¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik ...

Universität Heidelberg / Institut für Informatik 25. April 2013
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Thorsten Kräling
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Theoretische Informatik
Blatt 2
Aufgabe 1 (7=4+3 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass sich jede aufzählbare Sprache als das homomorphe Bild einer entscheidbaren
Sprache darstellen lässt.
Hinweis: Verwenden Sie das Projektionslemma und kodieren Sie ein Paar (v, w) von Wörtern
so, dass ein Homomorphismus das kodierte Paar auf die erste Komponente abbilden kann.
(b) Zeigen Sie, dass das Bild h(L) = {h(w) : w ∈ L} einer entscheidbaren Sprache L unter
einem λ-freien Homomorphismus h wiederum entscheidbar ist. Dabei heißt ein Homomorphismus
h : Σ ∗ → T ∗ λ-frei oder nichtlöschend, wenn h(a) ≠ λ für alle Buchstaben a ∈ Σ
gilt.
Hinweis: Da Homomorphismen berechenbar und ein λ-freier Homomorphismus h nicht
verkürzend ist (d.h. |w| ≤ |h(w)| gilt), genügt es zu zeigen, dass für eine entscheidbare
Sprache L ⊆ Σ ∗ und eine nichtverkürzende berechenbare Funktion f : Σ ∗ → T ∗ das Bild
f(L) wiederum entscheidbar ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Ein Paar (n, n+2) von natürlichen Zahlen heißt Primzahlzwilling, falls sowohl n als auch n+2
Primzahlen sind (zum Beispiel ist (3, 5) ein Primzahlzwilling). Die Frage, ob es unendlich
viele Primzahlzwillinge gibt, ist ein bislang ungelöstes mathematisches Problem.
Sei f : N → N die Funktion, die definiert ist durch
{
1, falls es mindestens n Primzahlzwillinge gibt
f(n) =
0 sonst.
Ist f berechenbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Die Turingmaschine M = (Σ, m, T, Γ, Z, z 0 , δ) mit Startzustand z 0 , deren Programm δ durch
die Tabelle
Z × Γ → Γ × Bew × Z
z 0 b b R z 1
z 1 b 0 L z 3
z 1 0 b R z 2
z 2 b 0 L z 4
z 2 0 b R z 1
z 4 b 0 L z 5

gegeben ist, berechnet die charakteristische Funktion c A : N → N einer Menge A ⊆ N. (Zur
Erinnerung: Zur Darstellung der Zahl n verwenden wir die modifizierte Unärdarstellung
0 n+1 .)
(a) Ergänzen Sie die Spezifikation von M, indem Sie die Komponenten Σ, m, T, Γ und Z
explizit angeben.
(b) Geben Sie die Menge A an, deren charakteristische Funktion M berechnet.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 2. Mai 2013 in den Briefkästen im Foyer im EG der
Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14 Uhr!).