Formelsammlung Felder und Wellen – WS10/11 - ITE

1. Ortsvektoren
x
z
r
Formelsammlung
Felder und Wellen – WS10/11
Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
y
x
z
ϕ
r
x = R⋅cosϕ = r sinϑcosϕ
y = R⋅sinϕ = r sinϑsinϕ
z = z = r cosϑ
2 2
x + y = R = r sinϑ
y
arctan = ϕ = ϕ
z x
= z = r cosϑ
2 2 2 2 2
x + y + z = R + z = r
2 2
x + y R
arctan
= arctan
= ϑ
y z
z
arctan = ϕ = ϕ
x
R
y
x
z
r
ϑ r
ϕ
y
2. Komponenten eines Vektorfeldes
x
z
e
x
e
z
e
y
y
x
z
e
z
e ϕ
e
R
y
x
z
e r
e
e ϕ
ϑ
y
A = Ae + Ae + Ae = A e + Ae + Ae = Ae + Ae + Ae
x x y y z z R R ϕ ϕ z z r r ϑ ϑ ϕ ϕ
x R ϕ r
ϑ ϕ
y R ϕ r
ϑ ϕ
z z r
x y R r
x
A = A cos ϕ−A sin ϕ = A sin ϑcos ϕ+ A cos ϑcos ϕ−A sin ϕ
A = A sin ϕ+ A cos ϕ = A sin ϑsin ϕ+ A cos ϑsin ϕ+ A cos ϕ
A = A = A cosϑ−A sinϑ
A cosϕ+ A sinϕ = A = A sinϑ+ A cosϑ
-A
y
z z r
x y z R z r
x y z R z
x
sin ϕ+ A cos ϕ = A =
A
A = A = A cos ϑ−A sin ϑ
A sin ϑcos ϕ+ A sin ϑsin ϕ+ A cos ϑ = A sin ϑ+ A cos ϑ =
A
A cos ϑcos ϕ+ A cos ϑsin ϕ−A sin ϑ = A cos ϑ−A sin ϑ =
A
−A sinϕ+ A cosϕ = A =
A
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ

3. Linien-, Flächen- und Volumenelemente
Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
z
z
x
dx
z
dz
dy
y
x
dz
dR
Rdϕ
y
x
r
rdϑ
dr
rsinϑdϕ
y
ds = exdx + eydy + ezdz = eR ⋅ dR + e
ϕ
⋅ Rd ϕ = er
⋅ dr + eϑ
⋅r dϑ
+ e ⋅ dz + e ⋅r sin ϑ dϕ
z
ϕ
= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ = ⋅ ⋅ ϑ ϑ ϕ
+ ez
⋅ dx dy + ez
⋅R ⋅dR dϕ + eϑ
⋅r ⋅sin ϑ dr dϕ
+ eϕ ⋅r⋅dr dϑ
2
df ex dy dz ey dx dz eR R d dz eϕ
dR dz er
r sin d d
2
dv dx dy dz R dR d dz r sin dr d d
= = ϕ = ⋅ ϑ⋅ ϑ ϕ
4. Differentialoperatoren
Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ 1∂ψ 1 ∂ψ
grad ψ = ex + ey + e
z
= eR + eϕ + e
z
= er
+ eϑ + eϕ
∂x ∂y ∂z ∂R R ∂ϕ ∂z ∂r r ∂ϑ r sinϑ ∂ϕ
∂A ∂A
x y ∂A A
z 1 ∂ 1 ∂ ∂Az
1 ∂ 2 1 ∂
div A = + + = R A
R
+ + = r A
2
r
+ A
ϑ
sinϑ
∂x ∂y ∂z R ∂R R ∂ϕ ∂z r ∂r r sinϑ ∂ϑ
1 ∂Aϕ
+ r sin ϑ ∂ϕ
ϕ
( ) ( ) ( )
rot A
⎛ A A ⎞ ⎛
z y
1 A A ⎞
z ϕ
1 ⎡ A ⎤
= e ∂ ∂
x
= e ∂ ∂
∂
∂
ϑ
− R
= er
( A
ϕ
sin )
y z + − R z + ϑ − +
⎝⎜
∂ ∂ ⎠⎟
⎝⎜
∂ϕ ∂ ⎠⎟
r sinϑ ⎣
⎢∂ϑ ∂ϕ ⎦
⎥
⎛ A A ⎞ ⎛ A A ⎞
1⎡
1 A
⎤
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + − ( )
+
⎜ ⎝ ∂z ∂x ⎠⎟
⎝⎜ ∂z ∂R ⎠⎟
r ⎣
⎢sinϑ ∂ϕ ∂r
⎦
⎥
⎛ Ay A ⎞ ⎛
x 1 1 A ⎞
R 1
Ar
+ e ∂ ∂
z
+ e ∂
∂
z ( R A
ϕ) ⎡ ∂ ∂ ⎤
+ eϕ ( r Aϑ)
− − −
⎜ x y ⎝ ∂ ∂ ⎠⎟
⎜⎝R ∂R R ∂ϕ ⎠
⎟
r ⎢⎣∂r
∂ϑ ⎥⎦
x z R z r
+ e
y
⎟
+ e
ϕ ⎟
+ eϑ r Aϕ
2 2 2 2 2
∂ψ ∂ψ ∂ψ 1 ∂ ⎛ ⎞ 1 1 ⎛
2
⎞ 1
= = ∂ψ
R ∂ψ ∂ψ ∂
= ∂ψ
r
∂ ⎛ ⎞
Δψ + +
2 2 2 + +
2 2 2 2 +
2
∂ψ
∂x ∂y ∂z R ∂R⎜⎝ ∂R⎠⎟
R ∂ϕ ∂z r ∂r⎝⎜
∂r⎠⎟
⎜sinϑ r sinϑ∂ϑ⎜⎝
∂ϑ⎠⎟
2
1 ∂ψ
+ r
2 sin
2 2
ϑ∂ϕ

5. Maxwellgleichungen in allgemeingültiger Form
6. Materialgleichungen
7. Kräfte und Momente
i
div D = ρ
rot H = J + D
i
⎛ ⎞
D df = ρ dv H ds = ⎜J + D df
⎜⎝ ⎠⎟
∫
∫ ∫ ∫
al lg emein : D = ε E + P B = μ H + M
0 0
für lineare, isotrope D = εε
0 rE B = μμ
0 rH
Medien: P = χ ε E M = χ ⋅H
el 0 m
el r m r
F = Q⋅E F = Q⋅ v×
B
Kraft zwischen
zwei Ladungen
( )
mit χ = ε - 1 mit χ = μ - 1
( )
= ⋅A⋅ J×
B
( )
1 QQ
1 2
F = e
2 r
= I ( × B)
4πε
r
Dipolmoment: p = Q⋅d m = N⋅A⋅I⋅n
Drehmoment: T = p× E T = m × B
8. Grenzflächen
i
rot E = - B div B = 0
d
E ds = - B df B df = 0
dt
∫
∫ ∫
σ
= D - D J = H - H , J ⊥(H - H )
n2 n1 f t2 t1 f t2 t1
E = E B = B
t2 t1 n2 n1
9. Feldenergiedichte
1 1
al lg emein : w
e
= E ⋅D w
m
= H ⋅B
2 2
1
2 1
2
für lineare, isotrope Medien: w
e
= ε E w
m
= μ H
2 2
∫
Gesamtenergie W = w dv W = w dv
e e m m
∫

10. Skalarpotential
r2
Elektrostatik: Φ r - Φ r = - E ds E = - grad Φ
( ) ( )
el 2 el 1 el
Magnetostatik: Φ r - Φ r = - H ds H = - grad Φ
( ) ( )
r1
r2
MP 2 MP 1 MP
1 ρ( r' )
Coulomb integral : Φ( r ) = dv'
4πε
∫
r - r'
ρ
Poisson int egral : ΔΦel
= -
ε
Laplacegleichung : ΔΦ = 0 (für ρ = 0)
el
∫
∫
r1
Partikulärlösung in kartesischen Koordinaten:
[ ]
[ ( ) ( )
1 2 ] 3
( )
4
( )
(für α ≠ 0) Φ = a sin αx + a cos αx ⋅ a sin βy + a cos βy
Partikulärlösung in Zylinderkoordinaten:
αβ
γ
γ
⋅[ a ⋅e + a ⋅e ] mit
γ = α + β
z - z 2 2 2
5 6
(für γ ≠ 0) Φ = [ a J ( γR ) + a N ( γR)
] ⋅[ a sin( m ϕ) + a cos( mϕ)
]
Partikulärlösung in Kugelkoordinaten:
(für
γm 1 m 2 m 3 4
⋅[ a sinh( γz ) + a cosh( γz
)]
m
m
5 6
mit J : Besselfunktion 1. Art
N
: Besselfunktion 2. Art (Neumann)
1
-( +1) m m
- )
m
= ⎡
≠ Φ a
1
r + a
2
r ⎤
[ a3 P (cos ) + a4
Q (cos )]
2
⎣
⎦
⋅ ⋅
ϑ ⋅
ϑ
⋅[ a sinm ( ϕ) + a cosm ( ϕ)
]
5 6
m
mit P
: zugeordnete Legendrepolynome 1. Art
Q
m
: zugeordnete Legendrepolynome 2. Art
11. Vektorpotential
Vektorpotential:
rot A = B
Coulomb-Eichung: div A = 0
" Poissongleichung " : ΔA = - μ⋅J ΔA = - μ⋅J ΔA = - μ⋅J
x x y y z z
"Coulomb int egral " :
J(r')
(Das Volumen v' muss A
( μ
r ) =
alle Ströme beinhalten)
4 π
∫ dv' r - r'
μ J(r') × (r - r')
Gesetz v. Biot-Savart: B( r ) =
3
dv'
4π
∫
r - r'
μI ds' μ I ds' × (r - r')
für Linienleiter: A( r ) = B( r ) =
3
4π
∫
r - r' 4π
∫
r - r'

12. Das stationäre Strömungsfeld
Stromdichte: J = κ E
U -∫
E ds
elektrischer Widerstand R = =
I
∫ J df
dw
j
Verlustleistungsdichte: = J ⋅ E
dt
13. Kapazität
allgemein:
⎛Q1⎞ c11 ⋅ ⋅ c1n ⎛Φ1⎞
⎛
⎞
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⎟⋅
⋅⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎟
Q c
n
n1
c
⎜
⋅ ⋅ nn
⎝ ⎟⎠ ⎜⎝
⎠⎟
⎝
⎜Φ⎜
n⎠⎟
speziell:
Q ∫
D df
für n = 2 und Q
1
= -Q
2
= Q: C = =
U
- E ds
Energie allgemein:
⎛c11 ⋅ ⋅ c1n ⎞ ⎛Φ1
⎞
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ W
el
= ( Φ1,....,
Φn
) ⋅ ⎜ ⋅⎜ 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ cn1 c
⎜
⎝ ⋅ ⋅
nn⎠⎟
⎜Φ⎜
⎝ n⎠⎟
Energie speziell:
1
für n = 2 und Q
1
= -Q
2
= Q: W
el
=
2
C ⋅ U
14. Induktivität
⎛L11 ⋅ ⋅ L1n ⎞ ⎛I1
⎞
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Energie: W
m
= ( I
1,...., In)
⋅
⋅
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Ln1 L ⎜
nn
I
⎝ ⋅ ⋅ ⎠⎟ ⎝ ⎜ n⎠⎟
1 2
für n = 1: W
m
= L ⋅ I
2
1 2 1
2
für n = 2: W
m
= L11 ⋅I 1
+ L12I1I 2
+ L22 ⋅I2
2 2
Nk ⋅Φm,ik μ ds
i
dsk
Gegeninduktivität: L
ik
= = (für dünne Leiter)
I 4π
∫∫
r - r
(a)
äußere Selbstinduktivität: L =
Magnetischer Fluss:
N ⋅Φ
I
Φ = B dA
m,ik
∫∫
(A k )
m,ik
Induktionsspannung: Uind,ik
=−Nk
dt
i ci
ck
i k
(a)
i
dΦ
∫
2

15. Maxwellgleichungen für harmonische Vorgänge
div D = ρ
rot H = J + j ω D
rot E = - j ω B
div B = 0
16. Schnell veränderliche Felder
nicht leitende Materialien leitende Materialien
2 2
∂ E ∂E ∂ E
Allgemein: ΔE - εμ = 0 ΔE - κμ -εμ = 0
2
2
∂t ∂t ∂t
Harmonische
2 2
Vorgänge:
Δ E+ω εμE = 0 ΔE
- jωκ
μE+ ω εμ E = 0
für H entsprechend
Wellenzahl:
Lichtgeschwindigkeit:
Komplexer
Poynting-Vektor:
2 2 ⎛2π⎞ k = ω εμ= ⎜
⎜⎝
λ ⎠⎟
1
c = εμ
S= E×
H*
2
Zeitlicher Mittelwert 1
S = Re E × H*
der Energiestromdichte : av
2
{ }

17. Verwendete Formelzeichen
ds, df, dv
Weg-, Flächen- und Volumenelemente
E, D elektrische Feldstärke, Verschiebungsdichte
H, B magnetische Feldstärke, Flußdichte
J, Jf
Stromdichte, Flächenstromdichte
P, p Polarisation, elektrisches Dipolmoment
M, m Magnetisierung, magnetisches Dipolmoment
ε , ε
Dielektrizitätskonstante, -zahl
0 r
μ , μ
Permeabilitätskonstante, -zahl
0 r
χ , χ
elektrische, magnetische Suszeptibilität
el
ik
m
Q
Ladung
Länge
A
Fläche
N
Windungszahl
U, I Spannung, Strom
R
Widerstand
C, L Kapazität, Induktivität
c
ik,L
n
T
σ
Influenzkoeffizienten, Induktionskoeffizienten
Normalenvektor
Drehmoment
Flächenladungsdichte
w, W Energiedichte, Energie
Φel
elektrisches Potential
r, d Richtungs-, Abstandsvektor
A
magnetisches Vektorpotential
κ
elektrische Leitfähigkeit
Φ Φ Φ
(a)
i, ,
m
innerer, äußerer magnetischer Fluß
ω
Kreisfrequenz
k
Wellenzahl
c, λ
Lichtgeschwindigkeit, Wellenlänge
S
komplexer Poyntingvektor
S
Zeitlicher Mittelwert der Energiestromdichte
av