9. Übungsblatt – Theoretische Physik VI (Vertiefung): Statistische ...

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik 4. Januar 2011
Prof. Dr. Sabine H. L. Klapp
Dipl. Phys. Helge Neitsch
9. Übungsblatt – Theoretische Physik VI (Vertiefung): Statistische Physik I
Abgabe: Di. 11.01.2011 10:00 Uhr vor der Vorlesung
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet.
Dafür gibt es auch Punkte! Die Abgabe soll in Zweiergruppen erfolgen.
Aufgabe 24 (5 Punkte): Paarkorrelationsfunktion, Ein- und Zweiteilchendichten
Betrachten Sie ein kanonisches Ensemble aus N Teilchen im Volumen V bei der Temperatur T .
Die Paarkorrelationsfunktion g(R 1 , R 2 ) zu den Orten R 1 und R 2 ist definiert durch
g(R 1 , R 2 ) = ρ(2) (R 1 , R 2 )
ρ (1) (R 1 )ρ (1) (R 2 ) .
Hierbei sind die Einteilchendichte ρ (1) (r) und die Zweiteilchendichte ρ (2) (r, r ′ ) jeweils durch ihre
statistischen Definitionen
N∑
N∑ ∑
ρ (1) (r) = 〈 δ(r − r i )〉 und ρ (2) (r, r ′ ) = 〈 δ(r − r i )δ(r ′ − r j )〉
i=1
i=1 j≠i
gegeben.
Zeigen Sie, dass sich g(R 1 , R 2 ) für ein homogenes und isotropes System mit ρ = N/V und
r ij = |r i − r j | schreiben lässt als
g(R 1 , R 2 ) = g(R 12 ) = 〈∑ N ∑
i=1 j≠i δ(R 12 − r ij )〉
4πρNR12
2 .
Aufgabe 25 (10 Punkte): Landau-Theorie 2, homogener Ferromagnet
Die Landau-Theorie des homogenen Ferromagneten führt zu dem folgenden Ansatz für die Freie
Energie im kritischen Bereich:
F (T, m) =
∞∑
L 2n (T )m 2n mit L n (T ) =
n=0
mit l nj = const und der Curie-Temperatur T C .
a) Bestimmen Sie die Zustandsgleichung
∞∑
l nj (T − T C ) j ,
j=0
B 0 = B 0 (T, m)
(B 0 = µ 0 H).
b) Berechnen Sie die Suszeptibilität
χ T = µ 0
V
( ∂m
∂B 0
)T
= χ T (T, m)
und zeigen Sie, dass aus der experimentell beobachteten Divergenz von χ T
notwendig
l 20 = 0
für T → T C
folgen muss.
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9. Übung TPVI WS10/11
c) Berechnen Sie die kritischen Exponenten
β, γ, γ ′ und δ
unter der Voraussetzung:
l 40 > 0, l 21 ≠ 0 und l 02 ≠ 0.
Kann man l 40 > 0 begründen?
Aufgabe 26 (10 Punkte): Monte-Carlo-Simulation 2, periodische Randbedingungen, Minimum-
Image-Convention
Schreiben Sie ein C-Programm, welches die Paarkorrelationsfunktion eines zweidimensionalen Systems
aus N identischen, harten Scheiben unter periodischen Randbedingungen bestimmt.
Betrachten Sie dazu ein quadratisches Simulationsgebiet mit der Seitenlänge L. Bestimmen Sie
die Paarkorrelationsfunktion für N = 400 Teilchen und wählen Sie dabei L so, dass sich eine
Flächenpackungsdichte
η = Nπσ2
4L 2 = 0.1
ergibt! Verwenden Sie dazu die Minimum-Image-Convention und reduzierte Einheiten mit σ ∗ =
1.0.
HINWEIS: Abgabe der Programmieraufgabe erst zum 18.Januar, also in zwei Wochen!
Vorlesung:
• Dienstags 10:00 Uhr – 12:00 Uhr im EW 202.
• Donnerstags 14:00 Uhr – 16:00 Uhr im EW 202.
Übung:
• Dienstags 12:00 Uhr – 14:00 Uhr im EW 203.
Scheinkriterien:
• Mindestens 50% der Übungspunkte.
• Regelmäßige und aktive Teilnahme am Tutorium.
Literatur zur Lehrveranstaltung:
• M. Plischke, B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, (World Scientific)
• W. Nolting, Theoretische Physik 6, (Springer)
• F. Schwabl, Statistische Mechanik, (Springer)
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik (Akademie Verlag)
• D. Wu, D. Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics,(Oxford)
• L. E. Reichel, A Modern Course in Statistical Physics, (Edward Arnold LTD)
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