Kapitel 14 - Fakultät für Mathematik und Informatik

14.3. CHURCHSCHE THESE 208Beispiel:I 1 :I 2 :I 3 :I 4 :I 5 :J(1,2,6)S(2)S(3)J(1,2,6)J(1,1,2)I 6 : T (3,1)Beginnt die URM mit den Zahlen 9 im 1. und 5 im 2. Register (und 0 in allenanderen), so erzeugt sie nach einigen Schritten die Zahl 4 im 3. Register undlandet dann bei der Anweisung I 6 , welche die Zahl 4 in das 1. Register überträgt;da keine weitere Anweisung folgt, stoppt hier das Programm.Es sei nun f eine partielle n-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen, Pein Programm und a 1 ,...,a n ,b seien vorgegebene Zahlen. Dann konvergiert dasmit a 1 ,...,a n beginnende Programm gegen die Zahl b, formal: P(a 1 ,...,a n ) ↓ b,gdw es nach endlich-vielen Schritten stoppt und die Zahl b im 1. Register steht.P berechnet f gdw für alle a 1 ,...,a n ,b gilt:P(a 1 ,...,a n ) ↓ b gdw f (a 1 ,...,a n ) ist definiert und = b.f ist URM-berechenbar gdw es ein Programm P gibt, welches f berechnet.14.3 Churchsche TheseEs gibt weitere Ansätze, den Begriff der berechenbaren Funktion zu präzisieren:• GÖDEL-HERBRAND-KLEENE (1936): mittels eines Gleichungskalküls definierteallgemein-rekursive Funktionen• CHURCH (1936): λ-definierbare Funktionen• GÖDEL-KLEENE (1936): µ-rekursive Funktionen (s.u.)• POST (1943): berechenbare Funktionen mittels kanonischer Deduktionssysteme• MARKOV (1951): berechenbare Funktionen mittels Algorithmen über endlichenAlphabeten