r 

0 c E0 2 

a a1 t a2t a1 t a2t 

 

2 

1 

( ) 2 (1) (1)* ( ) 2 

(1) 

r 

0 c E0 a 2 g g r 

0 c E0 

a 1Reg 

 

2 

Hier wurde die Korrelationsfunktion 1. Ordnung g (1) () eingesetzt 1 : 

g 

(1) 

 

 

* 

t 

 

* 

Et E 

t 

Et E 

. (5) 

 

 

 

|g (1) ()| = 1 für alle : die Welle ist kohärent; 

|g (1) ()| = 0 für alle : die Welle ist inkohärent; 

0 |g (1) ()| 1 für mindestens ein : die Welle ist partiell kohärent. 

Beispiele 

Kontrast im Interferometer: Die Sichtbarkeit K des Interferenzmusters hat direkten Bezug zu g (1) (): 

 

 

1 r 

 

1 

 

1 r 

 

1 

 

 

( ) 2 (1) ( ) 2 

(1) 

0 0 0 0 

max 

I r 

c E a g c E a g 

min 

 

( ) 2 (1) ( ) 2 

(1) 

max 

 

min r 

0 

0 

0 

0 

 

I 

K 

I I c E a g c E a g 

 

g 

(1) 

. 

K hängt von der Verzögerungszeit τ ab. Die Funktion g (1 )(τ) charakterisiert alle Situationen in denen die 

Erzeugung eines Interferenzfeldes statistische Merkmale trägt. So wird auch die Kohärenz von 

Materiewellen eines angeregten Bose-Einstein-Kondensats durch g (1 )(τ) erfolgreich beschrieben. 

Phase und Amplitude fest: Aus E(t) = E 0 exp(it+i)+c.c. folgt g (1) () = exp(i) und |g (1) ()| = 1. 

Thermisches Licht: E(t) = E 0 exp(it+i(t))+c.c.. Die Phase (t) springt durch Atom-Atom-Stöße 

zufällig zwischen 0 und 2. Die Wahrscheinlichkeit P() für einen stoßfreien Flug der Dauer ist: 

P 

 

 

1 

exp 

. 

 

0 

0 

1 Die Korrelationsfunktion 2. Ordnung beschreibt Korrelationen zwischen den Intensitäten (wichtig für die Beschreibung von Photonbunching): 

g 

(2) 

* * 

I t It 

 

EtE tEt 

E t 

 

 

 

 

2 

* 

2 

I 

t E 

t E t 



0 ist hier die mittlere stoßfreie Zeit, also im Wesentlichen identisch mit der Kohärenzzeit koh . Für jedes 

strahlende Atom schreibt man: 

g 

(1) 

 

expi exp i 

t 

t 

 

 

Alle Atome, die bereits einen Stoß hinter sich haben, tragen nicht mehr zum Signal bei (t < ). Der Anteil, 

der noch keinen Stoß hinter sich hat, ist 

 

 

1 t 

n 

Ptdt 

exp dt 

exp 

 

 

0 0 

0 

 

Für die Atome, die noch nicht gestoßen haben, ist (t+) = (t) also exp(i((t+)(t))) = 1. Es gilt also 

(1) 

 

(1) 

 

g expin1 expi ; g 

exp 

. 

 

0 

0 

Für Verzögerungszeiten > 0 verschwinden die Interferenzmuster schnell. 

1.5 Rauschen thermischen Lichts 

Denken Sie sich M strahlende Atome, deren abgestrahlte Wellenzüge durch Stoßprozesse zufällige 

Phasensprünge erleiden. Die mittlere Intensität des abgestrahlten Feldes ist dann (vgl. Gl. 3): 

T 

t 

2 

1 

2 

I t r 

0 

c 

Et' 

dt 

T 

 

T 

t 

2 

2 

2 2 2 2 

r 0 0 m r 0 0 

M 

1 1 

cE a t exp( i t 

cE a t M. 

2 2 

Alle gemischten Produkte mitteln sich wegen der zufälligen Phasen heraus. Ein Maß für das Rauschen ist 

die Varianz der Intensität Var(I) = I 2 I 2 . Etwas mühsamer aber ganz analog erhält man 

1 

 

I t c E a t t 

2 

M 

2 2 2 

r 

0 

0 expim 

1 

2 

 

r 

0 cE0 

a t M M M 

2 

 

2 

2 

2 

2 1) 

2 

2 2 

0 0 

1 

 

r 

 

cE a t M M 

2 

 

2 

2 

 

und damit für das Rauschen der thermischen Intensität Var(I) = I 2 I 2 = I 2 : 

1 

Var I I t I c E a t M M 

2 

 

2 2 

2 2 2 

r 

0 

0 

2 

für große M 1 

2 2 2 2 

r 

0 c E0 

a 

t M I 

 

 

2 

 

2 

4 

. 



1.6 Quadraturamplituden des Lichts 

Zu einer anschaulichen Zeiger-Darstellung der Welle gelangen Sie durch eine Zerlegung in die zwei 

orthogonalen sog. Quadraturamplituden, X = (a * (x, t) + a(x, t)) und Y = i((a * (x, t) a(x, t)) 

1 

Ex, t E0 ax, texpi 0tc. c. 

 

2 

1 

 

 

* * 

E0 axt , a xt , cos0ti a xt , axt , sin 0t 

(7) 

2 

 

 

X 

Y 

 

1 

E0 Xx, tcos 0tYx, tsin 0t. 

2 

Die Phase der Welle erscheint in dieser Darstellung als Phasenwinkel , der die Verteilung der 

Wellenanteile zwischen den Quadraturamplituden beschreibt: 

 

tan Y 

 

X 

. 

In dieser Darstellung entspricht einer Welle ein 

Punkt (X|Y) im Phasendiagramm. Zeitabhängige 

Phasen und Amplituden bedeuten Bewegungen 

dieser Punkte. Statistische Verteilungen 

entsprechen Punktwolken. Zu Veranschaulichung 

zeigt Abb. 1 ein unrealistisches Beispiel: 

|a| = 2+a und = /4+; und und a 

sind normalverteilt mit Erwartungswert 0 und 

den Breiten = 0,1 bzw. a = 0,1/2. 

Interferenz und unterschiedliche Photonenstatistik 

ist im Phasendiagramm anschaulich 

darstellbar. 

1 X und Y gaussverteilt 

2. Photonenstatistik 

Eine typische Frage der Photonenstatistik ist: Wie viel Photonen n(t;T) misst man in einem vorgegeben 

Zeitintervall T um den Zeitpunkt t? Die Antwort unterscheidet stark zwischen unterschiedlichen 

Lichtarten. 

2.1 Thermisches Licht 

Betrachten Sie wieder ein (linear polarisiertes) thermisches Strahlungsfeld. Unser atomares Gas befinde 

sich im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur . n Photonen mit der Energie hf realisieren den 

Zustand mit der Energie E n = nhf (= n Photonen der Energie hf befinden sich im Modenvolumen) mit einer 

Wahrscheinlichkeit p(E n ). Im thermischen Gleichgewicht gilt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung 

pE ( ) 

n 

 

 

exp E / k 

 

 

 

n B 

exp Em 

/ kB 

. 

m 

Setzen Sie hier E n = nhf und wählen Sie Abkürzung U = exp(hf/k B ); Sie erhalten dann mit der Formel 

für den Wert einer geometrischen Reihe 



n m n 

 

 

 

B 

 

 

1 1 

 

pE ( 

n 

) exp nhf/ kB exp mhf/ kB U U U 1U 

m 

m 

1exp hf 

/ kB 

 

 

. 

exp nhf / k 

Die mittlere Photonenzahl n in der Mode errechnet sich dann (Strahlung des schwarzen Körpers): 

 

lm 

 

1 

 

n mP m m U U 

1 m 

 

UmU 1 

U 

U U 

 

m 

U m 

U 1 1 

 

. 

1 

1 

1 U U 1 exp hf / kB 

m 

 

m 

 

m 

(8) 

Sie können damit die Formel für die Wahrscheinlichkeit auf Photonenzahlen n als Argument umschreiben: 

 

pn 

p E 

n 

 

n 

n 

n 

n 1 1 

. 

Das Maximum dieser Verteilung (= Bose-Einstein-Verteilung) liegt bei Null. Die Wahrscheinlichkeit im 

Modenvolumen gar kein Photon zu finden ist größer als die Wahrscheinlichkeit für jede andere bestimmte 

Zahl. Die Varianz der Photonenzahl ist 

2 2 2 

Var( n) 

n n n n n 

. (6) 

Bei thermischem Licht finden Sie starke Schwankungen der Photonenzahl: Die Varianz und somit die 

Fluktuationen sind größer als der Mittelwert der Verteilung. 

Anmerkung: Diese Ergebnisse gelten nur für Beobachtungszeiten t B < koh und für nur eine Mode. Um 

ein Lichtfeld größerer messbarer Intensität zu beschreiben, müssen Sie viele Moden mit unterschiedlichen 

Energien/Frequenzen und große Messzeiten t B zulassen, so dass große Photonenzahlen möglich sind: 

n » 1. Das hat eine konstante mittlere Intensität I =nhf/t B zur Folge. Als Antwort auf die Frage nach 

der Wahrscheinlichkeit p n (t B ) im Intervall t B genau n Photonen zu messen, dann finden Sie jetzt eine 

Verteilung mit definierenden Eigenschaft „viele unabhängige Ereignisse mit konstantem Erwartungswert 

n = t B I/(hf)“, die Poissonverteilung 

n 

n 

pn 

tB 

exp n . 

n! 

2.2 Quantisierung des Ein-Moden-Feldes 

Den Ausgangspunkt bildet wieder Gl. 1 

1 

Ext , E0 axt , expi0t 

cc . . 

2 

 

(Kanonische) Quantisierung bedeutet, die klassischen Größen p und x durch entsprechende hermitesche 

Operatoren zur Feldbeschreibung zu ersetzen. Hier ersetzt der Operator â die Feldamplitude a; eine 

beliebige Phase, die bisher im Faktor a(x,t) steckte, wird vor dieser Umwandlung herausgezogen: 



ˆ ( ) 1 ( ) 1 † 

E x, t E ˆ 

0a exp(i0t ikx i ); E x, t E ˆ 

0a exp( i0t ikx 

i ) 

. (7) 

2 2 

Eigenschaften der Feldoperatoren (Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) 

Sie gehorchen der Vertauschungsrelation für Bosonen aa 

ˆˆ† 

, 1ˆ 

. 

Der Hamiltonoperator des Strahlungsfeldes ist 

ˆ 1 † † † 1 1 

ˆ ˆ ˆˆ 

 

 

ˆ ˆ 

 

f nˆ 

 

H h f a a aa h f a a h 

; ˆn ist der Photonenzahloperator. 

2 2 2 

Fock-Zustände: Klassisch unmögliche Feldzustände |n> mit scharfer Photonenzahl aber 

verschwindend geringer mittlerer elektrischer Feldstärke 

aˆ| n 

† 

n| n 1 ; aˆ | n 

† 

n 1| n 1 ; aˆ aˆ| n n| 

n 

 

 

 

n 

† 

aˆ 

| n |0 . 

n! 

† 

n|| aˆ 

n n| aˆ 

| n 0, d. h., der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke für einen Zustand 

scharfer Photonen ist Null. Die Feldphase der Photonenzahlzustände ist völlig unbestimmt. 

Analog zu den Quadraturamplituden konstruiert man die Quadraturoperatoren 

ˆ † ˆ † 

X aˆ aˆ; Y i 

aˆ aˆ 

. 

 

 

2.3 Kohärente Zustände 

Im Rahmen einer anderen Fragestellung sucht man quantenmechanische Zustände eines Ein-Moden- 

Strahlungsfeldes, die den klassischen Zuständen mit definierter Phase und Amplitude möglichst ähnlich 

sind. Da nach der Unschärferelation beim elektromagnetischen Feld quantenphysikalisch die Feldstärke 

und die Phase nie gleichzeitig zu 100 % genau bestimmt sein können, suchen Sie in diesem ein Minimum 

der Feldstärkeschwankungen bei konstanter mittlerer Energie (=Photonenzahl): 

VarExt ( , ) Ext ˆ , Ext ˆ , min. 

2 

2 

 

ˆ † 

N aˆ aˆ 

N fest. 

Die zeitliche Mittelung wird durch den Querstrich angedeutet, eckige Klammern beschreiben hier 

quantenmechanische Erwartungswerte. Einsetzen von Gl. 7 liefert: 

2 

 

ˆ ˆ 

Var( E x, t ) E x, t E x, 

t 

2 

 

ˆ( ) ˆ( ) ( ) ( ) 

ˆ 

E x, t E x, t E x, t Eˆ 

 

x, 

t 

 

2 2 

 

1 2 † † † † 

E0 

aa ˆˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ 

4 

1 2 † † † 1 2 

† 

0 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 ˆ ˆ 

1 

E a a a a a a E ˆ ˆ 

 

 

0 N a a . 

4 2 2 

 

Das Produkt 

ˆ 

ˆ 

â 

† 

a a wird für Eigenzustände von maximal; Eigenschaften der Zustandsfunktion |>: 

 

1. Entwicklung der Eigenfunktion von â nach Photonenzahlzuständen | 

c | n; 

 

0 

 

1|n ; 

2. Wirkung des Vernichtungsoperators: aˆ| c ˆ 

na| n cn n| n1 cn1 

n 

0 1 0 

n 



 

3. | cn 

| nsollen Eigenzustände zu â sein, also aˆ| c n 

| 

n; 

0 

4. Normierung der Eigenzustände von â : 

 

0 

 

* 

2 

cmcn 

m n cn 

. 

0 0 0 

| | 1 

n 

 

Vergleich von (3) und (4) liefert cn1 n1 

cn 

also cn c 

n1 ... 

c0. Mit (4) ergibt sich 

n n! 

 

2 2 

2 n 

c 2 2 

n 

c0 c0 

xp 

0 0 n! 

. 

1 e 

 

 

2 

 

n 

 

 

Einsetzen in (1) liefert die gesuchten Zustände: | exp | n 

2 . (8) 

 

0 n! 

Eigenschaften 

Kohärente Zustände (man nennt sie nach R. GLAUBER auch Glauberzustände 2 ) sind hier als 

† 

Eigenzustände des Vernichtungsoperators â eingeführt worden geht das überhaupt?. â kann 

keine Eigenzustände besitzen, da er die Photonenzahl um 1 erhöht. Der entstandene neue Zustand 

kann also nicht der ursprüngliche sein. Der Vernichtungsoperator dagegen verringert die maximale 

Teilchenzahl um 1. Da damit jedoch nur die Mischung der Basiszustände verändert wird, ist damit 

nicht grundsätzlich ausgeschlossen, dass â Eigenzustände besitzt. Man spricht auch von Rechts- 

† 

Eigenzuständen. â hat entsprechend Links-Eigenzusände. 

Kohärente Zustände haben keine festen Photonenzahlen. Berechnet man die Modenbesetzungszahlen, 

ergibt sich eine Poissonverteilung mit dem Erwartungswert || 2 

2n 

2 

2 

† 

2 

n| exp mit N | aˆ aˆ| 

 

 

n! 

2 

Die Varianz ist gleich der mittleren Photonenzahl: N . 

2.4 Graphische Darstellung 

Im Phasendiagramm können nun unterschiedliche 

Zustandformen von Licht dargestellt 

werden. 3 Zu jedem kohärenten Zustand | 

gehört eine Fläche mit den folgenden 

Eigenschaften: 

Zentrum: X 

ˆ| 

Yˆ 

 

 

; 

2 

Größe der Fläche ist ˆX 2 Ŷ 

oder 

einfach ein Kreis mit dem Radius ˆX 2 . 

Auch kuriose Zustände, wie z. B. die Zustände 

gequetschten Lichts sind im Phasendiagramm gut 

darstellbar. 

2 Phasendiagramme: a) Vakuumzustand, b) Fockzustand, 

c) kohärenter Zustand, d) gequetschter Zustand 

2 R. J. Glauber, Phys. Rev. 130, 2529; 131, 2766 (1963) 

3 C. M. Caves, Coherence, Cooperation and Fluctuations eds. F. Haake, L. M. Narducci, D. F. Walls, Cambridge Univerity Press (1980); zitiert 

nach Lit. 2 



3 Anhang: Bose-Einstein-Verteilung 

Für Messungen innerhalb des Modenvolumens gilt für Photonen die Bose-Einstein-Verteilung. 

Vorgehensweise: n i Photonen auf g i Zustände mit der Energie E i zu verteilen und das Maximum der 

Verteilungswahrscheinlichkeit zu bestimmen. Beachten Sie beim Abzählen: Für Photonen gilt nicht das 

Pauliprinzip, d. h., sie können identische Zustände besetzen, ohne Einschränkung. 

(I) Die Anzahl unterschiedlicher und unterscheidbarer Möglichkeiten für ein Energieniveau E i n i Photonen 

auf g i Zustände zu verteilen ist gleich der Anzahl der Auswahl von n i Elementen aus g i Möglichkeiten (mit 

Wiederholungen, da das Pauliprinzip nicht gilt): 

 

 

 

ni gi 1 ni gi 

1! 

 

n 

 

. 

i ni! gi 

1 

! 

Diese Prozedur wird für jedes Energieniveau E 1 , E 2 , E 3 , ... durchgeführt. Damit erhalten Sie die 

Wahrscheinlichkeit der Gesamtverteilung als Produkt über alle Einzelverteilungen 

 

 

 

 

ni 

gi 

1! 

P . 

n ! g 1 ! 

i i i 

Mit den Produkten lässt sich schlecht rechnen; da die Logarithmusfunktion streng monoton ist, ist das 

Maximum von lnP auch das Maximum von P: 

 

i 

Stirling 

i i i i 

ln P ln n g 1 ! ln n ! ln g 1 ! 

 

 

 

n g 1 ln n g 1 n lnn g 1 ln g 1 . 

i 

i i i i i i i i 

(II) Die erste Ableitung gleich Null setzen: 

 

 

d lnP ln n g 1 lnn dn 

0. 

i 

i i i i 

 

Nebenbedingungen: Teilchenzahl ist konstant: dn i 

0 und Energie ist konstant Edn 0. 

i i 

 

Mit den Lagrange-Multiplikatoren für die erste und für die zweite Bedingung erhalten Sie 

 

 

ln n g 1 ln n 

E 

0 

 

i i i i 

n n 

g 

ln 

 

 

 

P n 

i ni 

gi 

1 i i 

Gl. 8 

ln 

Ei 

ni 

ni gi 1 ni gi exp 

Ei1 

ni 

n n 

i 

i 

i 

 

. 

ni 

1 

ni gi ni 

1 

 

 

i 

Das ist die Bose-Einstein-Verteilung. Die Konstanten und werden durch weitere Randbedingungen 

bestimmt; z. B. im thermischen Gleichgewicht wird = 1/(k B T). Für Messzeiten länger als die 

Kohärenzzeit, ist der erste Schritt nicht möglich. Sie erhalten in dem Fall lediglich die Verteilung von n i 

unabhängigen Möglichkeiten, die Bedingung n i = const zu erfüllen, die Poissonverteilung: 

n 

i 

ni 

pn 

tB exp 

n . 

i 

i 

n ! 

i 

 

i 





Impressum 

Crashkurs Photonenstatistik 

herausgegeben und bearbeitet von 

Dr. Rüdiger Scholz 

© 2009 R. Scholz Leibniz Universität Hannover 

www.uni-hannover.de 

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen 

schriftlichen Genehmigung des Herausgebers. 

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auch für Intranets von Schulen und Hochschulen und andere Bildungseinrichtungen. 

Trotz sorgfältigster Bearbeitung sind Fehler nie auszuschließen. Für Schäden, die durch Fehler im Werk oder seinen Teilen entstanden sind, kann 

kein Haftung übernommen werden. 

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Photonenstatistik - Leibniz Universität Hannover

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