Formelsammlung Felder und Wellen – WS10/11 - ITE

10. Skalarpotential
r2
Elektrostatik: Φ r - Φ r = - E ds E = - grad Φ
( ) ( )
el 2 el 1 el
Magnetostatik: Φ r - Φ r = - H ds H = - grad Φ
( ) ( )
r1
r2
MP 2 MP 1 MP
1 ρ( r' )
Coulomb integral : Φ( r ) = dv'
4πε
∫
r - r'
ρ
Poisson int egral : ΔΦel
= -
ε
Laplacegleichung : ΔΦ = 0 (für ρ = 0)
el
∫
∫
r1
Partikulärlösung in kartesischen Koordinaten:
[ ]
[ ( ) ( )
1 2 ] 3
( )
4
( )
(für α ≠ 0) Φ = a sin αx + a cos αx ⋅ a sin βy + a cos βy
Partikulärlösung in Zylinderkoordinaten:
αβ
γ
γ
⋅[ a ⋅e + a ⋅e ] mit
γ = α + β
z - z 2 2 2
5 6
(für γ ≠ 0) Φ = [ a J ( γR ) + a N ( γR)
] ⋅[ a sin( m ϕ) + a cos( mϕ)
]
Partikulärlösung in Kugelkoordinaten:
(für
γm 1 m 2 m 3 4
⋅[ a sinh( γz ) + a cosh( γz
)]
m
m
5 6
mit J : Besselfunktion 1. Art
N
: Besselfunktion 2. Art (Neumann)
1
-( +1) m m
- )
m
= ⎡
≠ Φ a
1
r + a
2
r ⎤
[ a3 P (cos ) + a4
Q (cos )]
2
⎣
⎦
⋅ ⋅
ϑ ⋅
ϑ
⋅[ a sinm ( ϕ) + a cosm ( ϕ)
]
5 6
m
mit P
: zugeordnete Legendrepolynome 1. Art
Q
m
: zugeordnete Legendrepolynome 2. Art
11. Vektorpotential
Vektorpotential:
rot A = B
Coulomb-Eichung: div A = 0
" Poissongleichung " : ΔA = - μ⋅J ΔA = - μ⋅J ΔA = - μ⋅J
x x y y z z
"Coulomb int egral " :
J(r')
(Das Volumen v' muss A
( μ
r ) =
alle Ströme beinhalten)
4 π
∫ dv' r - r'
μ J(r') × (r - r')
Gesetz v. Biot-Savart: B( r ) =
3
dv'
4π
∫
r - r'
μI ds' μ I ds' × (r - r')
für Linienleiter: A( r ) = B( r ) =
3
4π
∫
r - r' 4π
∫
r - r'