LED - Leibniz Universität Hannover

Rüdiger Scholz
Halbleiter-Diode
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

Halbleiter-Diode
Inhaltsverzeichnis
Literatur ..................................................................................................................... 2
1 Elektrolumineszenz ..................................................................................... 3
2 Elektronenenergie im Festkörper ................................................................ 4
2.1 Energiebänder ................................................................................................. 4
2.2 Freies Elektronengas (ideales Fermi-Gas) ........................................................ 4
2.3 Verbindung der Modelle: Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter ........... 5
2.4 Einfluss der Temperatur: Eigenleitung im reinen Halbleiter ......................... 6
2.5 Opto-elektronische Übergänge zwischen den Bändern ................................... 6
2.6 Wahrscheinlichkeit strahlender Übergänge: Direkte/indirekte Halbleiter .... 7
2.7 Spektrale Energieverteilung der Band-Band-Übergänge ................................. 9
3 Ladungsträgerbewegung in dotierten Halbleitern: Shockley-Theorie ........ 11
3.1 Dotieren ........................................................................................................ 11
3.2 Einfluss der Temperatur: Leitung in dotierten Halbleitern .......................... 11
3.3 Diffusionsströme durch den pn-Kontakt im thermischen Gleichgewicht..... 12
3.4 Der pn-Kontakt mit äußerer Spannung ........................................................ 13
3.5 Zusammenfassung der Ergebnisse bis zur Shockley-Formel ......................... 15
3.6 Die reale Halbleiter-Diode ............................................................................ 17
3.7 Messungen an Dioden ................................................................................... 18
3.8 LED .............................................................................................................. 19
3.9 h-Bestimmung aus der Linienmitte ............................................................... 20
Anhang: Materialien .......................................................................................... 22
Leiter – Halbleiter – Isolatoren ................................................................................ 22
Materialparameter Si, Ge, GaAs (bei T0 = 300 K) .................................................... 22
Binäre Verbindungshalbleiter .................................................................................. 22
III/V Verbindungshalbleiter .................................................................................... 22
Impressum ......................................................................................................... 24
Bildverzeichnis ......................................................................................................... 24
Literatur
1. Feynman/Leighton/Sands; Feynman Lectures Of Physics, Bd. 3
2. W. Demtröder; Experimentalphysik Bd. 3
3. M. Alonso, E: J. Finn; Fundamental University Physics Bd. 3
4. Gerthsen/Kneser/Vogel; Physik; Kap. 14.3.6
5. K. Lehovec et. al., Physical Review 83, 603−607 (1951)
6. Charles Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, Oldenbourgh Verlag 2006
7. E. Fred Schubert, www.LightEmittingDiodes.org und dort die Links zu den verschiedenen
Darstellungen
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Halbleiter-Diode
1 Physical Review 83, 603−607 (1951)
1 Elektrolumineszenz
Die Lichtemission als Folge eines Stromes durch
eine zweipolige Silizium-Carbid-Anordnung (SiC)
wurde von dem Radioelektroniker und Erfinder
Henry Joseph Round sehr zufällig entdeckt und
in einer kurzen Notiz im Magazin „Electrical
World“ veröffentlicht (Abb. 2). Heute würde
man den Aufbau als „Diode“ bezeichnen. Damit
war die erste LED im Betrieb gewesen.
Allerdings keine pn-Halbleiterdiode, sondern eine
Halbleiter-Metall-Diode.
Erst im Jahr 1923 kam es zu einer Wiederentdeckung
des Lichteffekts durch den
russischen Ingenieur Oleg Vladimirovich Lossev
im Rahmen genauer Untersuchungen der I-U-
Kennlinie einer SiC-Diode (Abb. 3). Lossev
konnte insbesondere darauf hinweisen, dass die
Lichterscheinung keine Folge einer Aufheizung
ist, sondern ein „Kaltlicht-Effekt“ − eben
Lumineszenz. Knapp 30 Jahre nach Lossevs
Publikation veröffentlichten K. Lehovec et. al.
ein systematisches Experiment samt Theorie zur
Elektrolumineszenz beim p-n-Übergang (Abb. 1).
Nach heutiger Vorstellung geht bei der
Lumineszenz ein Molekülverband aus einem
angeregten Zustand in den Grundzustand über,
wobei Energie frei wird und als Licht abgestrahlt
wird. Merkmale dieses Effekts, die besondere
Vorteile moderner LED darstellen:
• Praktisch verzögerungsfrei schaltbar;
• hoher thermischer Wirkungsgrad (geringe
Abwärme).
Wer die Hintergrundüberlegungen und
Herleitungen überspringen will, kann direkt bei
Kapitel 3.5, bei der Zusammenfassung der
Ergebnisse einsteigen.
2 Erste Veröffentlichung zum Phänomen der Elektrolumineszenz
Quelle: Electrical World (1907 19 309)
3 Das wohl erste Foto des Elektrolumineszenzeffekts von Oleg
Vladimirovich Lossev
Quelle: Wireless World and Radio Review 1924,271, 93
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Halbleiter-Diode
2 Elektronenenergie im Festkörper
4 Energiebänder beim Festkörper allgemein 5 Fermiverteilung f(E), Gl. 2 für kBT = 0,05⋅EF
(blau) und kBT = 0,2⋅EF (rot)
2.1 Energiebänder
Abb. 4 illustriert diese Modellvorstellung: Die Potentialtöpfe (ein periodisches Coulomb-Potential 1 )
zwischen den Potentialbergen lokalisieren das Einflussgebiet der Atomrümpfe im Kristallgitter. Beim
Kristallaufbau spalten elektronische Zustände in so viel dicht liegende Zustände auf, wie Atome das
Kristallgitter bilden. Beim Zusammenrücken der Atome zum Festkörper entstehen so aus den diskreten
Elektronenzuständen Energiebänder und dazwischen energetisch verbotene Zonen, die sog. Bandlücken.
Nehmen Sie als Beispiel die Elektronenkonfiguration von Silizium, 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 . Die 1s-, 2sund
2p-Elektronen bilden tief in den Potentialtöpfen liegende Bänder: tight binding-Bereich (in Abb. 4
schraffiert). Die 3s und 3p- Niveaus überlappen zu einem teilweise delokalisierten Energieband. Pro Atom
vier Valenzelektronen bevölkern dieses Valenzband (VB). Jedes Si-Atom bietet für vier Nachbarn ein
Bindungselektron. So wird mit 8 Elektronen die stabile Edelgaskonfiguration erreicht und das Band voll2.
Nettoladungstransport (= Leitung) ist im Kristall nicht möglich. Elektronen der tief liegenden Bänder
sind lokalisiert. Im Valenzband könnten Elektronen energetisch möglicherweise (wie in Abb. 4) die
Potentialberge zwar überwinden. Das Band jedoch ist voll; zu jeder Elektronenwelle mit dem Impuls p
gibt es damit eine Gegenwelle mit dem Impuls − p. Das nächste Band ist leer. Wenn durch Energieaufnahme
Elektronen dorthin gelangen, sind sie beweglich, das Band wird ein Leitungsband (LB). Bei Leitern
ist der Energieabstand zwischen VB und LB Null oder die Bänder überlappen. Ist der Abstand kleiner als
etwa 1−2 eV spricht man von Halbleitern, ist er größer als 4 eV, hat man gute Isolatoren (s. Anhang).
2.2 Freies Elektronengas (ideales Fermi-Gas)
Dieses Modell der statistischen Physik klärt die Thermodynamik der Elektronen ohne Kristallfeinheiten 3 :
(1) Die klassische Beziehung zwischen Elektronenenergie E und -impuls p = k bleibt erhalten:
( k) 2
2
p
= ⇒ = =
p k E
2m
2m
e
e
(nichtrelativistische Energien)
(2) Abzählen der besetzbaren Energieeigenzustände im Phasenvolumen ergibt die räumliche Dichte
D(E)⋅dE möglicher Zustände im Energieintervall dE:
( )
D E
1 ⎛2m⎞
=
2 ⎜ 2 ⎟
2π
⎝ ⎠
3/2
E . (1)
1
Amorphe, also nicht kristalline, aber harte Materialien, sind in diesem Zusammenhang keine Festkörper, sondern „harte“ Flüssigkeiten.
2
Die Entstehung der Bänder wird in /1/ für einen sehr einfachen aber typischen und verallgemeinerbaren Fall vorgerechnet.
3
Für den Elektronenimpuls p setzt man in der Regel die Wellenzahl k der zugehörigen deBrogliewelle ein: p = ⋅k; die Herleitung der Formeln
auf dieser Seite ist nicht schwierig, aber wichtig; Sie sollten sie unbedingt nachrechnen, vgl. /1/, /2/ und /3/.
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(3) Ein Festkörper hat mehr Eigenzustände als Elektronen zu ihrer Besetzung. Es sind daher nicht
sämtliche Zustände besetzt. Je größer die Energie eines Zustandes ist, desto geringer ist die Besetzungswahrscheinlichkeit
f(E). Je größer die Temperatur T, desto größer ist diese Wahrscheinlichkeit. Für ein
ideales Gas freier Elektronen gilt die Fermi-Dirac-Statistik (s. dazu /2/ und /3/;vgl. Abb. 5 und Abb. 6):
( exp ( / ) 1
−
) 1
F B
( ) ( )
f E = E− E kT + ; k B = 1,38⋅10 − 23 J/K. (2a)
E F liegt bei sehr kalten Halbleitern in der Mitte zwischen E C und E V: E F ≈ (E C + E V)/2 (s. u). Bei niedriger
Temperatur befinden sich nur wenig Elektronen im LB, E C − E V > k BT. Einschränkungen durch das
Pauliprinzip sind dann unbedeutend und es gilt guter Näherung (Fehler < 0,05) die Boltzmann-Näherung:
−1
( ( F B ) ) ( ( F ) B )
( ) ( )
f E = exp E− E / kT + 1 ≈exp − E− E / kT .
(2b)
2.3 Verbindung der Modelle: Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter
Abb. 6 zeigt die Kombination der Modelle. Der
rote Ausschnitt in Abb. 4 wurde um die
Fermiverteilung f(E) und die Zustandsdichte
D(E) ergänzt. E C und E V stehen für die
Bandkanten von LB und VB.
Bei niedrigen Temperaturen fällt f(E) für
E > E F noch innerhalb der Bandlücke schnell auf
Null, alle Zustände im LB bleiben unbesetzt und
das VB bleibt voll. Damit ist eine Ladungsträgerbewegung
im Halbleiter nicht möglich und er
isoliert. Mit zunehmender Temperatur
„verschmiert“ die Fermigrenze (Abb. 5/6) und
reicht schließlich bis in das LB hinein, d. h., die
Besetzung von LB-Zuständen wird wahrscheinlicher.
Jedes Elektron im LB hinterlässt ein Loch
im VB. Die Eigenleitung von Halbleitern beruht
auf der Beweglichkeit dieser Elektron-Loch-
Paare.
6 Halbleiter; links: Energie im Bändermodell, rechts: Energie im
freien Elektronengas
Zur Berechnung der mittleren Ladungsträgerdichte im LB und VB summieren Sie für jeden Energiewert
das Produkt aus der Dichte möglicher Zustände im Intervall dE und der Wahrscheinlichkeit ihrer
Besetzung zwischen den Bandgrenzen auf (vgl. /2/):
*
3/2
e B C F C F
2 ⎟
C
B
B
∞
⎛2π
mk T ⎞ ⎛ E −E ⎞ ⎛ E −E
⎞
n= ∫ D( E −EC) f ( E)
dE ≈2⎜
exp⎜− ⎟= N exp⎜−
⎟
h kT kT
EC
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N C
*
3/2
p B F
−
V F
−
V
2 ⎟
V
B
B
∞
⎛2π
mk T⎞ ⎛ E E ⎞ ⎛ E E ⎞
p= ∫ D( EV
−E) f ( E)
dE ≈2 exp − = N exp − .
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
h kT kT
E V
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N V
(3)
Anschaulich bedeutet diese Vorgehensweise eine Konzentration der Energiebänder auf je einen
Ladungsträgerzustand mit den Besetzungsdichten n bzw. p, den Energien E C bzw. E V und dem jeweiligen
Entartungsgrad N C bzw. N V (so etwas wie effektive Zustandsdichten). Diese Entartungsgrade für die
Löcher – und Elektronenzustände hängen schwach von der Temperatur ab (µT 3/2 ).
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2.4 Einfluss der Temperatur: Eigenleitung im reinen Halbleiter
Im thermischen Gleichgewicht sind Halbleiter
neutral, die Löcher- und Elektronendichten somit
gleich und gleich. Man bezeichnet diese
Gleichgewichtskonzentration als intrinsische
Ladungsträgerdichte n i: n = p = n i; n⋅p = n i
2. n i
nimmt nach Gl. 3 stark mit der Temperatur zu
(Abb. 8).
n⋅ p= n = N ⋅N
⎛ E
⋅exp
−
⎝
2 G
i C V ⎜
kT
B
3
⎞
⎟
⎠
2
⎛ kT⎞ ⎛
B
E ⎛
G
1 1 ⎞⎞
= ni0
⋅⎜ ⎟ exp
kT ⎜
− ⋅⎜ − ⎟
B 0
kB T T ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠⎠
(4)
8 Temperaturabhängigkeit der intrinsischen Ladungsträgerdichte
bei Si, Ge und GaAs nach Gl. 4 (Fittwerte s. Anhang)
Quelle: Mittelwerte verschiedener Lehrbücher
Die erste Beziehung folgt direkt aus Gl. 3. Ausgehend von dem Wert n i0 = n i(T 0) bei T 0 = 300 K
(s. Anhang für Ge/Si/GaAs) ergibt sich die zweite Beziehung. Die Fermi-Energie in Gl. 3 stellt sich so
ein, dass die Neutralitätsbedingung n = p erfüllt ist; knapp unterhalb der Mitte zwischen LB und VB:
⎛ EC −E ⎞ ⎛
F
EF −E ⎞
V
EG 1 ⎛ N ⎞
V
n= p⇔ NCexp⎜− ⎟= NVexp⎜− ⎟⇒ EF = EV + + kT
B
ln ⎜ ⎟.
⎝ kT
B ⎠ ⎝ kT
B ⎠ 2 2 ⎝ NC
⎠
(5)
Bei Si berechnen Sie für T = T 0 = 300 K: E F = E V + 0,49⋅E G.
2.5 Opto-elektronische Übergänge zwischen den Bändern
Absorption von Photonen: Die Bestrahlung von Halbleitern erhöht deren Leitfähigkeit (Photoleitfähigkeit).
Durch die Absorption eines Photons werden bewegliche Ladungsträger erzeugt (Abb. 9), im LB
ein bewegliches Elektron, im VB ein bewegliches Loch.
Energiesatz:
∆E = ⋅ω = E(n) − E(p) = h⋅c/λ > E G Die
Photonenenergie ⋅ω muss dazu mindestens so
groß wie die Bandlücke sein. Die optische
Anregung gängiger Halbleiter erfordert
Lichtwellenlängen von sichtbar bis infrarot:
• Ge: E G = 0,7 eV/λ ≈ 1,8 µm;
• Si: E G = 1,14 eV/λ ≈ 1,1 µm;
• GaAs: E G = 1,5 eV/λ ≈ 827 nm;
• GaP: E G = 2,3 eV/λ ≈ 540 nm.
Impulssatz: Wie bei allen Übergangsprozessen
muss nicht nur die Energie, sondern auch der
Impuls des Systems erhalten bleiben.
9 Absorption eines Photons − Thermalisierung − Emission eines
2π
6 −1
Ein Photon der Wellenlänge λ = 1,1 µm trägt den Impuls ∆ pPhoton
= ∆ k = = ⋅5,7 ⋅10 m . Nach
λ
der Unschärferelation führt die Bewegung von Elektronen im Si-Ionengitter mit der Gitterkonstante von
a = 543 pm zu einer 2000fachen Impulsunschärfe:
2π
≤∆ ≤ = ⋅ ⋅
a
10 −1
0 pElektron
1, 2 10 m .
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Die auftretenden Photonenimpulse liegen sehr dicht beim Nullbereich dieser Unschärfe.
∆p
∆p
Photon
Elektron
≈ 0.
Die Absorption optischer Photonen ändert den Elektronenimpuls praktisch nicht.
Emission: Elektronen erreichen durch sog. Thermalisierung (Zustandsübergänge innerhalb der Bänder;
punktiert in Abb. 9) die Bandkante des LB (Löcher erreichen die VB-Bandkante). Dabei wird Energie und
Impuls an das Ionengitter abgegeben (Anregung von sog. Phononen). Beim Rekombinieren der Elektron-
Loch-Paare wird die Energiebilanz durch Aussenden eines Photons der Energie
∆E’ = ħ⋅ω’ ≈ E G = E C − E V schließlich wieder hergestellt. Wie die Absorption ist auch die Emission eines
Photons ein ∆k= 0-Prozess.
2.6 Wahrscheinlichkeit strahlender Übergänge: Direkte/indirekte Halbleiter
Im thermischen Gleichgewicht sind die Entstehungs- und Rekombinationsraten (Abbau an Ladungsträgerdichte
pro Sekunde) der Elektron-Loch-Paare gleich. Strahlung wird im Halbleiter sofort reabsorbiert.
Durch Störung des Gleichgewichts kann die
Rekombinationsrate erheblich vergrößert werden.
Eine Möglichkeit ist die Injektion von
Ladungsträgern. Dieser Prozess wird bei
Lumineszenzdioden verwendet und soll hier
detailliert beschrieben werden.
Die Rekombinationsrate R ist zum einen proportional zur Dichte vorhandener Elektron-Lochpaare
R ∝ p⋅n = n i
2. Weitere Einflussgrößen auf die Rekombinationsrate, nämlich Details der Gitterstruktur bei
gleicher intrinsischer Ladungsträgerdichte n i, kommen über eine Proportionalitätskonstante herein. Man
definiert auf diese Weise einen materialabhängigen Rekombinationskoeffizienten B 4 :
R = B ⋅n⋅p.
Bei gleicher Ladungsträgerdichte hängt die Photonenausbeute von diesem Rekombinationskoeffizienten B,
also dem Halbleitermaterial ab5. Die Tabelle zeigt Werte für die Si, Ge und GaAs: Der Rekombinationskoeffizient
B ist bei GaAs vier Zehnerpotenzen größer als beim Ge! Machen Sie sich klar, dass damit eben
auch eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit von Band-Band-Übergängen gemacht wird.
Es zeigt sich, dass Schwierigkeiten bei der Impulserhaltung bei optischen Übergängen diesen gewaltigen
Unterschied erklären können. Der Einfluss der Impulse zeigt sich in der E = E(k)-Darstellung nach
Abb. 10. Die Elektronenenergie ist dort als Funktion des Elektronenimpulses aufgetragen, wobei man
statt des Impulses p üblicherweise die Wellenzahl k der deBrogliewelle p = ħ⋅k nimmt.
Nach dem Modell des freien Elektronengases erwarten Sie für nichtrelativistische Energien Parabeln, wie
in Abb. 10 dargestellt6
. Die Löcherenergie nimmt auch in dieser Darstellung nach unten zu.
2
p ( k) 2
E( k)
= .
2m
= (6)
2m
e
e
Material B (cm 3 /s) bei T ≈ 300 K
Ge ≈ 5⋅10 − 14
Si ≈ 1⋅10 − 15
GaAs ≈ 7⋅10 − 10
Rekombinationskoeffizienten einiger Halbleitermaterialien
4
vgl. /2/
5
nach Y: P. Vashni, phys. sat. solidi 19, 459 (1967)
6
Eine Gleichung, die den Energie-Impulszusammenhang quantifiziert, E = E(k), wird als Dispersionsrelation bezeichnet. Die E(k)-Parabel für die
Löcher ist in dieser Darstellung nach unten gekrümmt, das Energieminimum für die Löcher ist oben.
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Weder Löcher noch Elektronen sind im Kristall jedoch wirklich frei. Die Potentiale der Ionenrümpfe
stören das einfache Bild nach Abb. 10 vielfältig. Die oben durchgeführte Mittelwertbildung über die
Bandstruktur lässt Details der Bandstruktur zu, wenn sie für jeweils unterschiedliche k-Werte
durchgeführt wird. Man definiert so impulsabhängige effektive Massen m e
* = m e
*(k) bzw. m p
* = m p
*(k)
und kann damit den realen Bandverlauf (s. Abb. 11) beschreiben:
( k)
( k)
2 2
2 2
p
p
Ee( k)
= EG + = EG + ; Ep( k)
=− =− .
* * * *
2m 2m 2m 2m
e e p p
Halbleiter, bei denen die Energieminima der Bandkanten E C(k) bzw. E V(k) der Löcher im VB und der
Elektronen im LB zum selben k-Wert gehören, also sich mit ∆k = 0 energetisch „senkrecht“ gegenüberliegen,
heißen direkte Halbleiter, die andern nennt man indirekte Halbleiter. Da das LB praktisch leer ist,
steht bei der Absorption eines Photons mit hoher Wahrscheinlichkeit ein freier Zustand zur Verfügung,
der das Elektron samt Impuls k e aufnehmen kann. Nur in umgekehrter Richtung, bei der Emission, wird
es schwierig. Die Wahrscheinlichkeit, im VB einen freien Zustand zu finden, der zufälligerweise den
gleichen Impuls hat und energetisch passt, ist gering.
10 Absorption eines Photons − Thermalisierung − Emission eines
Photons; in der E(k)-Darstellung (Abszisse: Impuls)
11 Elektronische Übergänge: Indirekter Übergang bei Ge,
indirekter bei Si; direkter und indirekter bei GaAs.
Strahlende Übergänge sind in direkten Halbleitern erheblich wahrscheinlicher als in
indirekten. 7
Betrachten Sie die Prozessfolge in dem hypothetischen direkten Halbleiter nach Abb. 10. Die Absorption
des Photons ändert den Impuls k e also nicht. Das Elektron trägt den Impuls k e mit ins LB. Das Loch im
Valenzband hat den Impuls k p. Der Impulserhaltungssatz erfordert k p = − k e (weißer Kreis mit Kreuz
im VB). Bei der nachfolgenden Thermalisierung wandert das Elektron in das verfügbare Energieminimum
des LB. Einhaltung des Impulssatzes ist problemlos, da die Gitterbausteine des Ionengitters als
Stoßpartner den Elektronenimpuls k e aufnehmen. Bei Erreichen des Energieminimums hat das Elektron
den Impuls k = 0. Da das VB-Maximum (Energieminimum für Löcher) ebenfalls bei k = 0 liegt, ist der
Impulssatz bei der nun folgenden Photonemission (∆k = 0-Übergang in das VB) auch erfüllbar.
Die Photonenemission erfordert also, etwas verallgemeinert, dass die Energieminima von LB und VB den
gleichen Impulseigenwert haben. Dies ist allerdings in aller Regel bei realen Halbleitermaterialien nicht der
Fall. Abb. 11 zeigt die recht stark verbogenen Leitungsbänder von Si. Ge und GaAs. Nur beim GaAs sind
Band-Band-Übergänge mit ∆k = 0 möglich. GaAs ist in enger Umgebung des Minimums des LB noch
annähernd ein „quadratischer“ Halbleiter nach Gl. 6, Si und Ge nicht.
7
Durch spezielle Maßnahmen im Rahmen des sog. Bandgap-Engeniering (Dotierungen, Gitterfehlstellungen) wurden jedoch inzwischen auch
zahlreiche indirekte Halbleiter zum Leuchten gebracht.
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2.7 Spektrale Energieverteilung der Band-Band-Übergänge
12 Auswertung der Gl. 8 für: EG = 1,9 eV und T = 300 K; die
Abszisse ist in Einheiten von kB⋅T geteilt
13 Die gleiche Spektralverteilung wie in Abb. 12 Abszisse in dieser
Darstellung: die „echten“ λ-Werte
Die spektrale Verteilung emittierter Photonen wird auch als Linienform der Band-Band-Übergänge
bezeichnet. Ein prinzipieller Einblick in die Zusammenhänge ist relativ leicht möglich. Dazu schauen Sie
sich die Spektralverteilung der Übergangsraten spontan strahlender Band-Band-Übergänge an.
Die Emissionsrate, also die Übergangsrate r L→V(E Ph) spontan strahlender Strahlungsübergänge LB → VB
unter Aussendung eines Photons der Energie E Ph = h⋅c/λ ist in erster Näherung proportional zur Dichte
von freien Lochzuständen im VB (= D V(E(p))⋅(1 − fp(E(p))) und zu der entsprechenden Dichte besetzter
Elektronenzustände im LB (= D C(E(n))⋅fn(E(n))):
( ) ( ( )) n( ( )) ( )
L V Ph C V
besetzte Elektronenzustände im LB
( )( p( ( )))
r E ∝D E n ⋅ f E n ⋅D E p 1 − f E p .
→
freie Lochzustände im VB
Für „quadratische“ Halbleiter nach Gl. 3 ist eine Berechnung der Linienform, also der spektralen
Verteilung ohne großen Aufwand möglich 8 . Setzt man die Photonenenergie, als Differenz von Elektronen
und Lochenergie E Ph = E(n) − E(p) ein, erhalten Sie mit Blick auf Gl. 1
( ( )) ( )
( ) ( ) ( )
DC E n ⋅DV E p ∝ E n −EC ⋅ EV
−E p
DC
( E E )
Ph
DV
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜E( n) − E( p) + E( p) −E ⎟⋅ ⎜E − E( n) + E( n) −E( p)
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
C
V
= EPh
≈−EG
≈−EG
EPh
. G
Liegt das Fermi-Niveau in der Bandlücke gilt: E(n) − E F » k BT und E F − E(p) » k BT. Die Besetzungswahrscheinlichkeiten
nach Gl. 2 lassen sich damit wieder vereinfachen:
⎛
⎞
f ( ( )) ⎜
n
E n = exp ( E( n)
− EF ) / k T + 1 ≈exp − E n −EF
/ k T
⎜
⎟
⎝
1
⎠
−1
( ) ⎟
B
( ( ( ) ) B )
⎛
⎞
f ( ( )) ⎜
(( ( ) ) )
⎟
p
E p = exp E p − EF / kBT + 1 ≈1−exp (( E( p)
−EF
) / kBT)
.
⎜
⎟
⎝
1
⎠
−1
(7)
8
z. B. /2/ und /3/
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Halbleiter-Diode
Setzen Sie diese Verteilungen in die Gl.7 für r L→V ein, erhalten Sie eine übersichtliche Näherungslösung
für die Emissionsrate und damit für die gesuchte Linienform:
L→V
L→V
( )
( ( )) V ( )
( ( ))
( ( )) 1 ( )
r ∝D E n D E p ⋅ f E n − f E p
C
n
p
≈( EPh −EG )
exp ( −( EPh −EG )/
kT B )
( Ph G ) ( ( Ph G ) B )
r ∝ E −E ⋅exp − E −E / k T .
Abb. 12 zeigt als Ergebnis eine auf I max= 1 normierte Linie. Aus der Bedingung dr/dE Ph = 0 berechnen
Sie das Maximum für eine Energie E Ph = E G + k BT. Die volle Halbwertsbreite ist nicht analytisch
bestimmbar, die nummerische Lösung ist ∆E ≈ 2,4⋅k BT 9 .
Wie oben bereits angedeutet, werden die scharfe Linienkante bei E Ph = E G und die Lage des Maximums
durch die Variation der Bänderkanten sowie durch die Abweichung der Dispersionsrelation von der
quadratischen Lösung Gl. 6 „verschmiert“. Im Ergebnis ähneln die Spektralverteilungen damit gaussschen
Glockenkurven. Die Lage des Maximums gibt in jedem Fall einen Hinweis auf die Energielücke des
verwendeten Materials:
E G ≈ E max − k BT.
Abb. 13 zeigt die spektrale Verteilung in der häufigeren Darstellung der Intensität als Funktion der
Wellenlänge λ. Für die Rechnung wurden in Gl. 8 folgende Parameter eingesetzt:
E G = 1,9 eV; T = 300 K
und damit
λ max = h⋅c/E Ph = 644 nm.
(8)
Auswahl geeigneter Materialen
Typische Halbleitermaterialien der IV. Gruppe
des Periodensystems (Si, Ge, C) sind indirekte
Halbleiter. Da bei diesen Halbleitern
strahlungslose Übergänge die optischen weit
überwiegen, sind diese sog. IV-Halbleiter nicht
als LED-Materialien geeignet. Man verwendet
binäre Mischkristalle, die aus jeweils einem
Element der III. Gruppe (Ga, Al, In) und der V.
Gruppe (As, P, Sb) gezogen werden, sog. III/V-
Kristalle 10 .
Abb. 14 zeigt eine Zusammenstellung der
Merkmale dieser Kristalle. Die Linien zwischen
den Punkten weisen auf Eigenschaften weiterer
ternärer Mischkristalle hin (sog. Verbindungshalbleiter
bestehend aus drei Elementen). Der
rote Punkt zeichnet den Materialenbereich für
rote CD-Laser und Laserpointer aus: GaAlAs
und GaAsInP.
14 III/V-Halbleiter; nach rechts ist die Energielücke EG in eV
aufgetragen; Der rote Punkt gehört zu der Laser-Pointer-LED
mit dem quaternären Material AlGaLnP mit EG = 1,9 eV und
λ = 644 nm
Quelle: Gowar, Optical Communication Systems.
9
Probieren Sie es aus; plotten Sie die Intensditätsverteilung und überprüfen Sie den Wert für die volle Halbwertsbreite (FWHM).
10
Tatsächlich findet man in der Literatur inzwischen auch II/VI-Halbleiter.
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Halbleiter-Diode
3 Ladungsträgerbewegung in dotierten Halbleitern: Shockley-Theorie
3.1 Dotieren
Durch Dotieren, ein dosiertes Einbringen von
Fremdatomen, lässt sich die Leitfähigkeit des
Halbleiters ziemlich willkürlich beeinflussen.
Bei der n-Dotierung bringt man Fremdatome
mit schwach gebundenen zusätzlichen
Elektronen ein (Dichte der Donatoratome sei
N n). Diese Elektronen besetzen also ein
Donatorniveau mit einer Energie E d knapp unter
dem Leitungsband und können bereits mit einer
geringen Energie E C − E d ≈ 0,01 eV 116 K in
das LB befördert werden, wo sie als Leitungselektronen
beweglich sind (Abb. 15). Bei der p-
Dotierung bringt man Atome mit einer
zusätzlichen freien Elektronenbindung ein
(Dichte der Akzeptoratome ist N p) und liefert
sog. Akzeptorniveaus, die bereits mit geringer
Energie E a ≈ 0,01eV von Elektronen aus dem VB
besetzt werden und somit bewegliche Löcher im
VB zurücklassen.
15 Dotierte Halbleiter; rechts n-dotiert, links p-dotiert
3.2 Einfluss der Temperatur: Leitung in dotierten Halbleitern
Im dotierten Halbleiter unterscheidet man
Majoritätsladungsträger (n(n), Elektronen im (n)-
Halbleiter; p(p), Löcher im (p)-Halbleiter) und
Minoritätsladungsträger (p(n), Löcher im (n)-
Halbleiter und n(p), Elektronen im (p)-
Halbleiter). Diese haben ein unterschiedliches
Temperaturverhalten 11 (Abb. 16):
• Freeze-out-Bereich: Bei Temperaturen
k BT< E C − E d werden mit zunehmender
Temperatur immer mehr Donatoratome
ionisiert, die Elektronendichte n(n) nimmt
zu, bis ab ca. 200 K alle Donatoratome
ionisiert sind: n(n) = N n.
• Extrinsischer Bereich: Bei mittleren
Temperaturen E C − E d < k BT < E C − E V
bleibt zunächst n(n) ≈ N n = const.
• Intrinsischer Bereich: Wenn
k BT > E C − E V, werden Elektronen aus
dem VB direkt in das LB angeregt und es 16 Temperaturabhängige Ladungsträgerdichte im dotierten
Halbleiter
entstehen intrinsische Elektron-Loch-
Paare. Abb. 16 zeigt diesen Teil mit dem
Temperaturgang nach Gl. 4
(n i ∝ exp(−E G/(2k BT)).
Halbleiterbausteine für die hier vorgestellten Anwendungsbereiche werden meist extrinsisch betrieben 12 .
11
Hier als Beispiel für den (n)-Halbleiter beschrieben
12
Für tiefer gehende Erklärungen sei auf das Standardwerk von Ch. Kittel (vgl. /6/) verwiesen.
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Halbleiter-Diode
Eine Analyse der Leitungsvorgänge im Halbleiter beruht auf der Analyse von Ladungsträgerkonzentrationen
(n, p), ihrer Temperaturabhängigkeit und ihrer Verschiebung durch Diffusionsprozesse infolge der
Konzentrationsgefälle (dn/dx; dp/dx). Gegen die Verwirrung bei der „Ladungsträgerarithmetik“ soll
zunächst eine Liste der verwendeten Bezeichnungen helfen:
p 0(p)
n 0(n)
p 0(n)
n 0(p)
p(n)
n(p)
N p
N n
N C
N V
Löcherdichte im p-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (Majoritätsladungsträger; MAT)
Elektronendichte im n-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (MAT)
Löcherdichte im n-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (Minoritätsladungsträger; MIT)
Elektronendichte im p-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (MIT)
Löcherdichte im n-Halbleiter außerhalb des Gleichgewichts (es fehlt die „0“ im Index)
Elektronendichte im p-Halbleiter außerhalb des Gleichgewichts (es fehlt die „0“ im Index)
Dichte der Akzeptoratome
Dichte der Donatoratome
Effektive Zustandsdichte im Leitungsband (Entartungsgrad)
Effektive Zustandsdichte im Valenzband (Entartungsgrad)
Durch Dotieren verschieben sich die Ladungsträgerdichten.
(1) Im extrinsischen Temperaturbereich sind alle Donatoratome ionisiert und die Majoritätsträgerdichten
nehmen große Werte an: n 0(n) ≈ N n und p 0(p) ≈ N p. Die Fermi-Energie E F verschiebt sich in
der Folge jeweils in die Nähe der Dotierungsniveaus (Verringerung von E C − E F bzw. E F − E V;
vgl. Abb. 17). Aus Gl. 5 wird:
⎛ E
Nn ≈ n0 = NCexp⎜−
⎝
n-Seite: ( n)
C
− EF
kT
B
( n)
⎞
⎟
⎠
⎛ E
Np ≈ p0 0 = NVexp⎜−
⎝
; p-Seite: ( )
F
( p)
− E
kT
(2) Die Relation p 0⋅n 0 = n 2 i gilt für die Konzentrationen im thermischen Gleichgewicht − auch beim
dotierten Halbleiter:
2 2
ni
ni
n-Halbleiter: n0( n ) = Nn; p0(n)
= n n
= N
; p-Halbleiter: ( )
2 2
ni
ni
p0 p = Np; n0( p)
= p p
= N
.
( )
0 n
B
( )
V
0 p
3.3 Diffusionsströme durch den pn-Kontakt im thermischen Gleichgewicht
Bringt man den (n)- und den (p)-Halbleiter zusammen, erhält man das elektronische Jahrhundertbauteil:
die pn-Diode:
Aufgrund ihrer jeweils größeren Anzahldichte
diffundieren die Majoritätsträger auf die
jeweilige Minoritätsseite: Elektronen in den (p)-
Halbleiter, Stromdichte j diff(n) und entsprechend
Löcher in den (p)-Halbleiter, Stromdichte
. Dadurch gerät das Grenzgebiet (W D im
j diff(p) 13
Bild rechts) aus dem Ladungsgleichgewicht und
es entsteht ein lokales E-Feld von (n) nach (p). In
der Folge bilden sich zusätzlich Driftströme aus,
den Diffusionsströmen entgegen, jE(n) und jE(p).
Im thermischen Gleichgewicht kompensieren
sich Diffusionsstrom und Driftstrom gerade:
j diff(n) + jE(n) = j diff(p) + jE(p) = 0.
⎞
⎟.
⎠
17 pn-Übergang; oben: im thermischen Gleichgewicht,
unten: externe Spannung U in Durchlassrichtung; Ordinate ist
die Energie, Abszisse eine Ortskoordinate; rot ist die Bandlücke
13
Um die Formulierung zu vereinfachen, wird hier immer mal wieder nur eine Seite des Kontaktes dargestellt. Die Argumente für die jeweils
andere Seite sind dann völlig analog (symmetrischer pn-Kontakt).
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Halbleiter-Diode
Die Größe der Diffusionsspannung UD
Die Energiedarstellung macht diesen Zustand durch einen Bänderknick erkennbar. Durch das lokale E-
Feld baut sich eine elektrische Spannung U D auf, diese führt zu einem Potentialgefälle e⋅U D. Die
Bandkante des (p)-Halbleiters hebt sich um ∆E = e⋅U D gegenüber der Bandkante des (n)-Halbleiters.
Während im reinen Halbleiter die Minoritäts- und Majoritätsträgerdichten gleich sind, n 0(p) = n 0(n) bzw.
p 0(n) = p 0(p), sinkt die Elektronendichte n 0(p) im energetisch angehobenen p-Halbleiter 14 ab (entsprechend
die Löcherdichte im n-Halbleiter). Im thermischen Gleichgewicht (konstante Fermi-Energie im
Kristall; vgl. Abb. 17) sinken die jeweiligen Minoritätsträgerdichten bis:
( p) = ( n) ⋅exp ( − / )
n n eU k T
0 0 D B
und p ( n) p ( p) exp ( eU / k T )
= ⋅ − daraus folgt (10)
0 0 D B
U
( n)
( p)
( )
( n)
( ) ( )
kT ⎛n
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
B 0 kT p0 p
B
kT n0 n p0
p
B
kT NnN
B
p
= ⋅ ln ⎜
⎟
= ⋅ ln⎜ ⎟= ⋅ln⎜ ⎟≈ ⋅ln ⎜ ⎟.
e ⎝n0 ⎠ e ⎝ p0 ⎠ e ⎝ ni ⎠ e ⎝ ni
⎠
D 2 2
(11)
(1) Ohne Dotierung ist n 0(n) = n 0(p) bzw. p 0(p) = p 0(n) und die Spannung Null.
(2) Setzen Sie in Gl. 11 die Beziehung für n i
2 aus Gl. 4 ein, finden Sie e⋅U D ≈ E G − Exk BT. Mit für
T → 0 nähert sich das Diffusionspotential e⋅U D der Bandlücke: e⋅U D → E G.
3.4 Der pn-Kontakt mit äußerer Spannung
Durch eine zusätzliche externe Spannung (vgl. Abb. 17 unten) lässt sich die (n)-(p)-Energiestufe
vergrößern: sog. Sperrpolung, (−) an (p) oder verringern: sog. Flusspolung, (+) an (p).
Bei der Flusspolung werden aus der externen
Ladungsquelle Ladungsträger in den pn-Kontakt
injiziert und erzeugen im pn-Kontakt ein
ständiges Ungleichgewicht. Eine mit dem Wert
der äußeren Spannung U stark anwachsende
Stromstärke wird dadurch kontinuierlich erhalten
(Abb. 18). In der anderen Polungsrichtung sperrt
der pn-Kontakt.
Um den theoretischen Kennlinienverlauf
nachzubilden, berechnet man die Ströme durch
die Randzone des Raumladungsbereiches des pn-
Kontakts. Ohne grundlegende Einsichten zu
gefährden, wählt man einige vereinfachende
Annahmen 15 :
−1
( ( F B ) ) ( ( F ) B )
( ) ( )
f E = exp E− E / kT + 1 ≈exp − E−E / kT .
18 Diodenkennlinien in Flusspolung ; T = 295 K;
a) Ge (EG ≈ 0,7 eV) b) Si (EG ≈ 1,1 eV) c) GaAs (EG ≈ 1,4 eV)
d) GaAsP (EG ≈ 2 eV) e) GaInN (EG ≈ 2,9 eV)
Quelle: Lit. /7/
(1) Der pn-Wechsel erfolgt abrupt, spezielle Strukturen der Raumladungszone werden ignoriert.
(2) Boltzmann-Näherung: Die Fermi-Energie liegt in der Bandlücke weit unterhalb der Bandkante E C:
(3) Geringe Ladungsträgerinjektion, die Majoritätsladungsträgerdichten ändern sich durch die äußere
Spannung nicht: Nur wenig Löcher diffundieren von (p) nach (n) und nur wenig Elektronen diffundieren
von (n) nach (p): n 0(n) ≈ N n » p(n): p 0(p) ≈ N p » n(p)
(4) Es findet praktisch keine Rekombination in der Raumladungszone W D statt.
(5) Die Donatordichten sind sehr groß gegenüber den Eigenleitungsdichten: N n » n i und N p » n i.
14
Da sich alles im LB abspielt, wurde hier der Energienullpunkt auf E = EC(n) gelegt.
15
Nach William Bradford Shockley (Nobelpreis 1956 für die Arbeiten zu Halbleitern); die Grenzen dieser Näherungen werden zum Schluss des
Skripts benannt. Wer mehr wissen möchte, recherchiere unter „Lösung der Poisson-Gleichung für den pn-Übergang“
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Halbleiter-Diode
Anlegen einer externen Spannung
Eine externe Spannung U bringt den pn-Kontakt aus dem Gleichgewicht. Da nach der Näherung (3) die
Majoritätsträgerdichten ihren Gleichgewichtswert beibehalten (n(n) ≈ n 0(n) ≈ N n; p(p) ≈ p 0(p) ≈ N p),
ändern sich die Minoritätsträgerdichten und Gl. 10 stimmt nicht mehr:
( D
B )
( p) = ( n) ⋅exp − ( − ) / und ( ) ( ) ( )
n n eU U kT
( D
B )
pn = pp ⋅exp −eU − U / kT . (12)
Der Rand der Raumladungszone (RLZ) ist feldfrei. Ströme durch diesen Randbereich sind damit
Diffusionsströme aufgrund eines Konzentrationsgefälles. Mit zunehmender Entfernung x vom Rand der
RLZ nähert sich die Minoritätsträgerkonzentration nx(p) (durch Rekombination) dem Gleichgewichtswert
n 0(p) an. Für kleine Entfernungen von der RLZ dx mag Proportionalität gelten: dn/dx ≈ [nx(p) –
n 0(p)]/Ln bzw. dp/dx ≈ [px(n) – p 0(n)]/Lp. Hier wurden als Proportionalitätsfaktoren die sog.
Diffusionslängen Ln bzw. Lp eingeführt. Ihre Werte hängen stark von der Rekombinationsrate, von der
Dotierung und der Reinheit des Kristalls ab und liegen typisch zwischen einigen µm bis mm.
Unter diesen Voraussetzungen berechnen Sie die Stromdichten für Elektronen und Löcher, j(n) und j(p)
und daraus die Gesamtstromdichte j = j(n) + j(p):
( ) n ⎡n( p) − n0
( p)
dn
p d
⎤ Dn
j ( n)
=− qD
n
= eD
n
≈eD ⎣ ⎦
n
≈e ⎡n( n) ⋅exp ( −e( UD −U ) / kBT ) −n0( p)
⎤
dx dx L L ⎣
⎦
⎡
⎤
D ⎢ n0
( n)
⎥
n
≈e n0( p)
⎢ ⋅exp ( −eU ( D
−U)
/ kT
B ) −1⎥
Ln
⎢ n0
( p)
⎥
⎢
⎣=
exp ( eU D/
kBT
)
⎥
⎦
Dn
j ( n) = n ( p) ⋅e ⋅⎡⎣exp ( eU / k T ) −1⎤⎦bzw. für den Löcherstrom auf der der n-Seite
0 B
L
n
Dp
j( p) = p0
( n)
⋅ e exp ( eU / kBT
) 1 .
L ⋅⎡
⎣
− ⎤ ⎦
p
n
n
Also schließlich ( ) ( ) ⎡ ( )
( p) ⋅ D ep
0 ( n) ⋅
en
D
0 n
p
j = j n + j p = j
S
⋅⎣exp eU / kBT − 1 ⎤⎦; j
S
= + .
L L
n
p
(13)
Die Sättigungssperrstromstärke j S hängt exponentiell von der Temperatur ab. Um das einzusehen
betrachten Sie die Größen in Gl.. 13. Die Temperaturanhängigkeit der Diffusionsgrößen Dn und D p bzw
Ln und Lp bedarf einer speziellen Untersuchung, die hier nicht geleistet werden soll. Es zeigt, jedoch, das
sie nur schwach ist (vgl. /2/). Entscheidend für den Einfluss der Temperatur ist exponentielle
Abhängigkeit der intrinsischen Ladunsträgerdichte n i
2 µ exp(-E G/k BT). Mit
n 0(p) = n i
2/p 0(p) ≈ n i
2/N p und p 0(n) = n i
2/n 0(n) ≈ n i
2/N n
erhalten Sie
( p) ⋅
0 ( n)
⎛n ⋅ ⎞ ⎛ ⎞
0
D p D
n
p D D
n
p 2
jS
= e + =− e +
⎜ ⎟ ⎜ ni
⎟
⎝ Ln L
p ⎠ ⎝ NL
p n
NL
n p ⎠
⎛ D D ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞
n
p 2 EG
1 1
=− e
+ ni
0
⋅exp ⎜
− ⎜ −
⎜
⎟
⎟
⎟
.
⎝ NL
p n
NL
n p ⎠ ⎝ kB ⎝T T0
⎠
⎠
jS0
(14)
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Halbleiter-Diode
3.5 Zusammenfassung der Ergebnisse bis zur Shockley-Formel
Energiebänder
Energiebänder stehen als erlaubte Energieeigenwerte bei Kristallen zur Verfügung. Zwischen diesen
Bändern liegen verbotene Zonen. Die Bänder entstehen, weil bei der Kristallbildung die diskreten
atomaren Niveaus vielfach aufspalten und sich verschieben. Das letzte besetzte Band (Valenzband) ist bei
Halbleitern vollständig mit Elektronen gefüllt (Edelgaskonfiguration durch kovalente Bindung im
Kristall), das nächstfolgende erlaubte Band ist leer. Halbleiter haben bei T = 0 K keine freien
Ladungsträger ihre Leitfähigkeit σ ist null. Werden Elektronen ins Leitungsband angeregt, wird der
Halbleiter vom Isolator zum Leiter.
Ladungsträgerarithmetik
Beim dotierten Halbleiter ist die Konzentration (= Dichte) der Majoritätsträger durch die Dichte der
Dotieratome gegeben n(n) = N n bzw. p(p) = N p; für die Dichte der Minoritätsträger gilt n(p)⋅p(n) = n i
2:
Dotierung Majoritätsträger Minoritätsträger
p-Halbleiter p(p) = N p n(p) =n i
2/N p
n-Halbleiter n(n) = N n p(n) =n i
2/N n
Die Besetzungswahrscheinlichkeit von Zuständen wird durch Verteilungen gegeben
Verteilung
Majoritätsträger
Maxwell-Boltzmann fMB
( E) = exp ( −( E−EF
) / kT
B )
( exp ( ) ) −
F
/
B
1
f E = E− E kT +
Fermi-Dirac ( ) ( )
FD
1
Der Unterschied berücksichtigt das Pauli-Verbot bei Fermi-Teilchen. Ist die Elektronendichte sehr viel
geringer als die Zustandsdichte, verschwindet dieser Unterschied.
pn-Übergang
Im pn-Kontakt bildet sich ein Fließgleichgewicht zwischen der konzentrationsbedingten Diffusion und
der potentialbedingten Drift von Ladungsträger aus. Dabei entsteht im thermischen Gleichgewicht eine
ladungsträgerverarmte Zone und über diese hinweg eine Potentialdifferenz U D aus.
U
( n)
( p)
( )
( n)
( ) ( )
kT ⎛n
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
B 0 kT p0 p
B
kT n0 n p0
p
B
kT NnN
B
p
= ⋅ ln ⎜
⎟
= ⋅ ln⎜ ⎟= ⋅ln⎜ ⎟≈ ⋅ln ⎜ ⎟.
e ⎝n0 ⎠ e ⎝ p0 ⎠ e ⎝ ni ⎠ e ⎝ ni
⎠
D 2 2
Nicht vorgerechnet, aber zur Vollständigkeit hier sei erwähnt: Die Breite W D der Raumladungszone des
abrupten pn-Übergangs können Sie berechnen:
2ε ⎛ 1 1 ⎞
WD
= +
U
e ⎜ ⎟
⎝ Np
Nn
⎠
D
.
Für Silizium mit ε = 11,8, bei T = T 0 = 300 K; U D = 0,73 V und Dotierungswerten N n = 2⋅10 16 und
N p = 1⋅10 16 ergibt sich W D = 3,8 µm.
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Halbleiter-Diode
Shockley-Formel für die Gleichrichterdiode
Durch einen pn-Halbleiter-Übergang fließen bei externer Spannung U Ladungsträger. Die Stromstärke
hängt dabei stark vom Halbleitermaterial (chemisches Element, Dotierung, Geometrie) und exponentiell
von einer extern angelegten Spannung U und der Temperatur T ab. Eine brauchbare Näherung für die
Stromstärke (Stromdichte j) im Halbleiter liefert die Shockley-Formel:
( )
j = j
S
⋅⎡⎣exp eU / kBT −1⎤⎦
darin ist j s die Sperrstromstärke
intrisische Ladungsträgerdichte
⎛
D
D
n
p 2
jS
=− e + ni
⎜
NpLn
NnL
⎟
p
⎝
⎞
⎠
und n i die
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞
2 EG
2 kT
B
EG
1 1
ni = NC ⋅NV ⋅exp⎜− ⎟= ni
0⎜ ⎟ exp ⎜
− ⎜ − ⎟
⎟
.
⎝ kT
B ⎠ ⎝kT B 0 ⎠ ⎝ kB ⎝T T0
⎠⎠
3
Stromdichten sind nicht direkt messbar aber die Stromstärken, in die der Strömungsquerschnitt A eingeht
(I = |A⋅j|). Gl. 14 wird daher auf eine Form gebracht, die die Diskussion der Einflussgrößen vereinfacht.
Eine handliche Größe für die Diskussion ist dabei die sog. Thermospannung U th = k BT/e:
• Diffusionsspannung U D, typische Werte liegen im Volt-Bereich;
• Externe Spannung U; typische Werte −10 V < U < 1 V;
• Bandlücke U G = E G/e; typische Werte liegen im Volt-Bereich (vgl. Anhang);
• Thermospannung U th = k BT/e; bei Zimmertemperatur T 0 = 300 K ist U th0 = 25,8 mV.
⎛ ⎛ 1 1 ⎞⎞
I = A ⋅ j ⋅⎡⎣exp ( eU / k T ) − 1⎤⎦ = Aj ( T ) exp ⎜
−U ⎜ − ⎟
⎟
⋅⎡⎣exp ( U / U ) −1 ⎤⎦.
IS
S B S0 G th
th th0
I
⎝ ⎝U
U ⎠⎠
S0
IS
(15)
(1) j S0 hängt schwächer als exponentiell von der
Temperatur ab − wie genau, das wird von der
Bauart der Diode bestimmt.
(2) Die exponentielle Temperaturabhängigkeit
I S =I S0 exp(−U G/U th) beschreibt die thermische
Anregungswahrscheinlichkeit von Elektron-
Lochpaaren über die Bandlücke hinweg:
Sperrströme sind Minoritätsträgerströme, also
ohne „Hilfe von der anderen Halbleiterseite“. I S0
wird auch als Sättigungsstromstärke bezeichnet.
19 Diodenkennlinien nach Gl. 15
(3) Der Exponentialfaktor µ [exp(U/U th) − 1] beschreibt die Erhöhung der Dichten von Minoritätsladungsträgern
durch den Diffusionsstrom durch den pn-Kontakt (Verbiegung der Bandkanten).
Das elektronische Bauteil mit einem pn-Übergang wird als Halbleiter-Diode bezeichnet. Man
unterscheidet, je nach Polung der externen Spannung Sperrrichtung der HL-Diode (U < 0) und
Flussrichtung (U > 0). Die Sperrstromstärke hängt für |U| » U th nicht von der externen Spannung ab. In
Flussrichtung gepolt, nimmt die Stromstärke exponentiell mit U zu. Die Kennlinienform ist für alle
Halbleiterdioden gleich. Abb. 19 zeigt die nach Gl. 15 berechneten Diodenkennlinien. In jedem der Fälle
finden Sie eine Exponentialfunktion ohne Schwellenwert. Der Faktor exp(−U G/U th) führt zu einer
Verschiebung der Kennlinien parallel zur Abszisse, die Form bleibt jedoch gleich.
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Halbleiter-Diode
3.6 Die reale Halbleiter-Diode
Um Ihnen ein Gespür für die Größenordnungen zu ermöglichen, finden Sie hier einige typische Werte für
die Sättigungstromstärke bei T 0 = 300 K ;Ln= 0,1 mm; Lp = 0,01 mm; N n = 10⋅N p= 10 15 cm -3
Si Ge GaAs
Beweglichkeit Elektronen µn [cm 2 V -1 s -1 ] 1.350 3.900 8.000
Beweglichkeit Löcher µp [cm 2 V -1 s -1 ] 480 1.800 300
Dn = µn⋅kBT/e [cm 2 s -1 ] 35 101 207
Dp = µp⋅kBT/e [cm 2 s -1 ] 12,4 46,5 7,8
intrinsische Dichte ni [cm −3 ] 1,5⋅10 10 2,4⋅10 13 1,8⋅10 6
jn0 [A/cm 2 ] 1,26⋅10 − 9 9,30⋅10 − 3 1,07⋅10 − 16
jp0 [A/cm 2 ] 4,47⋅10 − 10 4,29⋅10 − 3 4,02⋅10 − 18
jS0[A/cm 2 ] 1,70⋅10 -9 1,36⋅10 -3 1,11⋅10 -16
Reale Kennlinien weichen von den Idealisierungen der Shockley-Theorie ab:
(1) Durchbruch: Die Sperrschicht wird für große Sperrspannungen plötzlich leitfähig, da durch
Stoßionisation lawinenartig Minoritätsladungsträger erzeugt werden. Dieser sog. Durchbruch wird hier
nicht behandelt, führt aber in speziellen Dioden (Zenerdurchbruch in Zenerdioden) zu häufig
verwendeten Bauteilen der Elektronik.
(2) Kapazität: Die Sperrschicht erinnert an
einen kleinen Kondensator. Tatsächlich hat die
Sperrschicht eine Kapazität C S, die das
Hochfrequenzverhalten von Halbleiterdioden
bestimmt. Da die Größe der Sperrschicht durch
U
eine externe Spannung gesteuert werden kann,
erhält man mit Halbleiterdioden spannungsgesteuerte
Kapazitäten. Abb. 20 zeigt das
Ersatzschaltbild realer Dioden.
R B ⋅I
(3) Rekombination: Bei kleinen Spannungen
sind reale Stromstärken größer, da Ströme durch
Rekombinationsvorgänge in der Raumladungszone
messbar werden.
20 Ersatzschaltbild realer Dioden
(4) Majoritätsträgerströme: Bei großen Spannungen sind die Majoritätsträgerdichten nicht mehr
unabhängig von der externen Spannung U. Die Niedriginjektionsnäherung gilt nicht mehr. Diesen Effekt,
wie auch den unter Ziffer 3 kann man in Grenzen phänomenologisch dadurch beheben, dass man einen
sog. Diodenfaktor einführt, der die Thermospannung erhöht: Uth → a⋅U th; 1 < a < 3:
⎡ ⎛ U ⎞ ⎤ ⎛⎛ U ⎞ ⎞
I = IS
⋅ exp⎜ ⎟−1 →IS
⋅exp ⎜⎜ ⎟−1 ⎢
⎥
⎟
.
⎣ ⎝Uth
⎠ ⎦ ⎝⎝aUth
⎠ ⎠
Der Faktor a wird auf manchen Datenblättern ausgewiesen.
Die Ziffern (1) bis (4) machen deutlich, dass im Rahmen des hier vorgestellten Modells zahlreiche
Details der Ladungsträgerbewegung unberücksichtigt bleiben: Ladungsträgerbeweglichkeit, Streuung von
Elektronen an Gitterschwingungen (Phononestreuung), unterschiedliche Rekombinationsmechanismen
führen zu einer komplexen Situation, die hier nicht weiter analysiert werden soll. Eine sehr gute Näherung
lässt sich in der Regel mit einer Taylorentwicklung in Gl. 14/15 und c i = 0 für i > 3 erreichen:
( ) ( ) ⎛ 2 3
⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞
= ⋅ ⎜ + + + ...
⎞
⎟
IS0 T IS0 T0 c0 c1 ⎜
⎜ ⎟ c2 ⎜ ⎟ c3
⎜ ⎟
⎝ ⎝T0 ⎠ ⎝T0 ⎠ ⎝T0
⎠
; c 0 = 1 – c 1 – c 2 – c 3 - ...
⎟
⎠
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Halbleiter-Diode
(5) Bahnwiderstand: Bei großen Stromstärken I wird der Bahnwiderstand R B der Diode spürbar
(Abb. 21). R B kann als einfache ohmsche Komponente der verwendeten Materialien angesehen werden.
Dieser Effekt hat deutliche Auswirkungen auf die Form der Kennlinien. Sie schmiegen sich für große
Stromstärken an Geraden der Steigung I = U/R B an. Um das zu verstehen, lösen Sie Gl. 15 nach der
Spannung U über der Diode auf und ergänzen den Term um den Spannungsabfall an R B:
*
⎛I + I ⎞ ⎛ ⎞
S
I
U = U+ RI
B
= aUth ⋅ ln⎜ ⎟+ RI
B
→aUth ⋅ ln ⎜ ⎟+
RI
B
.
⎝ IS
⎠ ⎝IS
⎠
Die Steigung der Kennlinie U = U(I), der differentielle Widerstand r, nähert sich immer mehr R B an:
*
dU
1
r= = a Uth ⋅ + RI
B
→RB.
dI
I
Die Steigung der Kennlinie wird für große Stromstärken I also konstant. Abb. 21 zeigt diese Verformung.
Aus der Kennliniensteigung für große Stromstärken (≈ 1/R B) können Sie jeweils für konstante
Stromstärken I die idealisierte Kennlinienform bestimmen:
*
U= U − RI.
B
Diese Eigenschaft realer Dioden verschafft Ihnen
auch eine lineare Kennliniennäherung 16 . Für
einen von Ihnen gewählten Arbeitpunkt, (U A
*|I A)
bestimmen Sie eine sog. Schwellenspannung U Sch
U
Sch
⎛I
⎞
A
= a ⋅Uth
⋅ ln⎜
⎟=
0,821 V .
⎝ IS
⎠
Die Gerade mit der Steigung 1/R B durch den
Punkt (0|U Sch) stellt eine für manche Zwecke
brauchbare Näherung der I-U-Kennlinie dar
(gestrichelt rot in Abb. 21). Die Werte für
Abb. 21 entstammen dem Datenblatt der Diode
1N4148 (Diodenfaktor a = 2,13, Arbeitspunkt
(853 mV|77 mA); Sperrstromstärke I S = 24 nA).
3.7 Messungen an Dioden
In Abb. 22 sehen Sie die Stromstärken durch eine
Si-Diode in Flussrichtung (links) und
Sperrrichtung (rechts). Beachten Sie die
unterschiedlichen Skalierungen der Abszissen.
Auf diese Messung wird nun Gl. 15 angewendet.
Sperrichtung (U < 0; |U| » U th):
⎛ U ⎛ 1 1
I = IS0
⋅ − −
⎝ ⎝
⎞⎞
G
exp ⎜ ⎜ ⎟
.
a Uth
U ⎟
th0
⎠⎠
Diodenstrom (A)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Spannung (V)
21 Reale Kennlinie: Wirkung des Bahnwiderstandes RB
22 Diodenkennlinien; links Durchlass-, recht Sperrrichtung
Quelle: /7/
(16)
16
Andere Verfahren verwenden als Geradensteigung die Steigung der Tangente im Arbeitspunkt
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Halbleiter-Diode
Die Auswertung des Kennlinienfeldes für die
Sperrrichtung liefert z. B. für eine Messung des
Sperrstroms als Funktion der Temperatur eine
Darstellung wie in Abb. 23 gezeigt (Ordinate
logarithmisch skaliert).
Deutlich ist den Messwerten der Einfluss der
Sperrspannung anzusehen, der in der Theorie
dieses Skripts nicht analysiert wird.
Flussrichtung (U > U th):
Das Kennlinienfeld in Flussrichtung wertet man
gut aus, indem die Spannungen für konstante
Stromstärken und unterschiedliche Temperaturen
betrachtet werden (Abb. 22 links). Die
durchgezogenen Linien in Abb. 24 zeigen eine
Simulation mit der folgen Gleichung:
⎛ U ⎛ 1 1 ⎞⎞ ⎡ ⎛ U ⎞ ⎤
I = IS0
⋅
⎜
− −
⎟
⋅ −
⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
G
exp⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎢exp⎜ ⎟ 1 ⎥.
a Uth
Uth0
aU
th
Bandlücke U G, Sperrstromstärke I S0 und
Diodenfaktor a sind aus der Analyse der
Sperrstromstärke übernommen.
3.8 LED
Jetzt verstehen Sie die Elektrolumineszenz der
Halbleiterdiode. Dazu sei noch einmal der
historische Beitrag von O. V. Lossev von 1924
zitiert. Im Rahmen sorgfältiger Messungen stieß
der Elektroniker O. V. Lossev auf die
Lumineszenz-Erscheinungen an der
Kontaktstelle in der SiC-Diode (Abb. 25) und
hatte etwas Mühe, das Phänomen zu verstehen.
Sie wissen nun:
Beim pn-Übergang in Durchlassrichtung (U < 0)
werden Minoritätsladungsträger injiziert
(n → n(p) und p → p(n)) und die so
entstandenen Elektron-Loch-Paare rekombinieren
unter Autssenden Photonen, deren Energie
mehr oder weniger direkt durch den Wert der
Bandlücke bestimmt ist (h⋅c/λ ≈ E G). Direkte
Halbleiter haben einen hohen Wirkungsgrad.
Durch das einschmelzen in Kunststoffkapseln
mit passend gewählter Dispersion reduziert man
Reflexionsverluste an den Halbleiteroberflächen.
Sperrstrom (log(A))
Diodenstromstärke (Log(A))
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
23 Sperrstrom durch die Diode; Messwerte aus Abb. 22;
Simulation (rot) nach Gl. 16 mit : UG = 1,1 V; a = 1,45;
IS0 = 3,47⋅10 − 11
A. Die drei Messwertreihen gehören zu drei
unterschiedlichen Sperrspannungen (0,1 V; 1 V; 10 V)
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
0 50 100 150 200
Temperatur (°C)
-12
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Diodenspannung (V)
24 Simulation der Flusskennlinien nach Gl. 17; Messwerte aus
Abb. 22; Scharparameter Flussstromstärke:
I =1,0⋅10 − 07
/1,0⋅10 − 06
/1,0⋅10 − 05
/2,56⋅1,010 − 05
/1,010 − 04
A;
Fitparameter: UG = 1,1 V; a = 1,45; IS0 = 3,47⋅10 -11 A.
25 Lumineszenz-Erscheinungen beim historischen Experiment von
Oleg Vladimirovich Lossev
Quelle: Wireless World and Radio Review 1924,271, 93
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Halbleiter-Diode
Das Spektrum unterschiedlicher Bauformen von
LED, um die verschiedensten Farbeffekte zu
erzeugen, ist sehr groß. Ein Darstellung hier
würde den Rahmen sprengen und wäre vor allem
auch nicht aktuell, da „Bangap-Engineering“ und
die Entwicklung neuer Verbindungshalbleiter
derzeit rasante Fortschritte produzieren 17 . Bitte
recherchieren Sie dazu in der aktuellen Literatur.
Es stellt sich vielleicht aber noch die Frage, wie
mit LED weißes Licht erzeugt werden kann. Im
Prinzip stehen dazu drei Möglichkeiten zur
Verfügung
26 LED produzieren weißes Licht
Quelle: /7/
(1) Man mischt mehre Farben zu Weiß (Nachteil: unterschiedliche Lebensdauern der Einzelfarben führen
mit der Zeit zu Farbfehlern) oder
(2) eine UV-LED regt einen weiß leuchtenden Farbstoff an (Phosphor Down-Conversion, wie bei den
Leuchtstofflampen) oder
(3) ein gelb leuchtender Farbstoff wird blau angeregt. Gelb und Blau zusammen ergeben in unserer
Farbwahrnehmung Weiß (Lumineszenzkonversion) Abb. 26 zeigt, wie es geht: Das blaue Lumineszenzlicht
einer GaN-LED mit einer Peakwellenlänge von etwa 450 nm regt die breitbandige Emission des
Leuchtstoffes an. Die beiden komplementären Farben ergeben zusammen den Farbeindruck
Weiß − etwas sehr blau vielleicht, aber Weiß. Dieses Verfahren ist derzeit das effektivste und wird
vielfältig eingesetzt (vgl. /7/). Es sind Weißlicvht-LED mit einer Effizienz von mehr als 60 lm/W
erreichbar (7). Das Verfahren Nr. 1 hat den großen Nachteil, dass führen.
3.9 h-Bestimmung aus der Linienmitte
Aus Gl. 15 können Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Planck’sche Wirkungsquantums aus einer
Messung der Durchlasskennlinie und des LED-Spektrums abzuleiten. Dazu schreiben Sie Gl. 15 eibwebug
um und setzen die Bedingung für die Linienmitte ein:
⎛ ⎛ 1 1 ⎞⎞ ⎡ ⎛ U ⎞ ⎤
I = IS0
⋅exp ⎜
−UG
⎜ − ⎟ ⎟
⋅ exp⎜ ⎟−1
⎝ ⎝U th U
th0 ⎠⎠ ⎢⎣ ⎝U
th ⎠ ⎦⎥
⎛ U ⎞ ⎛ − ⎞
G
U UG
≈IS0
⋅exp⎜ ⎟exp ⎜ ⎟.
⎝Uth0
⎠ ⎝ Uth
⎠
IG
Hier ist I G eine Abkürzung für die Stromstärke durch die Diode im Fall U = U G. Auflösen nach U und
Einsetzen der Bedingung für die Linienmitte einer LED (E max = E G + k BT, vgl. Abb. 12) liefern,
⎛ I ⎞ E kT ⎛ I ⎞
ln
ln
G B
=
G
+
th ⎜ ⎟= + ⎜ ⎟
⎝IG
⎠ e e ⎝IG
⎠
U U U
E kT⎛ ⎛ I⎞ ⎞ h⋅c kT⎛ ⎛ I⎞
⎞
⎜
ln 1 ⎟ ⎜
ln 1 ⎟
.
⎝ ⎠ ⎝
⎠
max B B
= + ⎜ ⎟− = + ⎜ ⎟−
e e ⎝IG ⎠ e⋅
λmax e ⎝IG
⎠
Umax
ΔUkorr
(17)
17
Vgl. /7/
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Halbleiter-Diode
Bis auf einen (kleinen?) Korrekturterm ∆U korr liefert Gl. 17 für U = U(1/λ max) eine Gerade der Steigung
h⋅c/e. Zur Abschätzung der Größe des Korrekturterms: Wird T in Kelvin angegeben, finden Sie mit den
Werten von S. 16 für Silizium beispielsweise ∆U korr ≈ − 0,0016⋅T V, bei Zimmertemperatur also
∆U korr ≈ −0,47 V. Da I < I G leicht einstellbar ist, hängt der Korrekturterm nur schwach von der
Stromstärke I ab. Berücksichtigen Sie jetzt noch den Bahnwiderstand der Dioden, R B, gilt nach Ziffern 5,
Seite 17:
h⋅c
kT⎛
⎛ I⎞
⎞
ln 1 Δ .
⋅
⎝
⎝ ⎠ ⎠
B
U = + RB I Umax Ukorr RB
I
e λmax
e ⎜ ⎜ ⎟− + ⋅ = + + ⋅
I ⎟
G
Umax
ΔUkorr
(19)
Daraus ergibt sich das Verfahren zur h-
Bestimmung:
2,5
1. Suchen Sie den linearen Teil der Kennlinie
auf und verlängern Sie diesen rückwärts bis
2
zur U-Achse Schnittpunkt:
1,5
U Sch
* = U max + ∆U korr.
1
2. Aus dem Sperrstrom der Kennlinie
0,5
bestimmen Sie ∆U korr oder alternativ
2’. bestimmen Sie das Intensitätsmaximum
0
//
der LED-Linie: U max = h⋅c/(e⋅λ max) mit
Wellenlänge (1/∀m)
dem Spektrometer und damit einen Wert 27 Bestimmung von h im PhysikPraktikum der LUH
für ∆U korr.
3. Führen Sie die Schritte 1/2 bzw. 1/2’ für verschiedene LED aus.
4. Aus einem linearen Fit von U* − ∆U korr = f(1/λ max) bestimmen Sie die Steigung und damit h.
Ein Messbeispiel aus dem Physikpraktikum der LUH:
980 nm: U Sch = 1,0 V; 695 nm: U Sch = 1,4 V; 630 nm: U Sch = 1,6 V; 565 nm: U Sch = 1,8 V;
520 nm: U Sch = 2,2 V.
Damit erhalten Sie (Abb. 27)
1
Umax
= ( 1, 26 ± 0,1 μm ) ⋅ ; ΔU
korr
0,35 =− V
λ
max
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
und daraus: h = (6,723 ±0,7)⋅10 -34 Js. Die Messunsicherheit von über 10 % zeigt die Grenzen dieses
Verfahrens.
U Sch (V)
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Halbleiter-Diode
Anhang: Materialien
Leiter – Halbleiter – Isolatoren
Materialparameter Si, Ge, GaAs (bei T0 = 300 K)
Si Ge GaAs
effektive Elektronenmasse mn*/m e 1,08 0,55 0,067
effektive Lochmasse mp*/m e 0,811 0,37 0,45
Beweglichkeit Elektronen µn [cm 2 V -1 s -1 ] 1.350 3.600 8.000
Beweglichkeit Löcher µn [cm 2 V -1 s -1 ] 480 1.800 300
Effektive Zustandsdichte N C[cm − 3] 28,1⋅10 18 10,2⋅10 18 0,44⋅10 18
Effektive Zustandsdichte N V [cm − 3] 18,3⋅10 18 5,6⋅10 18 7,6⋅10 18
Bandabstand E G [eV] 1,1 eV 0,66 eV 1,42 eV
intrinsische Dichte n i [cm − 3] 1,5⋅10 10 2,4⋅10 13 1,8⋅10 6
Gitterkonstanten [nm] 0,543 0,566 0,565
Rekombinationskoeffizient B [cm 3 /s] ≈ 1⋅10 − 15 5⋅10 − 14 ≈ 7⋅10 − 10
Binäre Verbindungshalbleiter
IV/IV SiC SiGe
III/V GaAs AlAs InP GaP GaSb InAs GaN InN
II/VI CdS CsSe CsTe ZnS ZnSe ZnTe
IV/VI PbS PbTe
III/V Verbindungshalbleiter
Binäre Verbindungen GaAs InP GaSb
Ternäre Verbindungen InxGa1-xAs AlxGa1-xAs
Quaternäre Verbindungen: InxGa1-xAsyP1-y, (2*III, 2*V), InxAlyGa1-x-yAs (3*III, 1*V)
Bandgap-enginering:
λ max (nm) Matrial λ max (nm) Anwendung
InGaN/SiC 465 GaAlAs/NdYag 808 Frequenzverdoppler
InGaN/SiC 510 InGaAs 980 optische Verstärker
GaAsP/GaAs 590 AlGaAs 1064 Fiberoptik
GasP 610 InGaAsP 1310 optische Kommun.
AlGaInP 640 DVD-Laufwerke InGaAsP 1480 optische Verstärker
Laserpointer
GaAlAs 665 InGaAsP 1512 Gassensor (NH 3)
AlGaInP 670 Laserpointer InGaAsP 1550 Fiberoptik
GaP 700 GaSbAs 2680 Gassensor (CO 2)
AlGaInP 760 Gassensor (O 2) GaSbAs 3030 Gassensor (C 2H 2)
GaAlAs 785 CD-Laufwerke GaSbAs 3330 Gassensor (CH 4)
Einige LED-Materialien und ihre Anwendungen (Quelle: Internet-Recherche)
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Halbleiter-Diode
28 Bandlücken und Gitterkonstanten einiger Halbleitermaterialien; die roten Pfeile zeigen die wichtigen Infrarotquellen für die optische
Kommunikation
Quelle: /7/
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Halbleiter-Diode
Impressum
Halbleiter-Diode
herausgegeben von
Rüdiger Scholz
bearbeitet von
Dr. Rüdiger Scholz
© 2012 Rüdiger Scholz ⋅ Leibniz Universität Hannover
www.uni-hannover.de
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Bild 3, 25 Wireless World and Radio Review 1924,271, 93
Bild 14
Gowar, Optical Communication Systems
Bild 18, 22, 26, 28 E. Fred Schubert, www.LightEmittingDiodes.org
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