Potenzen - Kantonsschule Solothurn

Kantonsschule Solothurn
Potenzen und Potenzfunktionen
RYS SS13
Potenzen
Rechengesetze für Potenzen
a14 ⋅ a ⋅24 a ⋅...
43
⋅ a = a n a: Basis (Grundzahl)
n−mal
n : Exponent (Hochzahl)
a 1 : = a a 0 : = 1
I. a m ⋅ a n = a m + n II. (a m ) n = a m ⋅ n
III. (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
IV.
n
⎛ a ⎞
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
=
n
a
n
b
V.
n
a
m
a
n −m
= a
Übungen
Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten
1. a) a 12 ⋅ a 3 b) x 5 ⋅ x c) 4x 2 ⋅ 5x 3 ⋅ 6x 4 d) x 2n+1 ⋅ x 11 – n
2. a) (-2) 1 ⋅ (-2) 3 ⋅ (-2) 5 b) 5 ⋅
6 3
4 7 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
5 ⋅ 5 c) ⋅ ⎜ ⎟⎠ ⋅ ⎜ ⎟⎠ 3 ⎝ 3 ⎝ 3
d) (-1) 11 ⋅ (-1) 13 ⋅ (-1) 15
3. a) 15 3 ⋅ 2 3 b) 0,01 6 ⋅ 1000 6 c)
5 5 5
3 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
12 ⋅ 3 d) ⎜ ⎟⎠ ⋅ ⎜ ⎟⎠ ⋅ ⎜ ⎟⎠
⎝ 2 ⎝ 3 ⎝ 4
4. a) ((2a) 3 ⋅(3b) 2 ) 4 b) (5a 3 ⋅4b 4 ) 3 c) ( 5 +1) 4 ( 5 -1) 4 3
3
⎛ 2ab ⎞ ⎛ 2 3
3a bc ⎞
d)
⎜
2
⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3c ⎠
⎜ 4b ⎟
⎝ ⎠
5. a) 6 9 : 3 9 b)
4 4
7 7 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞
8 : 2 c) ⎜ ⎟⎠ : ⎜ ⎟⎠
⎝ 4 ⎝ 8
d) (6 3 ⋅ 3 3 ) : 36 3
n
(4abc)
n n
5
2n
(x + ) (x − 1)
(2 + 2)
(x − 1)
6. a)
b)
c)
d)
n
12 n
(2ac)
(x − 1)
5
2n
( 2 + 1)
(1 − x)
7. a) 5 12 : 5 9 b)
10 6
2 : 2 c) a 2n : a 2n+1 d) (a+b) 7 : (a+b) 4
8. a)
( 4
2
)
2 - (2 4 ) 2 b) (-a 3 ) 4 c) ((-a) 4 ) 3 d) (a 1000 + a 1001 ) : a 999
9. Löse in der Grundmenge N:
a) 3 6 ⋅ 3 2 = 3 n b) 9⋅2 7 + 7⋅2 7 = 2 x c) 5⋅5 20 + 20⋅5 20 = 5 x
d) 2 a+4 - 8⋅2 a = 2 x e) (5 3 ) 4 : (5 2 ) 5 = 5 x f) (100 100 ) 100 = 10 x
1

Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten
10. a) 2 -10 b) 2 -4 – 4 -2 c) 1 –1 – (- 1) -1 d) 5⋅2 –3 + 6⋅2 –2 - 4⋅2 -4
3
2 −
4
⎛ ⎞
3 − 2
⎛ ⎞ ⎛ 3 ⎞
−
11. a) ⎜ ⎟
b) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ c) ( 3) −8
10
⎛ 1 ⎞
−
d) ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝ 2 ⎠
12. a) 2⋅3 0 - 3⋅2 0 - 3 0 ⋅2 0 + (2 0 ⋅3 0 ) b) (2 3 ) 0 – (2 0 ) 3 – (3 0 ) -2 + (3 -2 ) 0
13. a) a 5 ⋅ a - 3 ⋅ a 0 b) a - 2 : a - 6 c) (1 + x) 3 : (1 + x) 5 d) (x – y) - 5 : (x – y) 6
14. a) (3 - 2 ) – 3 b) ((- 4) - 4 ) - 4 c) 5 - 3 ⋅ 3,2 – 3 d) ( 2) −5
⋅ ( 8) −5
15. a) 0,6 - 2 : 0,75 - 2 b)
5
⎛ 2 ⎞
−
⎜ ⎟ :
⎝ 3 ⎠
5
⎛ 2 ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
c)
4
⎛ 9 ⎞
⎜ ⎟⎠
⎝ 8
:
4
⎛ 3 ⎞
−
⎜ ⎟
⎝16
⎠
d) 6 - 4 :
4
⎛ 6 ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
16. Löse in der Grundmenge Z:
1
a) = 2
x
1
b)
512
6
100
= 10 x c) x 3 = - 8 d) x 6 = 2 – 6
e) x 4 = x 16 f) x 6 = 16 3 g) 5 8 ⋅ x = 5 3 h) 2 - 12 ⋅ 2 - x = 2 6
i) (2 2 ) x x
2
= 1 k)
( 2
2
)
= 2 l)
( x )
2 = 2 m) (2 x ) 2 = 16
1
Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten
17. a) 3 216 b) 5 16
243 c) 4
81
d) 3 0 , 001
18. a) 5 5
10 b) 10 0
10 c) 16 d)
1
3
1
19. a) 10 ⋅ 10 6 b) 7 1,4 ⋅ 7 1,5 ⋅ 7 0,6 c)
1
6
1
4 9
5 9
1
⎛ 3 ⎞
20. a) 5 : 5 7 b) 33
: 3 0 ⎜
c) a 4 : a 3 ⎟
⎜ ⎟ : a
⎝ ⎠
1
4
21. a) ( )8
5
4
5
3 64
2 ⋅ 2 d) 5 0,2 ⋅ 5 - 0,5
16 b) 4 ⋅ 20,25 4 c) 20 256 ⋅ 20 4 d)
22. Löse in der Grundmenge Q:
a) x 0,75 = 8 b) x 0,8 = 16
1
2
d)
c) x 0 = 0 d) 0 x = 0
⎛8 3 5 6
5 5
⎞
⎜ ⋅ ⎟
⎝ ⎠
e) 2 x = 0,5 f) 8 x = 4 g) 1000 x = 0,1 h) 8 - 0,25 = 2 x
23. Löse in der Grundmenge R:
a) x 5 = - 1024 b) x - 5 = - 1024 c) x - 0,5 = 7
d) 162 0,25 + 1250 0,25 = x 0,25
1
3
1
3
e) 2000 − 432 = x ⋅ 23
1
4
4
:
40 35
5 − 1 ⋅ 5 + 1
5
2

Kantonsschule Solothurn
Potenzen und Potenzfunktionen
RYS SS13
Lösungen
1. a) a 15 b) x 6 c) 120x 9 d) x n+12
2. a) -2 9 b) 15625 c) (2/3) 10 d) -1
3. a) 30 3 b) 10 6 c) 6 3 d) (1/4) 5
4. a) 72 4 a 12 b 8 b) 20 3 a 9 b 12 c) 256 d)
a
9
b
2
3
3
c
3
5. a) 512 b) 128 c) 16/81 d) 1/8
6. a) 2 n b n b) 1 c)
5
32 = 2 d) 1
7. a) 125 b) 4 c) 1/a d) (a+b) 3
8. a) 2 8 (2 8 -1) b) a 12 c) a 12 d) a(a+1)
9. a) n = 8 b) x = 11 c) x = 22 d) x = a+3
e) x = 2 f) x = 20’000
10. a) 1/1024 b) 0 c) 2 d) 15/8
11. a) 27/8 b) 400/81 c) 1/81 d) 32
12. a) -1 b) 0
13. a) a 2 b) a 4 c) (1+x) -2 d) (x-y) -11
14. a) 729 b) 4 16 c) 16 -3 d) (1/4) 5
15. a) 25/16 b) 1/243 c) 81/16 d) 1/2401
16. a) x = -9 b) x = -12 c) x = -2 d) x = ½
e) x = 0, 1, -1 f) x = 4 g) x = 5 -5 h) x = -18
i) x = 0 k) x = 0 l) x = 1, -1 m) x = -2
17. a) 4 b) 3 c) 2/3 d) 0,1
18. a) 10 b) 1 c) 2 d) 2
19. a) 10 b)
7
7 c) 20 81
2 d) 10 3
5 −
20. a) 42 5 b) 3 3 c) 12 11
a
1
d) 10 7
5
21. a) 4 b) 243 c) 2 d) 2
22. a) x = 16 b) x = 1/32 c) ∅ d) x ∈ R + \ {0}
e) x = -1 f) x = 2/3 g) x = -1/3 h) x = -3/4
23. a) x = -4 b) x = -1/4 c) x = 1/49 d) x = 2 13
e) x = 4
3