Zweite Klausur zur Linearen Algebra 2 Name Matrikelnr. Nr. 1 ... - IWR

Zweite Klausur zur Linearen Algebra 2
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. D. Vogel
Michael Maier
Sommersemester 2010
25.9.10, 10.00-12.00 Uhr
Dauer: 2 Stunden
Hilfsmittel: ein handbeschriebenes A4-Blatt (d.h. insbesondere keine Kopien!)
Geben Sie dieses mit der Klausur ab.
Punkte: Aus den 5 Aufgaben ergibt sich die Gesamtpunktzahl als Summe der 4
besten Punktezahlen. Die schlechteste Aufgabe wird also gestrichen.
Bestehen: Zum Bestehen der Klausur sind 8 Punkte hinreichend.
Bearbeitung: Verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt und beschriften
Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Name
Matrikelnr.
Nr. 1 2 3 4 5
∑
Punkte
Kürzel
Viel Erfolg!
1

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Das Polynom X 3 + X + 1 ∈ F 2 [X] ist sowohl irreduzibel als auch prim.
b) Ist n ∈ N, R ein kommutativer Ring mit Eins und A ∈ M(n × n,R), dann
ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0.
c) Die Quadrikpolynome f = X 2 1 +1, g = X 2 1 +2X 1 X 2 ∈ R[X 1 ,X 2 ] sind nicht
affin äquivalent.
d) Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukten
γ 1 ,γ 2 : V × V −→ R. Gibt es eine Basis B, die für γ 1 und γ 2 eine ONB ist,
so gilt γ 1 = γ 2 .
2

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Gegeben sei folgende ganzzahlige Matrix:
⎛
2 −1
⎞
1
A = ⎝−1 2 −1⎠
1 −1 2
a) Begründen Sie, warum A aufgefasst als reelle Matrix diagonalisierbar ist
und bestimmen Sie die Hauptachsentransformation von A mit den zugehörigen
Transformationsmatrizen.
b) Untersuchen Sie, ob A aufgefasst als Matrix über F 3 auch diagonalisierbar
ist.
3

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Es sei (V,γ) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und φ,ψ zwei
selbstadjungierte Endomorphismen von V .
Zeigen Sie:
a) φ ◦ ψ ist selbstadjungiert ⇔ φ ◦ ψ = ψ ◦ φ
b) Ist φ ◦ ψ selbstadjungiert, so besitzt jeder Eigenraum von φ eine Basis, die
aus Eigenvektoren von ψ besteht.
Hinweis: Betrachten Sie dazu für einen gegebenen Eigenraum Eig(ϕ,λ) von
ϕ die wohldefinierte (?) Einschränkung ψ| Eig(ϕ,λ) ∈ End(Eig(ϕ,λ)).
c) Ist φ◦ψ selbstadjungiert, so ist jeder Eigenwert von φ◦ψ ein Produkt eines
Eigenwertes von φ und eines von ψ. Verwenden Sie dazu b).
4

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Es sei φ : C 5 −→ C 5 ein Endomorphismus mit den folgenden Eigenschaften:
(i) φ besitzt 2 als einzigen Eigenwert.
(ii) Die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 2 ist drei.
(iii) (φ 2 − 2φ) 2 = 0
a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom, die Invariantenteiler und die Jordansche
Normalform von φ.
b) Zeigen Sie, dass φ bijektiv ist und bestimmen Sie die Jordansche Normalform
von φ −1 .
5

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 5.
(4 Punkte)
Man bestimme alle abelschen Gruppen mit 720 Elementen (bis auf Isomorphie).
Hinweis: Geben Sie eine Liste abelscher paarweise nicht isomorpher Gruppen an,
so dass jede abelsche Gruppe mit 720 Elementen zu einer dieser isomorph ist.
Begründen Sie, warum dies der Fall ist.
6