Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

INHALTSVERZEICHNISiv4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . . 954.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz 1024.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105II Mengenlehre 1065 Grundlagen der Mengenlehre 1075.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . . . . . 1125.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . 1125.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen . . . 1175.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . . . . . 1205.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . . . . . 1305.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336 Mengen von Mengen von . . . 1356.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen . . . . . . . . . . . 1376.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . 138

INHALTSVERZEICHNISv6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . . . . . . . . . . 1416.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3 Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . . . . . . . . . . 1466.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . 1486.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion . . . . . . . . 1487 Das Auswahlaxiom 1517.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . . . . . . . 1517.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . . . . . . . 1527.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff . . . . . . 1537.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . . . . . . . 1567.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen . . . . . 1587.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . . . . . . . 1588 Mächtigkeiten und Kardinalzahlen 1618.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . 1668.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs . . . . . . . . . . . . . 1678.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . 1698.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171III Grundlagen der Modelltheorie 1729 Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz 173

INHALTSVERZEICHNISvi9.1 Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2 Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 1759.3 Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810 Auf und ab: Elementare Substrukturen 18010.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) . . . . . . . . . . . 18210.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts) . . . . . . . . . . 18310.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten 18511.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812 Produkte und Ultraprodukte 18912.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . . . 19212.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613 Modellvollständigkeit 19813.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200IV Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit 20214 Berechenbare Funktionen 20514.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20514.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20714.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20814.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . 21214.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

INHALTSVERZEICHNISvii15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen 21515.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA . . . . . . . . . 21515.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21815.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen . . . . . . . . . 22015.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . 22315.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22416 Die Gödelschen Sätze 22716.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22716.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22816.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22916.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . 23016.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23116.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . 23316.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar . . . . . . . . . . . . . 23416.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23517 Literatur 238

202Teil IVUnvollständigkeit undUnentscheidbarkeit

203Hans Magnus Enzensberger: Hommage à GödelMünchhausens Theorem, Pferd, Sumpf und Schopf,ist bezaubernd, aber vergiß nicht:Münchhausen war ein Lügner.Gödels Theorem wirkt auf den ersten Blicketwas unscheinbar, doch bedenk:Gödel hat recht.≫In jedem genügend reichhaltigen System // lassen sich Sätze formulieren,die innerhalb des Systems // weder beweis- noch widerlegbar sind,es sei denn das System // wäre selber inkonsistent.≪Du kannst deine eigene Sprache // in deiner eigenen Sprache beschreiben:aber nicht ganz.Du kannst dein eignes Gehirn // mit deinem eignen Gehirn erforschen:aber nicht ganz.Usw.Um sich zu rechtfertigen // muß jedes denkbare Systemsich transzendieren, // d.h. zerstören.≫Genügend reichhaltig≪ oder nicht:Widerspruchsfreiheitist eine Mangelerscheinungoder ein Widerspruch.(Gewißheit = Inkonsistenz.)Jeder denkbare Reiter, // also auch Münchhausen,also auch du bist ein Subsystem // eines genügend reichhaltigen Sumpfes.Und ein Subsystem dieses Subsystems // ist der eigene Schopf,dieses Hebezeug // für Reformisten und Lügner.In jedem genügend reichhaltigen System,also auch in diesem Sumpf hier,lassen sich Sätze formulieren,die innerhalb des Systemsweder beweis- noch widerlegbar sind.Diese Sätze nimm in die Handund zieh!(Zitiert nach: Hans Magnus Enzensberger: Die Elixiere der Wissenschaft.Frankfurt a.M.: Suhrkamp 2002)

204In diesem Teil gehen wir aus von den natürlichen Zahlen als algebraischeStruktur mit den Operationen der Addition und Multiplikation und zusätzlicherOrdnung. Als Axiomensystem für die elementaren Eigenschaften dieser Strukturhaben wir bereits das Axiomensystem von G. PEANO erwähnt und gesehen, daßes nicht ausdrucksstark genug ist, um die Struktur der natürlichen Zahlen bis aufIsomorphie festzulegen. Tatsächlich ist es sogar nach einem berühmten Satz vonK. GÖDEL unvollständig, und wir werden sehen, daß dieses Problem sich auchdurch die Hinzunahme weiterer Axiome nicht beseitigen läßt.Dazu werden wir mit den Methoden der mathematischen Logik Prädikate undFunktionen natürlicher Zahlen nach ihrer Komplexität klassifizieren, insbesondereden Begriff der Berechenbarkeit und der Entscheidbarkeit präzisieren, um damitMöglichkeiten und Grenzen der Beweisbarkeit für mathematischer Theorien, vorallem für die Zahlentheorie und auch die Logik selbst aufzuzeigen.Eine ausführlichere Darstellung der Theorie der Berechenbarkeit findet manim SkriptumK. Ambos-Spies: Theoretische Informatik(http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.html).

205Kapitel 14Berechenbare Funktionen14.1 Turing-MaschinenEine TURING-Maschine M besitzt als Speicher ein nach beiden Seiten unbeschränktesBand, das in unendlich viele Felder eingeteilt ist. Jedes Feld kanneinen Buchstaben aus dem endlichen Alphabet s 1 ,...,s n der Maschine M aufnehmen.Dabei sind zu jedem Zeitpunkt nur endlich viele Felder belegt, wobeiwir vereinbaren können, daß die leeren Feldern durch ein zusätzliches Symbol s 0gekennzeichnet sind. Der Zugriff auf das Speicherband erfolgt durch einen kombiniertenLese- und Schreibkopf von der Größe eines Feldes. Das Feld, auf das derKopf zeigt, heißt das Arbeitsfeld. Dieses Feld kann eingelesen und neu beschriftetwerden. Weiterhin kann sich der Kopf um ein Feld nach links oder rechts bewegen.Durch Wiederholung dieser elementaren Operationen kann also jede Stelledes Bandes besucht, die dort stehende Information gelesen und gegebenenfallsersetzt oder ergänzt werden. Außerdem ist M zu jedem gegebenen Zeitpunkt ineinem von endlich-vielen Zuständen q 1 ,...,q r , die Einfluß auf das Verhalten vonM haben.Es gibt somit 3 Typen von Operationen, genannt Anweisungen, die M ausführenkann, wenn M im Zustand q i über einem Feld steht, in dem das Zeichen s jeingetragen ist, und die wie folgt bezeichnet werden:(a) q i s j s k q l : lösche s j und schreibe dafür s k ,(b) q i s j R q l :(c) q i s j L q l :bewege den Kopf ein Feld weiter nach rechts,bewege den Kopf ein Feld weiter nach links.

14.1. TURING-MASCHINEN 206Anschließend gehe M in allen Fällen in den Zustand q l über.Ein Programm für M ist eine endliche Liste von Anweisungen der obigenFormen (a) - (c), welches konsistent ist, d. h. zu einem gegebenen Paar q i ,s j (fürdie Ausgangssituation) gibt es in der Liste höchstens eine Anweisung, die hiermitbeginnt.Beispiel:Das Alphabet von M bestehe aus den Symbolen 0,1 (und x für ein leeres Feld),mögliche Zustände seien q 1 ,q 2 . Das Programm P bestehe aus den folgenden 4Anweisungen:q 1 0 R q 1q 1 1 0 q 2q 2 0 R q 2q 2 1 R q 1Anfangs stehe M im Zustand q 1 über dem ersten Feld des Bandes, das von hierab weitere n aufeinander folgende Felder mit dem Symbol 1 enthält, während dieübrigen Felder leer sind:↓. . . x x x 1 1 1 1 1 1 x x x . . .Folgt M den obigen Anweisungen, so kann es diese ausführen, bis der folgendeEndzustand erreicht ist:↓. . . x x x 0 1 0 1 0 1 x x x . . .Wir wollen nun erklären, wie eine T-Maschine mit vorgegebenen Programmeine Funktion berechnet. Da es vorkommen kann, daß Rechnungsprogramme beiAnwendungen auf bestimmte Anfangswerte möglicherweise nicht stoppen (weilsie z. B. in eine Schleife geraten), werden wir jetzt statt totaler Funktionen f :N k → N auch partielle Funktionen zulassen:Definitionf ist eine partielle k-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen gdwf : D → N für eine Teilmenge D ⊆ N k .

14.2. URM-BERECHENBARE FUNKTIONEN 207In diesem Falle bedeutef (⃗x) ↓: ⇐⇒ f ist an der Stelle⃗x definiertf (⃗x) ↑: ⇐⇒ f ist an der Stelle⃗x nicht definiertf (⃗x) ≃ g(⃗x) : ⇐⇒ ( f (⃗x) ↓ ⇐⇒ g(⃗x) ↓) und ( f (⃗x) ↓=⇒ f (⃗x) = g(⃗x)).TURING-berechenbare FunktionenZur Darstellung von Zahlen, von denen eine Rechnung ausgeht, wählen wir s 1 = 1und benutzen es als Marke, indem n + 1 aufeinander folgende Felder mit Inhalt 1(umgeben von Leerfeldern am Anfang und am Ende) die Zahl n darstellen. Einepartielle Funktion f : D → N wird von M berechnet, wenn M, beginnend im Anfangszustandq 1 über dem ersten Feld, welches die Zahl n darstellt, genau dannüber dem Band in einem Endzustand stoppt, wenn n ∈ D ist, und in diesem Falldas Symbol 1 genau f (n)-mal auf dem Band im Endzustand eingetragen ist (inobigem Beispiel ist f (5) = 3). Eine ähnliche Definition legt man im Falle mehrstelligerFunktionen fest.Eine partielle Funktion f heißt TURING-berechenbar genau dann, wenn eseine T-Maschine M gibt mit einem Programm, welches f berechnet.14.2 URM-berechenbare FunktionenSHEPERDSON-STURGIS haben 1963 eine Variante eines Maschinenmodells vorgeschlagen:Eine unbeschränkte Register-Maschine (URM) besitzt eine unendlicheAnzahl von Registern R 1 ,...,R l , die jeweils eine Zahl enthalten; r n sei dieZahl im Register R n . Diese Zahlen werden von einer URM gemäß folgenden Typenvon Anweisungen abgeändert:O(n): 0 → R n bzw. r n := 0 ersetze r n durch 0S(n): r n + 1 → R n bzw. r n := r n + 1 addiere 1 zu r nT (m,n): r m → R n bzw. r n := r m ersetze r n durch r mJ(m,n,q): falls r n = r m , so gehe zur q-ten Anweisung über, sonst zur nächsten.Ein Programm ist nun wieder eine nummerierte endliche Folge derartiger Anweisungen.Soll eine URM mit einem Programm P = (I 1 ,...,I k ) eine Berechnungdurchführen, so muß ein Anfangszustand der Registerinhalte gegeben sein,in welchem die URM mit der ersten Anweisung beginnt und worauf sie dann denweiteren Anweisungen der Liste folgt.

14.3. CHURCHSCHE THESE 208Beispiel:I 1 :I 2 :I 3 :I 4 :I 5 :J(1,2,6)S(2)S(3)J(1,2,6)J(1,1,2)I 6 : T (3,1)Beginnt die URM mit den Zahlen 9 im 1. und 5 im 2. Register (und 0 in allenanderen), so erzeugt sie nach einigen Schritten die Zahl 4 im 3. Register undlandet dann bei der Anweisung I 6 , welche die Zahl 4 in das 1. Register überträgt;da keine weitere Anweisung folgt, stoppt hier das Programm.Es sei nun f eine partielle n-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen, Pein Programm und a 1 ,...,a n ,b seien vorgegebene Zahlen. Dann konvergiert dasmit a 1 ,...,a n beginnende Programm gegen die Zahl b, formal: P(a 1 ,...,a n ) ↓ b,gdw es nach endlich-vielen Schritten stoppt und die Zahl b im 1. Register steht.P berechnet f gdw für alle a 1 ,...,a n ,b gilt:P(a 1 ,...,a n ) ↓ b gdw f (a 1 ,...,a n ) ist definiert und = b.f ist URM-berechenbar gdw es ein Programm P gibt, welches f berechnet.14.3 Churchsche TheseEs gibt weitere Ansätze, den Begriff der berechenbaren Funktion zu präzisieren:• GÖDEL-HERBRAND-KLEENE (1936): mittels eines Gleichungskalküls definierteallgemein-rekursive Funktionen• CHURCH (1936): λ-definierbare Funktionen• GÖDEL-KLEENE (1936): µ-rekursive Funktionen (s.u.)• POST (1943): berechenbare Funktionen mittels kanonischer Deduktionssysteme• MARKOV (1951): berechenbare Funktionen mittels Algorithmen über endlichenAlphabeten

14.4. AUFZÄHLBARKEITSSÄTZE 209Alle diese Definitionen haben sich als formal äquivalent herausgestellt, außerdemist bisher jede einzelne der (im intuitiven Sinne) berechenbaren Funktionenauch berechenbar in dem obigen formalen Sinne, was Anlaß zu folgender Annahmegegeben hat:Churchsche These: Die (intuitiv) berechenbaren Funktionen sind genau die (ineinem der obigen Sinne) formal berechenbaren Funktionen.Ohne ausführliche Beweise ergänzen wir einige wichtige14.4 Aufzählbarkeitssätze• Da sich alle Programme effektiv aufzählen lassen, gibt es eine effektiveAufzählung ϕ 0 ,ϕ 1 ,...,ϕ n ,... aller einstelligen berechenbaren (partiellen)Funktionen. Mit einem Diagonalargument erhält man hieraus:• es gibt eine totale Funktion f : N → N, die nicht berechenbar ist:{ϕn (n) + 1 falls ϕ n (n) definiert ist,f (n) =0 sonst.• Somit gibt es zwar eine Abzählung aller totalen berechenbaren Funktionen,aber diese Abzählung kann selbst nicht berechenbar sein.• Auch die folgenden Prädikate sind nicht entscheidbar (d. h. ihre charakteristischenFunktionen sind nicht berechenbar):ϕ n (n) ist definiert, ϕ n ist totale Funktion, ϕ n ist die konstante Funktion 0,ϕ n = ϕ m , das n-te Programm mit Eingabe n (allgemeiner mit Eingabe m)stoppt nach endlich-vielen Schritten (das Halteproblem).• Existenz universaler Funktionen (bzw. Programme): Zu jeder berechenbaren2-stelligen Funktion f gibt es eine totale berechenbare Funktion k mitf (n,m) = ϕ k(n) (m); die 2-stellige Funktion ϕ(n,m) = ϕ n (m) ist berechenbar.14.5 Primitiv-rekursive FunktionenZu den intuitiv berechenbaren Funktionen gehören sicher die folgenden

14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 210AnfangsfunktionenR1 0(x) = 0R2 S(x) = x + 1R3 Pi n(x1,...,x n ) = x iNullfunktionNachfolgerfunktioni-te ProjektionDurch Einsetzen von Funktionen in bereits vorgegebene Funktionen erhaltenwir eine neue Funktion durchSubstitutionR4f (⃗x) ≃ h(g 1 (⃗x),...,g k (⃗x))Wichtig ist nun das folgende Prinzip - nach diesem Muster werden nämlichdie arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Potenz gebildet:Primitive RekursionR5 f (⃗x,0) ≃ g(⃗x)f (⃗x,y + 1) ≃ h(⃗x,y, f (⃗x,y))Die Klasse PRIM aller primitiv-rekursiven (abgekürzt: p.r.) Funktionen istdie kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossenist unter Substitution und primitiver Rekursion. Diese Funktionen sindinsbesondere totale Funktionen.Beispiele primitiv-rekursiver FunktionenDie folgenden Funktionen sind primitiv-rekursiv:x + ySummex · yProduktx yPotenzmax(x,y)Maximummin(x,y)Minimum|x − y| absolute Differenzx ˙−y ={x − y falls x ≥ y,0 sonstDifferenz auf N

14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 211sg(x) ={0 falls x = 0,1 falls x > 0Signum, Vorzeichensg(x) ={1 falls x = 0,0 falls x > 0Antisignum, negiertes VorzeichenBeweis: Addition, Multiplikation und die Potenz sind offenbar primitiv-rekursiv.Für die übrigen Fälle benötigt zeigt man zuerst, daß die Vorgängerfunktion x ˙−1primitiv-rekursiv ist, und zwar wegen0 ˙−1 = 0(x + 1) ˙−1 = xund definiert dann ˙− durch primitive Rekursionx ˙−0 = xx ˙−(y + 1) = (x ˙−y) ˙−1Die übrigen Funktionen kann man direkt mittels + und ˙− definieren:Abschlußeigenschaften|x − y| = (x ˙−y) + (y ˙−x)max(x,y) = x + (y ˙−x)min(x,y) = max(x,y) ˙−|x − y|sg(x) = 1 ˙−xsg(x) = 1 ˙−sg(x)Primitiv-rekursive Funktionen sind abgeschlossen unter(i) Fallunterscheidung:Sind g, f 0 , f 1 ,..., f k primitiv-rekursiv, so auch f mit⎧f 0 (⃗x) f alls g(⃗x) = 0,⎪⎨ f 1 ⃗x) f alls g(⃗x) = 1,f (⃗x) =. .⎪⎩ f k (⃗x) f alls g(⃗x) ≥ k.□

14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 212(ii) beschränktem µ-Operator:Ist g primitiv-rekursiv, so auch f mitf (⃗x,z) = µy < z (g(⃗x,y) = 0),wobei{das kleinste y < z mit R(⃗x,y) falls ein solches existiertµy < z R(⃗x,y) =zsonst.14.6 Rekursive und partiell-rekursive FunktionenEin Beispiel einer berechenbaren, aber nicht p.r. Funktion ist dieDie Ackermannsche Funktion:Diese ist eine 2-stellige Funktion, die durch die folgenden Gleichungen rekursivbestimmt ist:A(0,y) = y + 1A(x + 1,0) = A(x,1)A(x + 1,y + 1) = A(x,A(x + 1,y))Es handelt sich hier um eine doppelte Rekursion, trotzdem kann man leichtnachprüfen, daß sich jeder Wert A(x,y) von endlich-vielen “früheren” WertenA(u,v) mit u < x oder u = x ∧ v < y bestimmen läßt. Schreiben wir F n (m) fürA(n,m), so erhalten wir:F 0 (m) = m + 1F 1 (m) = m + 2F 2 (m) ≈ 2mF 3 (m) ≈ 2 mF 4 (m) ≈ 2 2...2 (m − mal)Das bedeutet also, daß die ACKERMANNsche Funktion die Grundrechenarteniteriert und insbesondere in der ersten Stelle (die die Anzahl der Iterationen angibt)

14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 213sehr schnell wächst. Tatsächlich majorisiert sie jede p.r. Funktion: Ist f eine k-stellige p.r. Funktion, so gibt es eine Zahl n mitf (x 1 ,...,x k ) ≤ F n (max(x 1 ,...,x k ))für alle x 1 ,...,x k . Somit kann die 2-stellige Funktion A nicht p.r. sein (obwohlandererseits alle F n p.r. sind!). Daß die ACKERMANNsche Funktion trotzdem berechenbarist, ersieht man daraus, daß sie aus einer p.r. Funktion erhalten werdenkann mittelsMinimalisierungR6 f (⃗x) ≃ µy (g(⃗x,y) ≃ 0),d. h. ⎧das kleinste y so daß⎪⎨(i) g(⃗x,z) definiert ist für alle z ≤ y undf (⃗x) =(ii) g(⃗x,y) = 0,falls ein derartiges y existiert,⎪⎩undefiniertsonst.Dieses Prinzip kann von totalen zu partiellen Funktionen führen (z. B. fürg(x,y) = |x − y 2 |). Die Klasse R (oder C) aller rekursiven Funktionen ist diekleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossenist unter Substitution, primitiver Rekursion und Minimalisierung. Manspricht mitunter auch von allgemein-rekursiven, µ-rekursiven Funktionen oder(auf Grund der CHURCHschen These) von den berechenbaren Funktionen (C =computable functions). Von rekursiven Funktionen werden wir vorwiegend imFalle totaler berechenbarer Funktionen sprechen.Jede p.r. Funktion ist also auch eine rekursive Funktion (während die ACKER-MANNsche Funktion ein Beispiel für eine rekursive, aber nicht p.r. Funktion ist),und die Abschlußeigenschaften der p.r. Funktionen gelten (geeignet modifiziertfür partielle Funktionen) auch für rekursive Funktionen.DefinitionEine zahlentheoretische Relation R ⊆ N k heißt primitiv-rekursiv bzw. rekursiv(oder auch: entscheidbar) gdw ihre charakteristische Funktion c R primitivrekursivbzw. rekursiv ist, wobei{1 falls R(⃗x),c R (⃗x) =0 sonst.

14.7. PARTIELLE ENTSCHEIDBARKEIT 214Somit sind z. B. die Prädikate x = y, x ≠ y, x ≤ y, x < y primitiv-rekursiv.14.7 Partielle EntscheidbarkeitEine Relation R ⊆ N k heißt partiell- (oder positiv-) entscheidbar bzw. r.e. gdw.sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist:R r.e. : ⇐⇒ R = {⃗x | f (⃗x) ↓} für eine berechenbare Funktion f .In diesem Fall kann man für f auch die partielle charakteristische Funktion vonR wählen:R r.e. ⇐⇒ pc R ist rekursiv,{1 falls ⃗x ∈ R,wobei pc R (⃗x) =undefiniertsonst.Während es also für eine entscheidbare Relation R ein effektives Verfahrengibt, welches die Frage beantwortet, ob R zutrifft oder nicht, kann man für einepartiell-entscheidbare Relation somit nur den Fall bestätigen, daß die Relationzutrifft. Die Bezeichnung r.e. = recursively enumerable = rekursiv-aufzählbar,in der neueren Literatur auch c.e. = computably enumerable, erklärt sich aus derfolgenden Charakterisierung:Eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ N ist partiell entscheidbar gdw sie Wertebereicheiner rekursiven Funktion ist, also von einer rekursiven Funktion aufgezähltwird:A r.e. ⇐⇒ A = /0 ∨ A = { f (x) | x ∈ N}für eine rekursive Funktion f : N → N.Jede rekursive Relation ist auch r.e.; die Umkehrung gilt, wenn auch das Komplementr.e. ist:A ⊆ N k ist entscheidbar gdw A und N k − A sind r.e.Ist wieder ϕ n die n-te berechenbare Funktion (in einer geeigneten effektivenAufzählung), so sind die Mengen{n | ϕ n (n) ↓} r.e., aber nicht rekursiv, während{n | ϕ n (n) ↑} nicht einmal r.e. ist.Von besonderer Bedeutung wird später sein, daß für Theorien T mit einer rekursivenMenge von Axiomen die Folgerungsmenge C(T) = {σ | T ⊢ σ} r.e. ist. Insbesondereist also eine rekursiv-axiomatisierbare vollständige Theorie entscheidbar!