Aufgaben zur Integralrechnung

Q12 * Mathematik * Aufgaben zur Integralrechnung (Wiederholung)
1. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale!
Achten Sie auf korrekte mathematische Form.
Beispiel:
3 3 1
3 3
2
2
1 1 1
1
2 2 2 x 2 2 2 4
dx x dx ( )
3x 3 3 1 3x 9 3 9
a)
d)
2
2
2x 3 dx b)
1
1
3
dx e)
x
2
2
4
3
2x dx c)
0
3
3x
2 dx f)
1
x
0
4
1
2
2
4
dx
2x
2cos( x) dx
2. Bestimmen Sie alle k
R, so dass die angegebene Gleichung gilt.
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe einer passenden Skizze.
a)
k
2 x dx 0
b)
1
k
1
2 x dx 1,5
c)
k
2
4 x dx 0
d)
0
k
0
2
4 x dx
11
3
2
3. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) x 1.
Die Normale im Punkt (-1/0) des Graphen von f
begrenzt mit G f eine Fläche mit dem Inhalt A.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt A.
3
4. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) x 1
Die Tangente an G f im Punkt P(-1/-2) schließt
mit G f eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt A.
(Siehe Bild!)

Q12 * Mathematik * Aufgaben zur Integralrechnung (Wiederholung) * Lösungen
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. a)
b)
c)
2 3
2
1 1
2
2x 16 2 5
2x 3 dx 3x ( 6) ( 3)
3
3 3 3
3 2x dx 3 2 x dx 3 2 2 2 8 0 16 2
1,5
4 4 1,5
1/2
x
0 0 0
4 4 0,5
4 0,5
x
dx 2 2 x dx 2 2 4 2 2 4 2 1 4 2
2x
0,5
1 1 1
1
3 1
3
2
x 2
4
2
dx 3ln ( x 2 ) 3ln3 3ln 4 3ln 0,863
3 3
3
3x 3 2x 3 2 3 3
dx dx ln (1 x ) ln (10) ln (1)
2 2
1x
2 1x 2
0 0
0
2 2
3 ln (10) 3,45
2
2
2
2
2cos( x) dx
sin ( x)
0 0 0
k 2
k
x
2
2 x dx 0 2x 0 2k 0,5k (2 0,5) 0
2
2
2
1 1
2
1
k 4k 3 0 k
1/2
(4 16 43 ) 2 1 k1 1 ; k2
3
2
k 2
k
x
2
2 x dx 1,5 2x 1,5 2k 0,5k (2 0,5) 1,5
2
1 1
2 2
k 4k 3 3 k 4k 0 k 0 ; k 4
4
4
1 2
k 3
k
3
2 x
k k
2
4 x dx 0 4x 0 4k 0 0 (12 k ) 0
3
3 3
0 0
d)
k (12 k
2 ) 0 k
1 0 ; k
2/3 2 3
3
k 3
k
3
2 11 x 11 k 11 3
4 x dx 4x 4k 0 k 12k 11 0
3
3
3 3 3
0 0
Die Lösung x 1 = 1 findet man durch Ausprobieren, also
3 2
k 12k 11 0 (k 1) (k k 11) 0
1 1 44 1 3
5
k1 1 ; k2/3 k1 1 ; k
2/3
; k2 2.85 ; k3
3,85
2 2
Einzelne Bilder zu a) b) c) d)

3.
2
f (x) x 1 und f ´(x) 2x f´( 1) 2 also mNormale
0,5
Normalengleichung : g(x) 0,5x t mit ( 1/ 0) eingesetzt : t 0,5
also g(x) 0,5x 0,5
Schnittpunkte:
2
f (x) g(x) x 1 0,5x 0,5
2
x 0,5x 1,5 0 (x 1) (x 1,5) 0
also S
1(1/ 0) und S
2(1,5/1,25)
Flächeninhalt A :
1,5 1,5 1,5
A g(x) f (x) dx
2
0,5x 0,5 (x 1) dx
2
x 0,5x 1,5 dx
1 1 1
1,5 3 2
1,5
2
x x 27 11 125
x 0,5x 1,5 dx 1,5x ( ) 2,6
3 4
16 12 48
1 1
4.
3 2
f (x) x 1 f´(x) 3x und f´( 1) 3 m Tangente
Tangentengleichung
g(x) 3x t mit ( 1/ 2) eingesetzt t 1 und
g(x) 3x 1
Schnittpunkte:
3 3
f (x) g(x) x 1 3x 1 x 3x 2 0
3 2
x 3x 2 0 (x 1) (x x 2) 0
2
(x 1) (x 2) 0 x1 1 ; x2
2
Der zweite Schnittpunkt lautet also S(2/7).
2 2
3
A g(x) f (x) dx 3x 1 (x 1) dx
1 1
x 3x 3
x 3x 2 dx 2x 6 ( ) 6,75
4 2
4
2 4 2
3
1 1
2