4.1 Vektorrechnung 1. Grundlagen - Kantonsschule Solothurn

Kantonsschule Solothurn
Vektorrechung
RYS WS08/09
4.1 Vektorrechnung
1. Grundlagen
1.1 Skalar / Vektor
In der Physik unterscheiden wir grundsätzlich zwei verschiedene Typen physikalischer
Einheiten: Skalare und Vektoren.
Ein Skalar ist eine relle Zahl. Er ist also eine Grösse ohne Richtung.
Unter einem Vektor versteht man eine Schar aus sämtlichen untereinander parallelen,
gleichgerichteten und gleichlangen Strecken. Ein Vektor ist also eine Grösse, die eine Länge
(Betrag) und eine Richtung besitzt. Wir stellen Vektoren als Pfeile dar und werden sie mit
kleinen Buchstaben ( a r , x
r , etc.) anschreiben.
+ Nullvektor r 0: hat den Betrag Null und besitzt keine Richtung.
+ Einheitsvektor r e: hat den Betrag 1
1.2 Operationen mit Vektoren
1.2.1. Addition
Zwei Vektoren werden addiert, indem wir sie aneinandersetzen.
Die Subtraktion wird auf die Addition zurückgeführt - wie in der Algebra - wir addieren den
Gegenvektor.
1.2.2. S-Multiplikation
Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird der ursprüngliche Vektor verkürzt
bzw. verlängert oder um 180° gedreht und verkürzt oder verlängert.
+ 1 < l: l× r a hat dieselbe Richtung wie r a, verlängert
+ 0 < l < 1: l× r a hat dieselbe Richtung wie r a, verkürzt
+ l = 0: l× r a ist der Nullvektor
+ -1 < l < 0: l× r a hat die entgegengesetzte Richtung zu r a, verkürzt
+ l < -1: l× r a hat die entgegengesetzte Richtung zu r a, verlängert.
+ Gegenvektor/Kehrvektor: Dieselbe Länge, aber um 180° gedreht.
1.3 Kollinearität / linear unabhängig
Sind zwei Vektoren r a und r b zu ein und derselben Geraden parallel, so ist r b ein Vielfaches von
r
a, d.h. r b = l r a. Die Vektoren heissen dann kollinear. (kollinear: zugehörig zu einer Geraden)
+ Man nennt zwei nicht kollineare Vektoren linear unabhängig.
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1.4 Vektoren im Koordinatensystem
a) Die Ebene:
b) Der Raum:
æ - ö æ ö
= ® x 2 x1
ax
a r P1P
1=
ç ÷= ç ÷
è y2
- y1
ø è
ay
ø
Länge = Betrag : a r 2 2
= ax
+ ay
: Koordinatendifferenzen
æ - ö æ ö
ç ÷ ç ÷
= ® x 2 x1
ax
a r P1P
2 = ç y2
- y1÷
= çay
÷ : Koordinatendifferenzen
ç ÷ ç ÷
è z2
- z1
ø è az
ø
Länge = Betrag: a r 2 2 2
= ax + ay + az
+ Ortsvektor: Vektor, dessen Anfangspunkt im Ursprung liegt.
Da wir nun die Koordinaten der Vektoren kennen, können die S-Multiplikation und die
Vektoraddition sehr einfach ausgeführt werden:
æax
ö ælax
ö
ç ÷ ç ÷
S-Multiplikation: la r =lçay
÷ = çlay
÷
ç ÷ ç ÷
è az
ø è laz
ø
Multiplikation mit Skalar erfolgt komponentenweise.
æax
ö æbx
ö æax
+ bx
ö
r ç ÷ ç ÷ ç ÷
Vekoraddition: a+
b
r
= çay
÷ + çby
÷ = ç ay
+ by
÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
èaz
ø èbz
ø è az
+ bz
ø
Addition zweier Vektoren erfolgt komponentenweise.
1.5 Zerlegung eines Vektors
+ Basisvektoren: Einheitsvektoren in Richtung der x -, y - oder z - Achse.
Wir können jeden Vektor in seine Basisvektoren zerlegen. Diese Zerlegung ist ein Spezialfall
eines allgemeinen Sachverhaltes: Jeder Vektor r c lässt sich stets in seine Komponenten
zerlegen, wobei die Richtung der Komponenten durch die Vektoren, welche in derselben Ebene
liegen wie r c , vorgegeben sind. Diese Vektoren bilden dann eine Basis des Vektors r c .
Seien die Vektoren r a und r b Basisvektoren des Vektors r c , so gilt: r c = l r a + m r b. l und m sind die
skalaren Komponenten bzw. die Koordinaten von r c bezüglich der Basis { r a , r b}.
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1.6 Skalarprodukt
Es sei j der Zwischenwinkel der Vektoren r a und r b ( r a , r b ¹ r 0).
ist das skalare Produkt der Vektoren r a und r b .
r
a × r b = | r a| × | r b| × cosj = a x b x + a y b y + a z b z
+ Links vom Gleichheitszeichen stehen zwei Vektoren, rechts eine reelle Zahl.
+ Das Skalarprodukt kann negativ, positiv oder gleich Null sein:
Auflösung nach j:
cosj =
r r
a × b
r r =
a × b
a
2
x
a b
x
+ a
2
y
x
+ a b
+ a
2
z
y
×
y
+ a b
b
2
x
z
z
+ b
2
y
+ b
2
z
Wichtig ist der Fall, dass cosj = 0 ist:
Stehen zwei Vektoren r a und r b senkrecht aufeinander, dann ist das Skalarprodukt der beiden
Vektoren gleich Null.
Umgekehrt gilt auch: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, dann stehen die beiden
Vektoren senkrecht aufeinander.
1.7 Vektorprodukt
æc
r ç
c=
çc
ç
èc
x
y
z
ö æayb
÷ r r ç
÷ = a´
b=
çazb
÷ ç
ø èaxb
z
x
y
- a b
z
- a b
x
- a b
y
y
z
x
ö æ e
÷ ç
÷ = detçe
÷ ç
ø èe
1
2
3
a
a
a
x
y
z
bx
ö
÷
by
÷
b ÷
z ø
+ Dieses Produkt ergibt einen Vektor, daher heisst es Vektorprodukt.
+ Der resultierende Vektor c r steht senkrecht auf r r
a bzw. b, d.h.
r r r r
c × a = 0 und c × b = 0.
Geometrische Bedeutung des Vektorproduktes:
r r r r r
c = a ´ b = a × b × sinf, dies ist die Fläche des von r r
a bzw. b aufgespannten Parallelogrammes.
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2. Gerade und Ebene
2.1 Die Parameterdarstellung der Geraden
Parametergleichung der Geraden
r r
=
0
r
+ l × a
æ xö
æ x0ö
æaxö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç y÷
= ç y0÷
+ lçay÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è zø
è z0ø
èazø
l :Parameter
Der Parameter l durchläuft die reellen Zahlen: Zu jeder reellen Zahl l gibt es genau einen
bestimmten Punkt auf der Geraden und umgekehrt gehört zu jedem Punkt der Geraden genau
ein bestimmter Parameter l Î R.
Beachte:
· Der Richtungsvektor r a kann durch einen beliebigen zu ihm kollinearen Vektor ersetzt
werden.
· Der Punkt P 0 kann durch einen beliebigen Punkt auf der Geraden ersetzt werden.
2.2 Geraden in der Grundebene
Koordinatengleichung der Geraden Ax + By + D = 0
Liegt ein Punkt auf der Geraden, so erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung und umgekehrt.
Erinnern wir uns an die Geradengleichung y = mx + b, so erkennen wir, dass die
Koordinatengleichung nur eine andere Darstellungsform der Geraden ist.
Der Winkel j zwischen zwei Geraden g und h ist gleich dem Winkel zwischen den beiden
zugehörigen Richtungsvektoren. Er wird natürlich mit dem Skalarprodukt berechnet.
Für den wichtigen Sonderfall, dass die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen:
0 = r r
a × b = a x b x + a y b y = a x b x (1 + a y b y
) = a x b x (1 + m 1 m 2 ) und somit m 1 m 2 = - 1.
axbx
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2.3 Gegenseitige Lage zweier Geraden
Bezeichnet man die eine Gerade mit g (fester Punkt P, Richtungsvektor r a , Parameter l) und
die andere Gerade mit h (fester Punkt Q, Richtungsvektor r b, Parameter m) kann man die
gegenseitige Lage der beiden Geraden mit folgendem Struktogramm ermitteln:
2.4 Die Ebene (Parameterdarstellung)
Eine Ebene ist bestimmt durch einen Punkt P 0 und zwei nicht kollineare Vektoren:
® r r
Ist P ein beliebiger Punkt der Ebene, so lässt sich der Vektor P 0 P nach den Vektoren a und b
® zerlegen: P 0 P = r - r 0 = la r + mb r mit (l , m) Î R ´ R.
Parametergleichung der Ebene r = r 0 + la r + mb
r
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Komponentengleichung der Ebene
æ x ö æ x
ç ÷ ç
ç y ÷ = ç y
ç ÷ ç
è zø
è z
0
0
0
ö æa
÷ ç
÷ +lça
÷ ç
ø èa
x
y
z
ö æb
÷ ç
÷ +mçb
÷ ç
ø èb
x
y
z
ö
÷
÷
÷
ø
r r0 ist der Stützvektor, r a und r b sind die Spannvektoren der Ebene: Die Ebene E wird durch die
Vektoren r a und r b aufgespannt.
l und m sind die Parameter. Jedem Paar (l , m) Î R x R ist genau ein Punkt auf der Ebene
zugeordnet und umgekehrt gibt es zu jedem Ebenenpunkt genau ein Paar (l , m) Î R x R.
Koordinatengleichung der Ebene Ax + By + Cz + D = 0
Die Ebene ist die Menge der Punkte des Raumes, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen.
æ Aö
In der Grundebene ist der Vektor ç ÷ ein Normalenvektor der Geraden Ax + By + D = 0. Für
è B ø
die Ebene im Raum gilt: Ist Ax + By + Cz + D = 0 die Koordinatengleichung einer Ebene,
æ Aö
ç ÷
so ist der Vektor ç B ÷ ein Normalenvektor zu dieser Ebene.
ç ÷
èCø
Umgekehrt gilt: Ist n r æn
x ö
ç ÷
= çn
y ÷ ein Vektor, der normal auf einer Ebene steht, so hat
ç ÷
èn
z ø
deren Koordinatengleichung die Form n x x + n y y + n z z + D = 0.
So lässt sich leicht die Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen, von der man drei Punkte
® ®
A, B, C kennt, denn AB ´ AC ist ein Normalenvektor dieser Ebene.
2.5 Anwendungen, die in den Übungen behandelt werden
+ Winkel zwischen zwei Geraden
+ Winkel zwischen Gerade und Ebene
+ Winkel zwischen zwei Ebenen
+ Durchstosspunkt Gerade Ebene
+ Abstandsprobleme: Punkt Gerade oder Punkt Ebene
+ Schnittgerade zweier Ebenen
+ Spezielle Lagen von Ebenen
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