Zweite Klausur zur Linearen Algebra 2 Name Matrikelnr. Nr. 1 ... - IWR
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<strong>Name</strong>:<br />
Mat.<strong>Nr</strong>.:<br />
Aufgabe 3.<br />
(4 Punkte)<br />
Es sei (V,γ) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und φ,ψ zwei<br />
selbstadjungierte Endomorphismen von V .<br />
Zeigen Sie:<br />
a) φ ◦ ψ ist selbstadjungiert ⇔ φ ◦ ψ = ψ ◦ φ<br />
b) Ist φ ◦ ψ selbstadjungiert, so besitzt jeder Eigenraum von φ eine Basis, die<br />
aus Eigenvektoren von ψ besteht.<br />
Hinweis: Betrachten Sie dazu für einen gegebenen Eigenraum Eig(ϕ,λ) von<br />
ϕ die wohldefinierte (?) Einschränkung ψ| Eig(ϕ,λ) ∈ End(Eig(ϕ,λ)).<br />
c) Ist φ◦ψ selbstadjungiert, so ist jeder Eigenwert von φ◦ψ ein Produkt eines<br />
Eigenwertes von φ und eines von ψ. Verwenden Sie dazu b).<br />
4
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