Alphabete, Wörter, Sprachen

Alphabete, Wörter, Sprachen

ALPHABETE = endliche, geordnete Menge von Buchstaben(Symbolen)WÖRTER (STRINGS) = endliche Folgen von Buchstaben (ausfestem Alphabet)SPRACHEN = beliebige Mengen von Wörtern (über festem Alphabet)

Im Rahmen der Vorlesung:DATEN = WÖRTER(ENTSCHEIDUNGS)PROBLEME = MENGEN = SPRACHENMit Wörtern lassen sich beliebige Daten kodieren (vgl. z.B. Zahldarstellungen).Dabei kann man sich auf Binärwörter (d.h. Wörter über dem binärenAlphabet {0, 1}) oder sogar auf Unärwörter d.h. Wörter über dem unären Alphabet{1}) beschränken. (Dabei sind Unärdarstellungen wegen ihrer großenLänge jedoch in der Praxis häufig nicht akzeptabel.)Im Folgenden gehen wir auf Alphabete, Wörter und Sprachen näher ein undführen einige grundlegende Begriffe und Notationen ein.

ALPHABETEEin Alphabet (Σ,

WÖRTEREin Wort über dem Alphabet (Σ,

LÄNGE VON WÖRTERNLÄNGE. Die Länge |w| eines Wortes w ist die Anzahl der Vorkommen vonBuchstaben in w:• |λ| = 0 • |w(0) . . . w(n − 1)| = n• Σ n := Σ =n := {w ∈ Σ ∗ : |w| = n}, Σ ≤n := {w ∈ Σ ∗ : |w| ≤ n}, Σ

VERKETTUNG VON WÖRTERNVERKETTUNG (KONKATENATION). Die grundlegende Operation aufWörtern ist das Hintereinanderschreiben von Wörtern:v = v(0) . . . v(m) & w = w(0) . . . w(n) ⇒ v ◦ w = v(0) . . . v(m)w(0) . . . w(n)w ◦ λ = λ ◦ w = wNotation: Statt v ◦ w schreiben wir meist einfach vw.Mit Hilfe der Verkettung definieren wir:ITERATION. Die n-fache Iteration w n eines Wortes w ergibt sich durch Verkettenvon n Kopien von w. Induktiv: w 0 = λ und w n+1 = w n w.TEILWÖRTER. Gilt w = xyz so sind x, y, z Teilwörter von w, x ein Präfix(Anfangsstück) von w (x ⊑ w) und z ein Suffix (Endstück) von w. Gilt yz ≠ λso ist x ein echtes Anfangsstück von w (x ❁ w).Notation: w ↾ n = w(0) . . . w(n − 1) ist das Anfangsstück von w der Länge n.

HOMOMORPHISMENEine mit der Konkatenation verträgliche Abbildung nennt manHomomorphismus. Formal: Ein Homomorphismus h ist eine Abbildungh : Σ ∗ → T ∗ sodass h(λ) = λ und∀x, y ∈ Σ ∗ (h(x ◦ y) = h(x) ◦ h(y)).Jeder Homomorphismus h ist bereits durch sein Verhalten auf den Buchstaben(d.h. Wörtern der Länge 1) bestimmt und jede Abbildung h : Σ → T ∗ lässtsich in eindeutiger Weise in einen Homomorphismus fortsetzen. (Übung! Mansagt auch, dass (Σ ∗ , ◦) die freie Halbgruppe über Σ ist).BEISPIEL (BINÄRKODIERUNG). Den von bin k : Σ k → Σ ∗ 2 mit bin k(a i ) =0 i 1 k−1 (Σ k = {a 0 , ..., a k−1 }, k ≥ 3) induzierten Homomorphismus bin k : Σ ∗ k →Σ ∗ 2 bezeichnet man als Binärkodierung. Man beachte, dass |bin k(w)| = k|w|.

EINE ORDNUNG AUF DEN WÖRTERNLEXIKOGRAPHISCHE ORDNUNG. Die Wörter über einem Alphabet Σ lassensich mit Hilfe der Ordnung < des Alphabets lexikographisch ordnen:v < lex w ⇔ v ❁ w oder ∃ x ∈ Σ ∗ ∃ a, b ∈ Σ (a < b & xa ⊑ v & xb ⊑ w).Fasst man die Wörter über Σ k als Knoten des unendlichen vollständigen k-ären Baumes auf, so erhält man die gemäß < lex geordneten Wörter, wennman den Baum in Preorder durchläuft. Die lexikographische Ordnung hatden Nachteil, dass Wörter unendlich viele Vorgänger haben können. Z.B. giltfür k = 2:λ < lex 0 < lex 00 < lex 000 < lex 0000 < lex · · · < lex 1LÄNGEN-LEXIKOGRAPHISCHE ORDNUNG. Man betrachtet daher in derRegel die längen-lexikographische Ordnung < auf Σ ∗ , bei denen die Wörterzunächst nach ihrer Länge (Hauptordnungskriterium) und dann Wörter gleicherLänge lexikographisch (Nebenordnungskriterium) geordnet werden:v < w ⇔ |v| < |w| oder [|v| = |w| und v < lex w]Diese Ordnung entspricht dem Breitendurchlauf durch den Baum Σ ∗ .

MEHR ZUR LÄNGEN-LEXIKOGRAPHISCHEN ORDNUNGBEISPIELE. Beim unären Alphabet Σ 1 = {1} stimmt < mit < lex überein:1 0 (= λ) < 1 1 (= 1) < 1 2 (= 11) < 1 3 < 1 4 < . . .Für das binäre Alphabet Σ 2 = {0, 1} giltλ < 0 < 1 < 00 < 01 < 10 < 11 < 000 < 001 < . . .SATZ. (N,

SPRACHENEine Sprache L über dem Alphabet Σ ist eine Menge von Wörternüber Σ, d.h. eine Teilmenge von Σ ∗ .Die Menge aller Sprachen über Σ ist also gerade die Potenzmengevon Σ ∗ : P(Σ ∗ ) = {L : L ⊆ Σ ∗ }Eine Menge von Sprachen (über festem Alphabet Σ) bezeichnenwir als Klasse.BEZEICHNUNGEN:• a, b, c, . . . : Buchstaben• . . . , u, v, w, x, y, z: Wörter• A, B, C, . . . , Z: Sprachen• A, B, C, . . . , Z: Klassen

MENGENOPERATIONEN AUF SPRACHENDa Sprachen Mengen sind, können wir die üblichen mengentheoretischenOperationenverwenden (L, L 1 , L 2 ⊆ Σ ∗ ):L 1 ∪ L 2 = {x ∈ Σ ∗ : x ∈ L 1 oder x ∈ L 2 }L 1 ∩ L 2 = {x ∈ Σ ∗ : x ∈ L 1 & x ∈ L 2 }L = {x ∈ Σ ∗ : x ∉ L}L 1 − L 2 = {x ∈ Σ ∗ : x ∈ L 1 & x ∉ L 2 }L 1 △L 2 = (L 1 − L 2 ) ∪ (L 2 − L 1 )(Vereinigung)(Durchschnitt)(Komplement)(Differenz)(Symmetrische Differenz)

WORTOPERATIONEN AUF SPRACHENDie auf den Wörtern definierten Operationen der Verkettung undIteration induzieren entsprechende Sprachoperationen:L 1 L 2 = {xy : x ∈ L 1 & y ∈ L 2 }L n = {x 1 . . . x n : x i ∈ L} (L 0 = {λ}, L 1 = L, L 2 = LL, . . . )L ∗ = {x 1 . . . x n : n ≥ 0 & x i ∈ L} = ⋃ n≥0 L nL + = {x 1 . . . x n : n ≥ 1 & x i ∈ L} = ⋃ n≥1 L nHierbei schreiben wir aL statt {a}L.

KARDINALITÄT VON SPRACHEN UND KLASSENSATZ. Für jedes Alphabet Σ gilt:• Jede Sprache L über Σ ist abzählbar.• Die Menge aller Sprachen über Σ ist nicht abzählbar.Beweis s. TafelKARDINALITÄT. Die Kardinalität (Größe) von Mengen vergleicht man durch|M 1 | ≤ |M 2 | ⇔ ∃ f : M 1 → M 2 injektivM 1 und M 2 sind gleichmächtig (|M 1 | = |M 2 |), falls |M 1 | ≤ |M 2 | und |M 2 | ≤ |M 1 |gilt. M ist abzählbar unendlich, falls |M| = |N|. M ist (höchstens) abzählbar,wenn |M| ≤ |N|, d.h. wenn M endlich oder abzählbar unendlich ist. Ist M nichtabzählbar, so nennt man M auch überabzählbar. In diesem Fall gilt |N| < |M|.

DARSTELLUNG VON SPRACHENDARSTELLUNG. Unter einer Darstellung einer Sprache L verstehenwir eine endliche Beschreibung der Sprache.DARSTELLUNGSWEISE. Eine einheitliche Methode zur Darstellungvon Sprachen bezeichnen wir als Darstellungsweise.

DARSTELLUNG VON SPRACHENDARSTELLUNG. Unter einer Darstellung einer Sprache L verstehenwir eine endliche Beschreibung der Sprache.DARSTELLUNGSWEISE. Eine einheitliche Methode zur Darstellungvon Sprachen bezeichnen wir als Darstellungsweise.

DARSTELLUNG ENDLICHER SPRACHENEndliche Sprachen lassen sich durch eine vollständige Auflistungder Elemente darstellen:L 1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}.Diese Darstellung ist i.a. jedoch sehr länglich und unübersichtlich.Eine Darstellung der Sprache durch Angabe einer charakteristischenEigenschaft der Elemente wird daher meist vorgezogen:L 1 = {x ∈ N : x ≤ 24 & x gerade}Dieses Vorgehen ermöglich auch die Beschreibung unendlicherSprachen:L ′ 1= {x ∈ N : x gerade} (= {0, 2, 4, . . . })

EXPLIZITE VS. IMPLIZITE DARSTELLUNGENBeschreibt man eine Sprache durch Auflisten der Elemente oder Angabe einercharakteristischen Eigenschaft derselben, so sprechen wir von einer explizitenDarstellung.Alternativ können Sprachen implizit durch eine induktive (rekursive) Charakterisierungdargestellt werden.Explizit:L 2 = {w ∈ Σ ∗ 2 : # 0(w) = # 1 (w)}Implizit:L 2 ist die kleinste Sprache L ⊆ Σ ∗ mit folgenden 3 Eigenschaften:• λ ∈ L• Gehört w zu L, so auch 0w1 und 1w0• Gehören v und w zu L, so auch vw

INFORMATISCHE SPRACHDARSTELLUNGENBERECHENBARKEITSTHEORIE:In der Berechenbarkeitstheorie betrachten wir algorithmische Darstellungenvon Sprachen, d.h. geben Algorithmen an, die die Sprachen eindeutig festlegen.Dabei unterscheiden wir:ENTSCHEIDUNGSVERFAHREN: Der Algorithmus stellt bei Eingabe einesWortes fest, ob dieses zur Sprache gehört.AUFZÄHLUNGSVERFAHREN: Der Algorithmus gibt alle Elemente der Sprache(und nur diese) sukzessive aus. (Ist die Sprache unendlich, so läuft dasVerfahren unendlich lang; die Beschreibung des Verfahrens ist jedoch endlich!)FORMALE SPRACHEN:Hier werden wir Sprachen mit Hilfe (generativer = erzeugender) GRAMMA-TIKEN beschreiben.

MEHRDIMENSIONALE SPRACHEN UND WORTFUNKTIO-NENSprachen beschreiben eindimensionale Entscheidungsproblem. ZurBeschreibung mehrdimensionaler Probleme oder funktionaler Probleme(Berechnungs-, Such-, bzw. Optimierungsprobleme) verwendenwir mehrdimensionale Sprachen und Wortfunktionen:MEHRDIMENSIONALE SPRACHE:• L ⊆ Σ ∗ 1 × · · · × Σ∗ n (inhomogen)• L ⊆ Σ ∗ × · · · × Σ ∗ (homogen)(1-DIM.) WORTFUNKTION:• f : Σ ∗ 1 → Σ∗ 2MEHRDIMENSIONALE WORTFUNKTION:• f : Σ ∗ 1 × · · · × Σ∗ n → T ∗Funktionen vom Typ f : Σ ∗ 1 × · · · × Σ∗ n → T 1 ∗ × · · · × T m ∗ stellen wir durchm mehrdim. Wortfunktionen f i : Σ ∗ 1 × · · · × Σ∗ n → T i∗ dar. Wie bei Sprachenkönnen wir bei Wortfunktionen zwischen inhomogenen (s.o.) und homogenen(all Alphabete gleich) Funktionen unterscheiden.